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Full text of "A course in mathematical analysis"

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COURS 

D'ANALYSE MATHEMATIOUE. 



PAIUS. - IMI'HIMKMIK (. \L I IIIKU-VILLARS ET C' 
rt2(y2\ Quai des (iran(ls-\u^ii>lins. 55. 




COUHS l)K L\ FACCLTE DES SCIENCES DE PARIS. 



COURS 

D'ANALYSE MATHEMATIOllE 



PAR 



EnouARD GOURSAT, 

Professeur a la Faculte des Sciences de Paris. 



D£uxi£M£ Edition 

E M I E R E 11 E N T It i: I' N DIE. 



TOME III, 



INTF.aRALES INFINIMENT VOISINES. 

EQfATIOXS AUX DEBIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRF.. 

EQUATIONS INTEGRALES. CALCUL DES VARIATIONS. 




V 1 

1»AIUS, 
CAl THIER-VII.LAliS ET 0% EDITEURS, 

IBKMRES DL BtREAi: DES LONUITfDES, DE l'ecOLE POLVTECHNIQIE, 

(^uai (Ics CiiMnds-Augustins. 55. 

1915 



I 



^.^3 



IQOQ. 

£3 



Tous droits de traduction, de reproduction et d'adai)iation 
reserves pour tous pays. 



PREFACE. 



Les qaestioiis traitees dans ce V'^oluiiie soul assez varices, 
et la plupart ne figurent pas dans les programmes d'examen. 
Parmi les resultats exposes, quelques-uns sent deja anciens, 
tandis que d'autres, beaucoiip plus recents, se ratlachent 
a des methodes toutes modernes. J'ai essaye de faire une 
exposition synlhetique qui, bien entendu, n'a nullenient 
la pretention d'etre complete; jespere cependant qu'elle 
pouira rendie quelques services aux lecteurs qui voudront 
s'initier a ces belles theories. 

Je dois a MM. Emile Cotton et Emile Gau, outre une 
precieuse collaboration pour la correction des epreuves de 
ces deux derniers volumes, de fines remarques qui m'ont 
permis d'ameliorer ma redaction sur plusieurs points. Je 
suis heureux de leur adresser de nouveau mes plus affec- 
tueux remerciments. 

3 fevrier 1916. 

E. GoUKS.VT. 



C0U1\S 

D'ANALYSE MATHEMATIQLE. 



CHAPITRE XXIII. 

LNTEGRALES IXFIMMENT VOISLNES. 



L'etude des fonctions definies par une equation difierentielle, 
dans lout leur domaine d'existence, est un probleme dont la solu- 
tion complete, dans le cas general, depasse actuellenient la puis- 
sance de Tanalyse. On a cependant obtenu des resultats du plus 
haul interet en se limitant a l'etude des integrales infininient voi- 
sines d'une integrale connue. G'estainsi que, dans ses memorables 
travaux sur le Probleme des trois corps ('), M. Poincare a pu 
demontrer I'existence d'une infinite de solutions periodiques et de 
solutions asymptotiques a une solution periodique. La recherche 
des solutions infiniment voisines d'une solution connue I'a conduit 
a un svsteme d'equalions difterenlielles lineaires qu'il a[)pelle 
e(jualions aux varlalions; le sjsteme analogue pour les equations 
aux derivees partielles avait deja ete considere par M. Dar- 
boux (2) sous le noin de systeme anxiliaire. Les resultats de 



(') Acta mathenialica, l. XIII, iS\)'>; Les nivlhodes nouvelles de la Meca- 
nique celeste, t. I el III. 

(^) Coniptes rendus, t. XCVf, 19 mars i883, p. 7G6; Note XI du Tome IV des 
Lemons sur la theorie generate des surfaces, p. 5o5-5i6. Dans un Memoire du 
Tome XXIII des Annates de I'Ecole normale (3' serie, hjoG), j'ai elendu le 
tlicoreme fondamenlal de M. Poincare a certains syslemes d'equalions aux deri- 
vees partielles. 

G., III. » 



■}. ciiAi'iTiu: will. — iMK(;i\Ai.i:^ infimmknt \oisim;s. 

.M. Poincare onl oLc ulilises depuis lors par M. Palnleve (') el 
qiiel(|ues autres malheinaticiens dans uii probleme d'analyse ])ure, 
la formation des eqiuuions diflorenlielles a j)oints critiques fixes. 
Nous dciiiontrons dans ce Cliapilre le llieorrine fondaniental de 
-M. Poincaro. apios avoir eludie les intci;rales dun svstrnie d'equa- 
lions dillerentielles, considerees conime fonclions des \aleurs ini- 
liales. Cetle elude a deja ete faite (II, n" 388), dans le cas ou les 
seconds niembres sonldes fonclions analyliques. iNous la reprenons 
dans le cas general, au moyen de la methode des approximations 
successives de M. Picard, qui conduit Ires simplemcni au but, en 
exigeant le minimum d'hvpotheses. 



I. — EQUATIONS AU\ VAIUVTIOXS. 

■4o7. Complements sur les equations lineaires. — Nous allons 
d'abord presenter quelques remarques sur laiiplication de la 
methode de M. Picard aux equations lineaires. Considerons, pour 
fixer les idees, un systeme de deux equations lineaires 



(0 



dx 



= ay -r- bz -T- c. 



dx 



«ir 



t>i z 



a, h, c, a^^ 6,, C| etant des fonclions continues de la \ariable 
reelle x dans Tintervalle de x^ a ^,>a:o. Pour a])pliquer la 
metliode de M. Picard a la determination des inlegrales j^renant 
les valeurs^^o et ^o pour x = Xo, on pent prendre, pour premieres 
valenrs approchees de ces inlegrales, au lieu des valeurs initiates 
elles-memes, deux fonclions quelconques u(x) el i'(x), continues 
dans rinlervalle {xo, ^i). Cela revient a poser 

yi(x)=j'o-h I [au(()-i- bi>(f)^ c]d/, 
Zi(x) = Zf,-Jr- I \aiu( t ) ~ biV(( ) -h Ci]d/, 



(') Bulletin de la Sociele matheinatique, l. XWUI, p. 201; Acta matlie- 
matica. t. \\V, 1902, p. i-8J. 



I. — EOLATIONS Al\ VAttlATIONS. 3 

X olanl reniplacc par I Jans <7. /v, c. r/,, A,. C|. cl, pour /? > i . 

*' ■*■() 

Toules ces fonclions y„, ^„ sont evldeiiiment conliiiues clans 
I'inlervalle (;ro, a;(), Cela pose, soil M une limile superieiire des 
valeurs absolues des coefficienls r/, ^, «,, 6, dans rinlervalle 
(j7o5 -27,), et n line limlte superleure des valeurs absolues dej)', — m 
etde:^, - — rdans le nieme inler\alle. On \oit iniinedialemenl quon 
a, en tout j)oinl dc I'lntervalle (^o? ^f)» 

\y.Ax) -y^{x)\ <7MH(j' — a-o), \z.{x ) — z^i x)\ <-i.y{\\{ X — X,,), 

et Ton verifie ensuite de f)roclie en j)roche qu'on a, quel que soit /?, 



|^„(r)-^„_,(:r)I<H 



{n — \)\ 

\1.\\{x — x^^y-^ 

{n — \)\ 



r.e ralsonnement s'aclit,'\e comme dans le cas general (II, n" 3S9); 
Vn et Zi, tendent uniforint-nient \er5 des limites v(a) et zi^x) qui 
sent les inlegrales du svsteme (i), prenanl les valeurs i'o et ;„ 
pour X = Xq. 

On (lit. pour ahreyer, quune fonction V[x) de la \anahle 
reelle x est clominanLe pour une autre fonction y"(.r), dans un 
intervalle (a, ,3), lorsque F(^^) est j)ositif et superieur a la valeur 
absolue de f{x) pour toule valeur de x dans cet intervalle. Rem- 
placons, dans le systeme (i). les coelficients a, b, c, '/|, ^i, c, p.ir 
des fonctions continues A, B, C, A,, \^^, C,, qui soient respecti- 
vement doniinantes pour les premieres dans Tintervalle (xq, j^i ), 
et proposons-nous d'obtenir les intei;rales du nouveau systeme 

ax ax 

qui, \^o\\v X ^ Xq, prennent des valeurs jjositives \ ^ et Zq respec- 
tivenienl su|)erieures a |yo| et |ro|. Si Ton prend |)0ur premieres 
valeurs approcliees des fonclions L (x) et \ < j?), qui snii/ni resj)ec- 
tivement dominantes pour u{x) et r(.y), on voit aisemont de 



4 »:iivi'rrni; win. — intkcrvi-Ks inkimmk.nt voisines. 

proclio on prochc (|iu' loiiles Ics \aleiiis a|>procliees successlvcs 
\rt(j:), Z/i(x) des inteij^rales clu nouvcaii svstrine sonl |iosilives 
dans rintervalle (.ro, .r,), el ilominantos pour los valeiirs approcliecs 
de nuMne rangy„(:r) el z-„{jc) des inlegralcs du premier syslenie. 
I>es inlegrales V(.r) el Z(jc) du systeme (2), qui prennent les 
valeurs \ el Zq pour x = Xo, sonl j)ar suile dominanles dans 
loul linlervalle (tq, x^) pour Ics premieres inlegrales y{x) 
el :{J^) du sysleme (1). En prenanl pour A, B, C, A,, B,, Ci des 
constanles jiosilives, on oblienl un sysleme auxiliaire a coeffi- 
cients conslanls, el il serail facile den dcduire des limiles pour 
les valeurs absolucs des inlegrales du systeme (1) dans I'inler- 
valle (^05 ^()- Bemarquons aussi que ces proprietes s'elendent 
sans dilficulle a un domaine comjilexe, lorsque a, b, c, cti, /^i, C| 
sonl des fonclions liolomorphes de x dans ce domaine. 

Une derniere remarque, qui s'etend a un systeme dun nombre 
queiconque d'equations lineaires, est la suivante. SoiljK'= «J^ + b, 
une equation lineaire ou les coefficients a el b sonl des fonclions 
continues, la premiere positiiC, dans un intervalle (.ro, x^), ou 
Xt^Xoj et soil ^ (x) linlegrale de celle equation qui est egale 
a jKo pourx = :ro. ^i Ion prend pour premiere valeur approcliee 
une fonction u(x)'SY(x) en tout point de lintervalle, toutes les 
aulrcs valeurs approchees y„ seront aussi inferieures ou au 
plus egales d Y(x). Cetle propriele resulle immedialement de 
la relation de recurrence 

\{x)—yn(x)= f a{t)]\{t)—yn-x(.t)\dt, 

el de 1 liypolliese sur la premiere valeur approcliee. 

■4o8. Application a. un systeme semi-lineaire. — Considerons un 
systeme parliculier de la forme suivanle 

^3) d- 

\ Tx = 'f(^'^)^^'M^.7). 

oil f(x^y)^ ci(j:,y), 'l[x,y) sonl trois fonclions continues des 
variables x et y^ lorsque x el y reslent compris dans les inler- 
valles (jTo, ^0 -T- <^)i O'o — ^: JKo -H (^)i (t. et b etant deux nombres 



I. — KQIATIOXS AIX \ AlUATIONS. 



posllifs; Oil sii|)|)ose do plus que la ronclion /(or, )') salisfail a la 
condition de Lijischitz dans ce doniaine, relalivenient k y. Pour 
oblenir les integrates du systeme (3), qui prennent respectivemenl 
les valeurs Vo cl z^ pour J7 = J^o? il estnaturel de proceder conime 
il suit. On cliercliera d'abord Tinlegrale de la premiere equation 
qui est egale a Yq pour x = ^o. pai' la in('lliode de M. l^icard par 
exemple. Soil Y(x) cette integrale qui est continue dans un inter- 
valle (j"o, j^o -r- ^0' ^^ etant un nondjre positif ^a. Remplacant 
ensuite y par Y(a?) dans o[x, y) et ^(x, y), on obtiendra par deux 
quadratures I'integrale Z(x) de la seconde equation qui prend la 
valeur ^o pour x = Xi^. 

Mais on pourrait aussi appliquerla niethode des ap|)roxiniations 
successives au sjsteme (3) toulentleren prenant )'o 1><>"1' premiere 
valeur approchee de i', et une constante quelconque R pour pre- 
miere valeur approchee de z, ce qui conduit a poser 

yi=yo^f f{t,.ro)df, z, = z,-^J [9(7, ^ro)K + •}(/, j,,)] rff, 

et, en general, 

Zn{x) = Zo^ I \'^[t,yn-i{t)]z„.i(t)-^'l[t,yn-l(j)][dl. 

Lorsque n croit indefiniment, y„ tend uniformement vers \ (x) 
dans rintervalle (xq, Xq-^ h); nous voulons montrer que z-,, tend 
aussi uniformement vers Z(jf). II en est certainement ainsi, d'apres 
le iheoreme general (n" 389), si '^(x,y) et 'i(:c, j^) satisfont a une 
condition de Lipschitz relativement ky, mais celte derniere hypo- 
tliese est inutile, et il suffil de supposer les fonctions '-^{x, y) 
et 'l(x,y) continues. Nous avons en effet 

Z(x) = Zo^ C o[f,\(t)]Z(nc/t^ f •l[t,\U)](/t: 

en comparant cette formule a telle qui donne z„(x' , il vient 

z(x) — z„ix)^ f ;-^[^ Y(o]Z(/) — t?[/,j»-„-,(o]-«-i(o; 

-^J' \'l\t, \(r)]--l[Lrn-i(t)]:di, 



dt 



6 (HvrnnK win. — intkoiiai.i.s infim.mknt voisines. 

CO que nous jtouvons encore ecrire. en posant 

Z(.r) — -„(j") = o„(x), 

^„(x)= f <;|/,K„_,(/)]o„_,(Oc/f-.- /^ ]^[e,\{f)]--c\t.r„-i(t)\\Z{f)dt 
-^ f )'b[t,\(t)\-'l[l,yn-dt)][dt. 

Le coefficlenl de o,,_,(/) sous le slgne / est plus petil en valeur 

absoliie (ju'un nonibre posillf M, car y„_((/) reste conipris entre 
>'o — if et J'o-T- ff] dautre pail, la soiunie des aulres Icrnies sous 

lesigne / tend uiiifornu'-inent vers zero lorsque/i augniente inde- 

finimenl, puiscjuc )« lend unifornienient vers Y. Cela etant, choi- 
sissons un nonibre entier p lei que la valeur absolue de 

]o[t, Y(0]-?[^ v.-i(0];z(0-^'H^ y(t)]-'i[f,jn i(t)] 

soil inferieure a un nombre j)osllif a, (juel que soil /, pourvu 
quon ail n^p. \.e nombre/? etanl cboisi de celle facon, consi- 
drrons une suite de fonctions ^p._t{x), \p{x), ..., A„(.r), ... 
determinees par la relation de recurrence 

el supposons qu'on ail j)ris lp_t(x-)^\op_i(x)\. (Jn voil de 
proche en proche que loules les fonctions A^(j:), Ay,^,(^), . . . 
sont respectiveinent dominanles pour Op(x), Op_^_,{x), .... Or, 
lorsque n croil indefiniment, \„{x) lend uniformement vers I'inte- 
grale de Fequalion lineaire^v'= M^ -h A, (jui est nulle |)our :c^:ro, 

cest-a-dire \ers ^r [e^"'' '"' — i [. On pent done irouver un nornbr 

entier ni assez grand pour quon ait. poui\u que /i soil ^p 



•e 



|A„u)|< j^;e"«''.-'o)_,| 



i etant un nombre posilif quelconque. Celte inegalile sera verifiee 
a fortiori si Ion remplace A„(.r) par o„(a7). D'ailleurs on peul 

supposer qu'on a cboisi p de telle facon que ^rr Je*'"'"'"' — i! soil 

infeneur a z. puisquc /. peul ctre rendu aussi petit iju'on le veul. 



I. — KQIATIONS Al \ \ AIUATIONS. 7 

La \aleui- absoluc do o„(.r) = '/.(x) — :-ii{-3^) est done infecieure 
a 2£, pourvu f{iron ail n^.p -+- m; z„{x) lend done uuifoiiiienient 
vers Z,(x) lorsque n aui;nienle indefiniment. 

All lieu d'lin inlervalle tel que (xq, j:^o + /^)? il est clair qu'on 
pourraitaussiap|)liquer la melhode a un inlervalle (j7o — '*? ^o + ^)l 
si les approxinialions sonl uuiformement convergenles pourlesy„, 
il en sera de meme pour les z-„. Le llieoreme s'clend evidemnienl 
a un sjstcme forme de n+ p equations de la forme 

-^ =//(-^,ri>JK2, •■.,JK«), (t = 1, 9., ..., n), (/(• = 1, '2, ...,/)), 
dx 



fii^.yi^y-^ ■ 


■•,JK«), 


'f/.i(-^-,j'i, •• 


• .r,,)-i-t-. 


-+-'f/.V'(^: Jl' 


•.•,JK„)-/, 



ou Ics fonclions /', -j;, •!> sonl continues dans un certain domaine D, 
ct oil les fonclions/ salisfonl dans ce domaine a la condition de 
Lipschitz, relaiivemenl aux y/. Si Ton applique a ce systeme la 
melhode des approximations successives, ces approximations sonl 
convergentes dans le meme inlervalle que les approximations pour 
[csyi seulemenl, el la convergence est uniforme ('). 

459. Integrales considerees comme fonctions des valeurs ini- 
tiales. — Pveprenons pour fixer les idces unc equation diil'ercntielle 
du premier ordre 

dy J., K 
(5) ^=/^-'^)' 

ou nous supposerons que f{x, y) satisfait aux conditions hahi- 
luelles dans un domaine 1) defini par les conditions 

-x — a<x%OL-~ a, '^ — b-gy^'p-\-b. 

Prenons un sjsleme de valeurs iniliales {x^, j„) apparlenant a 
ce domaine. Les valeurs approcliecs successives de Linlegrale y,, 
y-ii ' - '^yni • • . restent comprises enlre 3 — /> el ^ + h pourvu 



(') Les proprietes qui vonl ctre clablies dans les paragraplies suivants onl ete 
I'objet d'un assez grand nombre de travaux, qu'on Irouvera cites dans un Memoire 
de M. E. Cotton sur le sujet {Bulletin de la Societe matliematique, t. WWII, 
1909, p. 20', et t. XXXVIII. ic)io, p. 1). La melhode que j'ai suivie nc diflere 
pas essenticilenient de celle de M. Cotton. 



8 CllAl'lTni: will. — IMKCnM.KS imimmknt voisines. 

que Ida :iit 

|.ro-;i ^M .r — x,[ <b; 

il suHil, pour sen assurer. (]c rf^prcudrc lo raisonnenient du n" 380, 
el Ton voit de nieine que )'„(.i'; .ro,_ro) l^-'^d unifornu'-uienl \ers 
line limite 'lix; .ro, Vo) dans le doniaine I)' definl j)ar les condilions 

a — a j-x _^% -\- a, a — a^Xo~oi-\-ri, [i — b ^j'o ^ ^ -t- 6, 

Ce doniaine I)' eonllenl en parliculier le domaine D' defini par 
les inesraliles 

\x-:l\</,, \x,-^\-:h, ir„-;ii<^, 

// elant le plus petit des deux nonihres a el 7^- Les \aleurs ap[)ro- 

chees successives y„ix\ x^, y^) sont evidemnient des fonctions 
continues de j?,,, Vn dans ce domaine, el par suite V integrale 
J^'• = •!/(x ; .To, jKo)j fjii^i ^'^ reduit a j)'o pour :r = Xq, est line fonc- 
tion continue de Xq et de y^. 

Pour demonlrer que celle fonclion admel des derivees par 
rapport a a^o el a j'oi nous supposerons que /{oc^r) adniet une 
derivee continue /^(^, jk)- Soient 

les derivees donl nous voulons elablir lexislence ; si ces derivees 
existent, elles verifienl les equations difTerenlielles 

(6) *=./;.(., ^), ^ = »/;(x.^), 

qui se deduisenl imniedialement de I'equalion (5). Nous soninies 
done conduits a etudier le sysleme des Irois equations difTeren- 
lielles (5) el (6), et nous prendrons pour valeurs iniliales 

y=yo, - = i, « = — /(>u,jKo) 

\)onv X =^ Xq. Or ce sysleme est precisemenl de la forme etudiee 
plus haul. La fonclion /^(x, j>^) etant continue, nous pouvons 
appliquer le llieoreme qui a ele etabli; la methode de M. Picard, 
appliquee a ce sysleme, conduit a des approximations uniforme- 
ment convergentes dans le meme domaine D". Pour appliquer 



I. — EQUATIONS MX \ AIUATIONS. 9 

cctte int'lliodo, nous j)rendron» pour prcniicres valeurs approclices 
y =J\), z = I , « = o, el nous poserons 

yi{x)=yQ-\- f(t,y^)c/f, ;:, = i — / fy{t,y^)dl, 

puis, d'line fanon generale, 

zn(x)=.i-^ I z„-i{i)fy\L yn-i{i)]dt, 

u„(x) = -f(xo,yo)^ f 'fn-i{f)/'y[f,yn-i{t;\ 
On a dabord 



di. 



et ensuilc 

on dtduit de ces relations 

et, par consequent, on volt, de proche en proche, que Ion a, quel 

que soit n, ^^- = «,/, -^^ = :;„. 

Or la liniite de r,^ est I'inteijrale j)' = '^(x; J^o^^^'o); puisqiie z-n 
et ;/„ tendent uniformenient vers leurs limites, ces limites z et u 
representent les derivees parlieiies dc liiilrgrale 'lix; Xq^ yo) |)ar 
rapport a Xq etyo- et ces derivees sont continues dans le doinaine 
qui a ete defini plus haut. 



i<i niAPiTRi: will. — i\TK(;n.\i.i:s im-iniment voisines. 

II csl facilf diUDir les cx|iressions <Jc ces derivees. En diet, 
si Ion remplace J' par 'l(x; a^oj yo) dans les equations (6), les 
inlegrales de ce syslenie qui picniunt les valcurs iniliales i el 
— /(.ro,^)'o) pour x = Xo^ s'oblionncnt immediatcnient ol nous 
donuenl 

(hi I .ry\t.'l{',.r,.u],{t 

Ces formules prouvenl que <l{x; Xg, yo)i conslderce conime fonc- 
lion des valeurs iniliales Xq, yo, satisfail a Tequalion aiix derivees 
parlielles ( ' ) 

(.) — +/(..o.jo)^=o. 

Le raisonnenicnl pent selendre a un sysleine dun nombre 

(') Soil 5(jr, __)■) line function continue, admctlant iine dcrivce continue s^,; 
la fonction 

"-'a 

oil a eft une constante. admet des derivees partielles 

— - = -f a;^, j'o)-i- / -^ —^ dx, — = I — p — i- dx, 

Ox, -^ ^'-'o' J^^ O'l f)x„ dy, /, &l oy, 

el. par consequent, la fonction Z(j7„, y„) est unc inti-graie de rci(uation aux 
derivees partielles 

(7)' ^-^/(^„.^.,)|^ = .(^„,y„). 

La fonction 'l{x; x„, y\) jouit des internes proprieles de reciprocite que dans 
le cas oil la fonction f{x, y) est holomorplic (II, n° 388). De la relation 

y^= '^(.r, ; x„ ^„), 

oil y, designe la valeur de riiUcgrale pour x = a;,, on tire inversenient 

y„= •ll.x,; ^,, j>', ), 

car il y a evidemmcnt reciprocite entre les deux couples de variables {x„. y^), 
{x^, y, ). En suppriniant les seconds indices, on voit done que I'int^grale de 
I'equation (5), qui est egale a^'„ pour x = x„, verilie la relation yo=^'i{x„; x, y); 
x„ etant suppose constant, on peut dire que ['equation precedente represenle 
I'integrale generale de I'equation (5) dans le doniaine qui a ete defini plus haul, 
jV(, etant la constante arbitraire. 



I. — KQl VTIONS MX V.UU VTIONP. II 

(juelcoiKjuc <rc'qiialinns. Prenoiis, par exeinple, un sysicmc dc 
deux t'quations du premier ordre 

(8) g^y-^.,,^,,), ^ = .(.,,-,.) 

(lent Ics seconds nicinhres sont continus et admettent des derivees 
parlielles continues y^^., yi, cp' z>'^ dans un certain tloniaine D. F^a 
niethode de M. Picard prouve encore que les inlegrales 

y — '\{x\ Xo,yo, -,)), - = -(a-; ar„, j'o, -o), 

(pii |)r(nn(nt respectivenient les \aleurs yo et ^o pour x = Xoj 
sont des fonclions continues de x, Xq, j'n, ^o dans un autre do- 
inaine o, qu'on definirait comme plus liaut. Pour demontrer que 
les fonclions 'l et - admettent des derivees partielles par rapport 
aux variables Xq, yo, z,), nous adjoindrons aux ('cpiations ((S) un 
systeme de six I'quations lineaires 



^9) 



du 
dx 


Of 'H , 
<y dz " 


dv 
dx 


dy ■ dz 


dx 


do do , 
~ dy dz '■' 


dx 


do do 
dy dz 



dw _ df ^i)f 

dx dy dz 

d^ _ do ^ do 

dx dy dz 



avec les conditions initiales u = — /(^o> jKo? ^o)? ^ = ' ^ u- = o, 
c = — cp(j;o, Jo, -o), "n = o, ;; = I pour x = x^. 

D'apres une remarque anterieure, la methode de M. Picard, 
ap|)liquee au systeme des hiiit equations (8) et (9), conduit a des 
approximations uniformemenl convergentes. Or, si nous prenons 
pour premieres valeurs approcliees dej^, :;, w, i', (v, c, r, , ^_ les va- 
leurs 

y — y,, z = Zf,. « = o, v—i, w = (>, ? = o, r, = o, ^=l, 

on veiifie immediatement quon a 

<)yi _ dyi dy^ _ dz, _ ^ ')-i _ ^^^ _ r 

c^o""" ^~"" ^o~"'" 'X^"'" ^i-o"'" dz,-^'' 

et Ton s'assure ensuile de |)roche en proche que ces formulessub- 
sistent quand on remplace I'indice i par un indicc quelconque n. 
Par cons('quent les inlegrales du systeme auxiliaire (9), qui 
prennent les valeurs initiales ecrites plus haul, representent respec- 
livement les derivees partielles des fonclions 'l>{x] Xq, j'oi -o). 



12 CIIAPITHK XXIII. — INTKGRALF.S IM-tMMKNT VOISINI'S. 

-[x: .ro, j\). Zo) par rapporl aux variables ./„.)„, Zo, 

O-l d-l O-l 

, , 1 ().ro Oy^ dzo 

(lo) 

ce qui demontre la proposition enoncee. 

Remarquons que (u, i), (c, Tj), ((v, X) forinent Irois couples 
d'inlegrales du svslcnie lineaire 

^=/;r:r,6,:T)U-l-/,(r,6,T:)V. 

correspondant respecliveinenl aux valeurs iniliales ( — /„. — c5o)> 
(i ,o), (o, i). On a done 

et, par suite, les fonclions 'i>{x; Xo, .ro» ^o); ~i^', ^oi J'o> ^o) 
verifient Tequation aux derivees partielles (') 

(") -r- -f-/(^u, ro, -o) T— -i-cp(a:o,ro, ^o) T:r = O- 

omq ay o-i) 

460. Extension aux equations qui dependent de parametres. — 
On peut encore elendre les proprietes qui precedent aux sjstemes 
d'equations dont les seconds membres renferment des parametres 
variables. Considerons, par exempic, une equation du premier 



(') On verifiera comme plus haul (p. lo, note) que la fonclion 
7.{x; x„ y\,z,)= I ^{x, '^, r.) dx 
salisfait a I'equalion aux derivees partielles 

-— -^f^x,,y\, z,) —--i--^{x^,j'„ z,) — -^'iix,, y,, z,) = o. 

On voit de meme que ies deux relations^' = '!j{x; x„,y„, z^), z =- (x; x^, y,,, z„) 
peuvent aussi secrire 

On a ainsi deux inlegrales premieres du systeme (S) (c/. II, n" 393). 



I. — KQLATIONS ALX VAIUATIONS. I '{ 

ordrc (K'-pcndanl iliin piiiainrlrc 

le second menibic clant une fonclion continue de ^,j', A, ct ayant 
des dcrivees parlielles conlinues f\. et f\ dans un certain do- 
inalne I). L'integralc qui prend la valour y,, pour x:=X(s est 
encore une fonctlon continue y = 'i(^; Xo, j'o, a) de Xo, jKo? A 
dans un certain domaine o, car on pent la definir comme somme 
dune scrle uniformement convergente dont tous les ternies sont 
des fonctions continues de x, .ro, j^o? ^^ dans ce domaine. Pour 
deinontrer que la fonctlon -!/ pent etre dlfTerentiee par rapport a A, 
11 suffira dadjolndre a lequation (12) les equations llneaires 

-JJ. = -/y(^. y-. ^0, ^ = ufy{x, y, A), 

(«3) 

CIV I 

avec les valeurs inillales :: = i , ?/ = — .f{^\i yo)i ^' ^ o. En repre- 
nant les raisonnenienls du n" 459, on verra que les integrales de 
ce nouveau sjsteme sont respectivenient 

d'b d'b d'b 

La luetliode est evideinment generale, et Ton peut enoncer la pro- 
position generale suivante : 

Elanl (lonne un sysleme de n equations diJJ'erentielles du 
premier ordre 

dont les seconds niembres sont des fonctions continues des va- 
riables x, yi, Aa, et adnicttent des dcrivees parlielles conti- 
nues -^, ^, dans un domaine D, les integrales de ce sysleme 

qui prennent les valeurs i/iitiales y'l, jk"? • • • ? J'« pour x = x^^ 
sont elles-memes des fonctions continues et adnicttent des deri- 
\,'ces parlielles par rapport aux variables Xq, (j"), ^>a, qui- sont 
aussi continues dans un domaine sufjisnmment petit. 



i4 (UUMini; win. — intk(;u.\i.i:-: imimmknt voisines. 

Il(/)i(i/qur. — La memo iik'iIioiIo peruuilrail do dcmonlrer 
lexislence dcs ili'-rivccs parliclles dcs inli-yralcs jusqu'a I'ordre JN, 
rclaliveine;il aiix variables Xo, (j'")' '*' pourvu que les fonclions 
^. f-,. ...,/„ adinellenl aussi des derivt-es |)arlielles continues 
rclatixement aii\ variables ^'/, ),/;, ju>;(|ii"au meine ordre N. 

•iOl. Integrales infiniment voisines. — On arrive a des conclu- 
sions plus precises lorsque Ton connait deja un systeme parliculier 
d integrales des equations dilTercntielles considerees. INous deve- 
lopperons encore Ic raisonncuienl, pour siniplifier, sur une equa- 
tion unique 

(•3) dJ-^-^^^'^^'"''^ 

sur laquelle nous fcrons les liv|)ol]i(SC.s j-un antes : i" pour /. = o, 
cetle equation adjnel unc intei;r.ile particuliire j'l fvP), continue 
dans rnitervalle (j-Q, .r,); 2" la fonction /(^^ )', a) est continue et 
admet des derivees parlielles continues /^.(j:,j>-, a), y>.(j^, JJ', a) 
dans le domaineD defini par les conditions 

a el b etant deux nonibres ])Ositifs. 

Soit R la bande du plan des xf liniilee par les deux droiles 
a: = j'o, X = Xi^ et les deux courbes 

entre lesquelles est situee la courbe integrale connue y = i't (^); 
la fonction /'(x, V, /) est continue, ainsi que ses derivees par- 
lielles, /j../) dans cette bande, |)our\ii (pic la valeur absolue de ). 
soit inferieure a 0. 

Cela pose, si la valeur absolue de )> est assez petite, nous allons 
niontrer que la methode de M. Picard conduit a des approxima- 
tions successives con\ergentes dans tout lintervalle (.To, X)), 
pour rintegrale qui prend la meme ^aleur initialejo (\^(^ X^i^) 
pour x = X(>. Soienl II et K les bornes superieures de \/y\ et 
de '/> I dans le domaine 1 J ; .r' et j' elant compris entre j)'i (.r) — a 
el r,(x ) -r- ci, et A, ).' entre — A et ~ A, nous avons loujours 
linegalite de Lipscliitz 

(16) \f(T,y', W)-f(T,y, y.)\ < U\y-y\^K\W-l\. 



I. — koLATIONS AIX VAIUATIONS. 1 5 

Prenons V,=j>',(j?) pour premii-re valeur aj)procliee de linlc'- 
i;rale clierchee, puis posons 

\3(x)=y,^ f /[/, Y,(/), l]d(, 
et, dune facon gcnerale, 

Nous aliens d'abord montrer que toutes ces valeurs approchces 
restent comprises enlre jKi (^) — c^ ^^ Xt i^) + <^ dans tout I'inter- 
valle (xq, Xf), pourvu que la valeur absolue de A soit assez petite. 
JNous avons en elFet 



■„(x)~j',{T)= f j/[/, Y„_,(o, >-]-/[/, j',(o,o]; 



dl: 



si Y„_, (x) est compris entre )', [x) — a et j'l (.r) + a, nous avons 
encore, d'apres la relation (i6), 

I Y„{x) -yi(x)\ < f ; H I Y„_, ( t ) -y, ( t )\ -\- Y.\\\\ dl. 

Considerons une suite de fonclions A„(^) dednies par la relation 
de recurrence 

avec la condition A|(jr)^o. 11 est clair que toutes les tone- 
lions Ao (^), . . . , A„ ( j::), ... sont positives entre a*o et x^ , et qu'on 
a \\n{x) — j^i (a;)! <; A/i(.r). Or les fonctions A„(jtr) sont les 
valeurs aj)procliees successives de lintegrale de lequalion lineaire 

qui est nulle [)Our .r = x^^ c"est-a-dire de la fonclion 



KIX. , 



i ^11 .>■-..,„ . 



la premiere valeur approcliee elant nulle, loules les suivanles soul 



l6 CIIVPITIU: will. — INTKGIIALKS INKIM.MKNT YOISINES. 

inlVrieures a l"inlei;ralc ellc-nirme (n" 457) el par suite on a, quel 
que soil n. 

Si |X|esl tel cjue le second menibre de cclle iiu-galite soil inferieur 
a<2, on voit de proche en proclie que loules les valeurs approchees 
siiccessives Y2(j"), . . ., Y„(x), . . . reslent comprises enlrej-, (x) — a 
eljKi(^) + «, dans tout I'inlervalle (xq, Xi). Le raisonnement 
s'acheve comme dans le cas general (n°389); lorsque n croit inde- 
finiment, Yn{x) a pour limile une integrale ^ (x, a) qui prend la 
valeur j'u pour x = Xq, qui est continue dans FinlerN aile (x^^ x, ), 
el reste conqirise entre j)-, — aelj'i + a dans eel intervalle. La 
courbe inlegrale reste done comprise dans la bande R lorsque x 
varie de Xq a x,. Les metiiodes des n'"* 459-460 prouvent de plus 
que Y(x, a), consideree comme fonclion des deux variables x eiX 
est continue, ainsi que ses derivces partielles Y^. el Y), lorsque x 
reste dans I'intervalle (Xo, x,), et que |a| reste inferieur a un 
nombre -ji. con\euablement clioisi. 

Le raisonnement est evidemment general, el la proposition 
s etend a un svsleme forme dun nombre quclc(jn(|uc d'equalions 
differenlielles, donl les seconds membres dependent d'un nombre 
quelconque de paramelres. 

Lorsque les equations ( 1 4 ) adinetlent pour ),, ^ o, . . . , a^ = o 
iia sysleme particulier d' integrates yi=y1{x), continues dans 
r intervalle {xq, x, ), si les seconds membres /, , /o, ..., /« 
sont continus et admeltent des derivees partielles continues par 
rapport aux variables yi^ "hh, dans le domaine D dejini par les 
conditions 

a ct h ctant deux nombres positij's^ les inte grab's de ce systeme 
qui^ pour X = x„, prennent les memes valeurs que 

y\(x), ...,y%(x), 

sont des fonctions continues ainsi que leurs derivces partielles 
du premier ordre par rapport d x et aux paranietres A/,, dans 



I. — KQUATIONS AUX VARIATIONS. 1 7 

II n flomainc D' drjini par Irs conditions 

X^'lxlXt, |X/f|<|Jl, A =1,2,..., p. 

<j. etant itn nomln-e posilif con^'cnablement di'tcrminr. 

Dans Ic cas parliculier ou les seconds membres fi sont des 
fonclions analjtiques des inconnnes yt et des paramrtres ).a, les 
integrales dii sjsteme sont represenlees, dans la melliode de 
M. F^icard, par des somnies de scries uniformement convergenles 
dont tons les termes sont des fonctions analvticpies (') des para- 
metres \k- Ces integrales sont done aiissi des fonctions analytiques 
de ces paramctres, et nous somincs ainsi conduits a un theorcme 
de M. Poincare, qui sera deinontre directement un pen plus loin. 

On peut encore generaliser le tlieorenie precedent en snpposant 
que les valeurs initiates dey,, j^o, . , . , y,, pour.r = x^ sont aulant 
de variables independanles. Si nous represenlons la \aleur ini- 
tiale de yi {x) par r"(xo) -+- j3,, il suffira de poser 

yi(x)= '^i-\-Y,ix) 

pour etre ramene a un systeme de nieme forme que le systeme (i4)? 
mais renfermant n paramelres de plus [i,, [i^i ...» [^«- Les inte- 
grales de ce nouveau syslerae ([ui pour x ^= Xq prennent les valeurs 
initiales yf^(X()) sont des fonclions continues et admettent des 
derivees partielles continues par rapport aux nouveaux parametres 
,3|, |^2> • • • 1 i^ii, pourvu que les valeurs absolues de ces parametres 
restent suffisammenl petitcs. 

Enfin on peul aussi supposer que la valeur initiale de x est elle- 
memc variable en admeltant la continuile de y^.. I*ar exemple, si 
dans I'equalion (i5) nous posons 

I'equation devient 

et rintegrale de celle equation (pii pour X := Xy prcnd la valeur j)^o 
est unc fonction continue de a, [j, A lorscpie x varie de x^ h Xf, en 

( ' ) II suffit en cll'el ilc (|iiolqiios modifications dans les raisonncmenls pour voir 
que les conclusions subsislcnt lorsquc les parametres ont des valeurs complexes, 
pourvu que les modules soicnt assez pctils. 

G., HI. 2 



l8 (llVPITnF. \Xlir. — INTKiirUI.I,.* INprXIMKNT VOISINES. 

supposanl loujoiirs veriliees Ics conditions t-noncees plus haul, 
pourvu que |a|, \p\, \\\ soienl ass(?z |)elils. On en conclul que, 
ilans le memo ilomaine, Tinlegrale de lequation (i5) qui prend 
la vaIeuryo+,J pour x = Xo-T-y. est une fonction continue, 
admetlant des derivees parlielles continues par rapport anx va- 
riables a, ^, A. 

K Temples. — Soil y\(x) une integrale parliculiere dune equation du 
premiei- ordre y' =. f( r.y), continue de x,) a x^, et prenanl !a valeur^'o 
pour X = Xo- 

L'inlegiale de la meme equation qui prend la valeur j»o -+- ^- pour x ^ Xo 
est une fonction F(x, X) des denx variables x et A, continue et admettant 
des derivees parlielles continues lorsque x varie de :ro a ari et A de — A a 
-r- fi, le nombre positif h etant choisi assez petit. Soil AB le segment de 
la droite x =: Xo, compris entre les deux points A et B d'ordonnees^o — /' 
el_^o-^/'- De chaque point du segment AB part un segment de courbe 
integrale allant de ce point d'abscisse X(, a un point d'abscisse Xt, et 
I'ensemble de ces segments remplil la bande comprise entre les deux 
droiles x = Xo, x = ^i, et les deux segments issus des points A et B. 

Soient, en efTet, /.', a" deux valeurs de ), comprises entre — h et -r- h; 
le> <leux courbes integiales C). , C;-, qui correspondent a ces valeurs de A 
ne peuvent avoir de point commun entre les deux droiles x = Xo, x = Xi, 
car il passerait par ce point commun deux courbes iniegraies. Si Ton coupe 
ces courbes par la parallele a- = a a Oy (Xf^ < a < J7i ), la fonction F(a, A) 
ne peul aller qu'en croissant avec A; si Ion avail a la fois 

>.'>>.■•, F(a, );)<F(a, X"j, 

il est clair que les deux courbes C>-, G>- se couperaienl entre les deux 
droiles x = Xq, x = i. La fonction Ff a, A) passe done nne fois et une seule 
fois par loute valeur comprise entre F(a, — h) el F( x, /i) lorsque A croit 
de — h d -i- It. 

Gonsiderons encore un sysleme de deux equations du premier ordre 
dont les seconds membres ne renferment pas de parametre variable, et 
soient ^1^37), Zx(x) un sysleme pariiculier dinlegrales, continues dans 
rinlervalle (xq, Xi) el prenant les valeurs j)'o el z„ pour a: = aro- Les inte- 
grales qui, pour x = Xo^ prennent les valeurs initiales yo,-r- A, Zq -+- [x sont 
des fonclions continues, ainsi que leurs derivees, dans tout linler- 
valle (xo, Xi) pourvu que |). ( et |a; soient inferieurs a un nombre positif 
convenable. Dans le plan x = Xo, considerons une petite courbe fermee y 
enlouranl le point .M„ de coordonnees (xo^yo, Zn). De chaque point de la 
region 7, limilce par -;, part un segment de courbe integrale aboutissant 
a un point du plan x = Xi. L'ensemble de ces segments remplil une region 
de I'espace, limitee par la surface formee par les segments issus des diffe- 
rents points de v. 



1 



I. — EQUATIONS ALX VAUUTIONS. I9 

462. Equations aux variations. — Considerons, pour fixer les 
idees, un systcnie de deux t'((uatiuns 

/ X dv ., . dz 

et soient y =y, (jc), c = ;,(a:) un systeme de solutions corres- 
pundant a la \aleur a = o du paramelre, solutions que nous sup- 
posons continues dans linlervalle (^o? ^\)i '^s autres hypotheses 
sur les seconds membres/et o etant conservees. Dapres ce c[u'on 
vient de voir, les equations (I'j) admettent une infinite de systemes 
de solutions, dependant du parametre A, continues dans le meine 
intervalle, et se reduisant ky^{x) et ^i(^) respectivement pour 
A = o. II suffira de prendre pour valeurs initiales des fonctions 
yoO^)i ^o(^0' continues ainsi que leurs derivees, et se reduisant 
pour A = o a y, (j7o) et z■^[x^^) respectivement. Nous pouvons 
menie supposer que le parametre A ne figure pas explicitement 
dans les fonctions f et cs, de telle sorte que ces integrales ne 
dependent de A que par I'intermediaire des valeurs initiales. Soient 

un de ces systemes d'integrales; pour /, = o, on a identiquement 

<i8) F(^, o)=ji(r), ^{x,o) = Zi(x), 

tandis que, pour x = ^o? on a 

(19,) F(xo, X) =ro(>-). *(:ro, X) =-o(>')- 

En difierenliant les deux membres des equations (i-) par rapport 
au j)arami;tre A, il vient 

I ^^'^ - iL^J. ^ ^ ^ 

' Ox Ol ~ Oy (J'h Oz dk 0\ ' 
{■10) ' -^ 

' ox o\ ~~ Oy 0\ ' Oz d\ 0\ ' 

representons par \{^x) etr,(ar) les derivees Fx(^, X) et $>.(jr, X), 
ou Ton fait X =o, et donnons a X la valeurX ^ o dans les relations 
precedentes. Nous voyons que ces fonctions ^(r), 'r\{x) verifient 



ao ciiAPiTRii: win. — inte(.r.\li:? infimmknt voipinep. 

les equations linj'-aires 

7P =/v(^. J«- -=i; o)^-^/l(x. J,. ^,: o)r, -r-/>,(r,^-,,^, ;o), 
I ^ = »y(^^ JKi. -i; o)^-i-'-pl(.r, j'l, ;:,: o)r, -f- o- (j-. j^i, ^i ; o), 

<jui onl ele appelees par M. I'oincare equations aiix vaiiations. 
Ges equations deterniinent les fonctions \{x), 'f,(x) dans tout I'in- 
tervalle (xo^ ^,), si Ton connait leurs vaieurs pour x=:Xo. Le 
nom d'equations aux variations s"exj)lique par ce fait que si Ton 
considere la variation oa du parametre coninie un infiniment petit, 
ces equations font connaitre la parlie prinripale de I'accroissement 
des inlegralcsjj^(x) et -(.r) lorsque x varie de ^o i< ^c 

En general I'integration du sjsteme (21) presenle les niemes 
difficultes f|ue I'integration dun systeme lineaire quelconque. Mais 
si Ion connait I'inlegrale generale du svsteme (i"), avec deux 
constantes arbitraires a et b, 

('22) y = G(x, 1, a, b), z = U< x, '/, a, b). 

on pent en deduire immediatement Tintegrale generale du sys- 
leme (21), Supposons en efiet, pour fixer les idees, que les inte- 
gralesjKi (^)? ^t (^) correspondent aux vaieurs r/o, ^n df^s constantes 
dintegration. En difTerentiant successivenient les equations (17) 
par rapport aux parametres a, b, A, et faisant ensuite A:^o, 
a = ao, b^bo dans les relations obtenues, on voil immediate- 
p^ent que les fonctions G>(:r, o;ao, bo) elU',(x, o;ao, 6o)foririent 
un sjsteme particulier dintegrales des equations (21), tandis que 
les fonctions (G^, H^) et (G'^, H^) forment deux systemes parti- 
culiers dintegrales des meines equations 011 Ton aurait supprime 
les termes independants de q et de '/]. 

Dans les applications, il arrive souvenl que les fonctions yet '^ 
ne dependent pas de a, et les equations aux variations forment un 
systeme homogene. Dapres ce qu'on \ient dc remarqucr, on aura 
immediatement lintegrale generale de ce systeme lineaire, si Ton 
connait I'integrale generale du systeme (17)- 

463. Theoreme de M. Poincare. — Nous avons deja observe 
que lorsque les seconds membres des equations diflerentielles 



t. — ISOLATIONS ALX VAHIATIONS. 21 

etaienl des fonclions analytiques des inconnues yi et des para- 
metres, les integrales etaient aussi des fonctions analytiques des 
paramctres (n^-iBl). Ce tlieoreme, dii a M. Poincare, peut aussi 
se demonlrer directeinent, par les melliodes halntuelles du calcul 
des liiniles (^' ). 

Considerons, pour fixer les idees, un systeme de deux equations 
diflerentielles, 






(-23) 



oil les seconds memljres sont des series entieres en j', r, ),, dont 
les coefficients aaSv, ^a^y sont des fonctions continues de la 
variable x dans un certain intervalle (^o^ ^\)- Ces series sont sup- 
posees convergentes quelle que soit la valeur de x dans cet inter- 
valle pourvu que les modules de j', z, A ne depassentpas unnombrc 
positif ; de plus ces series ne renferment aucun terme indepen- 
danl dej>', z^ )., de telle sorte que pour A = o, les equations (a3) 
admettent le systeme dintegrales particulieresy = ; = o. 

^ious nous proposons tout dabord de trouver deux scries entieres 
en A, 



(•24) 



z = ^i.z^ix) ^l^-Ziix) -^...-^l"z„(x) 



satisfaisant formellernent aux equations (23), et dont tous les 
coefficientsy,i(x), ;;n(cr) s'annulent pour X = :Co' ^^ remplacanty 
et z par ces developpements dans les equations (aS), et en identi- 

iiant, on a tout d'abord les relations 

^^'^^ dz, 

qui. jointes aux conditions )', (xq) = z, (Xq) =^ o, deterniinent les 
fonclions r, ('.r) et r, (.r). Ces equations sont preclsement les e([ua- 



(') M. Picard a donnc une demonstratioii un peu dilT. rente ( Com/s d'Aiialyse, 
t. Ill, chap. Mil). 



aa cnvriTRE \xiii. — intecbales inkimment voisines. 

lions aiix variations qui correspondent an svstenie parliculier 
(Tintcf^rales >' :^ z = o. Dune faron gx-nerale, en ei^alant les coef- 
ficients de A" dans les deux membres apres la substitution, on 
obtient, pour determiner les coefficients j'«(^) et Zn{x), les deux 
equations lineaires, 

Un et Vfi elant deux poljnomes entiers, a coefficients entiers et 
positifs, par rapport aux coefficients rta^y, ^a^y, et aux fonctions 
yi{x) et Zi(x) pour lesquelles on a t << n. On voit done, en rai- 
sonnant de proche enproche, que toutes les fonctions j',, et^„ sont 
continues, ainsi queleursderiveesj^'^^ et ;'„, danslintervalle (xq, x^). 
Nous pouvons remarquer que toutes ces fonctions se detenninent 
par des quadratures si Ion a integre les equations (aS). 

Pour etablir la convergence des developpements (24) ainsi 
obtenus, imaginons un systeme auxiliaire 

^=F(:r, Y. Z; A) = v^.^3..YaZ?XY, 

(27) { .7 

^ = *(^. Y. Z; A) = XBa3-Y*Z?XT, 

dans lequel les coefficients A^pv, B^^y sont des fonctions domi- 
nantes pour a^^y et b^^y respectivement, dans I'intervalle (xo, x^ ). 
On pent encore cliercher des developpements de la forme 

i Y = Yi(;r)A-^...-i- Y,,(ar)X«-^..., 

( Z=Z,(x)A^...-^Z„(a-)A"-T-..., 

salisfaisant formellement au sjsteme auxiliaire (2 j). et dans lesquels 
tons les coefficients Y„(:rj etZ,, (5:) s'annulent pour a? = ^r^o- Sup- 
posonsx, > Xo; ces coefficients Y„ etZ„ sont determines de proche 
en proche par des svstemes d'equations lineaires; Y, et Z, par 
exemple doivent satisfaire au systeme 

(■29) —7 — = AjooYi — AoioZj -7- Aooi) —j — = Bjoo Yj -^ BftioZj -f- booi) 

et s'annuler pour ^ ^ Xo- Si Ion compare ce systeme au systeme 



I. — KQIATIONS AUX VAIUATIO.NS. 23 

analoj^ue (a.")) f|ui determine rj (^) el Zt(x), on voit aussitol (|ue 
^ , (x ) el Z, (.X ) sont des fonctions doniinanles pour j', (x) el :;, (a:) 

dans rinlorvallc (xo, ^•|)(n"457). I*ar suite, -j-^ el -~ sonl ellcs- 

nienies doniinanles pour -j- et -j-- Lo raisonnemenl peut se con- 

linuer de proche en proche, el Ton voit que les foncllons Y„, Z,,, 

—7-^ J -j^ sont respectivement doniinanles pour Jes fonctions j'„, z^, 

-~ » -^ dans rinlervalle {x^^ Xy ). II nous suffira done de nionlrer 

qu'en choisissanl convenablement les fonctions doniinanles A^pv, 
Ba^y, les series (a8) et celles (ju'on en deduit en differenliant 
ternie a lernie sont unif'orniement convergenles lorsque la valeur 
al)solue de A est assez petite. 

Cela pose, soil M une liniile superieure du module des deux 
fonctions/ el cp, lorsque x varie de x^ a x^. et que les modules 
de y, z, A ne depassent pas le nonibre posilif z. Le coefficient du 
ternie gtmeral en j'^x;!^)." est inierieur ou au plus egal au coefficient 

du menie ternie dans le developpenient de '- — ~ — ^^ — V suivant les 



puissances de r, ^, a. Nous pouvons done a forliori^x^rx^v^ pour 
le sjsleme auxiliaire (28) le sysleme 



d\ dL 

(3o) 



dx dx Y 
I 



el lout revient a demontrer que les integrales de ce sysleme qui 
sonl nuUes pour x = x„ peuvent etre developpees suivant les puis- 
sances croissantes de A dans lout i inlervalle (xo, x, ), pourvu 
que |a| soil suffisamment petit. En tenant conipte des conditions 
initiales et posanl Y -1- Z -i- A = p/, le sjsleme (3o) se reduit a 

Tequation unique 

dt _ ^.Mtd-^ t) 
dx I — t 

avec la condition t ^ - pour jr = .r,,. Les variables se separenl, el 

Tintegrale cherchee est la racine de Tecpialion ^ = a(< -f- i)-', 

3^ g2M(.i-.r„) . . A , . 

ou a = r— — qui se reduit a - |)Our x = Xn- Pour /. = o, on a 

( p -H X ;2 1 p J 



24 t.llM'ITnr-: XXlll. — INXEliRALES IM"IMMI;NT VOISINES. 

aiissi a = o, el l;i rariiic de IV-qualiou en t qui est nulle pour a = o 
esl, cominc on Ic \oit aiseuienl. uiic foucllou holoinorplie de a 

taut (luou aura j a | <^ -• Or. pour (lu il en soil alnsi, il suffil de 
prendre y. assez pelil i)Our que ■ ^ soil inierieur a -• Les 

intei;rales Y el Z pouriont done, si A satisl'ail a celle condition, 
elre de\elopj)ees en series enlieres en A, convergenlcs dans lout 
I'inlervalle (ur,,- •<) )• l^es fornuiles (io) nionlrent de inrme que les 

derivees -j-j -j— seront developpables en series enlieres en a dans 
ax ax ' ' 

le meme inter\alle. 

La demonstration setend evidemnient a un nonibre quelconque 
d'equalions. dependant dun nonibre quelconque de paramelres. 
On pent aiissi I f'tendre au cas ou 1 on donne a la \ariable x des 
valeurs complexes si les coefficients sent des fonclions analytiques 
de X. Supposons, par exemple, que les equations (2.3) ne ren- 
ferment aucun paramelre variable, el qn'on veuille developper les 
integrales suivanl les puissances des valeurs initiales j'o, z^^, qui 
correspondent a x = Xo- 

Posons 

.,, — . y /v v'" -" V 'i ,,m -" . 

J ^-'■'ll'lji) ~' ' " • ^'llllj i) - u • 

les coefUcicnts a,„„, |j,„„ seront determines de proclie en proclie 
par des svslemes d equations lineaires, avec les conditions ini- 
liales y.mn{^o) = [imu{Xo)= o, pour //i -h « >> i. Quant aux coef- 
ficients (a,o, |j»o) el (aoi, ^ot) i's forinent deux syslemes de solu- 
tions des ('quations aux variations, determines respectivement par 
les conditions initiales a,o(.ro) = i , ^toi^o) = o? et *oi (^^o) = o, 
^01 (-2^0)= I- Les series ainsi oblenues seront certainement con- 
vergenlcs dans tout I'inlervalle (xq, x^), pourvu que les valeurs 
absolues de j)'„ etde Zq soient inferieures a an nombre posilif assez 
petit. Ce nouveau probleme nest en efl'el quun cas particulier du 
premier, car la melljode revient au fond a poser j' = Y-rj^o> 
s = Z-f-^„. el a developper suivanl les puissances des para- 
metres j'o, -^o. les integrales du nouveau sjsleme qui sonl nulles 
pour X = Xq. 

fieniai fjue. — Lorsque le systeme (aS) est un sysleme lineaire en y, 
z, dont les coefficients sont lineaires en X, on peut prendre pour systeme 



SOIXTIONS I'KHIOOlgl ES KT ASVMI'TOTIQl ES. STABILITE. 9.5 

auxiliaire un systoinc de la foinu; 

A, I>, G etant ries constaiiles positives. Les integrales de ce sysleme aiixi- 
liaiie, qui sonl nulles pour x =Xo, sont des fonctions entieres da para,- 
metre X, et par suite il en est de nieme des integrales du sysleme lineaire 
propose. II en serait evidemment de meme si les coefficients du systeme 
lineaire etaient des fonctions entieres de A {cf. II, n" 390). 



SOLUTIONS PKKIODIQUES ET ASV.MPTOTIOUES. ST.\BIL1TE. 

46i. Solutions periodiques. — iNous designerons desormais par t 
la variable independanle, quon peut regarder comme representant 
le temps, pour fixer les idees. Soienl 

dx- 

(3i) —j = \i{xu2Ci,...,Xn,t) (i= u -2, . .., n) 

les e(|ualions definissant le mouvement dun mobile dans I'espace 
a n dimensions; les X/ sont supposees des fonctions periodiques 
de t de periode w. Considerons un systeme de solutions correspon- 
dant aux valeurs initiales x^, ^11, . . . , xj), pour t = to, ou, en eni- 
plovant le langage geometrique, la trajectoire issue du point de 
coordonnees (x", .rl!, . . . , a:))). Si pour t= /n + w, ces integrales 
reprennent respectivement les valeurs initiales a;", ..., a", le 
mobile se retrouve dans sa position initiale au temps ^o + '"^ ; comme 
d'autre parties equations (3i) ne changent pas quand on change 
t en ^ + to, il est evident que le systeme de solutions considere 
est periodique. Soit Xi='^i(t){i = i, 2, ..., n) ce systeme de 
solutions, les fonctions '^, it), . . . , 'f„{t) etant des fonctions perio- 
di(jues de periode (o. Si les seconds membres des equations (3i) 
dependent de certains paramctres variables, il peut se faire que 
pour des valeurs de ces parametres voisinesdes valeurs qui corres- 
pondent a la solution periodique connue, et pour des valeurs ini- 
tiales convenablement clioisies, le systeme (3 1 ) admettc de nouvelles 
solutions periodiques voisines de la premiere. Nous de\elopperons 



26 rHAPITRK Will. — INTKGRALES INFINIMENT VOIPINES. 

les raisonnciiKMils siir iin svsli'inc dc trols ('qiialions. Solent 



(32) 



(l.r rfv ... , , 

-^ = \{x.j-, z: t. 'X). -^ =\(x,y, z; f, .u), 

-^ =/.(T,y, z: t, ix\ 



im sysleme de trois equations diflferentielles dont les seconds 
membres sent des fonclions pcriodlqiies dii temps t de perlode w. 
Siipposons que, pour |j. r= o, ccs «'(jualions admotlcnl un systeme 
dc solutions 

(33) x = '^i(t), y=cp,(0, z = ^i(t), 

C5,, '^o, 'S3 etant des fonclions periodiques de t de periode to. Pre- 
nons pour |jl une valeur voisine de zero, et soient 

(34) .r = *,(/, a,, a,, a,. ,ji), y = 'P.((, . . .), z = '\>,(t, . . . ), 

les integrales des equations (32) qui pour / = o prennent les 
valeurs 'j,(o) + a,, 'vo(o) + a2, cp.-,(o) + a3 respectivement. Les 
valeurs de ces integrales pour t = to sont elles-memes des fonclions 
continues de a,, a.j, 7.3. u, pourvu que les valeurs al)solues de ces 
quanlites soient suffisamment petites, et si Ion a 

(35) <!//= <I>,(w, a,, ^2, a,, li.) — 9/(0) — a/ = o ( i — -i , 1, li); 

le mobile occupera au temps / == w la meme position fpi'au temps 
; = 0. On se trouvera done exactement dans les memes conditions 
qu'au debut du mouvement, et, par suite, on aura une solution 
periodique des ecpiations (Sa) correspon<lant a ces valeurs de a,, 
7.0. 7.3, 'J.. 

Les equations (35) sont verifiees pour a = (t par des valeurs 
nulles de a,, 7.0, 7.3, ce qui donne la solution periodique supposee 
connue a priori. On pourra affirmer que ces equations (35) 
admettent encore des solutions en a,, 7.0, 73 pour des valeurs 
de 'J. voisines de zero, si le jacobien des premiers membres par 
rapport a a,, ao, 7.3 nest pas nul pour 111.= o, a/= o. 

Posons 

"-[■^): '''={^)o' ^'^l^jo' 

Oil I'indice zero indique quon a remplace 7,, a^, 73 et u par zero 



SOLI TIONS PKRIOniQl KS KT ASVMPTOTIQLES. STABILITK. orj 

apres la dlfTerentiatlon; nous savons que (i/, r,,, v/) sonl Irois sjs- 
lemes d'integrales parliculii'res des equations aux variations 



(36) 



./J ^ ^ , 



dt 
dr, 
dt 



Ox 






dz 



(i.r dy oz 



(Ix ' 



<i7. 



oZ 

'dz 



on Ton a remplace dans les seconds memhres x, y, z par 'fi(0? 
?2(')i ^3(0 ^^ \^ P^^ ^^^o apres la differentiation. Or on connait 
les valeurs initiales de ces trois systemes de solutions 



■',1 = o, 



b= o, 



O, -5=0, T,2 = I , 

T, = 0. r, = I. 



On aurait les valeurs de ces trois fonctions pour t = to, si Ton 
savait integrer le systenie (36); il en est ainsi en particulier, 
touteslesfois quel'on connait I'integrale generale du systeme (32) 
pour a = o. Mais, pour I'objet que nous avons en vue, cette inte- 
gration n'est pas necessaire. En effet le jacobien qui intervient 
dans la question a pour expression 



(3:) 



A = 



f3(w) T,3(a.) ^sfw)— I 



en egalant ce determinant a zero, on a la condition necessaire et 
suffisante pour que les equations (36) admettent un systeme de 
solutions 



J = Af,-BJ,--Cf, 



Ar., 



Br.-\- C- 



= A 



Br.2-+-C!:3, 

: CO, c'est- 



reprenant les memes valeurs pour t = o ct pour / 
a-dire un systeme de solutions periodiques. 

I^OLir qu"il en fut ainsi, il faudrait que I'un des exposants caracle- 
ristiques (IT, n" i23) des equations (3() ) fiit nul. Convenons, pour 
abreger, de dire que ces exposants caracteristiques sont les expo- 
sants caracteristiques de la solution periodique connue .r, = 'j, (<), 
X2=»o(^), X3 = '■0:i{t)] nous pourrons alors enoncer le tlieoreme 
suivant : 



«8 tiivi'irm: win. — intkc.uvi.ks imimmknt \uisim:s. 

vS/ auiiiti (lis rxposants caracU''risf/\/ues de la solution 
pcriodiqut' con/it/e n'cst esol a zero, a toiite valeur de ^ voi- 
sine de zero correspond iinc solution pcriodique des equa- 
tions (3.>. ) voisine de la premiere. 

Lorsqu'un dos exposanls caracleiistiqucs cle la solution periodique 
connue est nul. ie raisonnement precedent ne s'applique plus, mais on ne 
peul en conclure qu'il n'exisle pas, pour les petiles valeurs de [Ji, des 
solntions periodiques voisines de la premiere. Supposons, par exemple, 
que le jacobien des premiers membres des equations (35) par rapport 
a aj. a.>. ;i. ne soil pas nul pour ai = a^ = as = jjt. = o; alors, a des valeurs 
de 23 voisines de zero correspond un systeme de valeurs de aj, ol^, [x, veri- 
fiant les relations (35). On voit done qu'inversement a une valeur de [x 
voisine de zero correspondent aussi des valeurs de aj. a^, a., tendant vers 
zero avec a; mais il y a, en general, plusieurs systemes de valeurs de aj, 
aj, ^3 correspondant a une mcme valeur de ;x, et par consequent plusieurs 
families de solutions periodiques voisines de la premiere. La conclusion ne 
serait en defaut que si tons les jacobiens des premiers membres des equa- 
tions (35) etaient nuls pour a, = o. ;x = o. Meme dans ce cas, on ne pent 
affirmer, sans autre examen, qu il n'existe pas de solutions periodiques 
voisines de la premiere. II pourrait arriver, par exemple que les trois 
equations (35) ne soient pas distinctes; il est clair que, lorsque cette 
circonstance se presente, tous les jacobiens en question seront nuls, el 
pourtant il y aura, en general, une double infinite ou une triple infinite 
de solutions periodiques, suivant que les trois equations se reduisent a 
deux equations distinctes ou a une seule. Pour la discussion detaillee, ainsi 
que pour I'examen du cas ou les equations (3i ) ne renferment pas le temps 
explicitement. je renverrai le lecteur aux travaux de M. II. Poincare, ou 
au Traite d' Analyse de M. K. Picard (t. Ill, chap. VIII). Ce qui precede 
suffit pour montrer comment la recherche des solutions periodiques est 
ramenee a I'elude d'un systeme de trois equations a trois fonclions incon- 
nues d'un parametre, dans le voisinage d'une solution connue a priori. 

-463. Solutions stables et instables. — Soient 
Xi=Oi(t) (i= r, ■}., ..., n) 
un syslcine de sululions des equations difTerentielles 

(38) -^ =\,(xi, xo, ..., Xn; t); 

les fonctions 'fi{l) sont continues poiir toutes les valeurs de f > to, 
et nous supposons de plus que ces solutions ne passenl par aucun 
point singulier des equations dilTerentielles (38). Considerons un 



II 



SOLUTIONS PKRIODIQLES ET ASV.MPTOTIQliES. STABILITE. 29 

autre systeme d'iQte<^rales prenant pour t ^=^ t^ Ics valcurs iniliales 

«,(o)-r- a,-. 

D'apres ce que nous sa\ons fi«''ja, on peut choisir les \aleurs al)so- 
lues de a,, a^, . . ., a« assez pelites pour cpie la nouvelle solution 
differe de la premiere d'aussi peu cpi on voudra, pendant un temps 
aussi long qu'on le voudra. Mais il peut se faire que, lorsque t 
grandit indefiniment, la nouvelle solution finisse par s'ecarter 
beaucoup de la premiere, aussi petites que soienl les valeurs 
absolues des a,. Ceci nous conduit a une nouvelle notion impor- 
tante, celle de la staLdite des integrales des equations difleren- 
tielles. 

Pour douner des definitions precises, nous supposerons que la 
solution connue se reduit a .r, = o. . . . , j:„ = o, ce qui evidemment 
ne restreinl pas la generalite, car on peut toujours prendre pour 
nouvelles inconnues les variables x\^=xi — '^i(t). Nous nous bor- 
nerons d'ailleurs au cas tres general on les ecjuations ont la forme 

( Qo ^ ^^' _ V p ') „'«, „'«, „'"„ / "M = O, . . . , W„ = O \ 

at ' ■ - \ I — } , 2, . . . , n / 

les seconds membres etant des series entieres ( ' ) en.r,, . . . . Xn, dont 
les coefficients sont des fonctions continues de t, qui restent bor- 
nt'-es pour les valeurs reelles de tdl^f. Enfin. nous supposons que 
ces series sont convergentes pour toutes les valeurs reelles ou 
complexes des variables Xi de modules inferieurs a un nombre 
posilif H convenablement choisi, et pour toutes les valeurs 
de t^to. Si M est un nombre positif, superieur a la valeur absolue 
de I'un quelconque des seconds membres dans le domaine ainsi 
defini, on a, pour toutes les valeurs de / ^ ^o (n" 3ol2), 

IP'- !< '' 



;n,OTj...OT„l ^^ fJ/H,—/« ...—/«„ 



Lorsque les coefficients Psont independanls de /, on a les equa- 
tions d'un mouvement permanent, c'est-a-dire les equations defi- 



(') La question a ete traitee recemment, avec des liypotheses beaucoup plus 
generales, par M. E. Cotton, qui reinplace les equations differenlieiles (09; par 
un systeme d'equalions integrales { Annates de I'Ecole Aormale superieure, 
3* serie, t. \XVIII, 191 1, p. 473). Je dois citer aussi un important Memoire de 
M. V. Bohl {Builelin de la Societe inatliernalique, t. WXVIII, 1910). 



3o CflAPITIU: will. — INTKUHAI.KS IM-I.MMK.NT NOISINKS. 

nissanl le inouvenienl. dans res[)ace a ji iJiniensions, dun point 
mobile donl la \ilesse ii cliaque instant est independante du temps, 
el ne depend que de la position du mobile a cliaque instant. Un 
autre cas Ires important a considtrer est celui ou les coefficients P 
sont des fonctions perioriiques du toinps: c'est a ce dernier cas 
qu'on est raniene quand on veut etudier la stabilite d'une solution 
periodique conniie .r/='^/U) des equations (38), les seconds 
membres etant inde|)endants de t ou des fonctions periodiques. La 
Iransformalion ^'^ = 'j/(/) 4- ^^ conduira en ellel a des equa- 
tions ( 39) ou les seconds membres seront des fonctions periodiques 
de /, alors meme que les X/ seraient independants de t. 

Considerons les integrales des equations i?»^) x^it), ..., x,i{t) 
qui prennent pour t ^= to des valeurs initiales x^^. ...,a.", infe- 
rieures a H en valeur absolue. Etant donne un nonibre positif 
quelconque s < H, s'il est possible de Uii associer un autre nombre 
positif r,££, tel que les conditions |-?'/*l'<''i entrainent comme 
consequences les inegalites 

(40) |ar,(OI<£, ..-, \x„(t)\<t, 

pour toules les valeurs de t superieurcs a to, on dit (jue la solu- 
tion jr/=: o est une solution stable. S'il existe un nonibre positif t 
tel qu'il soit impossible de lui associer un autre nombre positif r, 
de facon a satisfaire aux conditions precedentes, la solution est 
instable. II est clairquon pent remplacer la definitiun de la stabi- 
lite par la suivante : a tout nombre positif s << H, on peut associer 
un autre nonibre positif r, tel que la condition 

entraine rinej;alite ; ^, (^) J- -h . . . -f- I x«(f ) j' < £, pour i >■ /o- La 
definition de I'instabilite peut se modifier de la meme facon. 

Les equations lineaires a coefficients constants fournissent facilement 

des exeinples. Les solutions du svsieme — r = — }', -r- = ^, prenant les 

valeurs iniliales To, y^ pour / = o, ont pour expressions 

a- = a"o cosf — ^0 sin/, y ^= x ^j sin t -k- y^ cos t , 

ct Ion a x--^y'- = xl -^yl. II suffira quon ail xl -i- y^ <C ^^ pour qu'on 
ait aussi, quel que soit t, x--r-y-<^-.-. La solution ar =^ = o est done 
stable. 



SOLLTIOXS PKRIODIQIES ET ASYMPTOTIOLES. STABILITE. 3 I 

Les integrales du sysleine 

dx dy 

dt -^ dl -^ 

qui prenncnl les valeurs a^o, j'o pour ^ = o, out pour expressions 

X- ^ e . ^ e , y- .. e ^ e 

La solution :r = j = o est instable, car si Ion prend par exemple_;'o= 20^0, 
ja:| et l/l croissenl indefiniment avec t, aussi petit que soil x^. pourvu qu'il 
ne soit pas nul. Get exemple donne lieu a queiques remarques. Si les va- 
leurs initiaies a^o, j'o satisfont a la condition x^-^ya = o, jr | et |jk| diminuent 
et tendent vers zero lorsque t croit de o a -i- x; il y a slabilite condi- 
tionnelle. De nieme, <i Ion prend des valeurs initiaies telles que la difl'e- 
rence -iXf, — y^ soit nulle, x g\. y tendent vers zero lorsque t decroit de o 
a — cc. Si a^y, j'o ne verifient aucune de ces conditions, I j"| et (j'l augmentent 
indefiniment lorsque t croit indefiniment, soit par valeurs positives, soit 
par valeurs negatives. 

^ ..... dx dy 

Les integrales du systeme — =j, -j- = — ly — ix qui prennent les 

valeurs a"o, j'o pour ^ = o ont pour expressions 

X — e-'[:rocos< -i- ' •Z'o -^ ^'0 ' sin^], y = e-^\yt)CO%t —( ^Tq — y^) ?,\nt]\ 

quels que soient x^. y,), ces fonctions tendent vers zero lorsque t croit inde- 
finiment. Non seulement la solution .t = y = o est stable, mais toutes les 
integrales se rapprochent indefiniment de la premiere lorsque t tend vers 
-f-2c; nous dirons pour abreger qu'elles sont asymptotes a la solution 
X ^= y ^= o. 

466. Theoremes generaux sur la stabilite ( '). — Lorsque les 
coefficients des ternies du premier degre en Xt, .. ., x,i dans les 
seconds membres des equations (Sg) sont independants de t. les 
equations aux variations qui correspondent a la solution connue 
Xi=^ o sont des equations lineaires a coefficients constants, et 
Tetude de ce systeme permet en general de reconnaitre si cette 
solution est stable ou instable. 

Soit \ (Xi, Xo, ...,Xfi) une forme quadratique a coefficients 
constants; si Ton j remj)lace .r,, Xo, ..., x^ par un sjsteme de 
sohitions des equations (i(j}, le resultat de la substitution est une 

(') J'ai suivi, a part queiques modifications de detail, la melhode de demons- 
tration de M. LiapounofT, dans le Memoire deja cite (Annaies de la Facultc de 
Toulouse, 1' serie, t. IX, p. l{0'i). 



3j ciupitrk x\m. — integrai.es infimment voisines. 

foncllon tie /, dont la dcrivee ^ ' a pour expression, en tenant 
oomptc des equations (o()) elles-nienies, 

( 4 n V = V, (.r,. .rj. . . . , x„ ) ■+- <Im .r,, j-o, ■ • ■ , ■'^n : ^\ 

\ , etanl une nouvclle iornie ([iiadralKjuc a coefficienls ctmslanls, 

el *I> une serie entiere en .*',, .ro, i'n-, conimencanl par des 

ternies du troisieme dei^re au moins. Si 1 on pent choisir les coef- 
licients de \ (jr,, ..., .r„) de faeon que ^ , (j:-), x^-, ..., x,i) soil 
wne/orme dejinie positive, on a les theoremes suivants : 

r* La solution x/= o est stable, si la forme correspondanle 
\{Xi, x-2, •••, Xn) est line forme dejinie nef^ati^e; 

2" La solution xi^o est instable, si la forme \ est une 
forme definie positive ^ ou une forme indefinie ('). 

Pour faciliter le raisonnement, nous emploierons Ic langage de 
la geonielrie, et nous ap|tellerons point tout svsteme de valeurs 
pour les n variables (x,, .ro, . . ., Xn). L'ensemble des points dont 
les coordonnees \ erifient la relation x'] -^ . . .-^ x^,^ o- sera appele 
une hypersphere Sp de rayon o, et Tensemble des points pour 
lesquels on a x; -h. . .-r x;) <C p- sera de meme V inter ieur de 
riivpersphere Sp. 

Cela pose, si la forme V|(.ri,j7o, ...,t„) est une forme 
definie positive, il resulte des hvpotheses qui ont ete faites plus 
liaut sur les coefficients des equations (3()) qu'on pent trouver un 
nombre positif R tel qua linterieur de rhvperspliere de rayon R 
la derivee V soit positive et ne s annule qu'a I'origine. En effel, 
nous pouvons representer les coordonnees .r,, ,..^x,i par pa,, 
pao, . . ., pa,j, p elant un nombre positif, et a,, Xo, . . ., a« etant 
des nombres qui verifient la relation a^ -p . . . + aj; = \ . En faisant 
cetle substitution dans V, il vient 



(') Lorsquc V, ( a:,, x,, . . . , x„ ) est une forme definie, le liessien de la forme 
correspondanle V ne peul dire nul; car, si ce hessien etait nul, on pourrait satis- 

fiiire aux n equations — = o, et par suite a Tequalion V, = o, par des valeurs 

non loutes nulles des inconniies x^. La forme V est done la somme de n carres 
de fonclions lineaires distinctes, multiplies par des facteurs constants dillerents 
de zero. 



SOLL TlONs PKIUODIUL ES t) T .VSV.Ml' r()TIQUI>\ STAlllMTl';. 3> 

W clant tine lonclion tic a,, a^, ..., a,^, p, /, qui esl continue 
pourvii que o reste interieur a unc cerlaiue liniile II et que L 
soit>> /„. Lorsque le point (a,, aj. . . ., a«) decrit Tliypersplic're de 
ravoii uii. la loiine \ , (a,, a._>, . . ., a„ ) resle positive ct supencure 
a un certain niiniiniini ni. Soit d autre part M le niaxiniuni de la 
valeur absoliie de \V. \\\\ prenant pour 1\ un nonibre positif infe- 

rieur a ^t' il ^^'^l clair (pia lintericur de riiyperspliere de ravon R, 

V sera positif, sauf pour Torigine ou Ton a \ ' = o. Nous suppo- 
seroiis, dans la suite du laisonnenicnl, que le nond)ie V\ ait ete 
clioisi de cette facon. 

Gela etant, exaniinons d'abord le cas ou V(^i, x.^^ . . -, x,i^ est 
une forme definie i)e>;ati\e. Soit t un nonil)re positif quelconque 
inferieur a U ; lors(pie le j)oint (x,,a7o, ...^Xn) deerit riiyper- 
spliere de rayon c, V(.ri, x-2,^ . . ., x„) reste negatif et par conse- 
quent est plus petit qu'une valeur maximum — K. D'ailleurs cette 
fonction V s'annule pour Xi = . . . = j:„ = o ; on pent done assi- 
gner un nombre A<< z tel qu'a linterieur de lliyperspliere S). de 
rayon A, on ait V >> — R. Le nombre A etant clioisi de cette facon, 
si pour t= ?o, les valeurs initiales x", ^", ..., .r" sont les coor- 
donnees dun point interieur a lliyperspliere de rayon )., /c point 
(xi, X2y ...^X/i) rcstera toiijours a I' interieur de L^ hyper- 
sphere de rayon s, lorsque I croilra de to d -h cc. Kn elVet, le 
point (xx^ . . ., x„) commence par etre a I'interieur de cette hyper- 
sphere; s'il n'y reste pas indefiniment, supposons qu'il atteigne 
pour la premiere fois I'liypersphere S^ au temps T >> ^o- Soient Vo 
et Yi les valeurs de ^ (-C|, x-,, . .., x,i) aux tqioques ^o el T; on a 
\ >> — K, ^ x^ — K.(d'apres la facon dont on a delinilesnombresK 
et X) et par suite Vo>> V,-. Or une [telle relation est impossible 
puisque, du temps („ au temps T, la derivee V est positive. ISoiis 
sommes done conduits a une contradiction en admetlant que le 
point (X|, ...,.r„) alteint riiyjicrspliere S^ ; par suite, /a solu- 
tion Xi= o est stable. 

Dans le cas considere, non seulement la solution est stable, 
mais toutes les solutions suffisamment voisines sont asymptotes a 
la premiere. En elfet, lorsque t croll de to a -t- co, la fonction V, 
(jui part d'une valeur negative, el (pii va en croissant, lend vei*s 
zero ou vers une valeur negatixe — /. Je dis que cette derniere 

c. III. 3 



34 (iiAi'iTUi: will. — iMi:(.u\i.i:> imimmkm vcisinks. 

li\ nollit'sr esl ;"i icjolci-. En ellcl, l;i (oiK-lidii \ siiimiiliinl ;i Vov\- 
eino, il rxiste uii nomhre a' lei tjii a liiilcrieur tie lliypersphere tie 

nivoii a', t)n ail ^ > — /. I^e point (.r,,^o x,i) reslerail 

titiiic exttirleur a celle hvpcrsphere S).. Or lorstiuc le j)t)iiil 
(x,, X2, •• ••. -I'll) resle compris enlre S>. el S^, ^ ' resle plus grand 
qu'iin certain inininmin |j. >> t). On aurail tlonc, au lenips T, 

^'T > Vo-+- |jl(T — /„); 

une telle relalion est inipossible, car le secontl ineinl)re aiignienle 
intlellninienl avec T, landis tjue V-p devrail rester inlerienr a — /. 
II laut done (|ue A^J::"), ^21 • • •« ^/i) tende vers zero lorscpie f aug- 
mente indefininiont, el jiar suite que .r(, .r^, . .., .r„ tendent vers 
zero. 

II est a reniartjiier (juc le raisonnenienl cinplovi- plus haul 
prou\e qu'ily a slabilUe loisrjue \ est uni' fornw o'rjinie ni;<:a- 
iive, ponnu quo \' ne piiisse prendre que des valeni's posiln^es 
ou nii/les pour les valeiirs des .r, roisines de zero. Mais on ne 
peul plus affirmer dans ce cas tpie 1<'S solutions voisines de la pre- 
miere sent asjmploles a celle-l;i. Par e\em])le, d.ins le cas t'lenien- 
laire des deux (Equations 

dr ^^ _ 

si Ion prend \ = — [x- +.1'-'), on a \ '^ o; il v a slahilile, niais 
non asvniplolisnie. 

Supposons en second lieu que, ^ , etanl xine forme definie |>osi- 
live, \ soil une forme tlt'finie posilive 011 une forme indt^lerminee. 
liC nomhre R avanl la meme signification que plus haul, soil £ un 
nombre posilif inferieur a I\, el ). un autre nomhre positif^s. 
Ouelqiie petit que soil A, nous allons mf)nlrcr qu'il est loujours 
possible tie prendre a rinlerieur de Thvpcrspheie de rayon A un 
point (i"',', .... a.'") lei tjue, les valeurs iniliales des variables Xi 
etanl .r", J"", ..., jr" respecliveincnt. le point (^,,^0, ..., j:«) 
linisse par alteindre riiypersphere de rayon £. Soienl, en elFet, 
{x\. ..., x") les coordonnt^es d'un point inlerieur a celte hyper- 
sphere lei qu'on ait \ „= ^ (•^^n • • •? ^l) > t>- ^-^ forme V s'annu- 
lant a I'origine, il exisle un nombre ).'<<). lei qu'a Tinlt^rieur de 
Ihypersphere de rayon )/ on ait V «< \ o- Considt^rons le sjsleme 



SOLI riO.NS I'ERIOIIIQLKS IT ASV.M I'TO TIQIKS. S1A11II.HI;. i3 

d'inlei;rales ties ('(jiuitions {■>()) preniinl pour / = /„ les \;il<"urs 
jc", x", . . ., x" ; nous voulons nioiitrer que le j)oiiil ( x^ , x^, . . ., x„) 
fuiira par sorlir de riivpersplirrc Sj au houl dun lenips linl. 
L'hvpotlirsc conlraire coiiiliiil eii eflol a une conserpicnce ahsurde. 
Si le point (x,, x-^, . . ., x,i) resLait inlerieur a celle hyperspliere, 
V^' elant loujours posilif", \ irail en croissant ct ne pourrait 
prendre de valeur inferieure a \ o- Le point (Xf, x-,^ ..., x,,) res- 
terail done compiis enlre les i\Qu\ iijpersplieres 8= et S) ; niais, 
dans ce doniainc, \ ' a un minimum posilif/;?. Pour loute valeur 
de T >■ ^o> un aurait done A , >> ^ ^-t- ^'M T — ■ t^)] or uiic telle 
inef;alite est impossible, car le second membre augnienle indefi- 
nimentaxccT, landis que \ resle ini'erieur a une cerlaine limite, 
lorsque le point (.r,, a^, ...,x„) est a rinterieur de Ibyper- 
spbere Sj. 



167. Application des theoremes generaux. — Ponr ajjpliquer 
les tbeorc'iuf s j)r('cedenls, il est clair ([u on peut ellecluer i?ur les 
variables xi une substitution lineaire a coefficients constants 
quelconques, dont le determinant estdill'erent de zero. iNous clioi- 
sirons les coefficients de cette substitution de faeon a ramener les 
equations aux variations, correspondant a la solution Xi = o, a une 
lorine eanonique simple. Soient 

dxi 

— = rt,-, .n-H. . .— an,T, 



i 4i ,) 



(i 



n) 



ces equations aux variations pour le svsleme propose (Sg); on les 
obtient en rediiisant les seconds membres aux terines du premier 
degre. On a mi (II, n" i!2l j comment onpou\ait ramener le sys- 
leme (4^) «* sa forme eanonique; celte forme depend avant tout de 
la natui'e des racines de I'equation caracteristique 



(43) 



D(A) = 



Si celte equation a // racines rcelles et distinctcs, /.|. 
on |)cut ramener les equations ( 4^- • J' b' forme 



A„, 



(44) 



dt 



• ij-i- 



dvi 
~dt 



i-iy 



dt 



'ny,,-, 



Sij nivpirni: win. — imkghm.ks inkimmknt voisines. 

j).ir line subslilulioii liurairc a roefficiciils rrcls. La nieinc suhsli- 
liilion. appliqiu'o aiix <''f[iiatioas (>^9), comluirail a un sysli'iiie que 
I on ohliondi'ail en ajoulanl aux secoiuls inembres ties equa- 
tions (i4) (Je^ series enlieres en j',, . . , , r„, commenrant par ties 
lermes tlu second tiegre au nioins. Si aucun ties coefficients Xi 
nest egal d zero, on obticnl immetlialeinenl line forme tjiiadra- 
li(|iie ^ (_)'/) dont la forme associec \ i {yi) est une forme tlelinie 
positive. II siiflll de prendre 

ce cjui donne 

Si Ions les coefficients A/ sont negatifs, V est une forme definie 
negative, il y a stabliite. Si inn au moins des coefficients A/ est 
pusitif, la forme \ est une forme definie positive on une forme 
indtifinie pouvant prendre des valeurs positives; il v a inslabilile. 
Lorstpie I un des coefficients A/ est nul, il est clair t|u"on ne pent 
obtenir j)Our \ , une forme definie positive, t|ueile tpie soil la 
forme quadratique V. car \ , sannule pour des valeurs desj)'/ non 
toutes niilles. 

Supposons en second lieu que Ttiquation caracteristique ait des 
racincs multiples, toutes ces racines etanl rtl'elles, el aucune 
d'elles netant nulLc. On |)cut alors (H, u" 4^21) eflecluer sur les 
variables Xi une substitution lineaire a coefficients reels telle que 
les nouxellcs tjqualions aux variations se partagent en un certain 
nombre de groupes ayant une forme simple ( (jueiques groupes 
pouvant se composer dune seule I'-quation). Considertms, ])Our 
fixer les idees, un grou|)e tie trois t^'tpiations de la forme 

/.) n etanl pas mil, on j)eut, sans cbanger ce coefficient, rem- 
placer <x, V(, v., par des nombres dont la valeur absolue soil infe- 
rieure a tout nombre positif donne, car, si 1 on change j^i en ?^.'K« 5 
j'o en o-^a, p el 1 etant deux facteurs constants diflerents de zero, 
le systeme (45) est remplace par un systeme de nieme forme, ou A| 
n"a pas cliangt', et ou v., v,, Vo out etti remplact*s par <j.z, V)7o, 
v^o- respectivement. Si a, n'est pas nul, nous pouvons done loujours 



SOLUTIONS I'KIUODiyi K? KT AS V.Ml'TOTKtl i;S. STABILITK. 87 

suppose!' ;/., v,, v.^ asscz peliLs pour que la forme (pia(lrali(pie 
soil une Conne definie positive, ear elle se n'diiit a la Ioiiik! 

pour -jL =r V| = Vo = o, el eelle forme (piadrallcpie I'l (.I'l , J'j, J'a) 

se deduil de la forme U^ ^-i ( >'7 + T^i + 1'^ K en prenaiil la deiivee 

■>. • ' ■ - ^ ■> - I 

1 dv\ dvi <Iy\ 1 

[)ar rapj)oit a t eL remplaeant -^ ■> -^i -— pai" leurs expres- 
sions (4^)- En operant de la meUie facon avee tons les groupes 
analogues au gi'oupe (45)? oii formera evidemment une forme 

^''i( ri,r5, '■•■. yn) 

qui sera definie et j)ositive, pourvu qu'aucun des nombres A, ne 
soil nul. r^a forme eorrespondante V qui sera la somnie des formes 

telles que - ^h (j'f + J'r! + jKri)? elendues a tous les groupes d'equa- 

tions analogues an groupe (4^)? sera une forme definie negative 
lorsque tous les nombres A/ seront negalifs, et dans ce cas seule- 
ment. J^a conclusion est la meme que tout a I'heure. La solution 
est stable si toutes les racines de V equation caracteristique 
sont negatives, et instable si Vane d'ellcs est positive. 

Enfin, supposons que quelques-unes des racines de I'equation 
caracteristique soient imaginaires. Ces racines sont alors eonju- 
guees deux a deux, et a cliaque groupe d'equations, tel que (4^)1 
corres[)ond un groupe conjugue 

les variables J', et jk,, Yx et jk!,, y-^^ et y'.^ etaut imaginaires conju- 
guees, ainsi cpie les coefficients a, et a',, a et u.', v el v'. Pour la 
meme raison que lout a I'heure, les modules des coefficients a, v,, 
Vo peuvent etre supposes jilus pelils ([ue lout nombre positif donne 
a I'avance. On pourrait remplacer le s_ysteme des equations (4^) 
el (4^)' i>^'' un sysleme de six ecpiations lineaires a coefficients 
reels, en posanl y, = a^ + a-,, y\ = m, — fV,, , . . , mais cette 
transformation est inutile pour noire objet. Posons en eflet 



38 (iivpinu: win. — imi;.;iui.ks imi.m\ii;\t voisinks. 

en i(Mi:inl ciimple <lcs (''(iiialioiis ( jj) cl ( i'^)'? c>n a 

i^ = ( X, -^ X; )(y,y\ -hyiy:, -^ J'O'i ) -4- IJ-rij'-z + !-i>ir-2 

la forinr <|tiaclratiquc (jui est an second membre est nnc fonne 
(It'linie, I()rs(|uc les inoclulcs cic u, v,, Vo soiiL assez petils, poiirvii 
(jiK- Ai-t-a', ne snit pas mil, c'est-a-dire j)oiirvii (jiie la parlie 

i-i'cllf (!(' )., nv soil pas niilii'. S(jil A, = a -i- ^j y/ — i , a u'clanl pas 
111! I : en pi I sail! 

'/u ^ I - /■ • • • • I ' 

nous vovons (lue -;- sera uno lornio dchnie positive, si J on a 

(I'abord raniene les modules des eoel'licienls ■/. v,, Vo a ('Ire assez 
pelils, el la forme U elle-rneme sera unc forme delinie, j)0sili\e on 
negative siiivant le signe de y.. Kn operant de meme avec tons les 
i;roupes d'equations pro\enant des racines reelles ou des couples 
de racines imaginaires conjuguees, on \oit cpie Ion peul loujours 
former une forme quadralique \ (^), x_,, ..., x,i) telle que la 
forme quadralique associee \,(.r,, a*o, . . ., jc,,) soil une forme 
delinie positive, pou/'vu r//i'aiic//ne des racines 'j,i de Inequation 
caracterisLique nail sa parlie reelle nulle Si loutes ces parlies 
reelles sont negaliees, la forme Vest elle-meme une forme definie 
negative, et la solution Xi^ o est slab/e; si Tune au moins de ces 
parlies reelles est po.siliie, la forme \ peul prendre des valeurs 
positives, et la solution Xi= o est instable. 

Exanien da cas douleux. — Lorsquc I'une des racines ),/ a sa 
parlie reelle nulle, il y a doute; c'est le seul cas 011 la solulion,x'/i= o 
puisse etre stable sans que toutes les solutions \oisines lui soient 
asvmplotiques. On [)eul lever le doute. sauf dans le cas ou les 
parties reelles de Louies lesautrcs racines sont nulles ou negatives. 
Supposons, en elT'et. que cpielques-unes des racines de lequalion 
caracteristique aienl leurs parlies reelles nulles, tandis que daulres 
ont leurs parlies reelles positives. Les racines de I'equation carac- 
teristique D'(5)= o du sysLeme au\iliaire 

(\h) —^=aiiX,—...'^Ui,i—'-\xi-i-...-^a/nCC„ ( «= i , 9,. . . «), 



SOLUTIONS PKRIODIQIES HT ASVMPTOTIQIKS. •^TAIlIMTi:. 89 

(|ii(' Von (l(''(liiil (111 sysli'ine ( l^) en y reniplacanl r/,/ |);ii- «,, — ~, 
sont cgales aiix racines do l"c([iialioa ( i>) diminuecs ile -• Dans 

I l»v[)Olliese on nous nous |)lacons, on pent dour choisir pour y. 
un nonibrc reel et j)Osilif lei <pi aiicune des racines do leqiia- 
lion D'(5)^() n'ait sa partie reelle nulle, etque quelques-unes de 
ces racines aienl leur parlie reelle j)ositive. Dapres le cas que 
nous venons de trailer, il ciisle une forme quadralique 

V(j:'i, ./-.i, . . . , J7,j), 

([ui jieul prendre des valeurs positives, landis que la forine 
\V(:r,, Ti, . . ., x„) = ^ anxi-^. . .-1- f a,-,- — ^ j .r,- -+- . . . — a/,;a^„ — 

est elle-meme une forme definie positive. Si dans V(^i , x-,, ..., ^„), 
on remplace .Xt, x-,, • . ., Xa par des integrales du svsleme (3c)), le 
resullat de la subslilulion esl une fonction de f, donl la derivee a 
pour expression, en tenant compte de la definition de W(x, , ...,57„), 

\ ' = 'J.\' -T- W -r- *(:?'i, ^2i • • •) ^n-: t), 

<P elant une serie enliere en X(, Xo, ..., Xu-, qui ne renferme 
aucun lerme de degre inferieur a deux. Puisque \V est une forme 
definie positive, on peut determiner, comme on Ta vu plus liaut 
(n" 466), un n ombre positif R tel qu'a'l'interieur de 1 bypersphere 
de rayon R on ail, pour t^t^-, W + <I> >■ o, el par suite \' '> 'J-V . 
Soils un nombre positif quelconque inferieur a R, et r, un autre 
nombre positif ^e. A linterieur de I'liyperspbere de rayon r,. il 
existe des points pour lesquels la forme V a une ^aleur positive. 
Soienl (:r", a:^, . . ., x^l) un de ces points et \'o bi valeur correspon- 
danle de V; nous aliens monlrer que la trajectoire issue du 
point (x", ..., X,") atteint I'liyperspbere de rayon s au bout dun 
temps lini. En ellet, supposons quil nen soil pas ainsi; V est 
alors une fonction du temps salisfaisanl a une equation de la 
forme V'= ij.V + cp(^), 'f (^) etant une fonction positive du temps. 
Cette fonction V est done superieure a Tintegrale de 1 (''(|ua- 
tion V'= 'J-V, prenant la meine valeur \ a pour I = Iq, c'cst-a-dire 
a V'f,''^ '"'"'• Or, cette expression augmente indefinimentavec/; il est 
done impossible que le point (.r,, x-i-, •••i ^h) reste constamment a 



.^o ciiM'iTUE Will. — iNri;(;HVi.i-s imimmi'.nt voisinf.s. 

rinU'-riciir ile riivpcrspliorc do layou ;, |)iiisf|ue \ (.r,, .ro, . . ., x„) 
rcsir horiire dans co doinalne. 

En delinilivc. // v <i stabilile /o/srjiic /cs parties ri'dlcs de 
ToiTKS Ics racincs ),/ th' I'/'fji/tttion caracleristiqite soiH ncga- 
tii'cs; il y a instabilite si la parlie reelle do. i.'ukk de ces 
racines est posit ii'e. Le sciil cas douteux est celui oii /> de ces 
/■(fcines (p >> o) o/if Icu/s parties reelles nul/es, toutes les 
autres ayant leurs parties reelles iiegatiKes. 

Pour reconnaitrc s'il y a slahilile on inslaljllilc, il faul alors lenir 
coinpte des ternies de degre superieur au premier dans les seconds 
menibres des equations(39). Nons avonsdeja vu nn oxemple (n"46o) 
oil il V a slahilile : il v a instahilile |ioiir le systeme 

d.r dv 

dl dt 

4G8. Stabilite de I'equilibre. — Soil I (a^i, ^"j, ...,x„) line loiiction 
analvliquc des variables x^, x-,, ...,x„, independanle do /, saniuilanl, 
ainsi que «es derivees parlielles du premier ordre. pour a"i = . . . = a"„ = o, 
el holomorphe daus le voisinage. Les equalions 

. ,_ ^ _ oT _^ dxn ^ c)U 

'^'' dt ~ OXi' " ' dt ~ Ox„ 

adinettent la solulion .r/ — o. Celle solulion c-l stafdc si la fonclion 

[J{X,, Xo. .. ., X,i) 

est maximum pour x,= o; en elTet, quand on remplace, dans cetle fonc- 
lion, les variables Xi par des inlegralesdu svsleme(47j, le resullal est una 

fonclion de t dont la derivee a pour expression ^ ( j 5 et par conse- 
quent ne pcut prendre de valtMirs negatives. Les raisonnemcnls du u" 4G0 
prouvent que la solulion Xi= o est stable si U(3"i, x-j, . . ., .-r„ ) a un maxi- 
mum propre a I'oiigine, puisque cetle fonclion ne pent prendre de valeurs 
positives dans le voisinage de I'origine. 

Pour trailer la question inverse, designons par V(:7-i, ..., x,i) la forme 
quadratique formee par I'ensemble des termes du second degre dans le 
developpement de U, el bornons-nous au cas oil le hessien de cette forme 
n'est pas nul. Si Ion applique le theoreme general du n" 466 a cette forme 

\(Xi.X2, .... a~„), la forme associee V] est precisement 2_i\' — ) ' <^'^^'^~ 

a-dire yxnt forme dejinie positive. Pour qu'il y ait stabilite, il faut et il 
suffit que Vfari, .r.,, ..., x,i) soil une forme definie negative, ce qui est 
aussi la condition necessaire et suffisante pour que U(Ti, x^, . . ., x„) soil 



soi.i Tio.NS pi;iiioi»i(,)ri;s kt asvmptotioi k>- sTviuiiTii. 



I" 



maximum iiu point x,= o. Ainsi, quand ie hessien de la foiiiio V nest pas 

nul, il lie pent y avoir stahilile que si U est maximiiin pour I'origine. 

Dans CO cas part iculier, on doit poser, dans Icqualion caracleiislique, 



(In, 



nil, 



OXidJi, 



ct, d'apres les proprietes bicn connues des formes quadraliqucs, les la- 
cines de cette equation sont toujouis leelles quelle que soit la forme V; 
il ne peul y avoir de racine nulle si Ie liessien est different de zero. 

Dans un probleme de Dynamique oii il existe une fonclion des forces 
independante du temps, on suit, d'a|)it;s un tlieoreme de Lagrange, que si 
cette fonction des forces est niaxinnim pour certaines valeurs des para- 
metres, la position correspondanle du sysleme est une position d'equi- 
libre stable. Les raisonnemenls du n" 4G6 ne sont au fond que I'exlension 
de la demonstration classique de Dirichlet. L'examen de la proposition 
reciproque presente de bien plus grandes difficulles. Nous n'examiiierons 
qu'un cas particulier. Supposons qu'on ait clioisi les parametres dont 
depend la position du systeme de facon que les equations diirerentielles du 
mouvement soient de la forme 



(48) 



d-Xi 
dV- 



Ux, 



d'- 



dt^ 



ox^ 



dr- 



OXn 



U(a7i, ...^x,i) etant une fonction de X], .... .r,;, reguliere d;ins Ie \oisi- 
nage de I'origine, et s'annulant, ainsi que ses derivees premieres, pour 
j",= o. Pour reconnailre si la solution .r/= o est stable, nous nous borne- 
rons encore au cas oii Ie hessien de la forme Y(^i, . . ., a-,,), qui se com- 
pose de I'ensemble des termes du second degre de U, est did'erentde zero. 
Le systeme (48) est equivalent au systeme des in. equations du premier 
ordre 



(49) 



dxi 
~~di 



= yi, 



dt 



OXi 



(t = I, 2, 



n). 



On pent oblenir directcineut I'equalion caracteristique du systeme 
lineaire oblenu en negligeant les termes d'ordre superieur dans les seconds 
membres; il suffit de chcrclier des integrales de ce svstome de la forme 



Xi=^ (xieV', ji= [iiel- 
ce qui conduii, pour determiner ;j., a lequation 
ail — I^"-' ('i2 • ■ ■ 



D(ix) = 



(tin 



(In I 



Cnn— '.J-- 



Les racines de cette equation sont =rr y/A/, les /./ etant les racines de la 



42 < iiAi'iTni-: will. — imk(;rvli;s imi.mmicnt voisixks. 

premiere t'quation oaracleristique, relative aux equalions (47)- Tons ces 
nitiiil)ies A, soiU reels, el par liypolhese aucun d'eux n'est mil; si lun 
d'eii\ etait |n)sitif, Teqiiation en a aiirait iine lacine positive, ot la solu- 
tion .*•, =:V/= o des equations (, 19) ne pouirait etre stable, d'apres le llieo- 
reme •jeneral. Le resultat de cette discussion peut done s'enoncer comme 
il suit : Lorsque I'etude des termes da second defi^rc de \J(Xi, . . ., Xn) 
permet de reconnnilre si cette fonction est maximum, oit non, pour les 
valeurs :r, = o, il est nccessaire (jue V soit ma.rimtini pour (jac I'cqui- 
libre soit stable ( ' ). 

Remarque. — Loisque lous les nombres X, sont negatifs, les parlies 
reeiles de loutes les racines de D(ij.) = o sonl nulles. On esl done dans 
un cas oil Ton ne pouirait affirmer « />/-fo/Y' la slabiliie, si Ton n'avail pas 
egard a la forme speciale des equations ( jg) {- ). 

469. Application a des systemes plus generaux. — On peut 
etendie les resiillals prect-dcnts aux svsLemes (3(j) lels que les 
<''quallons lineaires (4'^) forment un systerne rediictible (II, n" i!24). 
Nous i^ippeilfrons (iii'oa appclle ainsi les sjstemes lineaires qu'on 
peut raiiieuer a un svslruie lineaire a coefficients constants par 
une suhstilulion lineaire cdectiiee sur les inconnnes x,, les coeffi- 
cients de cette substitution etant des fonclions continues el bor- 
nees de la variable L pour I >- /„, ainsi que leurs derivees par rap- 
port a /, et linverse du determinant de ces coefficients etant borne. 
11 est clair que, si le systerne (42) est rediictible, en appliquant 
au systerne (Sg) tout enlier la stibstilution lineaire qu'on vient de 
definir, on lemplacera ce systerne par un svsteine lie meme espece 
dans lequel les coefficients des termes du premier dei^re dans le 
second membreseront independants de /. 

En particulier, lorsque les coefficients du systeme (Sg) sont des 
fonctions periodiques de ^, nous avons vu que le systeme (42) est 

( ' ) La reciprixjuc ilu llieoreine ile Lajrrangc a ele etablie, dans des cas plus 
fieneraux, par >LM. I^iapounolF (Journal de Liouville, iSqG). Painleve {Comptes 
rendus, t. l"2o, p. loai), Iladamard (Journal de Liouville, 181)7), ^^ P'"^ lercm- 
ment par M. E. Cotton (Comptes rendus, t. 153, p. 10^9). 

(-) La definition de Li slabiiite donnee plus haul ( n° 4Go) no conccrnc que 
I'avenir, t variant de ^„ a -+- x. Mais on peut en conccvoir une autre, conceinant 
a la fois I'avenir el le passe, t variant alors de — x. a + r.. Ouand on change t 
en — I, les racines dc lequation caiacterislique sont inullipliees par ( — i); il ne 
pcul done y avoir stabiliic a la fois dans I'avenir et le passe que si les parlies 
reeiles de toutes ces racines sont nulles. On se trouve dans un cas oil I'elude des 
equations aux variations ne suffit pas pour decider s'il y a stabilite on non. 



SOLUTIONS i'i:Ri()i)iQri:s i:t asvmptotiqli^s. STAnii.rri':. ,]> 

r('ilu(iil)Ic. II it'snhe de la demonstration (|iii a ete donnt'c dc ce 
llu'orrmc (|U(' les racines dc ['equation caraclerlsticjue dii sjs- 
tenic Iransrornif" sont precisement les exposants caracteiisticpies 
dii systenie (4'-'^ I a coeKicienls periodiqiies (II, n" i23). Jl v ;mi;i 
done stal)ilite si tons les exposants caraeteristiques ont lenrs par- 
ties reelles negalives, instahilite si I'nn de ees exposants a sa partie 
reelle positive. 

iTO. Series asymptotiques. Stabilite conditionnelle. — Uii pent, coii- 
firmci' les i"esiik;ils ohtemis dans les niiiiit'ios |)i'ccc(lcnts, par r<''lii(lc 
(lirecle <les series represeiitanl les iniegrales, ces series etant, ordonnees 
suivanl les puissances des valeurs iniliiiles, lorsque les parties reelles des 
nonibres X, sont toutes negatives ( voir £'are/-cice 1, p. .\6). AIM. Poincare et 
LiapounofT ont introduil des series d'une autre esjiece, qui niettent en evi- 
dence le caractere asynipt()ti((ne des solutions. Nous n'etudierons que le 
cas le plus simple, eeliii d iiu s\stenie que Van pent raniener a la forme 
reduile 

. , d.Ti , d.r,, ^ dxa 

(oo) — ^).,.r,-...., —^-l„cc„^..., -^ = K,x„ + ...^ 

les ternies non ecrits forinant ties seiies entieres en x^, ..., ,r„, comnien- 
cant par des ternies du second degre, dont les coefficients sont indepeu- 
daiits de t. Posons 

U, = Ci e>-.', n, = C,e>-.', . . . , u,,^ C,,e\.' ( p = n ), 

Ci, Co, ..., Cf, etant des constantes dij/'erentes de zero, et proposons- 
nous de tiouver des series entieres a coefficients constants, ordonnees 
suivant les puissances de «j, «,, ..., U/, et salisfaisaut fornielleinent ati\ 
equations ( jo ). 

( 5i ,1 Xi= Z I-'h, /;(.,. , .//) , /''"' «'"- . . . «/'/'' f J = I , ■>., . . . , n ), 

les coefficients L';,,;,,,,...,/, , sont des constantes qu'il s'agit de determiner. 
Pour acliever de piecisei" le prohlenie, nous supposerons que les lermes 
du premier degre dans .rj, x-,, ..., x^, sont rcspectivcmeiit U[. ..., U/,, 
laiidis que Xf,_^i, ..., x„ ik; renferment aucun terme du premier degre 
en /^i, ..., II jj. (_)n a, dune facon gc'uerale, 

-J ( u'"' iC'^ . . . ii'l',!') ^-i mil\+ ■'■-+- ini,l,,)u'['Ui'!;'- . . . ii"!r; 

en sul)-t il uant l(;s (l('\ elo|)pements (5i) dans les ('■quations (lo), et en 
<''cri\anl ([u'on ohlient iiue ideiililt'', on oblient, pour d(i eruiinei- le coc^fli- 
eient I>;;;,...«, ,. la lelalion 

(32) {niili-r...+ nil,),,,— li)\J„i^^_,„ = 1 1 '„,...,„, 



44 t:ii.\i'i ruK XXIII. — iMi;(.UAi.i:s im-immknt \<)Isim:s. 

le second membre se (ioduisanl par di-s niKiilions el des miiltiplicalions 
des coeflicieiUs des scries (5o) el des cocfficienls deja determines des 
series (5i), provcnant des lennes de de;:;ie inferienr en Ui, ..., U/,. On 
pouna done delerniincr dc pioclie en |)rociie Ions les coefficicnls L' sans 
olre jamais ancle, pourvii qu'il n'exislc cnire les X auciine relation de la 
forme 

(53) m,X,-+-. . .4- m,,l,,— )./= o, 

m\, ..., m,, ctanl des nombres enliers positifs donl la somme csl au moins 
cgale a ■'., el Tindice i pouvanl prendre toules les valeurs i, >., ..., n. 
Placons-nous dans ceile hypolliese, el admcltons en oiitie que le module 
de I'expression (53) a nne borne inferienre / positive. Pour demonlrer la 
convergence des series (5i) ainsi oblcnues, considerons le sysleme d'equa- 
tions auxiliaires, oii Tj esl compris entre o et i. et inferienr a /, 

T, K, = ;/, -h -k>/«,...w,J'i ' • ■ -J,, y 

.f ^r // _■ V f)/' ^'"l ^r'"n 

( 3-1 ) < 

TV— vO''+' 1/'"' v'"" 



., ,. _ V O" v"'> v"'" 



les seconds membres etanl des series majorantes pour les series qui figurenl 
dans les equalions (5o). On satisfait aux equations (54) par des series 
enlicres convergentes en «i, //oi • • •- "/;, et 1 on verifie aisement,de proche 
en proche, d'apres la facon donl le nonibre r^ a ele defini, que ces nou- 
velles series sonl majorantes pour les series (5i). II en resulte que les 
series (5r) sonl elles-memes convergentes pour les valeurs de t comprises 
entre zero el un nombre posilif T, pourvu que les valeurs absolues des 
coefficients C|, ..., C,, soient inferieures a une limite convenable. 

Cela etanl, •^upposnns que les parlies reelles des nombres Ai, ).2, •••, fp 
soient negatives, el que I'egalile (53) ii'ail jamais lieu pour des valeurs 
entieres el positives des nombres mj, /??2, . . ., «?/, donl la somme esl supe- 
rieure a deux. Dans ce cas, comme la partie reelle de A] mi -f-. . .-(- X^j/n^, 
diminue indefinimeni lorsque les nombres /??|, i)i<i, ..., m i, croissenl inde- 
finimenl, il y a un minimum posilif pour le module du premier membre de 
la relation ( 53 ), el nous pouvons appliquer le rcsullal qui precede. 11 exisle 
des series (5ij salisfaisant formellemenl aux ('quations (5o), ordonnees 
suivanl les puissances de Cie^i', ..., C/,eV; ces series sont convergentes 
pour < = o, pourvu que les modules de Cj, Co, .... C,, soient assez petils, 
et par suite elles sont convergentes pour toules les \aleurs positives de t. 
11 est evident que les inlegrales correspondantes soul asymploliques a la 
solution a'/=o. Si /) = «, le rcsullal esl bien d'accord avec le iheoremc 
general sur la stabilile, mais on obtienl des resultats nouveaux en suppo- 
sant que, parmi les nombres X), ..., ),„, il y en a /> seulement donl la 



SOLUTIONS PERIOIIIQLF.S HT ASVMPTOTIOL i:S. STAUILITK. 4^ 

panic reelle e«t negalivfi. Si Ton a piis pour X,, X2, . .., X/^ ces p raciiies 
el si la relalion (33) ii'esl jamais veriliee pour des valeurs enlieres el posi- 
tives ties coefficients nii, ..., ni/,. nous oblenons dos integrales asympto- 
tiques a la solulinn .r/=o, dependant de p constanles arbilraires Ci, 
Co, .... C/,. < >ii (lit (|u'ii y a stahilite conditionnelle. L'ensenible de ces 
trajectoires forme dans I'espace a n dimensions une mulliplicitc a p dimen- 
sions (K/>), qui est aussi un lieu de points lels que les trajectoires issues 
de Tun de ces points soient asymptotes a la solution 0",= o. 

F.es memes series permettcnt aussi dc domontrer quil ne pent y avoir 
slabilile, au sens absolu du mot, si luii des nombres X, a sa parlie reelle 
positive. Soil en effel Xi une des racines de D(X) = o, dont la parlie reelle 
est positive, el au inoins egale a la parlie reelle de I'une quelcoiique des 
autres racines. Aucun des nombres /HiX, — X,- ne pent elre nul, si Ton 
a /?2i>-i; il cxiste done des solutions du sj'steme (3o) 011 .r,, x-2, ..., x^ 
sont representes par des series entieres ordonnees suivant les puissances 
de j<) = CiC^i', avec un rayon de convergence different de zero. La serie 
qui donne x^ commence par le ternie u^, tandis que les autres series com- 
niencent par des termes du second degre. La valeur iniliale x\ de Xx 
pour / = o est egale a la somme dune serie entiere en Gj, commencanl 
par Ci et Ion en lire inversenienl pour Cj une serie entiere en x\, com- 
mencanl par x\, de sorle que {x\)--{- . . .^ {x^^Y tend vers zero en meme 
temps que x^. Supposons, pour fixer les idees, que Xi soil reel, et soil /< 
un nombre posit if < p. tel que la valeur de Xi{ui) poui- »i = h ne soil pas 
nulle. Soil, d'autre part, r, un nombre posilif quelconque. 1! est toujours 
possible de prendre poui- x\ \\n nombre posilif inferienr a Tj tel que la 
valeur correspondante c de Gi soil positive el inferieure a /«, puisque le 

rapport — ^ lend vers I'unite iorsque .r^ tend vers zero. L'integrale corres- 

pondanle .ri(ce^M'), qui piend la valeur x\ pour < = o. atteindra la 
valeur Xi{/i} au temps T donne par I'egalite h = ce'''", c'est-a-dire pour 

la valeur positive T= r-log( - )• La solution .T; = o est done instable. 

On raisonnerait dune facon analogue si Xj etail un nombre complexe a 
parlie reelle positive. II y aurait alors une autre racine Xo conjuguee de la 
premiere, et Ton considererail les series ordonnees suivant les puissances 
de Cje'i' el de C-ic'-^', en prenanl pour Ci et Co des imaginaires con- 
juguees. 

Hour I'elude des series asv mplotiques dans des cas plus generaux, on 
consullera, outre le iSIemoire de M. Liapounofl', .1^ Cliapitre VII du Tome I 
des Methodes nouvelles de la Mecanique celeste de M. F'oincare, el le 
Chapilre VIII du Tome III du Traile d' Analyse de .M. Picanl. 



ciivi'iTHi; xxm. — i.m kgrvi.ks i.m-immi-.m V(Hsim>. 



COMPLEMENTS ET EXERCICES 

1. DomonlriM-, |);ir lelude diiecte ties series, oidonnees suivant les jmis- 
s.iiices des valeuis iiiiliales, qui lepresentenl les inlegrales, quil y a slal)i- 
lile. lor<que les parlies reelles de toulcs Ics racincs de lequatioii carac- 
teristique D ( /, ) =^ o sont ni''i;alives. 

/». Oonsideroiis iiii jystcme de la forme 
( A \ ^"^^ _ ) r -4- '^' P' r"'ix"'- 7>"" 

les parlies reelies des A, elanl toules posilixos. Soil ;x un muDhre posilif 
plus pelil que les |)arlies reelles de lous les /.,. On considere le sysleme 
auxiliaire 

( \' \ ^ ' — M v._^vr)'' \"'i\"'; \"',i 

\'^ ) I. — I* -^z -+-— V'"i ■■•"•■/. -^ 1 ^j • • • -^/i I 

le? Qj elanl des fonclions doniinanles pour les fonctions P, pour t-to. En 
posanl T,= e-'''j',\, X/= e-^-'Y,-, les deux syslcmes (A) el (A') sonl rem- 
places par deux systemes de ineme espece oii le coefficient de Y,- sera supe- 
rieur au module du cocfficienl do >', pourvu que le nombre posilif A" soil 
pris con\ cnablemenl. 11 suffira done de demonlrer la propriele enoncee 
|)Our un sysleme auxiliaire de la forme 

at ' \ I -I- . . . — \ „ 
I 

!M. ;jL el o elanl des nombres posilifs:ce qui se fait faciii-menl en deveiop- 
panl les intej;iales suivant les puissances des valeuis iniliaies. 

2. A|)pliquer les ibeoremes generaux sur la slabilile a I'elude des inle- 
grales de I'equation \ dy — \dx^=o, dans le voisinagc de I'origine; 
X el Y sonl des scries enliercs en x el t. san-^ lerme conslanl. 

On ramcne a It'lude du svsleme 

el Ion observe que la courbe inlcgrale issue du poinl (.ry, y^) va passer 
par I'origine lorsque x et^ lendenl vers zeio quand la valeur absolue de t 
augmenle indefiuimenl, el dans ce cas seuleincnl ( c/. II, p. 5oy). 



CHAPITRE XXIV. 

tnUATIONS DE MOXGE-AMI'KRE ( ' ). 



I. — CAR\CTERISTIOUt:S. INTKGHALES INTERMEDIAIRES. 

471 . Probleme de Cauchy pour une equation du second ordre. — 
Dans le cas dune equation auxderivees partlelles du second ordre 
a deux variables independantes, le theoreme general d'exislence 
de Cauchv (l. II, n" 4o()) s'enonce ainsi : 

Etant (lonnec une equation 

/ 0-z (I- z (}-z 

(n r = V (./•, y. z. p. a. s, t }. '' = ■ — ; i s = > t = — 

do/It le second inembi'c est une foncLion ancdytique holomovplic 
dans le voisinage des valeu/s .Tq, t,,, Zq, p^, q^, .Su, Z,,, soient 
'fo(jK) ct '^\{y) deux fonctions de y^ hohnioi-plies au voisinage 
de y =j'o, ct telles qu'on ait 

r equation (i) adniet une integfale z( x^ y), holomorphe dans 
le domaine du point (jCoO'o)) <'-t telle que, pour x = x^,, on ait 

Jl /I'existe qu' une integrale satisfaisant a ces conditions. 
r^es condi lions qui deleiniincnl la surfiicc integrate onl nne 



Cj .Ic me boine aux points cssenliels de la llteorie: pour plus de details, on 
pourra consullcr nies Lccoiis sur ['integration des equations aux dcriKces par- 
tielles du second ordre (Hermann, 1896-1898). 



.\S niviMTni: \m\. — koi ations di-: .mon(;ii:-\mpkui:. 

si^nificalion gc(>nK'lri(|uc c\ ideate. Les iloux equalions J7:=^oj 
c = '-^oiy) represenleiil iiiie courbe plane C, el Ion voll que celte 
ronrhe C apparlienl a une infinite de surfaces inlegrales dependant 
dime lonclioM arhiliaire 's5,(jv'). Si 1 on se donnc aiissi relic fonc- 
lion 'J, {^'). ie plan tangent a la surface intcgrale est connu par la 
nicnie tout Ic long tic C. Plus gcneraleinent, consitlcrons une 
courltc quclc()M(pic W piam' ou gauclic. cl une dc\cloppable A 
passanl \y,\v cetlc courbe, de facon (pi a chaquc point M de T cor- 
responde iin plan passant par la langcnte en M a celte courbe; 
une integrate dune equation du second ordre 

(2) F(t, j% z. p, g, /■, s, f) = o 

est en gcnc'-ral compleleinenl deleniiinee si on 1 assiijellil a passer 
par la courbe F et a ctre tangente a la dcveloj)paMc A tout le long 
de cette courbe. Supposons en ellel cpie, dans le \oisinage dun 
point (j7o;.i'oi -^o) de T, les equations de cette courbe soient niises 
sous la forme _r :=yY^), z = z>(x), les foncti ons y'(.r) et '^(.r) 
etant holoniorpbes dans le domaine du point j",,- Prcnons trois 
nouvelles variables a, c, d", liees anx \ariables x, )', z par les 
relations 

et considerons n et i' comine les nouvelles variables indepen- 
dantes et tv comine la nouvelle function inconnue. De la relation 
dz ^ p dx + q dy, on lire (^I, n" Gi) 

Ow , Ow ., <Jn> 

n = -:> {u) J ill)-, fi~ — ; 

■' Oil • uv •' ' ov 

il vient ensnile, en jjarlant des identiles djj ^ r dx -\- s dy., 
dq = s dx -r- t dy ^ 



0- »' „, , d- w 0- w 

f(ii)-rv' i= — T' 

Oudi> Ov- uv- 



Lequation (2) se change en une nouvelle «'quation du second 
ordre 

^[ ' >hv dw i)-\v 0''-w 0-w\ 

\ Oil ov ou- oudv ov- J 



/ 



I. — CARACTKUISTIQLES. INTKGIUIJCS INTKIIM KDIAIHKS. 49 

tandis que Ics condilions geomelriques auxquelles doll satisfairc 

rinlt"i;rale clierchee sont remplacees par les suivantes. l^uisquc :; 

doit se reduire a '-3(^) poiiry =J'(^x), iv doit etre nul pour t* = o, 

cpicl (|iie soil a; dauire j)aii, piiiscpic le jjlan tangent a la surface 

est donne lout le long dc T, q est uue lonclion connue de x, el par 

div ... , /^ I 

suite — est une lonclion connue de (t pour v = o. Un est done 

raniene a un proMeine plus sin)[)le ; 



Delerinlnei' iine intci^riile de lequalioii (3) se rcdaisanl a 
•ro^ pour V = o, tOi 
Jo net ion connue de u. 



/ • ; , , . , OW ■ 1 ■ 

zero, pour i' = o, tandis que la derivee — - se reduil a une 



r^ .... , , , , dw dw d- tv 

L-es conditions lonl connaitre les valeurs de (v, — > — , - — -, 

Oil Ov da- 

pour u = .-r,), (' = o ; pour qu on ait le droit d aj)pliquer le 

(heorenie general d'existence, il suflira qu'on puissc resoudre 
1 e(|uation ( o) par rapport a — - de facon a mettre 1 equation sous 
la ("orine normale (i). 11 suflit j)our cela que cette equation (3) 

1 0- {V . . . I- • I I II 

adnietle en une racine (lui soit une lonclion iiolomorphe des 

Ov- ^ ' 

autres \ariables dans le voisinage des \aleurs iniliales precedentes. 
l*our verifier qu il en est bien aiiisi en general, si la courhe T el 
la developpable A n ont pas etc elioisies d'une facon parliculiere, 
observons que, le long de F, les coefficients angulaires p el q du 
plan tangent a la developpable A sont des fonclions de £C satisfai- 
sant a la condition 'J l^x) ^ p -\- qf [x), qui exprimenl que ce 
plan contient la tangente a T. 

Les valeurs des derivees secondes /•, 5, t de la fonction 
inconnue z(^x^ y) doivent salisfaire, en cluujue point dc T, a 
I'ccjuation (2) el aux deux relations 

(4) p'{x) = r-^sf(x), (/{x) = s-\- tf'{x). 

Soient /o, i'o, ^0 ^i" sjsleine de solutions des e([uations (2) 

el (4) ou Ion a fait x = x^^^ y =ynj ^ ^ c,)^ o[xo). A ce systeine 

de solutions de lecpiation (2) corresjjond un sjsteme de solutions 

de IVcjualion (3), et Ton verifie immediatement, d'aprcs les loi'- 

G.. IH. 4 



5o (iivpinu: x\i\. — i:oi.\tions hi: MONt.ic-AMi'iiiiK. 

mules dii cliani;oinent do \ariables qui ilonncnl /■, v, /. quon a 

(5) 



<)-■? 



cm. 



=f?,).;A-.';'-(^)/v.) 



Or/o' 



('I 



Si le second mknuIjim^ de collo relation n'esl pas nul, Tequa- 
lion (.)) peul rlre resohie par rap|)orl a — —i el Je tlieorenic 
general d'exislence est a|)plical)le. 
/^En resume le prohleme propose adniel aulani de solutions liolo- 
morplies que les equations (a) et (4) adnieltenl de syslemes de 
solutions en /•. v. / jiour lesquels rexj)ression 

dr "^ ^^' ds'' ^^ Ot 

est diflerente de zero. 

L etude des cas excej)lionnols oii cette expression est nulle \a 
etre poursuivie en detail pour une classe parliculiere d'equalions. 

Les explications qui precedent juslifient la definition de Tinte- 
grale generate proposee par M. Darboux et adoptee depuis : Une 
integrate est generate si t'on pent disposer des arbitraircs qui 
y Jigurent, fonctions on conslantes en nonibre itliniite^ de ma- 
niere d retroiner tes solutions dont tes ttieorenies de Caucliy 
nous denionlrenl I' existence^ c'esl-ci-dire de ntaniere a atlribuer 
a. ta fonction inconnue et d I' une de ses deri<,'ees premieres 
des vatcui's se succedant suiianl une toi continue cjuetconque, 
donnee d Cavance, pour tous tes points d'une courbe. 

]^a determination effective de lintegrale salisfaisant a ces con- 
ditions constitue le Problenie de Caucliv j)Our une equation du 
second ordre. Les raisonnements qui precedent supposent que 
I'equatiou et les donnees sonL analjtiques; par extension, on con- 
serve le nom de prohleme de CaucliV; alors meme que les donnees 
ne sont pas analyliques. Nous verrons plus loin que, dans bien 
des cas, la condition d'analyticite n'intervient pas dans la solution 
(Chap. XXVI). 

Remarque I. — Une fois qu'on a reconnu rexislcnce dune 
integrale gatisfaisant aux conditions de Cauchy, on peut calculer 
de proche en proche les valeurs des derivees successives de la 
fonction inconnue z{.r, y) en un point quelconque de F. Les 



I. — CAU VCTlhuSTIQllCS. IMKOHM.KS I.MKU.MKIlI VIRES. J I 

derivccs dii Iroisirmc ordre, p.ir exeiiiple, s'ohliL'iidronl en rt-sol- 
Viiiit Ic systeinc de cini| (Mjiialions liiu'-iiires c()m|);ilii)les 

dV oF Ob' f)f Ob' 

Op Oq Or Os Ot 



oV 




ov 




Ox 




Oz 


P 


OV 


-\- 


Oz 


7 



OV dV dV oV 



Op 0(j ()r as Ot 



Pik = 



dj7' Oyi^ 



dr ., , ds ,., , dl 

^ =Px<S^p-lJ (^), ^ =-p-2l^PiJ (.^): ^ =Pll-^PoJ {OC), 

/•, 5, t ayant deja ele calculces, el ainsi de suite. On vrrlfie alse- 
ment que les derlvees dordre n sonl iouniies par uii sjsteine 
dequalions lineaires, dans lesquclles le delcnninant des coeffi- 
cients des inconnues est une puissance de lexpiession 

OV ^ ..^ ,, oV .,, ,)V 

Of '-^ ^ ^' OS'' ' ot 

qui par livpolliese est diflerente de zero. 

Reniaiqnc II. — Elanl donnee une surface integrale S de 
1 equation (i>, ), lequation dillerentielle 

OV , oV , , OV , „ 

( G ) — dy- dx dy -\ dx-- = o, 

^ ' Or •'^ Os - Ot 

oil Ton su|)pose z, p, q^ /■, i', I expiimees au mojen des variables x 
et }/■, determine sur cetle surface deux families de cuurbes, 
qu'on appelle courbes caiacleristiques. Si Ion considere une de 
ces courbes Y et la developpable A circonscrite a S tout le long 
de r, on ne pent aj)pliquer a eel assemblaj^e le ibeoreme i;eneral 
d'exislencc, puisqu'on se trouve justeinent dans le cas excep- 
lionnel qui a ete exclu de nos raisonnemenls. On voit en parli- 
culierque s'il cxistc une infinite de surfaces inteyrales, dependant 
d'une ou pliisieurs constantes arbilraircs, tangentes lout le long 
d'une courbe, cetle courbe est necessairement une courbe carac- 
teristique sur cliacune de ces surfaces. 

Remarque III. — On dil souvenl qui^ I'iiiiegiale geiieralo dune equa- 
tion aux derivees pailielles du seconil (jrdie a deu\ variables indepen- 
danles depend do deux foncliuns arbitraires d'une variable. Gelle locu- 



11 CIIAIMTUI-: WIV. — KQL'ATIO.NS DK MONGIi-AM I'Klli;. 

lion n'a dc sens precis que si Ion se reporte a I'enonce nieme dii tliroreme 

<le Canchy, el il famlrail bien ?e garder de juger du de^ie de generalile 

dune itUegrale d'apies le noiid)re des fonci ions arbilraires qui figurenl dans 

, ,.. . (^z dz 

son expiessiitn. ^-onsideroiis par exeniple I eqnalion 



el 



mlf 



Ox- Oy 
grale de cclte ;'(|uati(>n qui. pmir :r = .if,, est egale a une roiiclion 

donnee o(y), tandis que — se rediiil a une aulrc tnnctiou donnee '^{y), 

ces deux fonciions etant liolornrir|)lies dans le doniaine du poinl j'o 



'l{y)= b(,-\-bi(y—y^) 



(^niy — yo)"-^ 
bn(y-y^)"-^ 



Cetle integrale s'ol)lient aisement et, si Ton ordonne le developpenient 
suivanl les puissances de ar — .To, on peul I'ecrire sous la iornie 






(.r 



0-) 



- 'i'iy)- 

{X — 3--o)-" + 



( .r — a~o )■■* 



'Viy)- 



(V)..., 



oil les deux fonciions arbilraires 'f(j') et 'i^iy) sont mises en evidence. 
Mais, si Ton ordonne le develo|)penient suivant les puissances de^ — j'o, 
i>n pent aussi Teciire 



V{x) designaiil la fond ion holouKjrplie 

ix — x^)- 



V(x) 



h^(x 



■^oj- 

(x 



.r,,)' 



(7/1 — I ) -2 /t 



bn 



(x X„)^ ^ 

\ .l.i 

(X — Xo )'-" + ! 
. . . ( 2 /t -r 



{n 



') 



et dans cetle nouvelle expression, ne figure plus qii'une fonction ¥ {x). 
On s'explique aisement ce resultat en observant quau poinl de vue pure- 
nient fennel il est absolunienl equivalent de se donner les deux series 
entieres o{y) et '^(y) on de se doniuM- la seule serie ¥{x){cf. I, 170). 

Cetle remarque conduit a une ijtopiiele imporlante des inlegrales de 
I'equalion /• = cj . ]-a fonction V(x) est la fonction a laquelle se reduit 
linlegrale pour )'= yg; nous voyonsque celle inlegrale est completemenl 
fleterniinee quand on connail la seule fonction ¥(x), ce qui seinbleen con- 
tradiction avec le llieoreme de Gauchy. Mais celle contradiction apparenle 
s'explique si Ion observe que les courbes y = C d'uiie surface inlegrale 
sont des courbes caracieristiques, pour lesquelles le ibeoreine est en defaul. 
Observons aussi que celle fonclion ¥ix) ne peul pas etre cboisie arbilrai- 
rement, si Ion suppose I'integiale liolomorphe dans le doniaine du 
point (aro, j^;. En ellei, les scries <?( jj, '^(j') ont alors un rayon de con- 



I. — rAUAciERisriorKs. iNri;(;ii\i.i;s im i:ii.mi;i)IA1Ri:.s. j3 

vcrf^ence fini. ot il exisic <l(;ux nombres posilifs M el p tels que Ion ail. 
quel que soil /(, |(^/,J < M p-", |^„|<iMp-«. En remplacanl a,i cl /v„ 
par Mp^" (Jans F(3"), on ol)lienl une function entiere, et par consequent 
toute inlegrale de lequation /• = cj, qi;i est une fonclion analylique des 
deux variables x, y, lioloniorphe dans le domaine d'un point (xo,yo), est 
line fonclion cnticre de la variable x, pour y =^o- H s'ensuit que I'ou 
ne pent trouvcr d'integrale analylique se reduisant pour y =JK» j> ""6 
fonclion bolomorphe donnre de x. si cetic fonclion liolomor[)he est 
quelconque; il est necessaire en particulier qu'elle soil une fonclion enliere 
de X. Get exempie est souvent cite pour montrer que Ton ne peut appli- 
quer lo llieoreine d'exislence de Caucliy a une equation qui n'est pas mise 
sous la forme normale exigee par la demonstration. 

i7l2. Elements de contact. Les multiplicites M. — Pour aljreger 
le lanf^age, nous appelleions clement de conlacl^ ou plus simple- 
ment element, rensemhle d'un point de cooidonnees {x,y, z) el 
d'un plan de coefficients angulaires />, q, passant par ce point. 
Lorsque les cinq coordonnees x^ y, z, />, q d'un element soul 
fonctions d'une ou plusleurs variables independanles, on obtient 
des mulliplicites d'elements, mais nous n'avons a considerer ici 
que les mulliplicites lelles que les fonctions J\ r, •;, p-, q cl leurs 
diflerentielles verifient idenliquement la relation 

(7) dz=pdx + qdy; 

on dil alors que deux elements infinimenl voisins d'une telle 
mulliplicilc sont unis. f.a relation {-) exprime cjue le |joinl 
(^x-\-dx^ y-^dy, z-\-dz) est silue dans le plan de coefficients 
angulaires/?, q^ passant par le point (x, y, z). Les mulliplicites de 
retle espece sont representees par la letlre M/, I'indice i indiquanl 
le nombre des dimensions de la mulliplicile, c'est-a-dire le nombre 
des variables independanles dont dependent ,r, j', z., p., q. 

Considerons d'abord une mulliplicile M, ; x, y, z, />, q sonl 
alors des fonctions d'une \ariable independanle a, verifianl la rela- 
tion (-). Le point X, r, ^ decril une conrbe F, et la condition (7) 
exprime que le plan de coefficients angulaires /y, q correspondant 
a chaque point de F passe par la langenle a F en ce point. La mul- 
liplicile M, est done formee par I'assemblage d'une courbe F el 
d'une developpahle A passant par celte courbe, cliaque point de F 
elanl associe aii plan tangent a A en ce point. II |)cut arriver, 
comme cas particulier, que la courbe F se reduise a nn point; la 



j\ ciivpirni: wiv. — koivtions di: .MtiM;i:-.\.Mi'Kiu:. 

inulli|WicilL' M| se comjiose alors di' rciisenihic des elemenls 
ohtenus eii assoriant un point (Ixo de Icspacc aux plans tangents 
a un cone queleoncpic ayant son sommet en ce point. 

Si a rliaipic point dune surface S on associe le j>lan tangent en 
cc point, on obticnt une niulliplicitc- d'elements dependant de 
deux paranietres vaiiahles, vc'-riliaul idenliqucnient la relation ( -), 
c'est-a-dirc une mull Iplicile M_,. luvcrseinent, clanl donnees cinq 
fonclions de deux variables independantes. satisfaisant a la 
condition (-), trois cas peuvent se presenter : i" en general, le 
jioint (x, )', z) deerit une surface S; le plan de coefficients angu- 
laires^, q est alors le plan tangent au |>oint (x, y, z) a cette sur- 
face, et la multiplicite Mo s'obtient en assoeiant chaque point 
d'une surface au plan tangent en ce point; 2° si le point x, j', z 
deerit une courbe W la niulliplicite M-, se compose de tons les 
elements que Ton oblienl en assoeiant cliaque jioint de F a un plan 
quelconque passant j)ar la tangente en ce point; cet assendilage 
depend bien de deux parametres; 3" il pent aussi arriverque le 
point (x, y, z) soit fixe, p etq etant les deux parametres variables, 
I^a relation (y) est encore verifiee, et la multiplicite Mo se compose 
de tons les elemenls obtenus en assoeiant un point fixe de Tespace 
a un plan quelconque |)assant par ce point. II v a iulercl, |)()ur la 
generalite de certains tlieoremes, a considerer des multiplicites Mo 
des trois especes. Mais, dans la suite, nous ne nous occiij)erons que 
des multiplicites M, fonnees dune courbe el des |)lans tangents a 
une develo|)pable passant par cette courbe, et des multiplicites Mo 
dont chaque element est forme par un point d'une surface S associe 
au plan tangent en ce point. II est clair qu'une surface S on, plus 
exactement, la mnltipliclte Mo correspondante pent elre, dune 
infinite de manieres, engendree par une famille de multiplicites M, 
dependant dune constante arbitraire. 11 sufdlcn ellet de prendre 
sur S une famdlc quelconque de couibes, dependant d un para- 
metre, el d'associer a chacune de ces courbes la developpable cir- 
conscrile a S le long de cette courbe. 

Avec la terminologie qui vient d'etre expliquee, le problrme de 
Cauchy pour une equation du second ordre a deux variables inde- 
pendantes pent elre pose ainsi : Etant donnee une multipli- 
cite M|, troiiver une surface integrate a Uujuelle appartiennent 
tous les elemenls de celte mnliiplicite. 



I. — CAR VCTKRISTIQl i:S. INTKCiRAt.KS INTKUMi':!)! AIIIEP. 55 

173. Equations de Monge-Ampere. Caracteristiques. — Nous 
allons disciiter cc |)ri>ljl('iiie linsqne 1 r<[uatiou Jii second ordrc est 
liiieaire en /•, .v, /, ou do la forme plus generale consideree par 
Ampere 

( 8 ) U r - -iKs — \.f -^ M — 'S (rt — s^-) — o, 

H, K, L, M, N etant des fonctlons de x, y, :■, p. q . Solent •r(A), 
j'(/.), ■:j(A), /^(a), ^(a) les coordonnees dun elc'-ment d'une niul- 
tiplicite M|, eomposee d une courhe F, dont chaque point est 
associe an jjhm (angenl en ce point a une developpal)le A passant 
par cetle courhe. Les derivees secondes i\ s, I de la fouction 
inconnue z{x^y) en un point quelconcjue de F doivent salisfaire 
a I'equation (8) et aux deux conditions 

( 9 ) dp =^ r dx -+- 5 dy^ dq = 5 dx -\- t dy, 

ou X, y, z, /?, q sont des fonetions du j)aram(''tre A, et nous avons 
tout (Tabord a resoudre ce svsleme de trois equations en /•, y, t. 
Pour discuter plus facilement ce sjsteme, il est commode d'em- 
plover la representation geometrique siiivante. Si Ton regarde 
X, y, z, />, (/, dx, dy, dp, dq comme des constantes donnees, /■. s, t 
comme les coordonnees rectangulaires d'un point, les equations (9) 
representent une droite D, parallele a Tune des generatrices du 
cone (T) qui a pour equation it — s- = o, tandis que I'equation (8) 
represente une surface du second degre S, dont le cone (T) est le 
cone directeur, si N n'est pas nul, ou un plan l^, si N = o. Cela 
pose, les seuls cas qui puissent se presenter sont les suivants : 

1" En general, la droite D rencontre la surface S ou le plan P 
en un seul point a distance finie, et par suite les equations (8) 
el (9) admetlent un seul sjsteme de solutions en r, s, t. Le pro- 
hleme de Cauchy a une solution et une seule ('). 

2" II pent se faire que la droite I) nc rencontre la surface S ou 
le plan P en aucun |)oint a distance finie. Le f)rohlcme de Cauchy 
n'admet pas de solution holomorphe. 

3" Enfin, il pent se faire f[uc la droite D soit silui'-c tout enliere 



(') En e(Tet I'exprcssion (5) ( n " iTl ) n'est pas nullc pour ce systeme clc 

I '^''' <•"''' <i^ 1 1- J I I • c • r> 

solutions, car — -> — , — sonl les parametres directeurs de la norniale a b ou a I , 
III- Os Ot 

et dy''-, — dxdy, rfj;- sont les parametres directeurs de la droite D. 



/ifi rilMMIftK XXIV. — KQl ATIONS OK MONCK-AMPKRi:. 

sur la siirraee S on \c plan P. tie sorlc que Ics rcjualions (8) el (9) 
ailincllcnt une iniiniU' (ie svslemcs do sohilions en /\ .f, /, pour 
cliaque poinl dc la eonrhc V. On dit alors <|ue la ninllij)li(iu'' con- 
siderec M, osl nnc nii/////)/icff(' ca/rictc/is/ir/ur. on nne carac- 
/rrisfif/f/c. 

l*our former les ('•(jualions <|iii delinissenl ces ninlliplicitcs, il 
suflit d'exprinier (|ue la drolle D esl sitnee lonl enliere sur la 
surface rej>resenlee par retjualioa ( 8). Snj)posons d'ahord N ^ o; 
nous pouvons ecrire reipialion (8), en ninltijdianl Ions les lermes 
par \, 



on encore 

(10) (N/-^-L)(N/ + H) — (N54-),,)(N5^).2) = o, 

A, el )■:. elanl les deux racines de Tequalion dn second degre 

(11) )>2+2KX^-HL— M\ -o, 

L'equation (10 ) met en evidence les deux sysLemes de genera- 
trices reclilignes de S; on obtient toutes ces generatrices en attri- 
bnant au parametre <j. tontes les valeurs possibles dans I'un des 
svstemes dequalions 



(A) 



j N /• -+- L = ;ji ( N 5 -f- /. 1 ) , 



(B) 



N/--f- L = [J-i'Ss -i- XO- 
Ns -+- )., = [ji(N/ + H). 



Ponr que la droile D, representee par les equations (9), fasse 
partie de Inn de ces sjstemes de generatrices, il faut et il snfdt 
(pion |)nisse determiner u. de faron qu'on ait 



In" 



- aN 



dp 



dq 



on les relations analogues, oblennes en pcrmulanl A| et Ao. 

1/elimination de <x entre les equations precedentes conduit a 
deux equations 



N dp -H L dr -r- a 1 dy — o, N dcj + Xo dx -+- II dy = o. 



/ 



En definitive, toule caraclerislique M, de Tequalion (8)secom- 



r. — r\iiA(:Ti:itisTiQi F.s. inti:(;i!Am:s i.\Ti:ri.Mi:i)iAinKs. -j- 

pose dun sysleme de cinrj fonclions x, y^ z, p^ q dune vari;iljle 
indej>endanle satisfaisanl a 1 iiii des deux sjslemes siiivants de 
tiois eqiia lions 

I N dp -f- \j dc -r- X| dy = o, N dcj -t- Ao dx -^ \\ dy = o, 

( 1 J j 1 

( dz — f> dx — q dy = o, 

[ .\ dp -\- L dx -\- K-idy = o, N dq -~i.idx-\~\\ dy = o, 

(i3).. 

I dz — p dx — q dy = « , 

c|ul se deduisenl 1 iiu do I autii' en perniulant ).) el '/.■,■ ^^ii \^nl 
qu'il y a en general deux families dislinctes de caracterisliques, 
qui sont confondues si I'on a A, = Ao, c'est-a-dire si S se reduit a 
un cone, ct dans ce cas seulement. 

Supposons niainleuant N = o ; lequation (8) est alors lintaire 
en /•, .V, /, 

(8)' 11/— iK5 — L; -f- M = <). 

La parallt'le a la droite D menee par Toriginc a pour cMpialions 



( dy )- — dx dy ( dx f ' 

cette parallele doit etre dans le plan H /• + 2 Ks + L f = o, mene 
par Forigine parallelement au plan P, ce qui exige qu'on ail 

( 1 4 ) H f/>'- — '1 K dx dy -~- L dx- = o. 

Nous dislinguerons encore plusieurs cas : 

Pieinier cas. — Soil fl ^ o. On lire de Tecpiation {\f\) deux 

valeurs finies )., , ).j pour -j^ • Pjenons par exemple ily = ).) dx; les 

e(jualions ((j) donnent ensuile 

dti . dp . dq , „ 

A=-^— /.,/. /•=-/- —A, -/ -+-A|/, 

dx dx dx 

el, en porlanl ces valeurs de ;• el de 5 dans Tequalion (8)', la con- 
dition ohtenue s'ecril, en tenant compte des relations entre les 
cocflicienls et les racines de I'equation (i4)i 
II dp -+- II Ao dq -h M dx = o. 



5s niAi'iTitr: wiv. — icoi vtio>s ni: mo.nt.k-ampkrk. 

Lcs riinaUous (.liUV'roulicllcs tics tloiix svsli'inos do caractcrlsliqiicj 
soul ilonc Irs suivaulos : 



(I j1i 



(l3>2 



I (ly = ).,</.r, II r//) -^ II A.f/y -4- .M t/.r = o, 

( dz — p </.»■ — q fly — o, 

I </j- = Ao</.r. II f//) -4- nX| </y ;- M r/.r = o, 

I f/o — /) d.r — q dy = o, 



A, (.'l Ao c'laiit Ics deux r.iciiies de 1 cciii.ilioii 

(lO) 11X2— 2KX -+- L = o. 

Dciixienic cus. — Soioul II = o, L:r^-o. Ln calcid lout a fait 
jiareil donne les cqualions dinV'rculielles dcs dciix systenies de 
caracltTisli<[ues : 

(17)1 dz — pdr — qdy=n. dx = o. M (/y -^ kWc//) -\- l^dq = n, 

(17)2 dz — p dr — q dy = o, 2 K dy — L d.v = 0, M dy ~ L dq = o. 

Troisicnic cas. — Soil H r^ L = o. On a deux systemes de 
caracteristiques toujours ilistincls, donl les ('(|iiatioiis dideren- 
lielles sonl respectiveine'il 

(18)1 dz — p dx — q dy = o, dx- = o, 1 K dp -+- iNI dy = o, 

(18)2 (tz — p dx — qdy == o, dy = 0, -^ K dq -\- M dx = o. 

On rcinar(Hi('ra que la relation 

(Kj) K-^- Hi. ^ .M\ =0 

cxprinie dans tcjus les cas la condition necessaire et suffisanle pour 
(jue les deux svstemes de earacti'iisliqucs se reduisent a un seul. 
Les caracteristiques de ciiaque svstenie dependent d une fonc- 
tion arbitraire, et non [)as d un noinbre (ini de constantes arbi- 
Iraires, coninie pour une (''qualion (\ii premier onlie. Kn elFet, on 
a trois relations seulenient entre cin(( fonctions dune variable et 
leurs derivees; on |)eut choisir pour Tune des \ariables y, c, /?, q 
une fonction arbitraire de x, et il reste un systeme de trois equa- 
tions diirerenlieiles du premier ordre j)Our determiner les trois 



I. — C.VRACTERISTIQIES. INTECn U.KS INTKRMKDIAIRUS. JQ 

aiilres fonolinns. Prenons par cxemplt^ iinc I'qiiation dc la forme 

^ = fy^i y^ -! /') 7,*; 

les cVjuatioiis dinV-rentiellcs do Tun dcs systcines sont 

^/,r = o. dz = (] dy, dp z= f{x, y, z, p, (j ) dy. 

La premiere clx=^ o montre que x est constant tout le long; dc 
la caracterlslique, c'est-a-dire ([ue la rourbe T est dans un j)lan 
parallele an plan dcs j)':;. Inverscmenl, soil V une coiirbc plane 
quelconque representee par les deux equations x = Xq, - = 'f (.x)- 
On tire dc la seconde des equations q = '^'(y), landis que p doit 
elre une integral e de I'equation diflerenlielle 

on pent encore choisir arbitrairement la \aleur de p pour une 
valeur donneej'o de_y. Toute courbe plane, dont le plan est paral- 
lele au plan des ys, apparlient done a une infinite de multiplicites 
caracteristiqnes, dependant dune conslante arl)itrairc ( ' ). 11 est 
clair, par raison de symetrie, (|u il en estde meme de toule courbe 
plane dont le plan est parallele au plan des xz. 

il i . Proprietes des caract6ristiques. — Le role capital des carac- 
teristiques dans la tbeorie de re(|ualion (8) est une consequence 
du theoreme suivant : Toute integrate de cette equation peut 
elre engendree^ de deux f aeons diJJ'ereiites, par dcs caraclcris- 
tiques. 

On peut encore enoncer cette propriete d'une lacon plus 
precise : Tout element d'une integrate fait partie d'une 
caracteristique de chacun des svstrnies^ dont lous tes etemenls 
appartiennent d cette integrate. 

Supposons, |)our fixer les idees, N^o. Soit :: = /"( a?, y ) une 
integrale de I'ecpialion (8) ; si Ton remplace, dans les deux pre- 
mieres equations (i3),, :?, p, q, /•, .v, t par/(jp, y), ^, •"' J^ 

(') Les equalioiis generulcs dcs caracteristiqnes rl'tiiic eriuation .s' ^= f{x, y, z) 
pen vent elre obteniies expliciteiiicnl. Si I'on prenci en cfTel x = x,,, p = r(^')> I** 

dernieic equation dp - - f dy donncra z, et la seconde donne ensuite rj =: ——• 



6o (iivriTiii: \\n. — i:oi \tions in; mont.k-ami'KUK. 

respocliveiuciil, on oltlicnl drnv ('(inalions (lillVMenlielles dii pre- 
mier ordre 

( ( N /• -H L) <{.r -K ( N s -H /. I W/k = o, 

( ( \ 5 -H Xj ) </.r -H ( \ r -h 1 1 ) dy — o, 

(iiii se rtiduisenl a une sciile, nuiMiiK.: rt'liininalion dc -f- conduit 

' 'II (f j~ 

precisemenl a lecjiialion (io». II cxisle done, sur la surface inle- 
grale consideree, une faniille de courbes, dependant d'une con- 
stanle arhitraire, satisfaisant aux deux equations equivalentes (20). 
Soil C Tune de ces courhes; les elements du premier ordre de 
lintegrale le long de C foriiient une umiliplicite M(, (jui est une 
muhiplicile caracterisli(|ue. I£n ellVt, en verlu des relations 

(l/> = /• fi.r -+- s fh\ dcj — .« cLt -i- t dy, 

on pent inversement remonter des equations (20) aux equations 
dilferentielles ( i3), des caracteristiques. Par cliaque point de la 
surface int(''grale il passe done une courLe C telle que les elements 
de la surface le long de cetle courbe fornient une multiplicite 
caracteristique du premier svsteme. On verrait de meme que, par 
cliatpie point de la surface, il passe une courbe C telle que les 
elements de I inlf'-grale le lung de C iorincnt une caracteristique 
du second sjsteme. Les courbes C et C constituent les deux 
families de courbes caracteristiques sur la surface integrale con- 
sideree. Ces deux families de courbes sent donnees par une equa- 
tion dilTerentielle du premier ordre et du second degre. On tire en 
clVet de la premiere des equations (20) 

/., = — (^/• — L; — — Ni, 

el. en remplacant ),, par cetle expression dans 1 equation ( r i), on 
aboutit a lequation dillerentielle 

{'St -^W) dy"- -H 9. i .\ s .-Y,)dx dy —(\r ^L) dx"- = o, 

<pi"on pc'ut encore ecrire irf. n" 471) 

(2O \\dy-'—'Sdxdy-^'ldy'^=--o, 

Pi. S, T designant les derivees partielles du premier membre de 
Pequation (8) par rapport a /•, >, l respeclivemenl. 



I. — c\u\f;Ti';nisTiQLi:s. intkurai.ks im r.it.MKDiAiuns. Gi 

iJes calculs loul parcils s"a|)|)ll(nicnt ;ui cas ou N esl mil. Sur 
louto surface inlegralc, il exislc (lenx families de courbes caractc- 
ristiques, en i;eneral tlislinctes, qui sont (N'-finics par I'cqualion 
(liircrenlicllc <lii prrmicr ordic ct ilii second degre 

(•22) II dj'- — •>. K d.r dy -r- L dx- — o ; 

les elements tie la surface inlegrale le long de I'line de ces courbes 
forment une mulliplicite caracterisli(|ue (^' ). 

Inscrsement, si une inuUiplicite Mo, dont cliaque element se 
eom/jose d' iiii poinl d' une surface S et du plan tangent en ce 
point, est engendree par une famille de multiplicites caracle- 
ristir/ues dependant d'une constante arbitraire, la surface cor- 
respondante S est une surface inlegrale. 

Nous raisonnerons toujours en supposanl que N n'est pas nuJ. 
Par liypolliese, par chaque point de la surface S passe une courbe G 
telle (|ue la midli|)iicite M, formee par les elements de la surface S 
lout Ic long de G soit une multiplicite caracterislique. Supposons, 
par exemple, que les valeurs de x, y, z, /j, q le long de G verifient 
le sjstcme (i3),. Les deux premieres equations (i3)i peuvent 
s'ecrire sous la forme equivalente (20) et, pour que les valeurs 

de -;— lirees de ces deux eciualions soienl les memes, il est neces- 
ax 1 

saire que les valeurs ;•, 5, t satisfassent a 1 equation (10), c est- 

a-dire que S soit une surface inlegrale de I'equatiou proposee. La 

demonstration serai t toute parellle si N etait nul. 

11 resulte de ces theoremes que tout systeme de trois equations 

difrcrentielles 

( dz = 1) dx -r- q dy. A dn -r- B dq -\-Y dx -^ Of dy — o, 

(•23) '^ -^ 

I A 1 dp -~- V> , dq -+- V 1 dx ~ G 1 dy = o, 

A, 13, . . ., G, etant des fonctions ([uelconques de x, y, z, p, q (Tun 
au moins des coefficients A, B, A,, li, n'etant pas nul), definit un 
des sjstemes de caracteristiques d'une equation de Monge-Ampere; 
on (djliendrait cctte equation en rcmplacant dp par r dx -{- s dy. 



(') Le raisonnement est en defaut [jour les iiitegtales qui verifient a la fois les 
trois equations 1? = S = T = o. De telles inlegrales, s'il en existe, sont des inle- 
grales singulieies. auxquelles on nc peul appliqucr le llieoreme de Cauchv, 
quelle (juc soil la nuillipiicile M, piise sur Tunc d'cllcs. 



6» tiiMMim: \\i\. — I. gi ATKINS rn: MnMiic-AMPKnr.. 

(A/ par .v f/j" -r / (/r. »M ('•limiiianl -^ • I/ciniatKiii ronliiMidra tin 

lerinc on rt — .v- >i AH, — IJA, nCsi pas mil. I'l sera lint'airc q\\ r, 
.V. / dans le ras conliairc. 

(Jn a aiissi c'tiulit' Ics caraclt risli(|ucs an puinl <lc viic dii pro- 
blenif de Cauchv. ^ions avons vn pins liani (pic. (piand on se ]>ro- 
poso dc rt'sondre cc prohlriiie pom- unc iiuiiliplicilr caracleris- 
tiqn«! M,, nne des di'-riveos dn second ordre penl clrc prise 
arbllraircnient. Si Ton passe an calcnl des dt-rivees snivantes, on 
lron\e do nicme tpie, dans cliacpio ordre. la Nalenrilnnc derivee 
penl elre prise arbilraireinenl. dn inoins lorsque les deux systenies 
de caracterisliqnes soul dislincls. L'indelcrniiiiation est reelle; 
cela resulle des proposilions snivanles donl nous donnerons seule- 
menl lenonce ('), cl qui se deiiionlrent par les nu'lliodes liabi- 
luelles du calcul des liniiles. 

Lorsque les deux f'aniilles ile caraclerisliques sonl dislincles : 

I. Toiitc caniclrrislique (ipjxirlicnt a i/nc in/iiulc dinte- 
Srales^ depciiilnii t d' iinc in liiiilc dr conslcffiles a/ Oil/ aires. 

II. Lorsi/fie deux integ)-(iles, (ulnielldiU Ions les elements 
dune caracteristique., ont un euntaet d'ordre /;, en un point 
dc celte caracterislique, elles ont un contact d' ordre n en tous 
les points de la caracteristique. 

III. L ne caracteristique et une courbe V rencontrant la 
courbe caracteristique en un point M deterniinent une inte- 
grale et une scule, poun'U que la tangente en M a Y soit dans 
le plan de I element correspondant. 

IV. En parliculier^ deux caracleristiques de systemes dij/'e- 
rcnts, ayant un element commun., deterniinent une surface 
in teg rale et une seule. 

Les enonces sonl inoins simples lorsque les deux families de 
caraclerisliques ne sonl pas dislincles. 

/ -iTo. Integrales intermediaires. — Les Irois eqnalions difleren- 

(') E. GounsAT, Lecons sur tes erjucUions aiix tlerivees partielles du second 
crdre (I, Chap. 4; II, Chap. 10). 



I. — C.VHACTERISTIOI i:S. INTl':(iUALES 1 NTKU.MKDIAI ItES. 63 

llelles (nii definlsscnt les caraclerisllques, renferniaiit cinq va- 
riables X, y, z, /;, q, ne peuvenl elre integrees comme tin sjsteme 
cre(iuations (liUcrenlielles ordinalrcs. On pent cependanl chercher 
s'il exislc des i/it([sj;T((/es />rc//iirres pour ces equations; nous dirons 
que la relalion V(x, y, z, /), q) =: consl. est une integrale pre- 
miere des equations ( i3), par exeniple, lorque la relation <:/¥ = o 
est une consequence de ces trois equations. Lorsqu'il en est ainsi, 
il est clair que la fonction V(x, )', z, /?, q) conserve la meme 
valeur tout le long d'une caracteristique quelconque de ce systeme, 
cetle valeur etant variable d'une caracteristique a I'autre. Si 
dans ^/\ on remplace dz, dp, dq, par leurs expressions lirees des 
foiinules (i.5)i, on trouve 

/d\ dX L d\' X, dY\ , 

\ Or ^ dz A' dp y, dcj ) 

d\ ^ _ ^ ^ _ H (>V\ 

d^ ^ ^^ 1)^ ~ ^ dp iNd^/^-^'' 

pour que les equations (i3), enlrainent la relation d\ = o, il 
I'aul el il sufiil que V veriHe les deux conditions 

,, fdX dV \ , dV . dV 

\dx ' dz J dp dq 

N h 7 — — Ai H -— = o. 

I \dy ^ dz j dp dq 

On raisonnerait de nienie dans tous les autres cas, et le resnllat 
obtenu pent s'enoncer ainsi : Pour que \{x,y, z, p, q) = C soit 
une integrale pieniiere des equations differenlielles dun des 
systemes de caracleristiques , ilfaut. et il suffit que la fonction \ 
soit une integrale da systeme de deux equations lineaires 
qu^on obtient, en remplarant, dans les equations differentielles 
des caracteristiques de I'autre systeme, dx, dy, dp, dq, par 

d\ ()\ /d\ d\\ _/^_^ d\_' 

Op ' dq ' \0x ' dz ) ^ \df ' ^ dz J 

respectivement. 

Si V(:r, y\ z, p, q) est une integrale des equations (2/1), on a 
idenliquenienl, d'apies la facon ineme donton a obtenu ce svslcme, 

d\ — — {dz — p dx — q dy)-r- — — ( N dp ~\. dx -~'r\ dy ), 

-I- ^ — ( N f/r/ -+- A, dx -^\\dy)\ 
N dq ^ ^ - -^ ' 



C. i tiiAi'iTiu: wiv. — i:(ji\Ti()Ns iii; MON(;i>A.Mi'i";ni:. 

inversemonl, si lOn ;i ohUMiii, |»;ir mi inoyeu (|iielcon(|iie, trois 
iiuiltipllraU'iirs ;jl,, Uj, ;jl;,, ids (|u"()ii ail idenli(|iiemenl 

,/ U = ;jti ( </z — p lir — 7 dy ) -•- ;i.-> ( N dp -+- L '/./• - ■- X i df) 

-+- ;ji3 (Nd</~ A, dj- -h lldy), 

il o?l c'lair (jiie L = C esl line inlryralc prciiiKTc |)oiir ce sysleme 
(If caracU'rislitjiies. La reclifrclic des inlegiales preniirres revienl 
ilouc aiiSNi ;i la rcclierclie dcs coinhinaisons ii)U''gral)les dcs «'(jiia- 
lioiis dillcrenlielli's ties caracU'rislifjues (<;/'. II. n" 393). 

Lors(|iic les foiiclioas L, 11. N, ).(, a^ soul (|iiLlconque.s, le sjs- 

U'liie (2 i) n'admel |)as d'autre solution (|ue la solulion banale V = C. 

On a deja vii comment on pent rcconnaiire si ce sysleme admet 

daulres inlcijrales, et oljtonir ces inlegrales en integrant des equa- 

. lions diHerentielles ordinaires (II, n" i»)0-iol). 

La connaissance dune inlegrale premiere j^ermet de trouver 
des inlei;rales de re(|iiation du second ordre (8). En ellel, si 
\(x, y, z, />, cj) = i\ est line inlc^/a/c prr/nierc dcs ('qaations 
(It (ferentielles de V un des systemes de caracteristic/ues^ toules 
les in leg/ales de V equation aux derivees parlielles du premier 
ordre V(x, y,z,p^q)=C {^sauf peut-elre les integrates sin- 
i^ulieres) sonl aussi das integrates de V equation du second 
ordre (8). 

Supposons toujuiirs N:^o, el soil \ une inlegrale du sys- 
leme (a'j). Toute integrate non singulierc S de requation du pre- 
mier ordre V = C esl un lieu de courhes caracterisliqucs, ct la 
mulliplicite M,, formee par les elements de la surface le longd'une 
de ces courhes, satisfait aux equations dillerentielles (II, n" 447) 

dr dy dz — dp — dq 
(■2j) — — — — 



0\ 0\ 0\ 0\' 0\' 0\ 0\ 0\' 

dp Off ' i)p ' ' (kj Ox ^ Oz Oy ~^ ^ Oz 

La rapprochant ces equations des relations (24), on \oitque les 
elements de la mulliplicite M, satisfont aux ('-qualions dilTeren- 

lielles obtcnues en remplacani, dans les formules (24)5 — » t"' 
' ' ^ ' ^ op Ocj 

o\ 0\ 0\' d\ J J , , 

'oi '^ P Tz' Ty ^ '1 ~oz I^'"' "^^^ ^''' "~ /^' ~ '^ respectivement, 

c'esl-a-dire aux eipiations (ij)^. Les mullij)licites M, sont done 

aussi des muitipliciles caracterisliqucs {)Our lequation (8) ct, par 



I. — CARACTERISTIQLKS. INTEGRALES INTERMEDIAIRES. 65 

consequent (n" -iT^), la surface S est une inlcgrale de cetle equation. 

Inversement, si toiiles les inlegrales non singulieres de V equa- 
tion \(^, J', -:?,/?, ^) = G sont aussi des inlegrales de I equa- 
tion (8), quelle que soil la valeur de la constante C, dW = o- 
est une combinaison integrable des equations differentielles 
de lun des systenies de caracteristiques de V equation (8). En 
efifet, soit M, une mulliplicit*' caracleristique de lequallon V=:C; 
tous les elements de M| apparliennent a une infiniti- dintegrales 
non singulieres de I'equation \ = C et, par consequent, a une 
infinite d'integrales de I'equation (8). Toutes les multipliciles M,, 
definies par les equations differentielles (26), doivent done faire 
partie de I'un des sjstenies de caracteristiques et, par suite, la 
fonction \ doit satisfaire aux relations qu'on deduit des equa- 
tions dilTerentielles de lun de ces systemes en y remplacant dx^ 
dy, dp, dq par les denominateurs correspondanls des for- 
mules (25) (' ). 

Si le systeme (24), ou lun des systemes formes de la meme 
facon en partant des equations differentielles de Fun des systemes 

(') On peul auisi etablir cette propritite directeiiienl. De I'equalioii 

\{x, y. z. p, fj) - C 

on deduit, en di(Terenliani par rapport a j; et par rapport a j>', 

, , f)\ d\ (i\ (J\ 0\ ()\ 0\ >}\' ^ 

(e) i p r -i 5 = 0, i o ->. s ^ t = <). 

^ ' dx ()z ' dp Oq Oy <)z ' Op <lq 

Si, de ces relations, on tire deux de- derivees du second ordre, /• et s par 
exempie, et qu'on les porte dans Tequation (Sj, le resultat de la substitution 
doit se reduire a une identile. En efTet, si ce resultat n'etait pas independant 
de I, on en tireiait la valeur de t et, par suite, on aurait les trois derivees du 
second ordre exprimees au moyen de j:, y. z. p. q. Des dilTerentiations succes- 
sives perniettraient d'exprimer de proclic en proclie toutes les derivees partielles 
de ;: au moyen de x, j-, z, p. q, et les integrales communes a Tequation (8) et 
a V = C ne pourraient dependre que dun nombre /ini de constantes arbilraires. 
Si le resultat de la substitution est independant de f, comme ce resultat ne con- 
lient pas C, I'equation (8) ne peut admettre toutes les inlegrales de V := C, a 
moins que ce resultat ne soil identiqucment nul. 

Si done nous revenons a I'interpretation gcometrique du texte, nous pouvons 

dire que la droite D, representee par les equations (ej, 011 Ton rcgarde r, s, t 

comme des coordonnees courantes. doit elre situee sur la surface representee par 

I'equation (8). 11 sensuit que V doit satisfaire a Tun des systemes qu'on obticnt 

, _, _, <)\ ()\ <)V ()\ d\ d\ 

en remplacant dx, dy, dp, ^q V^v -—,——, — ^ p —^ — -^q—respec- 

tivement dans les equations diderentielles de I'un des systemes de caracteris- 
tiques. 

G., III. ^ 



06 rn\i'iTnE wiv. — koivtions dk monce-ampkri:. 

(Ic caraclerlsli»|iies, adinet (iciix iiilc^rales dislinclcs u ol i', 'w(//, <) 
est aussi une inli'ijrale quelle que soil la fonclion o (II, n" iol) el 
loules Ics iiilegrales non slngulirres de I'equalion '-^{ti^ r) = o sont 
aussi des inleijrales de requalion tiu second ordre. Reciproque- 
inenl, soil S une inU't;rale de recjualion (8); on [)eut choisir la 
fonction -i de laron qu'elle soil aussi une int(''i;rale de Tequalion 
du premier ordre o(u. »")=.• o. Considerons, en ellet, sur la sur- 
face S les caraclerisliques du systeme pour le(|ucl // = Get r = C 
sont deux inlegrales premieres, el soil F une autre courbe de cette 
surface, dilTerenle de ces caraclerisliques. Le long de celle courbe F, 
u el i' sont fonclions dun seul paranu-tre variable el sont liees, 
par consequent, par une relation ^[u, r) = o; cctte relation suh- 
sislc en tous les points de S. Soil M un point de S; la caracteris- 
ti<|ue du systeme considere qui passe en M rencontre F en un 
jioint Mo, el. puisf|ue u el e conservent la ineme \aleur quand on se 
(b'place sur celle earaclerislique, on a aussi C5(w, i')= ^(wo, ^'o) = ©• 
On voil done que toute integrale de V equation du second 
ordre (8) satisfait aussi a une equation du premier ordre de 
la forme 'f («, ') = o, et reciproquemcnt. 

[^'equation '.^i u^ v) = o, que Ion peul aussi ecrire i> = <h(^u) et 
(pi I (lej)end d une fonction arbiiraire, s'appelle une integrale 
intermediaire (') de I'equalion du second ordre. 

On peul verifier par uti calcul direct que I'equalion o(u, v) = o esl 

, . ,,, ,r, rv- • du dv du dv . , . . , 

cquivalente a 1 equation (8). Uesignons par-^> -j— > -y-j -r- les denvees 

de u el de v, prises en regaidiuil ;; comme une fonction des variables x 
el y, p el fj coinme ses derivees pariielles; de I'equalion tpf w, v) = o, on 
dcduit une equation du second ordre, independanlc de la fonclion o, 

du dv du dv 
dx dy dy dx 
ou en developpanl 

/ ()u Ou Ou Ou \ I dv dv Ov dv \ 

\ Ox Oz ' Op dq ]\0y dz ' Op Orj J 

f dv dv dv dv \ / du Ou du du 

— (t i p -\ r -\ s ){ i f/H s -i 

\dx Oz' Op Oq J \ dy Oz ' Op oq 



M; Od appelle aussi quelquefois integrale intermediaire loule equalion du 
premier ordre V = C, dont loules les inlegrales non singulieres verifient requa- 
lion (8j. 



I. — CARACTERISTIQUES. INTEGRALES INTERMEDIAIRES. G7 

Supposons toujours que lequation (8) ait un terme en rt — s- et que a 
et v soient deux intcijrales du sysleme(24}. Multiplions tous les termes de 
I'equalion precedente par N^ el remplacons 

- , / du da \ ^, / ()v dv \ 

par leurs expressions tirees des formules (24); en tenant compte des va- 
leurs de X,-!-/, et AiXj, on aboutit, apres quelques reductions faciles, 
a I'equation 

^l"' ^^ [Ur-^iKs^Lt-^ yi^y(rt—s^)\ = o, 
qui ne differe que par un facteur de lequation (8;. 

En resume, lorsque les equations differentielles de Van des 
systemes de caracteristiques admettent deux combinaisons 
integrables distinctes^ I' integration de V equation de Monge- 
Ampere est ranienee d I' integration d'une equation du pre- 
mier ordre dependant d'une fonction arbitraire. On ne pent, 
en general, efl'ectuer I'integration de cette equation du premier 
ordre qu'apres avoir pris pour la lone lion arbitraire une forme 
determinee. Mais la solution du probleme de Cauchj se ramene 
toujours, dans ce cas, a I'integration dun systeme d'equations dif- 
ferentielles ordinaires. En ellet, si Ion se donne une multipli- 
cile M|, les coordonnees dun element (jc, y^ z, />, q) sont des 
fonctions d'un parametre variable a. En remplacant x, y, ^,/», q 
par leurs expressions dans u et c, les resultats obtenus sont des 
fonctions U(a) et V(a) de a. Pour que tous les elements de M, 
appartiennent a une integrale de I'equation v:='l[u)^ la fonc- 
tion 'I doit satisfaire a la relation V(a) ^ 'i/[U(a)] qui determine, 
en general, cette fonction. La fonction •!/ etant connue, on est 
ramene au probleme de Cauchy pour une equation du premier 
ordre. 

Les equations (24) admettent au plus trois integrales distinctes; 
pour quil en soit ainsi, elles doivent former un systeme com- 
plet (11, n" 4ol). On verifiera aisement, en effectuant les calculs, 
que cela ne pent avoir lieu que si Ton a ).( = Ao^ et cette condition 
n'est pas suffisante. Soient u^ c, w trois integrales distinctes; 
I'equation (8) adznet alors deux integrales intermediaires dis- 
tinctes v=^'j[u), (\ =77(«). L'equation (8^ adinet aussi deux inte- 



G8 (iiAi'inu; \\i\. — ioimions i»k MON(ii:-\MPi-;i\t:. 

p;rales inlenut'diaircs lorstjiic It's deux svslrnit'S tie caraclerisliqucs 
sont tlislincls, si les equations diirerenlielles de ehacun des sys- 
leines adinetlent deux coinbinaisons inte{;iables. Supposons, pour 
llxer les idees, que les etpiallons (ai) adnieltenl deux integrales 
dislincles // el e. el (|ue les equations {2.\)\ obtenues en peiinu- 
tant A, el '/... 



(MY 



adnieltent elles-menies deux integrales dislinctes u, et e, ; 1 equa- 
tion (S) admet alors les deux integrales intermediaires »" = •!((«), 
e, ^ 7t(//, ). Mais on deduit des equations (24) el (24)' 

[v.v,)= 'SC!Xi^/Jli)_^Jh'^^p"A 

^ ■ ^ Op \ dx ^ dz / Op \ox ^ oz 

Oq \ dy ' ^ Oz 



^fd\, o\\y 


' Op 


Oci 


> ( 1- p — 

V d.r ^ dz 1 


y./0\\ d\\\ 


X. '7' 

Op 


u "'^ ' 


H^/ ^'^ "J 


— li 

'"7 






el, par suite, [e — '}('0' *'< — "(''«)] ^^°5 quelles (|ue soient les 
fonclions arbitraires <l et r.. 11 s ensuit (II, n° 4i3) que les deux 
c'tjualions simuUanees du premier ordre 

forment un systenie completenient integrable. Conime on ne peul 
en general resoudre ces deux equations par rapport aux dt-riveesyw 
el y, tant que les fonctions 'I et t: n'ont pas une forme determinee, 
on introduit deux nouvelles variables independantes a et j3, en 
posant a = a, ;<, = ^^i, ce qui donne v = •}(a), c, = -(|ii). De ces 
quatre relations on pent maintenanl tirer jc, V, p, (j en fonction 
de :;, a. j, '^(a), ~(|j); en remplaranl /j, y, <^/j7, <:/)' par leurs va- 
leurs dans la relation dz =/? dx -\- q dy, on aboutil a une equation 
aux dillerentielles lotales 

dz = 1> ^a -^ Q f/S. 

oil P et (^ dependent de ;, a, [j, '^a), '}'(^-)' "(i^)? "(1^)' ^"' ^^^ 
completemenl integrable, quelles que soient les fonctions '}(a) 
el ~( j). Celte equation etanl integree, on aura .r. y, :; exprimees 
au moyen des deux parametres a et [i. 



I. — OARACTKRISTIQUES. INTKGRALES INTERMEDIAIRES. 69 

-470. Applications diverses. Exemples. — i" Les deux syslemes de 
caracleiistiques de I'equalion vt — v* = o sont confondus, et les equations 
di(Ter(MilieIles 

dp = 0, dq = o, dz — p dx — q dy = o, 

admetlent trois combinaisons integrables, car on peut ecriie la deiniere 
d{^z — px — qy)^zo. On a done dcu\ integrales inlernicdiaires 

q = o(p), z — px — qy = '\i(p); 

pour en deduiic lintograle gtMuhale, il suffit de reprendie des calculs deja 
effectues (I, n" 214). 

2" L'equation q-r — -ipqs -h p- 1 = o n'a rgalcment qii'un sysleme do 
caracteristiques, car Tequation (if)) devient ici q-\^ -+- '?.pql -\-p- = o ct 

aduiel la raoine double — -• Les equalions differentielles (ij) deviennenl 
dans ce cas 

dz — p dx — q dy = o^ p dx -{- q dy = o, q dp — p dq — o; 

on aperc-oil aisenient trois condiinaisons integrables 

dz — o, d(-\=o, d(x-i--yj = o. 

L'eqnalion admet done les deux integrales in termed! aires q -h p^{z) = o, 
X -+- - y -\- 'I ( z } ^= o qui s'integrent sans difficulte. Mais on obtient imme- 

diatement lintegrale gcnerale de I'equalion proposee en eliuiinant — entre 
les deu\ integrales interniediaires. On est ainsi conduit a I'equation 

X — yc(z) ~ <ii(z) ^= o, 

qui rcpresente des surfaces reglees admettanl le plan des xy pour plan 
directeur (H, n" iSo). 

3" L'equation (i ^-q-)s — pqt = o exprime que les sections de la sur- 
face z ^f(x, y I par les plans paralleles au plan x = o sont des lignes de 
courbure. Les formules (17)1 et (17)2 nous donnent, pour les equations 
dilTerentielles des deux syslemes de caracteristiques, 

(i7)'j dz — pdx — q dy = o, dx = o, (\-+-q-)dp — pqdq = o, 

(i~)'., dz — pdx — qdy = o, {\ -\- q-) dy ->^ pq dx = o, dq — o. 

Cbacnn d'eux admet denx combinaisons inlegrables; on deduil en effel, 

des equalions ((7)1, dx = 0, d( ) =0, et des equations (17)',, dq =0, 

Wi-^qy 

d(y -{- q z ) ^ o. Par suite Tequation du second ordre admet deux inle- 



-O nUlMTRK WIV. — KQIATIONS Dlv MONC.K-AMl'KRI' . 

jrralos intermciliaiics qu'oii peul ccriie 

f et z itant dcs fonrlion-i arhilraires. On aurnit pii olilenir immi-clialement 
la |ireniieie. en crrivant Icqiialion du sccoiul ordrc sous la forme 



et en ol><iervant que les tlenx inenibres sunt ies derivees, par rapport a y, 
tlelog/> el de log(i +7'). Cette equation du premier ordre admet I'in- 
tegrale complete 

ct lintegrale generale est representee par le systeme des deux equations 



a 



qui permelient d'oxprinier ^ et ^ au nioyen de r cl du paranietre auxi- 
liaire a. Le lecteur verifiera sans peine que cette solution nediflVre (|ue par 
les notations de celle qui a ete donnce (I, n° 231). 

4" L'equalion rt — s--h a^^ o, qu'on rencontre dans la iheorie niccanique 
de la clialcur, admet deux svstemes de caraclerisliques dont les equations 
dilTerentielles sont respectivement 

!dz — p dx — q dy — o, I dz — p dx — q dy — o^ 

dp -T- a dy — o, ( II ) < dp — a dy = o, 

dq — a dx = 0, f dq -~ a dx = o. 

On apercoit immediatement deux combinaisons integrables pourchacun 
de ces syslemes, et par suite deux intcgrales intermediaires, que nous 
ecrirons 

q — ax = o' (p -h ay 1, q -i- a x — 'Y ( p — (^y)i 

•:> et '\f etant des fonctions arbitraires. En appliquanl la nietliode exposee a 
la fin du paragraphe precedent, posons p 4- ay = x, /> — ay ^^ [i; o"^ tire 
alors des equations precedentes 

•V(3) — c;7a) a — 8 a -^ 3 c;7a )— -J/'CS) 

X = -: ■ , y = ■- , p = , q = ■■ ^ , 

■>.a xa x 'x 

et en porlant ces valeurs de x^ y, p. q dans dz =: p dx ^ q dy, il vicnl 
dz = ^^=-^ (d'Y-d-^') ^ ^tjtl' (rfa - <i; 

4 « ^\a ' 



I. — CARACTKRISTIQLES. INTKGRALES INTERMKDIAIRES. 7 1 

<>n (Iciluit dc la, au nioyen d'integrations par parties, 



ct en fin 



(g -4- 3)['y(;3) - o'(a)] ^ -vf (g) - -I'H p ) 
4 a 



On a ainsi les expressions de x, y, z en fonclion des deux parametres 
variables a et 3, el des fonctions arbitraires 9(a) et 4'(P)- 
')" Considerons encore I'equation s = Apz, qu'on pent ecrire 

'^-l ^ - k—,' 
Ox •}. Ox 

el qui admcl par consequent I'integrale intermediaire 

<^) |-^='^(^^' 

o elant une fonclion arljilraire. On pent niellre celle fonclion cp sous une 
forme telle que linlegrale generale de I'equation de Riccali i-id) s'obticnne 
explicitenienl. Nous savons, en eflel, que celle integrale generale est une 
fonclion ralionnelle du premier degre de la constanle d'integration qui est 
ici une fonclion arbilraire de x\ elle est done de la forme 



\^<d;{y) 



^1, ©21 ©3 elant des fonctions deteiininees de y ^X. \ une fonclion arbi- 
lraire de X. II suffira de cli oisir les fonctions ©1, 02, ©3 de facon que le 
premier membre de lequation (26) ne renferme pas X pour que - soil 
linlegrale generale d'une equation de celle forme (.>6). On irouve ainsi 
les conditions 

e'2 — /.•fc»ie2= o, 2 00 03-,- Ae^ = o, 



qui permeltent dcxprinier 09 el 01 au moyen de 0^, 0'^, 0|j. Posons03 = Y, 
il vient 0o= — - Y', puis 0] = 
lion s = Icpz est par consequent 



■>, , . 1 Y" 

il vient 0o= — - Y', puis 0,= - — , et I'inlegrale generale de I'equa- 



. ^ r Y" i\' 



X et Y elant deux fonctions arbitraires de 57 el de y respeclivement. 

6" L'equation de Liouville 5= e''~ se raniene a la precedenle. Conside- 
rons en ed'et le systeme de deux equations simulianees 

Ou Oz , 

Of ' Ox 



-•.J. CIIAPITRE \XIV. liQlATIONS I)K MONGE-AMPERE. 

I.tlinniialion dc // conduit a lequation s = Ay?-, tandis que roliminalion 

•le - conduit a I'equalion -^ = e''" . On en conclul que linlegrale gene- 

^ dx Oy 

rale de cctle dernieie equation est donnOe par la forniule 

pX'Y' 



{)%) c^" = 



k{\^\y- 



dont le second menibie est la dcrivce par rapport a r du second membre 
de la formule (27). 

7" Lorsque i'equalion du second ordre n'adniel pas dinlegrale inlerme- 
diaire dependant dune fonclion arbilrairc. on no pent pas trouver I'inte- 
grale generale par cetle methode. Mais si les equations dilTerentielles 
de I'un des systemes de caracteristiques admeltent une coniiiinaison inte- 
grable t/U = o. on obtient des integrales dependant d'une fonction arbi- 
iraire en integrant I'equalion du premier ordre U = C. Supposons, par 
exemple, que dans I'equation lineaire en /•. s, /, 

(•29) Il/-r- >. Ks -H L< = o, 

H, K, L ne dependent que des variables p, q. Des equations (i4) et (i5) 
qui definissent les caracteristiques, on deduit que le long dune caracte- 
ristique on a la relation 

1 1 dp- -T~ iK c/p chj -f- L c/y - = o ; 

|)0ur cliaque svsteme de caracteristiques, on a une equation difTerentielle 

de la forme 

Aj dp -^ ;xi dq = o, ).2 d/> -^ a^ dq = o, 

^>ii ['■i^ '21 'M "^ dependant que de p et q. Cliacun de ces systemes admet 
done une combinaison integrable d[ui{p, q)] = o, d[ii2i p, q)] = o, el 
par suite I'equalion (29) admet les integrales des deux equations du pre- 
mier ordre 

Ui(p, q)= Cy, Uiip, q) — Ci; 

ces surfaces integrales sont developpables (II. n" 444). 

Dans ses travaux sur le mouvemenl rectiligne des gaz, Hugoniot ('j 
(voir plus loin, n''492) a ele conduit a cliercher une integrale d'une equa- 
tion de la forme ('•29), langenle au plan 5 = tout le long d'une courbe. 
La theorie des caracteristiques donne aisement la solution de ce probleme. 

La courbe de contact V est forcement une courbe caracterislique sur la 
solution 2 = o, et par suite cetle courbe est une integrale de I'equalion difTe- 
rentielle 

H( o.oj dy^ — riKTojO ) dx dy -r- L(o,o; dx''' — o, 



(') Journal de I'Lcole Po/r(ecfinique, I. 33, Caliiers 57 el 58; 1887. 



II. — MKTIIODE hE LAPLACK. KQLATIONS I.INKAIRKS. JJ 

pui^ql^on a aussi p =^ (j ^= o en lous les points de I'inlrijrali; z = o. Gette 
courhe est done une ligne droite D. (^ela pose, soit S uiie surface inte- 
grale tangenle au plan des xy tout le long de D; celte surface est 
engendrce par des caracterisliques du sysieme different de celui auquel 
appartient D, issues des diffcrents points de D. Si du\=^ o est une combi- 
naison iiitegrable des equations did'erentielles de ce systenie, Uiip, q) est 
constant lout le long de cliarune de ces caracteristiques, et par consequent 
est egai ix ii\( 0,0) en tons les |)oints de S. 11 s'ensuit que la surface S est 
une integrale de Tequation du premier ordre U\(p, q)=^Ui (0,0), et invei- 
senient toute surface integrale de cette equation est une solution du pro- 
blenie, pourvn quelle soit tangente au plan des xf. Pour achever de 
determiner la question, il faudra se donner une condition de plus, par 
exemple assujettir la surface cherchee a passer par une courbe qui, natu- 
reilement, doit etre tangente au plan des rj'. Le probleme revient alors a 
determiner une surface developpable passant par une courbe donnee, et 
admetlant pour cone directeur un cone donne. On obtiendra cette surface 
en menant par chaque tangente a la courbe un plan parallele a un plan 
tangent au cone directeur (il, n" AM). 

On obtiendrait une autre famille de solutions en partant de I'equation 
du premier ordre u^ip, q) ^^ ?<o(o,o). 



II. — METllODK DE LAPLVCK. CLASSIFICATION DES EQUATIO^S 

LINE AIRES. 



477. Integrales intermediaires d'uue equation lineaire. — Les 
deux sjstemes de caracteristiques de requalion 

(3o) s + ap -^ hq -\- cz -^ g ^= il, 

oil (I, A, c, g sonl des fonclions de ^,y, sont loujours dislincls, 
el leiirs equations difTerentielles sont respectivement 

( dz — p dx — q dy — o. dx = o, 
I dp -+- (ap -h bq ~ cz -\- g) dy = o, 

^ dz — p dx — q dy = o, dy = o, 

(3l)2 

I dq ^- { ap -h bq -{- cz -h g ) dx = o, 

Cliacun de ces sysleines adniel une coinhinaison integrablc 
clx = o, ou /'/r = o ; pour (pi'il y ait une integrale intermediaire, 
il faul et il suffil cpie Tun deux adniette une seconde combi- 
naison integrable. D'apres une proposition generate enoncee plus 



c/V 




0\ 






— 


— a 





r= 


O 


oz 




Orj 







7i fH.viMTni: xxiv. — kqi ations he mon(;e-ampi-:ri:. 

haul ( a" iTo) el facile a verifier tlans le cas a( liul, pour (jue ];» 
relalioii ^/\ =o soil une conse(|iience des t'-cinalions (>)i)2 par 
exeinplo. la lonction \ (Kiil salislairc nii\ (I<mix corulilions 

d\ ,)\ (i\ 0\' , 

-— = o, i p (ap -^ on ^ cz -^ fr) = o. 

dp Ox oz ' <>'! 

La premiere niontre (|ue \ doil elre independanl <le/>, el par 
suite il faudra (pie le coefficienl de /> el le terme independanl 
de p soienl mils separenient dans la seconde relation; ce qui 
permet de remplacer le systemc precedent par le svstenie 

(32 j \(\) = — -{bq~cz-^g)—=o, B(V) 

ou \ est une fonclion inconiiue de .r, >', c, q. Ce syslenie admel 
deja la solution \ =.i ; pour (piil adinelle une aulre solution, nc 
se reduisant pas a une fonclion de )', il faut et il suffil (ju'il soil 
un svstenie jacobien (II, n" iol), c"est-a-dire (pi on ait idenli- 
(juement A[B(V)] = B[A(V )], ou A(rt) = ^{b(j -f- cc -|- g). Cettc 

condition se rt-duit a \- ah — c = o. 

Ox 

Sans (ju'il soil ni^cessaire d'integrer le systeme (Jii), on pent 
voir directcment cpie celte condition est suffisanle pourcju'il existe 
une int(!'grale interuK-diaire, car lefjualion propostie (io) peut 
loujours s ecrire 

/o, ( oz \ I oz \ I da J \ 

(33) — az ) ~ b \ Hrt- — ( \-au — c]z-~ir — o. 

' Ox\Oy J \oy J \o.r / * 

1 da , II-, •/'(•)■, 

Lors(pie \- ao — c est mil, 1 f(pialion (•>•») se ramene a une 

equation lineaire du premier ordre 

(i| 1- bu -T- if = o 

ox 

■I- • dz . s. , , 

en prenant pour inconnue auxihaire ti =^ — -\-az. L integrale 

generale de I'equation {'■y\) 

-CuH.vf r ib.ii- \ 



11. — METIIODE DE LAl'LACE. KQUATIONS LINKAIRE^. '5 

nous conduit done a line integrale interniediaire de 1 (-(jiialion (.Jo) 

dz -Cb.l.vf r Cbdr , \ 

(3j) —^az = eJ \\ — j geJ dxj, 

ou Y est une fonctlon arbilraire de r. Cette etjnalion du premier 
ordre pent a son tour etre integree comme une equation difleren- 
lielle ordinaire ou la variable independante est y, et rint('grale 
generale de I'equation (3o) est representee par la forinule 

fativ r Llriy- 1 Od.r / C flnl.r \ 

eJ ■ z = \-i- I e^l J (Y— / ffeJ dxUly, 

X etant une fonction arl)itraire de x. On voit que cette integrale 
est de la forme 



( 36 ^ ^ = a X 



-3-r-J':Ydy, 



a, 3, V etant des lonctions determinees de jc et de 1-; 1 une des 
fonctions arbitraires X j figure explicitement, tandis (jue la seconde 
fonction arbitraire \ est engagee sous le signe integral. 

En intervertissant le role des variables x el y, on \erra de 

meme fiuil v a une integrale interniediaire lorsciue — -\- ab — c 

est nul. L'integrale generale est representee par une formule 
analogue a la formule (36), qui sen deduirait en permutant x 
et r, X et Y. 

Les deux expressions h ^ — -^ ab — c, k =z — — ab — c 

^ Ox ' Of 

s'appellent les invariants de 1 equation (.3o) ; on verifie facileuient 
f[ue ces invariants ne changent pas quand on fait un changement 
d'inconnue tel que z=:a(x, y)z-', quelle que soil la fonction 
A(x,y). Le resultat qui vient d'etre etabli peut senoncer ainsi : 
Pour que V equation (3o) admelte une integrale interniediaire^ 
it faut et il sujfit que l' un des invariants h ou k soit nul. 

Exeinple. — Prenons I'equation (x — y )s — q = o, pour laquellc rin\a- 
liant h est nul; elle admet l'integrale intermediaire q = \ {x — y), et par 
consequent lintegrale generale a pour expression 



X-T- / \(x—y)dy. 



76 r.dVPITnE WIV. — i;yl ATIONS dk .mongk-ampkre. 

Tour faire ilisparaitre toiii sij;ne de qiiadralure, il suffil de remplacer la 
fonclion aibilraire Y par la derives soconde Y' d'unc fonclion arbitraire, 
ce qui doiiiit' piiiir liiilei;rale giiierale uiie forme onticreinenl explicite 



/Icrnarqtie. — II peul <o faiio que les deux invarianls /t ctA" soient nuis 

, . -,.., da db , . , . • . 

^^lmultanenlent. b il en est ainsi. on a -— = —-> el « et 6 sont les denvees 

ox oy 

■ 11 1- e • - / X ^^7 ^^■ 

partielles d line tonction t.i-r, >'), a = -— > o = — > et en outre on a 

()y Ox 

II- /. ))}. 0/. 

c = 



dx Oy Ox dy 

En posanl z = e' u, on ramene I'equation ('3o)a une equation donl linte- 

O^u , , . 

L'ration est immediate 1- S'ix. v)e'- = o. 

" OxOy "^ ' -^ ^ 



478. Transformations de Laplace. — Si aiicun des invariants /i 
el A nest nul, lequation ('Joj n adniel pas d'integrale interme- 
diaire. Laplace (') a (ail connaitre une niethode de transformation 
(|iii permet dintegrer Tequation dans un nonibre illimite de cas 
nouveaux. Supposons, pour fixer les idees, /i =;.= o. En posanl 

(•/) — -rt. = ^„ 

nous avons dejii observe que Tequation (3o) peut s'ecrire 

Ox ° 

Considerons les equations (3j) et (38) conime un sjsteme de 
deux equations siinultanees a deux inconnues c et z■^. L'elimination 
de ^1 conduit evideininent ii lerjuation (3o), que nous ap|)ellerons 
desorinais Vrrjuation ( E). Au conlraire, en eliniinant 5, on est 



('; liecherches sur le calcul integral aux differences partielles {Memoirea 
de I' Academic. 1773). Nous n'indiquons que le principe de la inelliode, et nous 
renverrons le lecteur desireux d'approfondir ce sujet aux heaux Chapitres que 
M. Darboux lui a consacres {Lecons sur la Theorie generale des surfaces, l. II). 



ir. — MKTHODE I)E LAPLACE. EQIATIONS LINEAIRES. 77 

conduit a line equation de menie lornie ( E, ), ou linconnue 



est 



->{ 



d-Zf ()zi . di 



^ Oxdy ' Ox iiy 111 

les coefficients r/,, /^,, c^ el ^', ajant les valeurs ci-dessous 

d\o"h , , da db , d\oeh 

a\=^ a — - — - — . Oi = 0, Ci = c -i o ^^— 

Oy ox Oy ay 

(39)/ 

1 f 0\o"h\ Off 



Oy I Oy 

11 est clair que I'integration de {'equation (E)) et celle de 
lequation (E) constituent deux problemes equivalents, car les 
formules (3^) et (38) font correspondre une a une les integrales 
des deux equations. Or les invariants A, et /., de (E,) ont pour 
valeurs, comme le prouve un calcul facile, 

,' , ()a^ , , , (J2 loe/i 

\ ni= h ajfti— ci= i/i — A- , ° , 

} Ox Ox Oy 

^'•"^ ) db, 

f Ai = — ^ -f- ai 61 — Ci = /« ; 
Oy 

A', ne pent elre nul puisquon a suppose h^ o, mais il peut arrlver 
que hi soit nul, sans qu'aucun des invariants /« et A", soil nul. S'il en 
est ainsi, I'equation (E,) adinet une integrale intermediaire et 
rintegrale generate est representee par une formule telle que (36), 
avec deux fonctions arbitraires X et Y. D'apres lafoi-mule (38), on 
en deduil pour I'integrale generale de (E) une expression de la 
forme 

z = AoX^AiX'-^B— f CY dy, 

Ao, Aj, B, C etant des fonctions delerminees de x et de y, et X' 
la derivee de X. 

Tout pareillement, si I'invariant /." n'est pas nul, les deux e(|iia- 
lions simultanees 

(4,) _ + ^,^ = ^_^, ___«.._,+ . = /,.-, 

conduiront, par Telimination de r_i, a I'equation (E) elle-meme, 



78 r.IIVPrTRF. WIV. — KQl.VTIONS I)E MONGK-AMPKRE. 

el, par rt'-liniinalion de ::, ;"i uiie nouvcllc equation (K_i) 

(E_i) —— rt-i — ^b-i — — 4-c_i-_t-t-^_, = 0, 

Ox Oy Ox Or 

avoc les expressions suivantes de rt_(, />_(, c_i, ,!,'-(, 

(t\oiz/>: f)h da d\o^L 

a_i = a, 6-1 = ~ — » c_) =c ; i-- a — ; 

Ox ay Ox Ox 

■ ' "^ \ Ox J Ox 

T.cs invariants de ( E_,) sont rcspectivement 

d'- log/.- 



(4i) //-, = />. /,_, = 2A — /j 



dj7 (>^ 



Si linvarianl /._, est nul, on pourra inlcgrer I'equation (E_,) 
el par suite Tequation (E). 

Lorsquaucun des invariants //_i, /._., n'est egal a zero, on ne 
pent integrer de cetle faron I'equation (E); on peul alors appli- 
quer les memes transformations aux deux equations (E,), (E_,), 
niais il est a remarquer que chacune d'elles ne donnera pas nais- 
sance a deux equations nouvelles. Prenons par exempie I'equa- 
tion (E,), et appliquons-lui la seconde transformation de Laplace 
en posant 

^ ~ Ox '"' Ox ' "'■ 

En se reportant a la formule (38) on voit qu'on aura z'= hz — ^, 
de sorte que I'equation en :;' ohtenue se ramene, par une transfor- 
mation simple, a I'equation (E) elle-meme. La premiere transforma- 
tion appliquee a (E_,) conduirait de meme a une equation qui ne 
diflere de (E) que par un changement d'inconnue tres simple. Au 
point de vue de 1 integration, il est clair que ces equations peiivent 
etre considerees comme identiques. Par suite, I'applicationrepetee 
de la metliode de Laplace conduira seulement a une suite lineaire 
d'equations 

... (E_,), (E_,;, (E), (E,), (E,), ... 
a indices posilifs et negatifs, dans laquelle cliaque equation (E/) 



II. — MKTIIODr DE LAPLACE. EQUATIONS LINEAIRES. 79 

Oil f >> o se dediiil de(E/_,) par la j)reiniere transformation et oii 
chaqiie equation (E_y) oil y!>o se deduit de (E,_y) par la 
deuxirme. La suite des ecjuations a indice positif peat etre pro- 
longi'-e tant qu'on narrive pas a line equation (E/) pour laquelle hi 
soit nul. Si Ion arrive, au bout de i transformations, a une equa- 
tion (E/) pour laquelle A/= o, cette equation est integrable, et, en 
remontant de proclie en proche, on en deduira I'integrale generale 
des equations (E,_, ), (E,_2), . . ., jusqu'a I'equation (E). II en sera 
de meme si Ton arrive a une equation (E_y) pour laquelle I'inva- 
riant k_j soit nul, en apjdiquant y fois la seconde transformation 
de Laplace. 

Exemple. — Appliquons la metliode a I'equalion 
{x—y)s -^ p — q = o, 
qui n'admet pas dintegrale intermediaire. Posons pour cela 



I'equation s'ecrit 



et relimination de z conduit a I'eifuatioii en Zi 

dzi dzi 
d-Zf dx oy '>.z 





dz z 




~'"oj ' --,/' 


OZi 


Zy -IZ 


Ox 


x—v (X — yy^ ~ ' 



dx Or X — y ( x — y f- 

Gette nouvelie equation est integrable, car on peut leciire 

Ox\oy r—yj x—y\Oy x—yj 

€l Ton en deduit qu'elle admet I'inlegrale intermediaire 

dzx -, ,. , 

= \{ X — y), 

dy X —V "^ 

Y elant une fonction arbitraire de j'. L'inlegrale generate est done 

2X-^ l^\(x~yy-dy 

z^ = — ; 

X — y 

pour faire disparaitre tout signe de quadrature, il suffit de remplacer V 



So niAlMTRK WIV. — EOl \TIONS UE MONGK- AMPKRK. 

par Y ". ce qui ilonne 

^ -^ Y 

-1=2 h 7.\ H- ( J" — >■ ) 1 . 

-r — )- 
On trouvo finalement, pour I'inteprale ijcnerale tie l\qn;ilion en c, 
- =(x — y)(\'— \ )~i\ — ■..v. 

La nu'lliotle de La[)lace nest cjii une ;ip(»liciili()n particdlicre 
d'uiic int-lhode plus gern'-rale, due a .^[. Darhoux, (jul s (''tend a 
loutes les equations du second ordre a deux variables indepen- 
dantes. Malgre tout linteret de cette niethode, les equations quelle 
permel d'integrer forment une classetres particuliere, et les equa- 
tions du second ordre susceptibles dune inti'gration formelle sont 
e\ceptionnelles. Aussi. au lieu de cliercher lintt'-grale generale. 
• in cherche surtout a dc'-lerniiner les integrales parliculieres satis- 
faisanl a des conditions donnees. suffisantes pour les determiner. 
Ces conditions, empruntees le plus souvent a des problenies de 
Pliysique mathemalique, sont tres differentes suivant que les ca- 
racteristiques sont reelles on imaginaires. Ceci nous amene a 
indiquer une classification des ('-(juations du second ordre basec 
sur ce caracterc. 

179. Les trois types d'equations lineaires. — Considerons en 
particulier une equaliun de'la torme 

(44) \ r — 2Bs -+- Ct — Fi X, y, z. p. fj )= o, 

es coefficients A, B. C ne dependant que des variables indepen- 
dantes x el y. Sur toute surface inte£:rale. les deux families de 
conrbes caracteristiques s'obtiennenl par lintegration de I'equa- 
tion dilTt'-rentielle 

(45) A dy^ — -iB dx dy ^ C dx^ = o, 

qui est independanle de lintegrale considerce. Ces courbes se 
projettent done sur le plan des xy suivant les deux families de 
courbes qui satisfont a lequation (4^) du premier ordre et du 
second degre. Inversement. toute courbe de cette espece est la 
projection sur le plan des xy dune infinite- de caracteristiques de 
r»'quation f 3o). 

En effet, lequation (io) se decompose en deux equations du 



II. — .Mi;riioi)i: ni; i.api.ack. koiations LiNiiAiRKS. 8i 

premier ortire et du |)rcniier deyre 

(45 )i (It <//-:- bi f/.c = o, (45)2 Ui dy -n O2 djc = o, 

fit, A,, (/.J, b, ctunt des fonclions de x et de jk? doiil cliacune con- 
vient a Tun des systeines de caraclerisliques. Considerons en par- 
ticulier I'unde ces systeines defini par les trois e([iiations 

dz = p dx -f- <7 dy^ a^ dy -h bi dx = o, V.dp ^-Qi dq -^ H dx = o, 

E, G, H etant des fonctions de x, y, z, /?, q dont il est inulile 
d'ecrire I'expressioii. Solt F nne courbe de I'espaee se projetant 
sur le plan des xy suivanl iine courbe C, le long de laquelle on 
a rti dy + b\ dx = o ; a^, y^ z etant des fonetions connues d'un pa- 
rametre a, la relation dz=pdx -+- q dy permet d'exprimer I'une 
des deux inconnues, p par exeinple, en fonction de q et de a. En 
portant ces valeurs de x, y, z, p dans la derniere equation 

E dp -+- G dcj -+- \l dx = o, 

on arrive a une equation dilierenliejle du premier ordrc pour de- 
terminer q. On voit done que la courbe F appartient en general a 
une infinite de multiplicites caracteristiques de Tequatlon (44)? 
dependant dune conslante arbitraire. Nous appellerons souvent, 
pour abreger, courbes cardcleristiques de P equation (44) les 
deux families de courbes planes du plan des xy^ definies par 
I'equation dilferentielle (4^)! cest la une locution abregee dont 
le sens ne peut presenter aucune ambiguTte. 

Lorsque les coefficients A^ 13, C sont des fonctions reelles des 
variables reelles x et y, nous somines conduits a introduire la dis- 
tinction suivante. Si B- — AC esl positif^ les deux families de ca- 
racli'risli(|ues sont reelles et distinctes; i'equation (44) est du lypje 
hyperboliqne. Si B- — AC est i^cg(ttij\ les deux families de carac- 
lerisliques sont imaginaircs ; Tequation (44) est du type elliptique. 
Enlin, si !>- — AC est /////, il n'y a (juune fainille de caracteris- 
tiques, (jui estreelle; I'equation ap|)artient au type parabolique. 
II est evident qu'une meme ef|uation peut apparlenir a des types 
diderents suivanl la region du plan consideree. 

Les deux faniilles de caracterisli(|ues elant sup|)Osees distinctes, 
soienl q {x, y) = const., r, (.r, y) = const, les formules qui repre- 
sentent I'integrale generale des equations (4^)1 et (42)2 respecli- 
G., III. 



82 illVI'ITUr. WIV. — KQl'ATIONS DK MONGK-AMPKRl- . 

vcinent; ci.r. )' > ol /,(.^^ v) vt'iificnl res|H'ili\ einonl les Joux 
e(|ualions 

(<-. '<- (IT l>T^ 
a, —^ — /<l — :- — O. CT". — 6) = O, 

0.r Of ' Oj- ' ''J' 

el par consrqucnl sonl des inl»'i:ralos do r('(jiiiitii>n dii itrcinler 
Old re 

Ccla post-, imaginons cjn on prenne ;(.r. i') el Y,(.r. r) j)Oiir 
nouvelles variables independantes; requalion (44) se cliange en 
line nouvelle equalidu de memo forme 

r)- z I)'-: -. 0- z ^ I ^ dz '>z \ 

(47) A, -rr - 'H, C, ^ _F, ( ^ r,. .-. — , — =o, 



donl les caracleristiques sonl les courhes inlegrales de lequalion 
diirerentielle 

A 1 dr,- — •> 15 1 d; dr^ — C ,[/;-= o. 

Or, d'apres la definition nienic des mnlliplicites caracleris- 
tiques (n" 473), il est clair que les caraclerisliques de la nouvelle 
equation (47) correspondent aux caraclerisliques de la premiere. 
Ce sonl done les deux families de droiles c = consL, Tj = const., 
el Ton a A, = C, = o, de sorle que Tequalion ( i~) ne renfermc 

que la derivee du second ordre -7 On dit alors que i' equation 

^ 0- Or, • ^ 

est rappol li'C a scs caracleristiques. 

Lorsque I'equation (44) ^st du type parabolique, on prendra 
pour zix, y) une integrale de lequalion (4^), la seconde va- 
riable r^(x, y) etanl une fonction quelconque distincte de ^. La 
nouvelle equation ne doit admetlre qu'un sysleme de caracleris- 
liques, compose des droiles ; = const. Les deux coefficients A| 
et B, doivenl done etre nuls, et I'equation ( \- ) ne renfenne qu'une 

derivee du second ordre — -• Ces resullats, que la tlieorie jjeneralc 

des caracleristiques rend inluilifs, sont faciles a verifier par le 
calcul. On trouve en cllel, d apres les formules generales du chan- 
gement de variables, que les coefficients A,, B,, C( out les valeurs 



II. — MKiiinni-: di; i.vpi.aci:. KQt aiions linkvires. 83 

suivantes, quelles que soicnt lc> f'oiiclioas z(x^y), r, (r, j^), 



(48) 



dlV- ^^^^c/"-- 



\ ()x I Ox oy \ Oy 

Ox (Jx \ox ay dy dx / Oy Oy 

C| = A — ^ -h '2 B — 



\ Ox I Ox Oy \ Oy J 



Ics coefficienls A| ct Ci .son! blen mils ([iiand on prend pour c, r, 
deux integrales distinctes de requalion (4*j)- Si \\- — AC = o, 
Trqualion (46) peut s'ecrire sous les deux formes equivalenles 

Ox Oy Ox Oy 

et A| Ct 13, seront nuls, pourvu que c soil une integrale de cetle 
equation. 

Lorsque I'equation (44) apparlient au type elli[)lique, la trans- 
formation precedente introduit deux variables imaginaires conju- 
guees ^{x, y), r^{x, v)- Si Ton ne veul employer que des transfor- 
mations el des variables reelles, il suffit de prendre, au lieu de ;, r,, 

les deux variables reelles X = cH-r,. \ =^ — t—^, ce qui rem- 

nlace ,.. par -rr^ + -r?-* En definitive, toute equation de la 
i O^Or, ^ o\' o\' ' T 

forme (44)? dont les coefficients A, B, C sont reels, pent etre 

ramenee, par un choix convenable de variables reelles, a Tune des 

trois formes canoniques suivantes, dont chacune convienl a un 

type parliculier ( ' ) : 

/riN '^' ^ -I > OZ 0Z\ ^ , ... . 

d^z 0-^z /, dz OZ 



(P) 



o (tyi'C ellipUque). 

d^z I ^ dz Oz'. , 1 I- ; 

— - -T- / :. r, ^, — - > — = o ( Ivpe paral)oliqiie ). 



(') On pent arrivcr dircctemciil a la I'oriiie canoni'|iie qui convienl. au type 
cllipli(|tie sans employer aucun symbole iniasinaire. .Si I'on jircnJ en cllcl pour 
nouvellcs variables deu.\ foncliuns ;(x, y), 't,{x, y) salisfaisant aux cicux equa- 



8i (iiMMTni: \\i\. — i'\u ations dk mom.k-ami'khe. 

Lorsqiie Icquation (44) est complcteinent lineaire, c'esl-a-dirc 
lineairc par rapport a z ct a tonics ses dcrivces, il en est de meine 
(le I'equation transfonncc (17), (juelles (pie soient les nouvcUes 
variables c, v,. Les Irois lornies canoniipios soul done les siii\antes : 

O'-z Oz , Oz 

a —^ -^ b v- cz -r g = o. 



O-, Or, <>■ Or, 

O'-Z 0-^Z Oz , Oz 

—, i \- a —- -\- b h c ;; -i- ..?■ = o, 

0-'^ Or,' 0; Ot^ 

f)2- (/;; Oz 

Or;^ Ol Or, '^ 

a, b. t\ g elant lonclions des variables ;, Tj seulenient. I^a seeonde 
forme se raniene a la premiere si 1 on inlrodmldes variables com- 
plexes. 

Exemples : 1° L'equalion r-x- — ty-=^o est dii typo liypeiixiliqiie ; les 
caracteristiques se projellcnt siir lo pliin des xy suivanl les deux families 

V 
de courbes xy =^ G, — = C. Prenoiis pour iiouvelles vaiiables 5 ^ xy, 

V 

r. = — : o 11 a 

X 



Oz 

p ~y —^ — 


y_ ^^ 

X- Or, 


Oz I Oz 

(1 = X -— -\ , 

' o\ X Or^ 


'•-'¥- 


., y- ^'^ 

X- 0^ Or, 


y- 0- z 2y f^« 
x* Or;^ ' x-^ Or, 


, O'-z 


O'-z 


(Pz I 



I = X' -r- '2 

<j\'- o\ Or, Or^^ X- 

L'eqiiation proposee se change en une equation 011 ies deux invariants 
h et k sont nuls (n" 477), et dont I'integration est facile, 

. O-^z _^ _^ 



(>; <Jr, Or, 



lions 

r^ _ _ B ^ _ V AC — IV- Or, Or, _ y^AC — \',- ^ _ ^ ^ 

Ox ~ A Oy A Oy' Ox ~ A (7/ ~ A 'Oy' 

on trouve une equation transfornnce dans laquellc, il est facile de le verifier, on 
a A, = C,, B, = o. Mais I'inlegialion de ce sysleme revienl au fond a celle de 
I'equation 

()(g-+-fT.) _ / —V>-^i V AC — B- \ (){\~ ir,) 
ox ~ \ A / Oy ' 

qui esl equivalcnle a I'equation (4'i). 



II. — MKiiioDi: i)E i,\i>;-vri.. KyUATioNS i.inkaires. 85 

o" [/equation ry--^t.r- appnrlicnl au type elliptiqnc: le? courbes inle- 
[lales de VcqxinUon y- ciy- -^ x- dx- = o sont imaijinaires. 
En posanl a-- = ;. JK- — ■'i- IV-qiiation rlevient 

d- z 0-z \ / \ (iz ^^ I d:-\_ 



iSO. Etude du probleme de Cauchy dans un cas particulier. — La 
distinction entre les equations hyperboliqiies et elliptiques pent s'etendre 
evidemment aux equations du second ordre de forme quelconque, suivant 
la nature des caracteiistiques. Celte distinction n'intervient pas dans la 
recberche des intejirales intermed^iaires; mais, dans le cas elliptique, tons 
les raisonnenients ba*es snr la tbeorie des caracterisliques supposent 
implicitenient qu'il s'airit d'inteirrales analytiques. II est a remarquer 
d'ailleurs que des formules. presque identiques en apparence. peuvent 
avoir des interpretations tout a fait differentes, suivant le type de I'equa- 
lion a laquelle elles se rapportent. Pour bien mettre en evidence ce point 
essentiel, nous allons etudier le problenie de Caiicliy pour les deux equa- 
tions ^ = o. /•-+-<=: o. 

Prenons d'abord I'equation s = o. Soit Mi une imilliplicite definie par 
cinq fonctions reellesx =/,(a), y =/,(a),^ =f^{%),p = Gi(a), g = Oi{%) 
de la variable a, satisfaisant a la relation/3 (a) = cpi (a )/'j (a)-^ cp2(2')/2 (°=)- 
L'equation 5 = admel deux integrales intermediaires p = '-l/Ca-). q = ~{y) 
et, pour avoir I'integrale qui renferme tons les elements de Mi, nous devons 
d"abord determiner les fonctions arbitraires <h et ~ par les deux conditions 

o,(a) = .;[/,(a)], cp,(a) = 7.[/,(a)]: 

ces fonctions etant determinees, lintegrale chercbce a pour expression 

zz=Z(,-^ I <l>(x)dx-r- I -(x)dy, 

To, jKo, ^n, etant les coordonnees d'un point de la courbe donnee. corres- 
pondant a nne valeur a„du paranietre. Faisons le cliangement de variables 

ri9) T =/,(«), JK=/2(<'); 

I'expression de z devienl. en tenant compte de^ relations qui determinent 
les fonctions -S et 7:. 



(5o) z-=z,,— f Oi{u)fi{n)dii-^ I 'ii(^')f>(^' 



)d. 



Les coordonnees x, y, z d'un point de la surface chercbce sont ainsi 
exprimees au nioyen de deux para metres 11 et c par les formules {4(j) et ( jo). 
¥.n supposant v =^ u on relrouve bien la courbe donnee. 



86 iiuiniu: \\i\. — kqlaiions dk MoNi.K-.vMi'Kiiii:. 

Proposons-nciis le inemc problcme pour I'l-qiiiition do Laplace r -+- t = o, 

les tK>iinccs leslant los monies. En prenaiil pour nouvelles variables 

, . (^z n — /V/ ()z p -f- /V/ 

5 = .r -(- / r, r^= X — ly, on a ^ z= p^= L — ^ — '- , — = r/i = - — ^ — - > et 

Irtiualion licvicnl-— — = o. Ouant a la iiiiilriplicilo iM., ellc est reuiplacee 
par une nouvelle niultiplicite M , diliiiic par Ics relations 

; =/i(=')-^'/2(^.'. ^. =/i(^)-'/2(3t), 

'i|f 2) — /cofa) «;|('a') -T- Z'^oCx) ., ^ 

P\= ~ » i\= — ' -=/3(a); 



dcs formules ohlenues luut a 1 lieure on conclut que lintegrale de I'equa- 

lion .. =0 admeltant lous les elements de M', est representee par les 
o\ Or, ' ' ' 

equations 

^ =/,(«) -r- //,(«), r =/,(,■)- if, (V), 

1 r" 
z = zo^- I [■^i(ii) — i'^i(u)]{f;(u)-~ij:(u)]du 

^1 I' [^^,(v)-^r,,(i^)][/;i,^)-if:(,)]ch: 



(5i) 



Kn revenanl au\ variables .r, r, nous oblenons les formules suivanle?, 
pour representer I'inlegrale de re(|uation /• -1- / := o qui admel lous les 
elements de la mulliplicile donnee .M], 

A(u)-^A( «' ) -- i\f-. ( " ) -A f »' • I 



(52) 

y= - — — " ZT '— — ■ 



la formulc qui donne z n'elant pas changee. Pour des valeurs reelles des 
paramctres u el v, x, y el z onl en general des valeurs imaginaires; si 
Ton allribue a ces paramelres des valeurs imaginaires, les formules (5i) 
et (5?. ) n'ont un sens que si les fonctions donnees /'j, y,, (pi, 92 sent des 
fonclions analytiques. Supposons ces fonctions liolomorphes dans un 
certain domaine D du plan de la variable complexe a, contenant un seg- 
ment ab de I'axe reel, qui correspond a la courbe donnee. Ces fonclions 
sont representees, dans le voisinage de a = xq, par des series enlieres 
en (a — Xq) a coefficients reels, et par suite prennent des valeurs imagi- 
naires conjuguees pour des valeurs imaginaires conjuguees de la variable 
dans le domaine D. Pour que~r, j', z soieut reels, il suffiia d'attribuer aux 
paramelres u el v des valeurs imaginaires conjuguees, et les formules qui 



II. — MKTIIOnE DK I.API.AOK:. KQIATIONS MNKAIRKS. 

represenloiu liiUi-grale peiivent s'ccrire 



!^7 



(53) 



^ = '*^[/i('0^'/2<«))- J = ■■'! \— j-^ ' 

/ ]oi( If) — i'^i( u)\ ;/,' ( u) -T- ij'^ju) [ da , 
• a,, J 



z,-^A 



i'tl(A) tlesignant la partie rt'-elle de A, el la varial)le cotiiplexe a decrivant 
le domaine D. On voit par la combien les solutions du pioljleme de Gaiicliy 
pour les deux equations, qui paraissent identiques au point de vue pure- 
ment formel, sont en realitc dilTerentes. Tandis que les formules (49) 
et (jo) supposent simplement que les fonclions qui y figurent sont con- 
tinues et out des derivoes continues, les formules (5i) el {'ri) n'out de 
sens piL'cis que si les fonclions donnees f/, c;, sont des fonclions analyiiques, 
el dans les formules definitives (5 J) qui represenlent la solution, le para- 
metre variable u doit prendre des valeurs complexes. 

II est aise de s'assurer que ces conditions ne sont pas introduites par le 
mode de solution adopte, mais qu'elies tiennenl a la nature meine du pro- 
bleme. Soil C une courbe plane du plan des xy^ et D un domaine renfer- 
mant cello courbe. Si Ton se donne les valeurs d'une fonction u et de ses 

1 • • ' • 11 ^" <^" 1 1 1 ^ 1 - . 

derivees partielles — ? -— le long de C, ces valeurs etant seulemenl con- 
Ox dy 



linues et verifiant la relation 



du = — dx 
Ox 



du 



dy 



le long de cette courbe, il n'existe pas en general de solution de Tequation de 

Laplace ^-tu = o, continue ainsi que ses derivees des deux premiers ordres 

, r, . . . , ,,.... du du 

dans D, aussi petit que soil ce domaiiip, el dont les derivees -— -> — nrennenl 

dx dy 

les valeurs donnees sur la courbe G. En effet, si une telle solution existail, 

on en dcduirait une autre fonction v(x.y), salisfaisanl aux memes condi- 

, , ,, ,, , . df du dv du ,,, 
lions que u{x, y) dans U, et telle qu on ait — = , — = — (11, 

^ "■ ' -^ ^ ' ' Ox dy dy dx ^ 

dv dv 
n" 261 ). Les valeurs de — » — ctanl connues le lone; de G, cette fonc- 

Ox dy » 1 

lion v{x, ^)serail elle-meme delerminee le long de C, a une conslanle 
additive pres; u-\-iv serait done une fonction analylique holomorphe 
dans D de x -~- iy, dont on connailrait la valeur lout le long de G. Or on 
sail que cette fonction est completemenl delerminee si Ton connail sa valeur 

le long dun arc de G, aussi petit qu'il soil. II s'ensuit que les valeurs de — et 

, du , . , , , , . . , , . 1 /- 

de — doivent etre complclcmcnt dclerniineos en un point ciuelconque de L<, 
Oy ' 

si Ion connail les valeurs de ces derivees sur uiic portion, aussi petite 



88 CHAPITRE XXIV. — KQl ATIONS DK MONT.E-.VMI'KnE. 

quelle soil, tie ce conlnur. 11 e<t chiir que celto condiiion in- sera pas <alis- 

r ■ ■ , e • 1 ■ dii Oil , . „ 

faile SI les fonctions tloiineo^ iKuir — •. — , sunt seulomciil continues, hn 

' (i.r Oy 

realite, ce n'est pas le prohleme dc Gaucliv qui se pose, pnnr Cequn- 

lion Aj«=:o, ntais uii pidliienir tnul dilVfrent qui sera t'ludie plus loin 

(Chap. XXVH). 



EXERCICES. 

1. Integrer les equalions x- /— \>.xj's -h y-t = o, ^ s -h ^j =: rt. 

rt — 5- -4- /"( .r )/)/ = (), /•/ — s- =: pqs. (jr->t-i.zq — p) s — zpt=^o. 

s = pq — e-/(x,r ), rxy -^ s(x- ~ y- ) -i- txy — p y — qx = o. 

'i. Tiuiiver les surfaces dont les lignes de couiburc de I'un des syslemes 
soni des courbes planes dont les plans passenl |)ar une droile fixe (surfaces 
de Joachimsthal ). el les surfaces dont les lignes de courbure de I'un des 
syslemes sent situees sur des spheres concenliiques {surfaces de Monge). 

3. Determiner les fonctions /.(.r, y) Icllcs que lequalion r=h-l soil 
integrable par la melhode de IMonge. 

4. Determiner les equations de -Monge-Ampere poui- lesquelles les carac- 
tcristiques de I'un des systemes sont des lignes asymptoliqucs ou des lignes 
de courbure des surfaces integrales (Lie). 

Determiner dc meme les equations pour lesquelles les deux families do 
caracleristiques forment un rcseau coiijugue sur les surfaces integrales. 

5. Surfaces minima. — Si Ion ccrit reqiiation tlu plan tangent a une 
surface S sous la forme 

(i — 'ji'l.)\-^i(\^y.\-l,)\ ^(a-h ;i)Z-i- ^Ta, ?; = o, 

a et 3 etanl deu\ parametres variables. |)our que celte surface soil a cour- 
bure moyenne nulle, il faut et il suffit quon ait (p. 79) 

En deduire les equations generales des surfaces a courbure moyenne 
nulle. 



CHAPITUE XXV. 

UATIOXS LIXKAIRHS A n VAIUA15LE.S. 



1. - CLvssiricvTioN i)i:s l;oua.tio\5 a « variables. 

i<Sl. Caracteristiques des equations a n variables. — La nulion 
de caraclerislique s'etend aux equations aux derivees partielles du 
second ordre a un noiid^re quelconque de variables, et aux equa- 
tions d'ordre stiperieur an second. Nous ne Iraiterons que le cas 
d une e(jiiati()n du second ordre a n varialdes, lineaire par rapport 
aux derivees du second ordre 

( I ) i: a,7,/),7, -^F(xi. .... .r„, z,pi. . ... p„ ) = o, /),/, 



ox I OX/^ 



les coefficients ctih ne dependant que des variables .r,, . . ., x„. 
Le probleme de Cauchy ])0ur cetle equation pent etre pose de la 
facon suivante : Ktant donnee dans I'cspace d n, dimensions 
(X) , x-i., . . . , x,i) line liypersurface S representee par V equation 

(2) *(-ri. Xi, .... X,i) = o, 

Ironver une integrate de V equation { i ), eonnaissant les valeurs 
que prennent cette integrate et V une de ses derivees parliidles 
du premier ordre le long de S. 

Ce proi)leine est en general determine. Reniarqiions dalxinl (pie 
les valeurs des n derivees partielles /?/ le long de S ne sont pas 
independanles ; si Ton connait z et I'une de ces derivees en chaque 
point de S, on pent en deduire les autres derivees du premier 
ordre au moyen de lidenlitf' dz =1^ pidxi. En efiet, sur llivper- 
surface S, x^., Xo, . . ., x„ et z peuvent etre exprimces par des 
fonctions connues de n — 1 parametres //,, ii^. .... ««_(, et la 
relation |)re("edente est equivalenle a // — 1 relations dislincles, 



90 (ii\PiTni: \\v. - KyiMioNS i.inkmuks a n vari.mm.ks. 

«mi periiu'Hrnl do calctilcr les valeiirs cles n derivi-es />/, si Ion 
connail liiuo tlelles. Supposons |>ar oxoniple IVWpiation ('>. ) de S 
resohie pairapporl a .r„: on |t(Ul prcndie pour paiaiui'lrcs 

Soil "(.ri, .r^. . . ., .i'//_|) la loiuliou a laqiielle tloit sc redmre c 
sur cetlc midtipliiilt'. I.es /i — i relalions 

permettent d'expriiner les /t — i derivees />,, /^j, . . ., /?,/_i au 
inoven de la derivee />,,, qui peul elre choisie arbitraireinent le 
long de S. 

l^ors(jiie les fonclions <-/,/;, F, ^ sont dcs foiictions anaivliqiies 
de leurs argtiinents, on pent prendre un nomeau sysleine de 
varialjles indrpcndanles (-»"',, . . ., x'^,) de telle f'acon que rcquation 
de riiypersurface S devienne j:'„^o avec ce nou\eau systeme de 
variables. L'equation (i) est reniplacee par une equation de meme 
forme a coefficients analyticjues, et le probleme propose est ramene 
a la recherche d'une integrale de la nouvelle equation, se redui- 
sant pour x',, = o a une fonclion donnee /{x\, . , . , -*^';,_,), tandis 

que^- se reduil a une autre lonction donn('e 'f (^'^ . . o^h-i) ^^s 

meines variables. Ces fonctions^et o seronl aussi analyliques, si 
les donnees du probleme primilif s'exprimaient par des conditions 

analvliques. Si le coefficient de —^ n'esl pas nul dans l'equation 

transformee, on peut appliquer a celte equation le theoreme ge- 
neral (II, n" -ioGj, et Ton en conclut, en revenant a la premiere 
equation, que le probleme de Cauchy admet une solution ana- 
lytique holomorphe dans le voisinage de I'hypersurface qui porte 

les donnees. Si, au contraire, le coefficient «'„„ de — ^ est nul dans 

ox II 

Tequation transformc'-e, on ne peut plus appliquer le theoreme 
general dexistence. Remarquons, sans qu'il soit necessalre de faire 
le calcul, que ce coefficient a^^,^ ne depend que des coefficients aik 
et de la fonction ^ elle-meme, mais ne depend nuUement des don- 
nees sur S. Les hypersurfaces S pour lesfjuelles a',^,^ est nul sont 
les caraclcrisliques de I'f'fjuation ( i). Ces hypersurfaces caracte- 



I. — CLASSIFICATION DES EQl ATIO.NS A n VARIABLES. 9 1 

ristiqucs sonl delinics par une equallon aux (l<'Tl\ees parllelles du 
premier ordre que Ton pcut former sans eirecliier aiicun clian- 
gement de variables. Snpposons en ellet que Ton eonnaisse les 
valeurs de z et de ses derivees jiarliclles pi en tout point de 
1 hypersurface (2), ou, ce (pii revient au meme, qu'on connaisse 
un systeme de 111 -^i fonctions .r/, ph^ z de n — 1 parametres, 
verifianl lequalion (2) et la relation dz = -/>, dxi. Pour en deduire 
les valeurs des derivees du second ordre />//;, en un point quelronque 
de cette multiplicite, nous avons les relations 

( 3 ) dpi — pix dxi -f- . . . -)- pia dxa (i=\, •>.,..., n) 

et lequalion (1) elle-meme. Snpposons, pour simplifier, ([uon ait 
pris pour parametres les (/* — 1^ variables :r,, . . . , x,i-\- 
Les relations (3) nous donnent 



6pi dXn 

= Pil,-^ Pin ' 

OXu OX/i 


<^Pa 
Oxi 


dx„ 


et par suite 






OXn OXa dpi dp,, 
Pik = Pnn -, ; 1- -y 7— 

dXi oxi; axj; OXi 


dXa 
Ox/; 


(t, /.-= 1, 2. .. 



« — l). 

lui portant les valeurs des derivees pih, pni^ tirees de ces for- 
mules, dans 1 ('-quation ( i ), on oblicnl une equation du premier 
degre pour determiner j>„„ 

i\) A/)„,j-i- B = o, 

Oil le coefficient A a jjonr expression 

( J ) A == yaik — - - — ( i, A- = 1 , 2, . . . , /t). 



a condition de remj)lacer — - par ( — i ). 

IJX II 

Si A n'est pas nul pour riivpersurface consideree, on obtient 
les valeurs des derivees /?/a en chaque point de S, et, en passant 
aux derivees d'ordre plus eleve, on verifle, de proche en proclie, 
(jne lollies ces derivees jieuvent elre calculees sans ambiguite. 
\ous somiiies dans le cas general on le probleme de Caiicliv admet 
une solution et une seule. 

11 n'cii est plus dc meinc si riivpersurface S satisfail a la rela- 



f)u iiivimthk wv. — koiations mnkvirks a n vvniABi.Ks. 

liiiii A =^ (), (|ii(in penl tTrirf, soii-^ loriiic |)liis svm(''tri(|iic. 

Oik -T— -; — = o (I, k = \, x // ), 

en sii|)|)(»sant coUe mull i|tli(iic tlrliiiH' par I ((inalioii ( 2). i^ liyper- 
siirlacc S csl alois iino caiadcrislKiue de I t''([iialion ( i ), el 1 on ne 
pcul plus applicpuM- Ics raisonnenienls dn cas {j;rneral. Lors<|u on 
a a la I'ois A = o. H =: t), la valeiir dc la derivcc pnn csl indelcr- 
niinre, t'l \c jtrohlrnie dc Caiicliv prrscnlc iinc indrlerniinalion. 
On a tlemontrt- qne celle Indrlerniinalion etail verilable, lorsqno 
les fonclions <7/a, F, <I>, el les donnt-os sonl analjtiqnes ( ' ). 

Supposons les variables reelles, ainsi que les fonclions rt,A, F; 
jtoiir (piil exisle des caracleristiqncs rcclles, il esl necessaire que 
Icquation du jtrcniicr ordre (G) adniellc des intc'grales reclles. Or 
le premier mcmhre esl une forme qnadrali(|uc par rapporl aux 
derivees tie *P, el |jar suile pen I secrirc sous forme d'une somnic 
dc n carres dc fonclions lineaires de oes derivees multiplies par des 
facleurs conslanls, lorsque le discriminanl A de la forme ^cii/tiiiUk 
n'esl pas nul. Ceci conduit a une classificalion des e([ualions ( 1 ) 
basee sur la nature des earaclerisliques. 

Si le discriminanl de la forme quadratique n'esl pas nul, el si 
lous les coefficients des carres sonl du nieme sii;ne, Tequalion (6) 
n'admel pas d'intejirale reelle, sauf /= C, el j)ar consequent il n'y 
a pas de caracleristicjues reelles pour Tequation (i ). On (lit (|u'elle 
apparlient au lype eUiplique. 

Si le discriminanl A nesl pas nul, sans que lous les coefficients 
des carres aienl le menie signe, re([ualion ((')) a des integrales 
reelles, el II exisle des earaclerisliques reelles pour Tequalion (i) 
qui est dile du Ivpc hypcrholu/ue. 

Si le discriminant A esl nul, Icquation (Cy) esl decomposable en 
une somme de n — /> carres (/> > o), el Tequation (i) apjKirlienl 
au lype parabolicjiie. Lne equation de celte espece peul avoir des 
earaclerisliques reelles, on ne pas en avoir, suivanl les cas. Si par 

exemple /« = ,'-), Tequation ( — ^ T = / — ^ j admet des inlegrales 



(' ) La proposition n'a pas encore etc demonlree d'une facon absolumcnt gene- 
rate pour une equation non analytique, mais ellc se verifie dans tous les cas qui 
onl etc trailcs. 



I. — CLAJJ^iriCATION Di:S ICOUATIONS A n VARIABLES. 9'3 

rcelles. landis que 1V'(|ii;iIm)u 

/do ,)oY /oo ooy- 

\dj: Oz) \dy dz) 

n aclinel cl inlegrales rcelles ([ue si les deux etjualions 



do , do 




do _^,<Jo 






= o, 




= o 


dx ' t)z 




dy ' dz 





formeiil uii svsleme jacobien. Toule ri|ualion ([iii adiiiel des carac- 
teristi([ues reelles est done du type li vperljolique uu du tvpe |)ara- 
boli(|ue. 

182. Propagation par ondes. — Les equations a caracleristiques 
reelles inlcrvicnnent, a rexcluslon des equations du type elliplique, 
dans tous les plienonienes ou il y a propagation par ondes. 11 est 
aise de s'en rendre compte a pj'iori. Considerons d'abord un 
ebranlement se jiropageant le long dune ligne dioite indefinie 
prise pour axe des x. Supposons, par exemple, quon ait un 
cyhndre indefini, de section tres petite, reuijdi d un gaz dont I'etat 
a cliaque instant est le nieme en tous les points de chaque tranche 
perpendiculaire aux generatrices. Get etat est caractcrise par un 
nonibre variable z, qui depend de I'abscisse x de la tranche con- 
sideree et de I'epoque t. Dans les problemes les plus usuels. z est 
une integrale d'une equation du second ordre lineaire par rapport 
aux derivees du second ordre 

-, t>2^ ,. d'-z , d-z ., 
(-) H iW \. ^ M = 0, 

'' dx- dxdt di- 

qui admet la solution ^ r= o, correspondant a I'etat de repos. 

Nous su[)posons que, si I'onvient a produire un ebranlement en 
une portion tlu cylindre, cet ebranlement se propage par ondes, 
c'est-a-dire qu'une tranche d'abscisse x^ situee en dehors de la 
portion ebranlee au debut, reste en repos jusqu'a un certain 
moment l = 'c{x) a partir duquel elle entre en vibration. Consi- 
derons X et t commc les coordonnees rectangulaires d un point; 
soient C la courbe qui a pour e(piation t =^ ':.(x) el z^fix, t) 
1 integrale de 1 equation ( j ^ qui convient au phenomene etudie. l>a 
courbe C decouiposc le plan des xl en deux regions; dans la re- 
gion situee au-dessous de C, on a f ^ '^(j") et z ^= o\ au contraire, 



<)4 ciivi'iini. \\\. — i:qi"ati(>.ns lim':\iiu:s a n vaiumii.ks. 

dans la rry;i(iii siUice au-dessiis dc ('-. ;: csl dilTcrcnt dc zero. Le 
Ion;; lie la coiirhi' C mtus adiiicllroiis (|M(' r ot scs dcTlvrcs par- 

IJellos — » — soul nidlc>, ci- <|iii levienl a supnoscr (iiic c cl ses 

Ox Ot ' III 

dt'rivocs parlielles varienl duiio inaniiTC continue (|iiantl on passe 
dc la narlie non encore cbranlce a la parlie t'hranlce. La surface 
inU'uralc z = /(x^ t) est done tanyente au jdan z= o lout le long 
de la courbe C, <|ui est par conscquenl une caracteristique sur 
cellc inlegrale parliculiere (n" 473); en d'aulres termes, Ceqiia- 
tion t = '-^{.r), (fill C(>ircsi>nn(l (III fronf de Vonde^ est cellc d' une 
courbe caracte//sn'(/ue snr le plan ; = o. 

Ces courbes caraclcrisli(|ues sont les courljes integrales de 
['equation dillerenlielle \\^tdi- — 2K0 <// '/./ -i- L„«^/.r- = o, Hq, Kq, 
Lq dt'siunanl ce que devieiinenl les coefficients H, K, L quand on 

V a reniplace :;, — > — par zero. En particulier, loisciue H, R, 1^ 

r f)~ Of ^ 

ne renfcrinenl [)as x ct /, Ho. Kq, Ln sont dcs constantcs, el les deux 

svstenies de caracleristiques se coniposenl de droites paralleles. 

L'equalion du front de Tonde / = '-^(x) est de la forme I = ax -+- b, 

el Ion en conclut que 1 t'ljianlenient se propage avec une vitesse 

r 
constante — • 
a 

Considerons encore Tequation de la propagation du son dans 

l'es|>ace. Les composanles de la vitesse dune molecule gazeuse 

placee, a linslaat (, au point de coordonnees (x, y, z) sont les 

deri\ees parlielles d'une fbnclion //(.r, )', z, f), t[ui satislait a 

IVqualion aux derivees parlielles 

d- u 0-u 0^ u I o^u _ 
^ ^ IJx^- ' Oy^ ~ oz'^ a- Of- ~ ' 

a elanl un coelficienl conslanl. 

Si pour ^ = 0, on produil un cbranlcmenl limitc a une region 
de I'espace, la molecule placee en un poinl (r, J^, z) en dehors de 
cette region resle en repos jusqu'a Tlnslanl t = 's> (x, y, z)ai partir 
duquel u cesse d'etre nul, L'equation 's{x,y^ z) = t, oil t a une 
valeur determinee, represente la surface fie I'espace (x^ y, z) qui, 
a rin^tant t. separe la rt'-glon non encore ebranlee de la region 
deja ebranl(-e. Si nous aduiellons que a el ses derivees parlielles 
varienl d'uiie maniere continue quand on passe d'une region a 



I. — CLASSIFICATION I»KS EQl ATIONS A H VARIABLES. gS 

raiilrc, rt-quiilion 'f(j", J% ~) — f = o represente, dans respace 
a (jiialre dimensions ( x. v, :-, t). une liypersurface caracleristicjue 
de rt''(ni;ili(in ( N i. piiis([n"il doit cxlslcr une iiUei;rale de cette 
ecjualioa (jni osl lanj;ente a linlegrale j)arlicnliL're // = o tout le 
long- de cetle liypersurface. La relation (6) qui definil les hyper- 
surfaces caracteristiques de I'equallon (8) devient dans le cas 
actuel, en supposant leqiiation de cetle liypersurface rcsolue par 
rapport a /, 

(9) x: M- : 



d'apres un resultal connu f ' ) (voir t. II. p. 640) IV-quation 

represenlc alors une famllle de surfaces paralleles, et par suite les 
positions siiccessives du front de I'onde forment une faniille 
de surfaces paralleles. 

On pent enoncer un resullat plus precis. Pour ; = o, 1 equa- 
tion -^(.r, ^', :;) =: o doit representer la surface ^0 qui scpare la 
region de I'espace deja en vibration de la region an repos a lins- 
tant < = o. On oljtient I'integrale de Tequation (9) satisfaisant 
a cette condition en prenant lenveloppe de Tintegrale complete 

at = / {x — 'j.y^^{y — '-^j)-'- -T-[z — 7/' 

lors<pie le |)oint (a, 3, v) decrit la surface S,,. Soit / = F(:p, y, z) 
I'equation de cette enveloppe; dapres la iheorie de la variation 
des constanles (II, n" io2), F(.r, j', ^)est une integrale de Icqua- 
lion (9), et il est clair que, pour ^ = o, I'enveloppe se reduil a la 
surface So elle-meme. On oblient done la position du front de 



(') Oil pent aussi verifier ce resullat en niontranl que les trajecloires ortliogo- 

nalcs de la fainille de surfaces 'o{x,y, ;:) = C sont des droilcs. Si u, i', w sont 

les cosinus direcleurs de la iiormale a la surface de cette famille qui passe en un 

,,.,,. . , . fy- r>- r)^ 

point {x, y, z), on a, d apres 1 equation (()), w = a -p » t' = a -7^1 iv = a —^y 

el ii suffil de nnonlrcr que u, v, w ne cliangent pas quand on passe d'un point in 
de I'espace an point infinimeul voisin m' sur la direction {u, v, (v) issue de ce 
point. Or on a, a un facteur pri-s, 

~ {Jx- (Jx Ox dy Oy Ox dz dz "~ •> OxWdxj \dy] \dz) \ 



()(i CIIVIMTRi: \\V. — KQl VTIONS I.IM: VIRES A 11 V ARIAULES. 

Toiulc ail loiiips t oil prcnanl remoloppc ties sphrrcs de rayon at 
clonl lo ccnlro dt'-cril la siirCacc I',,: il est ('vident (jiie la porliou 
de oetU" envt'loppe. cpii est exlcricure a 1!„. (^itn\ienl >eule a la 
<|uesllon. Tons ces resullats, qui ont rle di'diiils iini([ueineiit de 
la llicorir des caracterlsti(jiies, seront vi'iifics plus loin (u" 48-4). 

iS3. Generalites sur les equations completement lineaires. — 
I u mand nouihre do prohlcnies ile l'liysi<jiie inalliemalitjuc coii- 
duiseut a des equations aux derivres parlielles, qui sent lineaires 
el liomogenes |iar ra|>|)ort a la lonction inconnue el a ses drrivees; 
rintc'-grale cherclu'e doit en outre salisfaire a des conditions qui 
peuvenl elre de nature ties diverse. De la forme lineaire de ces 
equations il resulte que, si Ion connalt/; inlegrales parliculieres, 
toule comhinaisou lineaire a coelficients constants de ces p inle- 
grales est aussi une inlegrale. Si Ton connait une inlegrale 
dependant d'un on plusieurs paranietres arbitraires, on pent en 
deduire de nouxellcs intc'-grales par des dillV-renliations ou des 
quadralures. Soit par exeniple (^(.r,^, r, ...;«) une inlej^rale 
dependant d'un paramelre «, ne fiijurant pas dans les coefficients 
de I'equation proposee. On verifie imiiiediatemenl par differentia- 
tion (pie ^ esL aussi une integrale, ce qui s'explique puisquc celte 

derivee pent etre considerce conime la iiiuile dune coinbinaison 
lint'-aire des deux inl('';;rales 

o{x, y, z, ...\ a-^h), o{x,y, z, ...; a). 

Le raisonnement est general; si une inU'grale depend dun eei'- 
tain nombre de parametres «, 6, c, ...,/, ne figurant pas dans les 
coefficients de I'equation, toutes les derivees parlielles d'ordre 
quelconque de linlcgrale par rapport a ces parametres sont de 
nouvelles integrales, si toulefois ces deri\ees existent, il |)eut 
arriver aussi que les deriv(-es de I'inlegrale par rapporl a Tune des 
variables ind('pendanles soienl encore des integrales; c'est ce fjui 
aura beu par exemple si Tune des variables ne figure pas dans les 
coefficients de Tequation et si I'on prend les derivees par rapport 
a celte variable. En particulier, dans le cas d'une equation lineaire 
a coelficients constants, toutes les derivees parlielles d'une inte- 
grale sonl aussi des integrales en admellanl, bien enlendu, que ces 



I. — CLASSIFICATION DKS EQIATIONS A n VARIABLES. 97 

derivres existent et onl elles-memes des derivees dun ordre egal 
a Tordre de I'equation proposee. 

h'line integrale dependant de parametres arbilraires on pent 
aussi drduire, par des quadratures, des integrales dependant de 
fond ions arbitraires. Supposons par exemple que d'une equa- 
tion lineaire donnee a quatre variables independanles x^y^ s, t on 
connaisse une inte^^rale u = '-^{x, )', z, t; a, b, c) dependant de 
trois parametres arbilraires a, b, c. Si Ton niultiplie cette solution 
particuliere par une fonclion arbitraire /{a, 6, c) de ces para- 
metres, I'integrale du produit /(a, b, c)c5(x, i', z, / ; a, b, c), 
etendue k un domaine Jixe a une, deux ou trois dimensions de 
I'espace (a, b, c), sera aussi une solution de Tequation aux deri- 
vees partielies proposee, quelle que soil la fonction /(a, b, c). 
Cela resuhe imux'-diatement des foimules habiluelles de differen- 
tiation sous le signe integral, mais on peut simplement observer 
avec Fourier qu'une integrale de cette espece nest an fond que la 
somme dune infinite de solutions particulieres. Quand on connait 
plusieurs integrales particulieres distinctes dependant de para- 
metres arbitraires, on pent former de cette facon d'autres inte- 
grales dependant de fonctions arbitraires. En exprimant que les 
integrales ainsi obtenues satisfont a des conditions voulues. on est 
conduit en general a des equations integrales pour determiner 
les fonctions arbitraires. 

II arrive aussi, pour certaines integrales particulieres dependant 
de parametres arbitraires, qu'on puisse en deduire de nouvelles 
integrales par des quadratures etendues a des domaines qui sont 
eux-memes variables avec .r, y, z, t. Ce sont preciseinent ces 
integrales qui jouent en general le role le plus important ('). 

Si Ion connait une infinite d'inlegrales, lineairement dis- 



tinctes 



'w,, 'io, •••, 'ftii ..., il est evident que la serie^C/C2/ ou 



les coefficients C/ sont constants, est aussi une integrale, pourvii 
que cetle serie, et celles cpion en deduit par derivation jusqu'a 



(') M. J. Le Roux a eludie ces inlegrales, qu'il appelle principales. dans plu- 
sieurs Memoires {Annates de V Kcole Aormale^ 3' serie, t. XII, iXrp; Journal de 
Mulliemutiques, b' serie, t. IV, 1898; t. VI, 1900; t. IX, igoS). On verra un peu 
plus loin un exemple inleressant (0° 484). 

G.. III. 7 



yS ( IIAIMTIlE \\V. — KOI ATIONS LINKAiniCS A n VARIAHLICS. 

lonlre «le r("([(iation, soiont nuirormrmenl oonvergenles. 11 peul 
mein«' -^o fairo que loiiles cos citiiilillDiis ue solent |)as necessaires. 
De louif inlegrale depcndanl dim on plusieurs parametres arbl- 
traires on peul evideinmenl deduire, el d iine inlinil*' i\t- nianieres, 
uno in(iiiit(' ilintr'iirales parliruliercs liut'airenieiil dislinclcs en 
altnltiianl a ces j)arain«"Mres tine siiilr de valeurs j)ar{ieulierc.s, el 
par eonsequenl. foi-nier iiiic itiliiiili' iriiil(''i;rales represenl«*es par 
ties series. On clioisil eii i;eneral les valeurs partlculieres des 
parainetres de facon a salislaire a cerlaines condilions aux limites. 
Supj>osons parexemple qu'une integrale o(.v,r, :; a), dependant 
dun paranielre a, soil nuUe le long de cerlaines nuilti|>liciles pour 
une suile infinie de valeurs de ce paranielre, a,, ,.., y.„, .... 
Toule serie ^C,i'J(jr. y, z; y.„) salisfail fonnelleinenl a I'equation 
proposee el s'annule le long des nienies mullipliciles. Si Ton |)eut 
disposer des coeflicienls C„ de faeon que cellc inlegrale vei'ilie les 
aulres conditions imposees a la solution clierchee, le probleme 
sera resolu. II est clair que, dans chaquecas particulier, les ques- 
tions de convergence seront a examiner. 

Le plus souvenl, des integrales parliculieres renfennant des 
paramelres arbilraires sonl suggerees par la nature menie du pro- 
bleme, ou par la forme analvlique des coefficients. Par exemple, 
elanl donnee une equalion a coefficients constants, I'analogie 
avec les equations ddlerenlielles lineaires de meme espece conduit 
a cliercher des integrales parliculieres s'expriinant an moyen de 
lexponentielle. En ecrivant que e*'^+?/ est une inlegrale d'une 
equation de celle espece a deux variables, on oblienl ane equation 
de condition enlre les constantes a el |3, d'oii I'on deduit une ou 
plusieurs integrales dependant dun |)arainelre arbitraire. 

Tout ce qui precede s'applique aux trois ly|)es d'equations li- 
neaires, elliptique, byperbolique ou parabolique. Ces Irois types 
se presentent en Physique mathematique; la propagation du son, 
par exemple, est regie par une equalion du type byperbolique, el 
la propagation de lachaleurpar une equation du type parabolique. 
La distribution de I'electricite sur un ou plusieurs conducteurs, 
ou la distribution fles temperatures a I'inlerieur d'un cor|)S en 
equilibre de tempi-rature, conduisent a des equations du type 
ellipti(jue. II est a reniarquer que les problemes auxquels on est 
conduit sonl dilTerenls sui\anl le lype de lequalion qui regit le 



II. — APPLICATIONS A QIKLQIES EXF.MPLKS. 99 

plicnomcne; mais, dans chaque cas, le probleme est bien pose, 
c'est-a-dire que les donnees sonl precisement celles qui deter- 
minent coinpletement la solution pour le type correspondant 
d'equalion. 

Pour les equations du tvpe hyperl)oli([ue ou du type parabo- 
lique, le probleme a resoudre est le Probleme de Caucliy ('), ou 
un Probleme mixle^ qu'on obtient en coinbinant le probleme de 
Cauchy avec certaines conditions aux limites, dont la signification 
sera precisee dans chaque cas particulier. Pour une equation du 
type elliptique, le probleme est tout different; il s'agit de trouver 
une integrale reguliere a I'interieur d'line variete /e/v?iee S„_ , a 
(« — i) dimensions, connaissant la valeur de cette integrale en 
lout point de S/,_,, ou une relation entre I'integrale et quelques- 
unes de ses derivees premieres le long de cette variete. Le type le 
pUis celebre de ce genre de questions est le Probleme de Diri- 
chlet, que nous etudierons en detail. Remarquons une fois pour 
toutes que, dans ces differents problemes, les donnees ne sont pas 
forcement analytiques, de sorte que, meme pour le probleme de 
Caucby, le theoreme general d'existence (II, n" 4-56) est bien loin 
<le donner la solution de toutes les questions qu'on pent se pro- 
poser. Dans les cas ou il s'applique, il ne fait connaitre la solution 
que dans le voisinage de la multiplicite qui porte les donnees; ce 
qui est insuffisant pour I'objet qu'on se propose. 



II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. 

Avanl d'etudier dune facon systematique les equations des dif- 
ferents types, nous donnerons quelques exemples de solutions 
synthetiques, cpii offrent une application des generalites prece- 
dentes. 

484-. ilquation du son. — Le probleme de Cauchy pour I'cqua- 

(') La donnee de lintegrale seulc, le long d'une caracteristique, doit clre con- 
sideree comme equivalente aux donnees de Cauchy. Le probleme de Cauchy el le 
probleme mixte se presenlenL en general de celle facon pour une equation du 
type paraholique. Pour toutes ces generalites, on lira avec inti^r^t un article de 
M. Hadamard dans le Bulletin de la Societe de Physique (190G). 



d^u 




d*u 




d^u 


I 


,nu 




-\- 




-H 








d.r* 




dj* 




dz^ 


rt* 


dt* 



lOO CIIAI'ITIIE \\V. — KQIATIONS MNKAIRES A n VARIABI.KS. 

lion de la propagalion du son (n" 182) 

(lo) 

consiste a Irouvcr une integrale u(x^ y, z, t) se reduisanl pour / = o 
a une fonclion donnee f{x, y, -), tandis que — se reduit a une 

autre fonclion donnee '^{x, y, z). Ces deux fonctions / et 's sonl 
supposees continues, ainsi que leurs derivees partielles, dans tout 
I'espace, et nulles en dehors dune certaine region R, qui est le 
siege de rehraiilement initial. T.e probleme a d'abord ete resolu 
par I'oisson el Cauchv; la niethode suivante, due a .M. lioussinesq, 
pernict une discussion facile de toutes les circonstances du plu'- 
noniene. 

La fonclion it^= -, ou /• est la distance dun point variable (^, J>^, z) 

a un point fixe (a, Jj, v), est une integrale de I'equation (lo) depen- 
dant de trois parametres a, ^, -'• L'integrale double 

(ii) u(x,y, z, n= I I '-y-^ , 

ou 'J.(a, ,3, v) est une fonclion arbilraire de a, jii, ". ('•tendue a la 
surface de la sphere S de rayon at, decrite du point (x, y, z) 
comme centre, est aussi une integrale coninie nous allons le verifier; 
c'est a cette integrale que M. Boussinesq adonne le nom de pote/i- 
tiel spherique [voir Chap. XX\ JII). Remarquons que I'integrale 

particuliere - ne depend pas de /; le champ dintegration depend 

seul de t dans la formule (i i), de sorte que - peul etre consideree 

comme une inltgnxle principale, au sens de M. Le Roux (p. 9^) ('). 

(' ) La melliode dc M. Boussinesq peut etre raUacliee a un llicoreme general 
de Weierslrass sur les equations lineaires a coefficients constants (i>oj> Volterua, 
Lecons professees a Stockholm, 1906, p. 58), Soit b{x, y, z) une fonction honr)o- 
genc el du premier degre de x, y, z, telle que I'equation b{x, y, z) = t repre- 
sente une surface fermee -, renfcrniant I'origine, qui n'est rencontree qu'en un 
point par une demi-droite issue de I'origine. Considerons une inlcgrale 

I = / / I z(ii, V, w )/( X -^ II, y -h V, z -i- w ) du t/^■ dw 

etendue au donnaine compris enlre les deux surfaces ^1^, -^, t„ ctant une con- 



II. — AI'PLKIVTIONS A QIELQUES EXEMPLES. lOI 

n II 1 1 - • ' 1 d'-U d^U d- U .. 

rour calculer les derivees secondes — -, — > — > il est com- 

dx- Oy- (Jz- 

mode de faire le cliangemenl de variables 

'x = T-ha(l, ^=y-r-atr,, •^' = z -t- at"!^; 

lorsque Ic point a, j, y decril la sphere S, le point ;, y,, "!!, decrit 
la sphere S de ravon «//, ajant pour centre lorigine, et 1 on a, 
entre les elements daires correspondants ds et d'j des deux spheres, 
la relation dj = a- 1- ds = r- ds. La formule ( i i) devienl 

(12) u[x,y,z,i)=l f iJ.tx-hat',y-^atr^,z-{-at':i)a(ds, 

la nouvelle integrate etant etendue a la surface de la sphere S. Le 
champ dintegratiun etant independant de J7, y^ z, on a immedia- 
tement 

A»« = ! = / /A., 'JL( X -^ at', y -^ atr, z — atL) at as, 

dx-^ ov- Oz-^ J L " ' 

ou, en revenant au champ d'integration primitif, 

1 integrale double etant etendue a la surface de la sphere }i!. 

ilanlc (luelconque. La derivue — =V (x, y, z, t) est une fouction des quatre va- 
II rjt -^ ' 

riables x, t, z, t, qui est une integrale de Fequation lineaire a coefficients con- 
slants 

<^> -^'-''^'^''^ Ox".dyCoz".dt''. ='' 

quelle que soil la fonclion arbitraire /, pourvu que I'equalion 

i^y i:(-i)"-''4A/,,/,./,,/,, , , . f ^ , , . = o 

' - ' ' dx"x dy''^ (Jz''i Of'. 

adniette Tinlegrale -iix. y, z)<^{t — 6(x, >', z)], 4> etant une fonction arbi- 
traire. Dans le cas de Tequation (lo), les deux equations (E), (E)' sent iden- 



tiques et admettent I'integraje -^{at — r) ou r = \/x'^^ y'^~- z''. On peut done 



prendre dans cc cas z — -, h = \/ x- -r- y' ^r z"- ; les surfaces S, sont des spheres, 

et Ton voit facilement que — est identiciue a I'integrale de surface de M. Bous- 
^ Ot ' ° 

sinesq. 
La methode <le KirchholT repose aussi sur I'emploi des integrale: - '^{at — /•). 



I0> riIAPlTHK X\V. — KQIATIONS MNKAIIU:^ A tl VARIAIU.KS. 

L'expression de — y deduilo ile la forimile (12), se compose de 
iloiix tcinu's et pout sccrire 

(hi u r r [ > '^'^ '^'■'- V ''l-'^l J 

— = — t- at I I \ ak -^ -'- cir — — r- aZ -^ \ as, 
ot t , ' .'s L ''•^ ^f ' <iz] 

oil, oil revenant a la sphere 1', 



Oil 

'oi 



u I / / I X — .r (^i. i — y thx 7 — z dti I , 

= - / ^ -+- 7 -+- da 

I t I ,K\ at ox at o:j at 0-' \ 



Mais '-> '—y ^ sent les cosinus direcleurs de la nor- 

(it at at 

male exterieure a -, el I'integrale double dn second membre est 

identlque a I integrale de surface 

j= f f^Jh d^d-:-^%d-^cix-'-^ dxd% 

J J 01. ^ ' O'p ^ 0-; ' ' 

prise suivant le cute exlerieur de -, ou encore, d'apres la for- 
mule de Green, a I'integrale triple (I, n" lii). 

elendue a I'inlerieur de -. De la fonnule qui donne — > 



ot 



Ou _ u I 
Tit " 1 ~ 1 ' 



on tire, en difFcrcnliant de nouveau par rapport a t, 

(.5) '!l^=-"L^lnl-^l^)-l-i 

^ ' Ot^ f^ t \t t j f^ 



0-u u I f II 1.1 I . \ Oi _ \ <)i 

1 ~ot ~ 1 ~ot' 



ce quon pent ecrire — — > r etant le rayon de S. II serail facile 
de calculer — en remplacant les coordonnees rectangulaires a, [j, y 

par des coordonnees polaires (p, 0, 'I) dans lintegrale triple (i4)? 
mais on j)eut aussi observer que, quand /• augmente de dr^ 
I'accroissement A.I est represenle par une integrale triple etendue 
a la portion de I'espace comprise entre les deux spheres con- 
centriques de rayon /• et r -\- di\ La partie j)rincipale de cet 
accroissement est evidemment egale au produil de dr par linte- 

grale double de ( — '- H r- + — -] elendue a la surface de la 

° \ c/a* 0^- 0-;- ) 



II. — APPLICATIONS A OlI^'QUES EXEMPLES. I03 

spluTC de ravon /•. On a done 

, ^, (>-u a- ()i o"^ f r /d^a d^-u. f^V\ , 

^■^^ T^F = 7 ^- = -tJ jj.^ -^ ^ -^ d:^;^-; 

en comparant avec la formiile (lo), on voil que i/(.t,y, z, t) est 
bien une inlegrale de I'equalion (lo), quelle que soil la fonc- 
llon ;j-(a, 3. y) pourvu que les derivees qui figurent dans le 
calcul soienl continues. La formule (12) montre iinmediatenient 

que if(x, 1', c, o) = o, tandis que la liniile de - . lors(pic I lend 

vers zero, est egale a 4~(^t'i^(^j Xi ^)- L'integrale (11) satisf'ait 
done aux conditions initiales 

u{x,y, z,o) = o, — = ^-a\x{x, y, z) (pour / = o). 

Dautre pari, Ui[x,y, z, 1)=^ —- est aussi une inlegrale de I'equa- 
lion ( 10 ) (n" 483) el la formule ( 16) met en evidence (lue — - est 

nul pour / =0. Cetle nouvelle inlegrale satisfait done aux condi- 
tions initiales 

ih{^-,y, ^, o) = ^-aix{x, y, z), ~J7 = ° (pour/ = o). 
Cela etant, posons 

il est clair (pie la fonction 

OF 

(18) u(x,y,z, ()= — ^<i>(x,y. z, () 

donne la solution du probleme de Cauchy pour I'equalion (10), 
ear il resulte des I'ormules preeedentes qu'elle sereduita/(a;, j', 5) 

pour f.=^(), tandis cpie — est egal a cp(x, j', z). D'apres la for- 

mule (|ui donne — ? on voit c{ue cetle lonction u s exprime par une 

inlegrale double etendue a la surface de la sphere de rayon at et 



IO$ niXI'ITRK \KV. — EQUATIONS LlNKAinKS A H VAKIABI.F.S. 

de cenlie \T.y. z\, et par conscMiuent la valeur de // an leinps / 
en un point (-^.^i', -) nc drpcnd cpie des valeurs de f et de cp sur 
la porlion de sphrie de ravoii at sitiiee dans la region R oii s'est 
prodiiil r('l)ranleinenl initial. 

11 csl facile, d'apres cela. de se rendre comple des dilVerenles 
circonslances dn plienoin«'ne. Siipposons que la region R soil 
limilee par une surface fermee S; soieni M un |ioinl de lespace 
exlerieur a R, </ et D la plus courle et ia plus grande distance de 
ce |)oint i'l un point do S. 

'laiil (pie / est inferieur a - » la sphere de rayon al el de 
centre M n'atteinl pas la region I\, «(a", y, z, t) est nul, et la 
molecule placee m M reste au repos juscpia linslant /, ^ - oii 
elle entre en xihration. Mais, a jiartir du moment ou t depasse la 
valeur — . la surface de la sphere de rayon at el de centre M n*a 
plus aucun point commun avec la region R, et la molecule placee 
en M relondje au repos. 

I.e lieu des points qui sont alleints par la vibration au lemps t 
est la surface parallele a S obtenue en portant sur la direction de 
lanormale exlerieure une longueur at] les dillerentes positions du 
front de I'onde sont done des surfaces paralleles a S (n" 482), et 
a represente la vilesse de propagation. Parle point M passent deux 
fronts d'onde, le front d'onde avant qu'on vient dc definir, et un 
front donde arriere, lieu des points obtenus en portant sur la 
normale a S une longueur egale a D. 

Lorsque la region R est lllimitee, il y a bien toujours un front 
d'onde avant pour un point M situe a I'exterieiir de R, mais il n y 
a pas, en general, de front d'onde arriere, car u{x,y, z, t) reste 
different de zero (ou d'tine conslante) des que t a depasse la 

valeur - • 
a 

48o. Ondes cylindriques. — .^i les fonclions donnees f{x, y^ z) 
et c5(x, ) , z) ne dependent pas de :;, c'est-a-dire si letat initial est 
le meme tout le long d'une parallele a Taxe O;, il est clair que 
I'integrale (i8) est elle-meme independanle de z. En effet, 
lorsque ;: varie, x, y^ t restant constants, la sphere S ne fait que 
sedeplacer parallelement a Oc, mais les integrales doubles eten- 



II. — AI'PMCATIONS A QUKI-QIKS i:\EMPLES. lOJ 

(iues a hi surface de celte splirre no cliangent pas de valeur. L'^lat 
o^l done le nioine a cliaque inslanl le long dune parallele a O;;, el 
nous pouvons nous borner a eludier ce qui se passe dans le plan 
<les xy. La foiinule (i8) represenle alors lintegrale de I'equation 

ii- II (J- It I (I'll 
^ '^ Ox- Of- ^ a* ^(i ' 

<pil sc vrdmi ■df( .i\ y), landis (jue — ='v(^,^'), pour t = o. Les 

inlt'grales doubles (17) sont etendues a la surface de la sphere i] 
de rajon /■ = al, ajant pour centre le point de coordon- 
nees (jt, y, o). On pent reniplacer ces integrales par des inle- 
graies doubles etendues au grand cercle decette sphere situe dans 
le plan des xy, en observant que Telement d'aire d^ a pour expres- 
sion 

, r d'ld^ 

d-i 



y//-^ — (X — a)2— (J — [i)-^ 



et (|ue chaque element du grand cercle est la projection de deux 
<:lenients svmetriques de la sphere. La formule ( 18) devient alors 



/ \ r r »<'X' '6)d'xd'i 

I uix. y, t) = / / ' ' — — 

rr f(^.<^)d'xd<^ -j 



f -z-a Ot 

les deux inlegrales doubles etant etendues au cercle F de ravon at 
decrit du point (j7, j) pour centre. 

Supposons que les fonctions fix, y) et 's(x, y) soient nulles 
en dehors de la region R liinitee par une courbe fermee C, ce qui 
correspond au cas 011 la region Pi. siege de lebranlemeut initial, 
est rint«-rieur d'un cylindre de generatrices paralleles a O;;, cet 
ebraulenieot etant le nieme en tous les points dune parallele aux 
generatrices. Si le point (x, y) est en dehors de la region R', 
ii(x,y, t) sera nul taut que at sera inft'-rieur a la plus courte dis- 
tance d de ce pcunl a C, niais des (|ue t depasse — > le cercle V 

contient toujours une portion au moins de R' et u[x, y, t) ne 
redevient pas nul (ou constant) en general. 11 y a done toujours 
un front d'onde avant, dout les positions successives sont des sur- 



Ill() 



(MVIMTRi: \\\. — KOVATIONS I.INKAIRKS A // V ARI Altl.KS. 



l;>ces cvlin(lri(jiics paralloles, inais // n'r a pas de front d^onde 

a I'orrii'rc. F.n d'aiitres lerines. il v a dij/'usion infinic dii son. 

en arriiro du front de londo. I ne oroillc. |)lacee en nn point de 

I'espace. rece\ra indc'linuncnt nne iiuprcssion a pailirdu nionicnl 

ou le Ironl 1 anra alteinle. niais cellc impression ira en s alt<''nnanl 

aveo le temps. Kn ellel, lorsqne t ani;inenle inch'fininienl, on volt 

aisement que les dcn\ intt'i^rales donbles (|ni fli;nrenl dans la for- 

niide (20) Icndent \ers zt'-ro, et I on jtent (h'inonlrer en loule 

... , . , , . • . . I, Oil <)u Oil 

iii;neur (in li en est de nienie des ciernces iiarliellcs — > -— > — - • 
' ^ Ox Oy Oz 

Glides piaru's. — I'renons encore le cas |)lus pailiculier on le? deux 
fonctions /"(.r. ^, z ), o{T,y, z) ne dependenl que de .r. f^liysiquement, 
celle hypolhese correspond au cas oil R esl la region comprise enlre deux 
plans Pi et Pj normaux a Oj", I't'branlenjent initial etant le nieme en tou* 
les points d'un plan parallele a ceux-la. On reconiiait, comme plus haul, 
que la fonclion ti(x, y, -, t } est eile-mcme independante de y et de z, et 
la formule (iS) represcntc I'integrale de Icquation 



(■il) 



d- u _ I 0- u 

ox- ~ a- OC^ 



telle que, pour t =0, u et — se reduiseni ;i /(x) et a »(r). Les deux inte- 

•rrales doubles qui figurent dans cette formule sont etenducs a la surface 
de la sphere de rayon r = at, ayant pour centre le point (a?, o, o). En 
remarquant que I'aire de la zone comprise entie deux plans normaux 
a Ox, d'abscisses x et x -r- dx. a pour expression 2-atdx, on voit imme- 
diatemenl que ces integrales doubles se ramcnenl ii des integrates simples, 
el la formule hS ) devient 



u( X, t) = 



(2'i> 



— / o(x)dx H- -- / /(x)dx 



= — / '^( X) dx 

:> a f , ' 



/( X -r- at) — /( X — a/) 



Dans le cas que nous <--tudions, les deux fonctions y"( x) et 0(3:) sont 
nulies en deiiors dun intervalle ( x„, Xi ). Supposons Xo<i Xt <C t- Tant 

que f esl inferieur a > les deux fonctions yf 2 i et 'j;(x) sont nulies 

dans rintervalle d'inlegration et Ion a u = o. I^orsque t est superieur 

a ) on pent remplacer les limites d inteirration par Xq et Xt, et 

u(x. t)resle constant. Comme 1 impression percue par loreille ne depend 



1 



<n u 




(r- n 




d-u 


1 


c)u 




-+- 




\ 




— — 





<Jx- 




oy- 




Oz'i 


n- 


dt 



II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. 1 07 

que (les deiivees de 11, on voil qu'il y a un front d'onde 4 I'avarit el uii 
front d'onde a I'arriere. Ces rcsultats seronl verifies plus loin (n" 492) par 
une etude dirccte de refpiation (.ii). 

186. Propagation de la chaleur dans un milieu indefini. — Ana- 
Ivlicjuement, le problrine se pose ainsi (' ) : Trouver une iiilej;rale 
de I'equatlon 

(23) 

reguliere pour tout systeme de valeurs de ^, JK, z-. et j)Our ^ >> o, 
se reduisant a une fonction donnee /"(.r, y^ z) pour t = o. Pour 
qu'un prodnit de la forme X\ZT, ou X, Y, Z, T ne dependent 
respectivenient que de t, )% r, /, soit une integrale de lequa- 
lion (23), il faut et il suffil qu'on ait 

v T. ■ Il - 1. T 

et par suite ohacun des rapports qui (Igurent dans celte relation 
doit se reduire a une constante. Si Ton veut que les variables x,y, z 
figurent sous des signes trigonometriques, on doit prendre pour 

X" . ... 

les rapports tels (jue ^ des valeurs negatives et I'on ohtient ainsi 

une integrale particuliere 

(■24) V — e-'*'+|5»-f-Y')rt2/(.osa(.r — A) cos|i( jk — (J.) cos 7^^ — v), 

dependant de six constantes arhitraires a, jB, y, A, |j., v. (^'expres- 
sion 

(■>5) iv= f f C vd'-xd'id'[ 

•^0 "-0 •- 



(') C'est en realite un cas parliculier du probleme de Cauchy (note dc la 
page 99), puisque I'hypersurface f = o de Tespace {x, y\ z^ t) est une mullipli- 
cite caracierislique. Au point de vue physique, ce probleme correspond au pro- 
bleme suivant. L'espace elant suppose rempli d'un fluide homogene dont on con- 
nait la temperature en cliaque point au lemps t = o, trouver la temperature a 
un instant quelconque. On pent encore supposer qu'on a introduit, dans l'espace 
a 0°, un corps chaud jouissant des monies proprietes que le fluide extericur, au 
point de vue calorifique. Le probleme serait tout autre si Ton plongeait dans une 
enceinte ^ 0° un corps chaufTe de nature dillerente qu'on laisse ensuitc se refroidir 
libremcnt, en mainlenant la temperature de I'enceinte a 0°. Nous traitons deux 
cas particuliers aux n"* 'iH? et 488. 



|08 rHVPMIll- \\\. — Kgl ATIONS I.INEAinES A 11 \.\Ul\ni.E5. 

sera aiissi unt' intt'grale parliculitTC de (23); or, w esl Ic |iro(lnil 
do troi< int(''i,M;ilps simples lelles que 

(afi » / e-"'='''cosa(.r — A)rfa. 

La \aliMii- (if oello inlej^rale se dediiit aisi'ineiil (Tune for- 
mule anitiieuro ( t. 1. p. 286) (]u"oti peul ecrlre 

fii V cluingeiinl y on a ti\ t (a ('laiil la nouvelle variable d'int(^gra- 

X — A 

lion I, b en -z. ()n ohtient ainsi 

xa \' t 

I (?-"'*''co«3t( > — /j 6^a = -e *" ' , 

el deux iorniules loules pareilles donnanl les valcursdes integrales 
analogues a (26), ce (jiii donne eti definilive, 

'.» -A '-I-' > — (JL.--^:— Vi' 

(27 I «• = ::-- 



T.I nouvelle inb'^rale u' no depend plus que de Irois constantes 
;irliilr.iiies ).. -a, v. L'expression 



(9.8) 



« — — / / / "/(a, li., v;c/a (/a (/v 



csl encore un<; integrale. Pour prouver que c'est I'integrale 
demandce, faisons le changenient de variables 

A = j^ -^ y.n \J'l\^ ;i = V -I- >.a \ftr^, v = j; -^ ?,a /< ^ ; 

la formule ( aSj devienl, en remplacant w par sa valeur, 

IV)ur / = o, celle integrale se reduil a 

- '-fix.y.z) I e '-'d'- j e-^'^dr, I e-^V^, 



II. — APPLICATIONS A QUELQLES EXEMPI.ES. lOy 

c'est-a-dire a y(^, J', c- ), puisquc cliaciine des iiilegrales simples 
est egale a y/- (I, p. 34o ). 

Supposons que la fonction /( x, y, z) soil mille, saiifdans unc 
region bornee R de Tespace ou elle est positive. Cetle Jivpothese 
correspond an cas ou I'on aurait introduit, dans Tespace a o", un 
corps, occupant la region R, a une temperature superieure a o". 
On peut alors, dans la formule (28), prendre pour cliamp d inte- 
gration la region R elle-meme puisque^ (a. ul, viestnul en dehors 
de celte region. Cette formule nous montre que, aussi petit que 
soit t, u a une valeur positive en chaque point de I'espace. II en 
resulte que la propagation de la chaleur, a partir du corps chaud, 
dans I'espace a o", se fait dune maniere instantanee, c'est-a-dire 
((ua linstant meme qui suit lintroduction du corps chaud, la 
temperature dun point quelconque de Tespace commence a 
monter. II n'y a done pas d'onde calorifique, ce qu'on pouvait 
|)revoir a priori^ puisque Tequation ( 23j est du type parabolique 
et n'admet pas d'autres caracleristiques reelles que les hypersur- 
faces / = C. 

La formule ("iS) montre egalement que tout le corps chaud intervienl 
dans le calcul de la temperature au point ( x. y, s j a un instant quelconque, 
puisque le second membre est une integrale triple etendue a la position 
de Tespace occupee par ce corps. Des lors, un observateur, place en ce 
point, eprouve a I'instant / une sensation calorifique qui depend de I'etat 
initial de tout le corps chaud; nous avons vu, au contraire, dans I'etude 
de la propagation du son. que la sensation auditive au temps t ne depend 
que de I'etat initial des points situes sur une sphere de ravon at ayant 
pour centre le point (x,y, z). D'apres M. Boussinesq, ce fait anaiytique 
explique pourquoi la vue et louie nous procurent sur le monde exterieur 
des connaissances assez nettes, tandis que les phenomenes calorifiques 
n'apporlent que des impressions confuses et indistinctes. Cela lient a ce 
que les phenomenes optiques ou acoustiques sont regis par des equations 
dont la solution comporle des integrales doubles, tandis que les pheno- 
menes calorifiques sont regis par des equations dont la solution comporte 
des integrales triples. 

i8T. Probl6me de rarmille. — On appelle armille un fil de tres faible 
section, formant un circuit ferme. On se donne la distribution initiale de 
la temperature dans I'armille, et Ton demande quelle sera cette distribu- 
tion quand on aura laisse Tarmille se refroidir librement pendant un temps 
quelconque. L'equation du probleme est la suivante 

,„ , Ou <i'Ui 

( io) au =^ k — - ; 

^ ^ at dx^' 



no CHAPITRE XXV. — KQUATIONS MNKAIRES A n VARIABLES. 

a el k sont des constanles positives, / designe le temps, x la longueur du 
fil complce suivant son axe a partir d'une ccrtaine origine cl u la tempe- 
rature au temps / de la tranche d'abscisse x. Nous supposerons qu'on a 
clioisi lunile de longueur de facon que la longueur tolale du (11 soit egale 
a i-. En posant ii = if-'". IV'quation (3o) se reduil a 

no — =A— ;. 

(It iix- 

II s'agit de trouver une intcgrale de celte oqualioii, dcfinie pour toules 
les valeurs positives de t. el se rediiisant pour / ^ o a une fonction 
donneey"(a"). qui admet necessairement la periode >.-. 11 est clair que la 
fonction v doit admcttre la meme jieriode. 

I'our resoudre ce problcme, Fourier remarquc d'abord que Trquation (3i) 
admet une infinite de solutions simples, qu'on oblient en faisanl le produit 
dune fonction de / par une fonction periodique de t de periode 2.~. 
Toules ces solutions sont de la forme e~"^''' (A cosnx -+- Bsinna;), n etant 
un nombre enlier quelconque, A et B des constanles arbilraires. Au moyen 
de ces solutions simples, on peut former I'integrale demandoe, dans le cas 
Ires general oil la fonction /(a^) est dovcloppable en serie de Fourier 

(3v4) f(x)= — -f- ^ (ff„ cosnx -^ ^,) sinnj"); 

n = l 

il est clair, en effet, que la fonction representee par la serie 

-r- » 

C33) (■ = — — \^e-"''''( a„ co'^nx -h 0„ s\nnx) 

n = l 

salisfait formeUement a I'equation Hi), et, pour / =o, celte serie se rcduit 

au developpement de/(^). 

Le raisonnement manque evidemmenl de rigueur, mais il est facile d'y 

suppleer. Observons d'abord que a„| et |6„|ont une borne superieure M ; 

,,.,„„ , , . , Ok' O'-v .. 

la serie ( Jo ) el les series obtenues pour — et — sont uniformement con- 

vergentes pour toute valeurde / superieure a un nombre positif-:;il suffit, 
pour le voir, de comparer le terme general au lerme de meme rang de 
la serie convergente aMln^g-n^AT j^g relation (3i) est done verifiee pour 
toute valeur de ^ > t, et par suite pour toute valeur positive de f, puisque - 
est un nombre positif arbitraire. II reste a prouver que, lorsque t lend 
vers zero, x restant constant, la somme de la serie (33) a pour limile la 
somrae de la serie Cii), qui est supposee convergente. Or, si Ton pose 
q = e-A', la serie ('33) est une serie entiere en q 

(Ii ) V =. — -T- 2,1"^^ ^n cosnx -f- bn sin nx). 



II. — APPLICATIONS A QIELQL ES EXE5IPLES. Ill 

(lont tous les evposanls sont ties carres parfaits. Lorsque / tend vers zero 
par valeurs positives, q lend ver? I'unite et. d'apres le theoreme d'Abel, la 
somme de la serie(33/ a pour limile la soinnie de cette serie oii Ion a 
fait ^y = I, c'est-a-dire la serie (3> ). 

II est a reniarquer que la relation ( 3i ) n'est pa« necessairenient verifiee 
pour f = o; c'est ce qui a lieu, par exemple, si la fonction donneey(ar) n'a 
pas de derivee seconde i ' ). 

Remarque. — Ciiaque ternie de la serie (33/ pent etre developpe en 
serie entiere ordonnee suivanl les puissances de x. En remplacanl chaqiie 
terme par son developpement, v est representee par la sonime dune serie 
double dont chaque terme est une puissance de x. Cette serie double est 
absolument convergente pour toute valeur positive de t. En efTet, soil !\I 
une limile superieure des valeurs absolues |a,i| et 6„|. La somme des 
modules des ternies renfermes dans la n'"°^ ligne du Tableau est evidem- 
ment inferieure a 'Slq'^'e"?. p etant egal a x\. Or la serie dont le termo 
general est q'''e"? est convergente, quel que soil s, lorsqu'on a gr <; i . II suit 
de la que, pour toute valeur positive de t, la fonction v = F{x, t), qui 
represente I'etat calorifique de larmille a I'instant t, est une fonction 
entiere de x. Une fonction continue arbitrairement clioisie de x ne pent 
done pas represenler letal calorifique de rarniiile a une epoque consecutive 
a celle oii on la laisse se refroitlir libremenl. 

•488. Refroidissement de la sphere. — Supposons qu'une sphere de 
rayon R soil plongee dans une enceinte a o", et que la temperature initiate 
d'un point quelconque de cette sphere soil fonction seulement de la dis- 
tance /• au centre; par raison de symetrie, il en sera de meme a un instant 
quelconque. La temperature u dun point de la sphere au temps t est une 
fonction des variables /• et t, qui satisfait a lequation 

\ du 0- u 1 du 
^' k <Jt ~ dr- r Or' 

Cette fonction est rlefinie pour toute valeur positive de /, et pour toute 

valeur de /• comprise entre o et R. et doit se reduire a une fonction 

connuey(r), rlefinie de o a R, lorsque t devient nul. En outre, si Ton 

admet la loi de deperdition de .Newton, cette fonction u doit salisfaire a 

une condition a la surface, qui est la suivante; pour /• = R, on doit 

■ du , , , . . , , ■ 

avoir 'r- nu = o. h etant une constante positive, et cela quel que soil t. 

dr 



(') Quelle que soil la fonction continue fix), il resulle d'un theoreme de 
Weierstrass que la somme de la serie (33), oil <2„ et ^„ sont les coefficients de la 
serie de Fourier provenant de/(a;), a pour limile /(x) lorsque t tend vers zero 
par valeurs positives {voir K. Picard, Traile d' Analyse, 2' edition, t. I, p. 283). 



Ill CHAPITRE XXV. — EQUATIONS I.INKAIRI-S A // V AHIABI.KS. 

L'equation (i.i) se simplifie <i Ton pose // = - ct doxienl 

tanilis que la condilion relative a la surface cle\ienl 

Oi' I — A R 

(36) _=._j-_r (pourr=R) 

el la nouveile condition iniliale est v — rfir) pour / = o. 

L'equation (3j) est identique a lequation (Si) du probleme de rarniille, 
mais I'integrale clierchee doit satisfaire a une condition aux limites tout 
a fait differenle. Pour qu'une solution do la forme 

V = e-^''''{k cos fji/' -t- B 'in \xr) 

convienne au nouveau probleme, il faul d'abord que - = /< conserve unc 

valeur finie pour r = o, et par suite que A soil nul. Pour que cetle inle- 
grale verifie la condition Ci^ >. il faul en outre que \i soil racine de l'equa- 
tion transcendanle 

(37) ^«"g^'^^)= TZTTTR- 

On demonlre aisement que celte equation admet une infinite de racines 

positives ;jl,, {jlj, ..., ,u„, .... Si Ion pose en eflel uR = .r. on est ramene 

a rechercher les points d'interseclion de la courbe y = langa* avcc la 

droite ( i — hR)y = x. Si, par exemple, i — A R est posilif. l'equation (37) 

, { -in — I)- (in -hJ )- 

a une racine et une seule entre p; el r- ; celte racine est 

2 R 'A K 

superieure a -r^, et la didcrence <le deux racines constculives est supe- 

rieure a -^ • Cela etant, supposons que la fonclion rf(r) soil developpable, 
dans I'intervalle (o, R), en une serie de la forme 

(38) r/( r) = Ai sin(iJti r) -4- A? sinCajr) — . . .-r- A„ sin(a„ /•)-)-... , 
les coefficients A„ (-tant constants. Fa serie 

(Sg) V = Aie-H-'''' sin( uirj -^ \<,e-'!^'''' sin( |ji2^j -i-- • • 

donne la solution du probleme. En effet, celte serie est uniformemenl con- 
vergente pour tlo, et si Ton pose e-*' = ^, on peut repeter pour la 

serie X A„^!^" sin( |ji„r) les raisonnements par lesquels on eiablit le theo- 
reme d'AbelCI, n" 182), el Ion en conclul que v a pour limile r/(r} 



I 



(:o.Mi>i.i;.Mi:.\TS kt kxercicks. iu 

lorsque / tciifl vers zero. INmu- iIi'iiioiiIihm- qin; les st'Tie* deduites de r en 

difTeicnliant lerine a terinc sonl uriifoiiiK'nunt conveiiienlcs. on n"a qua 

ii.'()ren<lio les calculs du problOme de I'armille. La seule diffeience consislc 

en ce que la suite des iiombres cntiers est lemplacee par la suite des 

norid)ies croissants a], jjlo, ... dans laquelle [Xn — l^n-i est comprise 

- 3- . . . 

cntie — — et — rr* La possibilite du developpement de rfir) en une serie 
•2 ii -2 K ^ ^^ J ^ ' 

<le 111 forme (38), lorsque cette fonction satisfait au\ conditions de Diri- 

chlet, a ete etablie rigouiouseinent par Gaucliy (■; (voir Exetcices, 'i }. 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 

i. Prohl()rne traite par Fourier. — (Jn considere le solide indefini coni- 
pris enlre deii\ plans paralleles B et C, et un plan A qui leur est normal. 
On sii|>pose chaque point M du plan A maintenu a une temperature con- 
slante qui est une fonction donnee oi x) de la seJile distance x de ce point 
au plan H, et tous les points des faces B et C maintenus a o". II s'etablit a 
la fin un equilibre de temperature. Trouver la temperature finale u{x,y) 
en un |)oint P dont les distances anx plans B et A sont x et r. 

La fonction ^(0-, J') doit satisfaire a Tequation de Laplace Am = o, se 
reduire a o{x) pour y = n; etre nulle, quel que soit y, pour .r = o, et 
pour a" — /, et etre tres petite pour y H"es grand. On part de la '•(dutioii 

simple e ' sin — - — qui satisfait aux derniercs conditions, et Ton deve- 

7: .7" 

loppe ':.(t) en serie de sinus des multiples de — r-- 

2. Soient ;.JL. 0/ deux racines distinctes de I'equalion C^y). Demontrer 
qu'on a 

r'' . 

/ sin( u/-) sin(;jL'/-)rf/- = o. 

II en resulte qu'on peut determiner les coeflicients de la serie (^3S 1 de la 
meme facon que les coefficients dune serie de Fourier, en sup|)Osant cette 
serie uniformement convcrjrenle. 



(') O/imres completes, 1" serie, t. VII. Fo//aussi : K. Picard, Traite d' Ana- 
lyse, t. IF. p. i79-jr)5; H. Poincauk, Thdorie analytiquc de la propagation de 
la clialeur. [Lerons redigecs par llouyer et Hairc. Clui[i. \I et suivanLs.| 



G., HI. 



CllAIMTKE XXVI. 

fiQUATIONS LINfiAlRES DU TYPE IIYPERBOLIQUE. 



I. — ETl DE I>E QUELQUES PUORLEMES HEL\TIFS A L'EQUATION 



•481K Determination d'une integrale par les donn^es de Cauchy. 
— Nous commencerons pai- ('■tudier en drtail tin certain nonibre 
de problemes relalifs a Inequation elenienlaire 

^ ' Or Ov '' '-^ '" 

une inlej^rale est dite rrgiiliere dans un doniaine, si elle est con- 
tinue et admet des dt-rivees partielles du premier ordre continues 
dans CO domaine. La fonclion /(\r, j^) est elle-menie supposee 
continue ('). Proposons-nous d'abord de determiner une inte- 
grale, connaissant les valeurs qu'elle prend sur deux caracteris- 
liques de systemes difTerents ou, d'une facon plus precise, cher- 
chons une integrale se reduisant, ^our y=yQ^k une fonction 
donnee '-5(^) et, pour x = x^, a une autre fonction connue '}(y), 
ces deux fonctions satisfaisant a la condition 'i(^Xo)=^ '\'(j'o)- Si 
les deux fonctions '-^{-i:) et 'i'(y) sont delerminees respectivement 
dans les intervalles (Xq, Xo+^) ^t '/o^ ^o + 1^), I'integrale 
clierchee est elle-meme delerminee a Tinlerieur du rectangle 
liinite par les droiles x = Xo, x = Xo + y--, y =yo^ y ^^yo + Pi <'t 
nous pourrions ecrire immediatement son expression, en observant 

cjue lintegrale double I dz j /(;, 'fi)dr^ est une integrale de 

(') On suppose, pour simpliCier. les axes Ox et Oy rectangulaires, mais il est 
clair que les resullals sonl indepenclants de cellc liypotlicst, si i'on ecrit les intc- 
grales doubles, qui figurent dans les formules, en rncllant en evidence les limiles 
des integrations successives a efTecluer. 



I. — I'HOril.KMKS RKI.ATIFS A I.KQIATION S =/(x, y). Il5 

requatlon (i) ((ui est nuUe pour y^y^, quel que soit x, et 
pour .r = J:*oi quel ((ue soit >'. Mais nous traiteioiis le probleine 
par uii procede uniforme, s'appliquant a tons les problemes (jui 
vonl suivre. 

Supposons, pour fixer les idees, a >> o, ^ >> o, et soit AlJCiJ 
le rectangle dont les sonimets ont pour coordonnees (xu. }'(,), 
(Xo ■+- a, Jo), {Xo + a, )-u H- ,'i ), (xq, Vq + ? j- l^'un j)oinl M j)ris 
a rinterieur on sui- le coulour de ce rectangle abaissous les per- 
pend iculaires MP <t MQ sur les cotes AB et AD. Toule inte- 
grale z-{x, y) de I'equation ( i ) satisfait aussi a la relation 

(2) Jj'^1^^^ d\dr, = f ff(\, ■r^)d\cK 

les deux integrales doubles etant etendues a I aire du rec- 
tangle APM(K Or, le premier membre a pour valeur (I, n" 12!2) 

^(•^^ y) + -(-Po, Jo) — -(^0, y) — ^{^-, J'o); pour I'integrale 
cherchee, ^(x, .Vo)i ^(.i? -^o) sont precisement les fonctions 
donnees '^(j:) et 'y( J'), et cette iutegrale a pour expression 



(3) 



■•ii ya 



II est evident que la fonction ainsi obtenue satisfait*'au\ condi- 
tions imposees; pour qu'elle soit reguliere dans le rectangle ABCD, 
il faut, en outre, que les fonctions '^{^x) et '\{^y) aient des derivees 
continues. 

Si lc« fonctions 'o{x) el 'M^J sont continues, ainsi que '-p'(^) ^^ 'V ^y)i 
sauf pour un nombre fini de valeurs de x comprises entre Tq et j",, -v- a, 
et pour un nombre fini de valeurs de y entre j'o etjKo-i- ^, ^ix^y) est 
reguliere dans le rectangle ABCD, sauf le long d'un nombre fini de seg- 
ments de caracteristiques. On voit, par la, que toute discontinuite de 
I'integrale ou de ses derivees en un point de la fronticre du domaine se 
nianifeste dans lout le domaine. Si les fonctions ^(x) el '\f{y) u'ont pas 
de derivee, -s(ar, y) n'esl pas a propremenl parler une inlegrale de I'oqua- 

tion ( I ), a moins dadopter pour la deriNce r- la definition irencra- 

' V v Oxdy " 

lisce ( \, n" 2^j. 

Considerons maintenant un arc de courbe AB (fig. 84") qui 
n'est rencontre qu'en un point par une parallele a chacun des 



iiG (iiAPiTui: \\\i. — i:oi vTioNs i.im:aiui:s di i\i>ic iimm; unoi.iui i:. 

;i\OS. Le i)rol)l«''m<' ilc (",;iii(liv [iciil ('•lif \m)>v ;iiiim : DrlcrDiinc]- 
lino in(('i^r(i((' dc I' ((jiKition ( i i, roniHiissiinl Ics ra/cii/s drs 



NV 



Fi:;. 8^ 



y 


















°\ 










\ 






C 








Q 


\y 




M 








\ 


■■■■/. 










\ 


yp 


^ 










D 


V /^ 


A- 




o 














x 




ih'ri\ees partielles -^^ — en iin point nuelconquc i/e /'a/-c \B, 
' dx Oy ' ' ' ' 

el la valeiir de Vintcgrale clle-nienie en iin point de eel arc. 

Daprt'S les hvpollieses faites sur I'arc AIJ, on pent siipposer 

que les deux derivces paillclles — i — ^ sont des lonclions donnees 
' ' o.v Oy 

de X et J)' respeclivenicnl le lonf;; de AB, — =:T:(.r), — ^ z:=iy{y). 

Supposons de plus, pour fixer les idees, (|ue Ion connaisse la 
valeiir r,, de rinU'-graie au point A de coordonnees (.ro, ya)', la 
valeur de cellc integralc en nii jioinl (|ii('i(on(|ue de Tare AH dc 
coordonnees (a:, y) est alors doiuK-e par 1;; forninle 



(4) 



z{t.Y\ = Zn 



f ~a)d\-^J'f_(r,)dr, 



On pent done <liic cpi on supj)0!>e connues les valeurs de 1 inle- 

ijrale et de ses deux derivees partielles — ^> — en un poini (luel- 
" ^ dx Oy ^ '^ 

conque de I'arc AB, ces Irois fonctions etant liees j)ai- la rela- 
tion (4). L'inlegrale salisfaisanl a ces conditions est determinee 
dans lout le rectangle ACBD, v compris les coles. Soil, en elTet, M 
un point quelcon(jue de ce rectangle {Jig- ^\")- Les paralleles aux 
axes nienees par M rencontrenl I'arc AB aux points P et (.) respec- 



I. — i'iu)iti.i;\ii;s [iKLATiKs A i/kolaiion s = f(x, j^). 117 

livcinent c[ loiih- int('"i;rale de ( 1 ) satislait ;'i la iclation 

./V"-w "=•''■ =./'./"^'='-^='"" 

les ileux intt'<;rales doubles (-lant etendiies a Taire du triangle 
mixlili^nc P.M(}. Kii appiiquant la ff)riiiiile dc Green a rinte<j;rale 
duiilili' (111 prt'iiiicr iiiciiihrc. 011 [iciil la leiiiplacer par 1 inlegrale 

(•m\ilii>ne / — dr,. prise le Ion" du contour dans le sens direct, 
inlegrale qui se reduil evideinnient a Zy,^ — ^i'-^ / — <i'U'^ nous 
designons |)our altreger j)ar :?„ la valeur de z(^x, >') au point .M de 
coordonnees ( x, r). Pour linteorale clierchee, — ='/(•/•) le lon*'^ 
de AH. C>elte integralc a done pour expression 

(•(• (pi un prut encore ecrire, en tenant conijite de la relation (4), 
id) z(x. y)= Zq-^- I ~(\)d'i^ I /. ( v^, i c/r, -4- / / /( ;. r, ) d\ dr, . 

<>o • .'0 '^ •- PMQ 

< )n \erifie que cette lonction z{^x^ y^ est una integrale de lequa- 
lion (1 I salisfaisant aux conditions de Cauchy, en observant que 
lintegrale double du second membreest une integrale particuliere 
<le (1) qui est nulle. ainsi (jue ses derivees partielles du premier 
ordre pour tout point de Tare AB (1. n" 12t2, p. 3ii). On pent 
encore ecrire la lormule (6) sous les formes equivalenles 

((■)/ ;;ji=^p-l- / yir,)dr,— j /( c, '■, ) <r/^ c/t,, 

( C, ." ^M = -u -- / -( ; I dl -^ f f /( I \ ) d\ dr^, 

Oil n inter\ lennent que les \aleurs de 1 integrale et de I une de ses 
derivees le long de I'arc AB. On verifiera sans peine que ces for- 
nniles sappliquent aussi dans le cas 011 Tare AB a la disposition 
de la figure 84''; a condition de cbanger le signe de rint<'grale 
double. 

L iiitoijrale (6) sera rei;uliere dan-i tout le rectangle, poui\u (pie Ic* 



llS CIIAIMTIIK \\\l. — KOIATKINS I.IM'AIUKS Df T\\>\: in I'KllllOl.lQl K. 

foMClions T.i.r) el '/ i V ^ soieiit cuntinnes (hm-; cc dotiiaini'. Si ces foiictions 

ont nil iioinlut" llni dc poiiUs dc (lisnnil iiiiiiti-. les (U'rivees —^j — seronl 

ox Oy 

discontinue? le long de certains segments de caracterisliques. De niemc, 

si Ion se donne la valeur de lintegrale ^ = i* en un point qnelconqiie 

de AH, cl la dorivee parlielle — r=iT.{x), nmir que la foiiction c(.r, v) 

Ox ' ' "^ 

reproscnlee par ( 6 i' soit regulirre, il faiil ([ue la difl'crenoe «I> — / T.{\)d\ 
soit line fonction do ^ admcttant une dt'rivoe continue le long de Tare AH. 

Les formule.s qui resolvent le problenie donnent lieu a quelques 
reniarques im|iorlantes : 

i" II est e\i(ient sur ces fonnules (jue la valeur dc l'inte{i;rale 
au point M ne depend que des valeurs que prennenl la f'onclion el 
ses derivees du premier ordre le lon<; de Tare P(^, el par suite la 
valeur de z{x, y) en un point infiniment voisin de I'arc Mi ne 
depend que des valeurs de z el de ses derivees sur la [)orti()n de 
I'arc AB injinimenl voisine du point M. Ces forniules (6), (())', 
(())" ne font connaitre r qua I'interieur du rectanj^le ABCD, mais 
les donnees de Caucliy le long de AB ne delerniinent une inlegrale 
que dans ce doniaine. Jl existe en ellet une infinite d'integrales 
de (i), regulieres dans un doniaine (l> contenant le rectangle ABC!), 
el qui coincident avec lintegrale precedente dans ce rectangle. 
I'our l)ien saisir ce point essenliel, prolongeons I'arc AB dans les 
deux sens, de facon a obtenir un arc A'B' satisfaisant aux nienics 
conditions que AB, el donnons-nous le long de A'B' deux fonc- 
tions continues de x el de y respeclivement qui coincident 
avec T^ix) el '/(y) dans la portion A 15. L integrale de (i) qui 

prend la valeur ::o 'i" point A, et dont les deriv«''es parlielles -7^> — ^ 

sent egales a ces fonctions le long de A'B', est reguliere dans le 
nouveau rectangle A'B'G'D', et elle coincide avec I'integrale (()) 
a rinterieur et sur les cotes du rectangle ABCI3. Si la premiere 
integrale admet des derivees parlielles continues jusqu'a I'ordre n, 
on pent toujours clioisir les nouvelles donnees de facon a conserver 
la conlinuite de ces derivees quand on sort du rectangle ABCI). 
2" Considerons en particulier I'ecjuation .s = o el lintegrale 
Z(x, y) de celte equation qui, le long de Tare AB, se reduit a une 
fonction continue 4> du parametre qui fixe la position d'un point 



1. — I'Roni.KMKs ni:i.\Tirs a i.'kqi atiox s =/{ r, y). inj 

siir cet arc. laiidis que — est t'"ale Ic lonjr de AB a niif autre fonc- 

tioii eontiiuie n(xj. Cette integrale est representee par la for- 
iiiiile (0) , ou Ion suppose /"= o, el -(q) remplacee par n(;). 
Supposons que, le long de AB, les deux fonctions <I> et n(^) 
puissenl etre developpees en series 



* = 



fi 



n(x) = r.i(a;) — -^{x) -h. 



-,( T) 



la seconde elanl nnif<irmeinent convergenLe. La formule qui 
donne Z(x, j') peut alors s'ecrire 

{-) ^^x,y) = ^ ,.^,.,y+y -ii'-),l\ ^^Ziix.y), 



OU z-i(^x^ y) est I'integrale qui se reduit a cp/, tandis que -^ est 

egale a 7Zi(x), le long de AB. Cette reniarque s'etend aussi aiix 
problemes que nous allons traiter dans les paragraphes suivanls. 
3" Le premier prolileme Iraite peut etre considere conmie un 
cas liniite du probleme de Cauchj. En ellet, quand on se donne 
la fonction '-^{x) a laquelle se reduit une integrale ^{x, y) 

pour j^' ^ I'o, on connait par la meme la derivee — ;= '^' i,^) ^^ long 

de cette caracterislique. La derivee -^ depend encore d'une con- 
stante arbitraire, niais si Ion connait en outre la fonction 'liy) a 
laquelle se reduit ::(:c, j') pour j: = J^o, -^ est connu pour x = Xq^ 
y=yQj et par consequent sa \aleur est deterniinee en lous les 
points de la caracteristique jk = Jo i^^" 474). Nous allons traiter 
d'aulres problemes ou Ton se donne la valeur de I'integrale sur 
cerlains arcs de courbe, (pii ne sont pas des caracteristiques, avec 
les donnees de Caucbv sur d'autres portions de courbes. 

490. Problemes mixtes. — SoientOABC le rectangle limite par 
les droites x = o. x ^ « > o, r = o, j' = ^ > o, etOi-) un arc de 
courbe issu de I'origine et situ<'- dans ce rectangle, tel que la paral- 
lele a Ox menee par un point quelconque M de ce rectangle, ren- 
contre 01) en un point N et en un seul. Cet arc OD est represente 



|-iO CIIVIMTilK WVI. — KOI ATIONS I.IM'VIIIKS 1)1 TVI'K II VPKKUOI.H.)! l!. 

par iiiif ('(HialKin ./ = "i r). la tDmiion t:( )') rlanl toiilniiif dans 
riiilorvalle (^u, ). I'loposons-iious do Irouvcr line inU'^ralc z{x,]-) 
Ae [i) so reduisant a uuo fonclioii ■C'(jr) poiiry ^= o, el a imc autre 
fitnclion 'i/( )') lorsque le pdiiil M \icnt sur I aic (^D, les deux 
fonclions o el •!/ verifianl la eondllioii '^[0)=^ •!j{o). Si les deux 
fnnelions o^.r) el '^-fij') J^onl delerniint'es dans les inlervalles (o, a) 









1 


' '?• 


85. 






D 

s 




n 




c 




N / 




M 
























i 


P 













( 








' 


\ 


a- 



€t (o, />j respeclivemenl, 1 inlegrale clierclu'e est delerminOe dans 
le rectangle OACB. Nous avons en ellel, pour una integrale 
tjiielconque de lequalion ( i ), 

les deux inlei;rales doubles etant elendues a I'aire du rec- 
lani;le M.N()P. Mais linlei^rale double du premier menibre est 
tgale a r^-^^Q — r-^. — ^|., el 5^, z^, ^,. sont connus d'apres les 
conditions auxquelles salisfait lintegrale consideree z[x, y); nous 
avons done, pour la valeur de celte inlegrale au point iNI de coor- 
donnees (x^y), I'expression suivante : 



'9 






<'t r<»n voil aisenienl que le sif;ne Av rinlc-f^rale double doil «Ure 
chan<i<'- lorsque le point M est silue enlre lareOD et I'axeOj^. Inver- 
sement la fonction ^(x, y) representee j>ar celte fonnule salisfail a 
toules les condilions voulues. D'une part, il esl evidenl qu'elle se 



I. — I'ROHKKMKS REI.ATIl'S A I.'l':yi: ATION s = f{x^ y). lil 

rt'-duila '-5(^) lorsque Ic point M \ientsur OA el;i 'i>(j>'') lors(|ue M 
\ieiil siir Tare OD. D'aiilrc pait, c'est iiiie iiilei;ial(! de (i), car 
rinlc'oralc double qui est au second menibre esL la diUV'ience de 
deux inte>;rales doubles dont Tune eslelendue au rectangle OPMS 
el Taulre an rectani^le 0()l\S, el celle derniere inlei;rale ne 
depend ([ue de 7. Celle inle^rale z{x^y) est reguliere dans le rec- 
tangle OACB pourvii (pie les lonclions ci, '^, - aient des derivees 
continues dans les intervalles correspondarits. \ous reniarquerons 
qu"a lorigine les deri\ees parliellcs p^ ct <J^) \erilient la relation 



(10) 



'7o-+-/^o~'(o}= 'h'{o), 



quelle cpie soil la fonclion o^x). 

Supposons en second lieu que Ton connaisse la valeur de linle- 
grale el de ses derivees le long (\\\n arc ()A silne au dessous de O^ 

FiR. SG. 




el la valeur de 1 inlegrale seulemenl le long d'lin arc ()F> siUk' ;hi- 
dessus de O^ {fig- ^^0- 

L'arc OA n'est rencontre qu'en un jioint |>ar une parallcle a 
chacun des axes dans le rectangle ODAH, landis que Tare OE est 



I>2 (11 AIMIUK \\M. - Kyr ATIONS I.INKAIHIS HI TVPi: IH I'KUBOUOIK. 

renconlif cu iiii poinl ft en un seiil par loulc parallt'le a Cardans 
le rertani;le OllHC. Sur Tare OV on a les donnees de Caucliy, et 
par suite I'inleijrale esl di'-lerniinee dans tout le reclanj;le ODAFl 
el oil paiiicnlier sill- OH. ( ".omiaissanl !«■> \alfiirsde I'inlcgrale 
sur OH el sur (.)1'^, nous soinines lament's au problenie precedent, 
en supposant, bien enlendu, (|ue les valeiirs tlonnees |)()ur I inte- 
grale tendent \ers la meine limilf au point ( ), sur les deux 
arcs 0.\ et OE. Mais il v a lieu de [presenter une ieniar(|ue essen- 
tielie. Appelons z-ii^.r, y) rintej;rale qui est deteiininee dans le 
rectangle ODAH par les donnees de Cauchv, le loni; de OA, 
et z-ii.r^ y) rintegrale dt-tenniiu'c dans le rectangle OHBC, qui 
coincide avec z-t {jc, y) le long de OH, et qui se reduit a une fonc- 
tion connue z = '^{y) le long de Tare OE, qui a pour equa- 
tion X =-{y). Ces deux integrales sont egales en tous les points 

de OH, et par suite il en est de nienie de leurs derivees-^j -^> 
I ox Ox 

... , . II'-' <^-l '^^i 

niais rien ne prouve (lu il en sera de meiue dcs derivees— -> — — > 
1 1 Of dy 

et cela n'aura pas lieu si les donnees sont quelconques. Pourqu'il 

en soit ainsi, il suflit que ces derivees soient egales a lorigine 

( u" 473, p. .")()). Appelons 

(/'i)o, (fj\h, (pi)o, (q-i)o 

les valeurs des derivees de ;, et de z-, a lorigine; (/^i)o ^^ ('/Oo 
sont connues dapres les conditions de Caucliy relatives a I'arc OA. 
On a de plus (/?2)o^(/?i )o ! poui- (pion ail aussi (^^)o = (y,)o, il 
faut et il suffit. d"api-rs la rcmaiquo faite tout a llieure, (ju'on ail 

Lorsque cette condition est satisfaile. lintegrale qui coincide 
avec Ziix.y'} dans le rectangle ODAH el avec z-^i^x^ y) dans le 
rectangle OHBC est rejiuliere dans tout le rectan"le ABCD. Sa 
\aleur en un |)()ini du rectangle ODAH esl fournie par la for- 
mule (6 ). (Jn peut oluenir directenienl sa valeur en un point du 
rectangle OHBC en parlant de la relalion 

ff'^^ ■'■-'-= fff^- ■'•'"'-'■'" 

les deux integrales doubles etant elendues au quadrilatere mixti- 



r. — I'llOBI.ICMIS UKI.VTIFS A l.'lCyU A TION s = f{x, y). lai 

lij^ne MN(>1*, ot en ;ij)|)li(|iianl l;i (onniile (!<• rirt'cu iiii premier 
mcnibie. On trouve ainsi 

( 1 1 ) ^M = -I- -^ ->■ — -y -+- / 7J''i) (h -^ /<^ ' ' '^^ ) '^^'^ '^^''^ • 

en supposanl quo, Ic long de OA, la deiivee -^ se rciluila '/{)')• 

L'integrale double qui est an second membre doit etre changee de 
signe lorsque le point M est entre I'arc OE et ()C. 

On |)Ourrail iinaginer bicu (raulies coinbinaisons pour deter- 
miner une inU'^rale, par exeniple supposer connues les donnees de 
Caucliv le long dun are AH, et les valeurs de I'integrale le long 
de deux ares de courbe AC, l^D issus des j)oints A el H. Le |)ro- 
blenie des eordes \ibrantes (n" i93) nous oflrira un exeniple de ce 
genre. 

4D1. Determination d'une integrals par ses valeurs le long de deux 
courbes. — Le dernier probleme Iraite ne serait pas determine si Ton se 
doiinait seulemenl les valeurs de I'integrale le long des deux arcs OA et OE. 
puisqu'on pent encore choisir arbilrairemeiit la fonction a laquelle se reduit 
I'une des derivees partielles de z le long de OA. Mais il n'en est plus de 
meipe quand les deux arcs sont situes dans le ineme angle des caracteris- 
tiques. Gonsiderons, dans le rectangle OABC, deux arcs de courbe issus de 
I'origine OD, OE, dont Tare inforieur OD n'est rencontre qu'en un point 
par une parallele a Oy, landis que Tare OE n'est rencontre qu'en un point 
par une parallele a Ox. Soienl y =z t.{x)^ x =^ / {y) les equations de ces 
deux arcs de courbe, qu'on a representes par des portions de droite, pour 
la connmodite du dessin {fig. 87). II exisle une integrale de I'equalion (1) 
et une seule se reduisant a une fonclion donnee '^{x) le long de OD, et a 
une autre fonction donnee '\;{y) le longdeOE; nous pouvons evidemment 
supposer que ces deux fonctions sont nulles a I'origine. 

Nous traiterons d'abonl ic cas ou o(a'j et '\{y) sont nulles identi- 
quement. 

A parlir d'un |)oint (jiielconque M du leclangle OABC, on trace deux 
lij^nes brisees. L'une L, (igurce en trails pleins, s'obtient en nicnant par iNl 
la parallele M/ni a Oj' jusqu'a sa rencontre en lUx avcc OD, puis la paral- 
lele rriipi a Ox, la parallele pirn^ a Oy, et ainsi de suite alternativeinent. 
La seconde ligne brisee L', marquee eu pointille, s'obtient par une con- 
struction analogue, en commencant par la |)arallel(; Al/ij a Ox. II est 
clair que ces deux lignes brisees out \ui nomlire indelini de cotes et se 
rapproclient <ie plus en plus de rorigine. 

Gela pose, soienl I ct I' les integrales doubles / /(-, r, ) r/; r/r, etendues 



i:oi vTioNS i.iMCA lines ni tmm: iiyi'i:i\ik)i.ioi'k. 



I2.j (IIM'ITIli: wvi. 

ros|)«>clivoiiioiU iiiix |>(irlioiis dii phm lomprises, dune i)art, enlrc Ox, la 
W'^uc I. et rordonnce MP, daulre pari. iMiire Or, la li<;ne L' el la droilc MQ. 
II est rliiir (|iie oes iiite^rales iic dcpeiuieiU lespeclivemeiil que de J- ft 



I'li 



V 














E 






Q 










Z 


M 








/ 








n 








P, 


/ 


i.M, 




^ 






/ 






^^ 








X 




^t 


" "^^^,\ 


^ 








P 


/ 


:M, 




^^ 












K/ 


\ 




^ 


•". 






X" 


-S 
















j^ 











dc y el que les ileii\ ii<,Mies Lei L' soul eonfondues lorsque le point I\l vienl 
sui lune dcs li,mie^ CD, OE. La fonelion 

z{x, r)= f I f{ ?, r, ) r/; ^/r, — I — I' 



est done une inlegrale de requali(jn 






fi^i y)^ fl'^i' devieiil nulli 



lorsque le point M vient sur OD ou sm- QE. 

Pour tiiiilfi- le eas oii \o> f.inclioiis cif.r ) el '^(7) sont quelronque?, desi- 

fjnons par F(x, jK) I'inU'-'rale double / / /( ;. t.K'^; '"''^n qu' est une fonc- 

lion regulieie dans le lectangle OABC. Si Z{x, y ) est une autre inti'grale 

re''uliere de Irqualion (1), on a = o. el par consequeni, en 

' ' ()x ()y 

consideranl successivenienl lous les recUingles .M «) jM, /«i, '^h/'i^^i'/i, 

Aljrt, Mr; /n., on peul cerire la serie d'egaliles ( I, n" 14:2; : 



(12) 



Zm — Zm, — Z„.-, — Zrt, — Fm -h I'm, — l*«, — I'm,, 
1 Zm, — Zm.^ — Z/,, — Z,/, = Fm, -t- Fm. — F^,, — F,/„ 
j Zm, — Zm, — Z„,. — 'A„_, — Fm. -r- Fm, — I' „i, — F„... 



I. — PIIOBLE.MKS llKI.ArilS A I.KC^HATION S=f(x.y). \>.5 

Dans celle sviite d'egalitcs tout est conmi, saiif Zji , Z>|,. .... Pour eli- 
niiner ces inconnucs, il suffit d ajontci- les egaliles precedentes apres les 
a\oii- mullipliees par -.- i ot — i allctnativement. On obtient ainsi Z\| 
exptinie par une serie, et Ton demontre qu'inveisement cette serie est con- 
veigenle et represente une fonction legulieie dans le rectangle OAB(], 
satislaisant au\ conditions du problomc ( ' i. 

Remarque. — Coupons les deux arcs OD, OE par un arc tcl que 
UK {Jig. 87). Une integraie serait determinee dans un doinaine facile a 
dcTinir si Ton connaissait les donnees de Gaucliy le long de KH et ies valeurs 
de I'integrale le long de MD et de KE. Dans le cas de la (igure, la valeur 
de I'integrale en M s'obtiendrait en ajoutant au\ trois egaiites h^j la for- 
luule obtenuepar I'application du iheoreine de Green a i'integrale double 



// 



z d' df 

dz Or 



(itendue a I'aire du pentagone niixtiligne ^^^Pii'sqi, et en eliminant les 
inconnues Zy^, Zy,, Z>|^. 

49-2. Mouvement rectiligne d'un gaz. — Considerons un tuyau cylin- 
driquo rempli de gaz, ferine a une extreniite O, et indefini dans I'autre 
sens; si Ton iniprime a la tranche qui est en O un certain mouvement au 
inoyen de la paroi, ou d'un piston mobile, il en resulte pour la colonne 
d'air conlenue dans le cylindre certaines modification* qu'on etudie en 
Acoustique. Soient MX une tranche de gaz situee a la distance x de O, z son 
deplacement a Tinslani /; z est une fonction de x et de /, et des conside- 
rations physiques prouveut que z satisfait a I'oquation aux derivees par- 
tielles 

ff-z d'-z 

( 1 j) ' 7 = a- ; J 

' or- ox' 

„ . . . , , ,. d'-z 
a ctant une coiistante. Lette equation se ramene a la lorme —r = o, en 

pienant pour nouvelles variables ; = a: -H «/, r, = a" — at., pourvu qu'on 
suppose c<jntinues les derivees partielles du second ordre de z(l, n"G3j, et 
par suite les caracteristiques sont representees, dans le plan des xt., par 
les deux families de droites x ± at ^ C 

E'lntegrale cherchee doit satisfaire aux conditions suivantes : i" a 
I'inslant origine t = o, la paroi et la colonne d'air sont au repos, c'est- 



(') E. GijuusAT, Annales de la Facidte des Sciences de I'oulouse, 
I. VI, 190',, |j. 117. 



l■^6 CIIVI'ITIVK \\\l. — KyiMIONS I.INKMHKS lU TVI'K IH I'KllllOI.lQl K. 

ii-(Jire qu On a ;; = o, —- = o pour t = o, .r -j o ; ce soul K'S dnnnors tic 
ot 

Cauchy lo lonj; do la parlie positive de I'axe Ox: -i" on imprimc a la liaiiclie 

iniliale un mouvement dont la loi est coiinue, c'est-a-diro que pourx = o, 

/ u o, J doil se reduire a une fonction fit), qui est nulle ainsi que sa 

derivee pour < =o. Lo probleme a rosoudie est done \\n prohlcinc mixte, 

et la solution resultc aisi'inent do la tlioorio gonorale du 11° I'.tO. Mcnmis 

par lorigine los deux oaiaoloristiques x ^= -rz at (Jig. 88). Puisquo 5 el — 

sont nuls le loni; de 0.r. z est nul aussi dans tout Tangle des caracleris- 
tiques LOL', et on particulier le long do OL. I'our avoir la vaieur de z en 
(in point .M ( x, /) situe au-dossus de 01., luenons la paialiolo Mm a OL, et 

Fipr. 88. 




les paralleles M\. nin a la seconde caracteristique. D'apres ce qu'on a vu 

plus haut, on doit avoir Z>| -^ Z„= Zy -^ //«. et par suite Zm = Z,„. Or, 

X . [ ■^\ ■ 

I'ordonnee du point in est t > el par suite Zm = /"( / )• En resume, 

a ' "^ \ a / 

I'integrale cherchee a pour expression 

.- = (pour^l^), z=f(^t-l) (pour.^^). 



On voit que la tranche a une distance x de la tranche initiale reste en 
repos tant qu'on a /^ — ; la constante a represente done la vitesse de pro- 
pagation de I'onde. Si Ton cesse d'agir sur la tranche initiale au bout 
d'un temps T, la fonction f{t) reste constante pour t ^T \ la tranche 

d'abscisse x qui entre en mouvement a I'inslant — revient au repos a partir 

n 

.. X X 

de lin^tant — -f- T. Linlegrale ne dependant que de / > on voit que 

a ' ' a 



I. — 1'H()iili;mi;s uki.atii's a i.'i';yi;ATioN 5 — /(.r, >). rjiy 

Tonclc se propage toul ciilirrc sans cliaMgc'iiient inlericui': fni dil (iu'iiiil' 
pareille onilc est rei^uliere { ' ). 

Goiisidcioiis en second lieu iin cvlindie indt'lini dans les deux sens. 
Nous sup.poserons que rebranlenienl initial a ete produit cii urn; portion 
iimitee du tuyau; analytiqueinent, cela revient a dire que, pour / = o, 

z et — doiveul se reduire a des fouctions Aonnites fi x) et '^(x) qui sont 

nulles en dehors d'uu iutervalle (o, / ). (Test le piol)lenie de Caucliy lui- 
meme, les donnees etant portees [)ar I'axe des x tout entier, et nous pou- 
vons prevoir sans aucun calcul la nature de la solution. Par I'origiiie el 
par le |)oint A d'abscisse / surOr, menons les caracteristiques ; ces droites 
divisent le plan eii un certain nornbre de regions {fig. 89). Soient iNIf, 
iMQ les doux caracteristiques qui passent en un point M ; nous avons vu 
que la valeur de lintegrale en AI s'exprime par une integrale prise le long 
de PQ, qui ne depend que des donnees /(a^j et o(r). Ces fonctions etant 



(') En reaiiti', reqiialion (i3) ne convient qu'aux /^e^/75 mouvemeiits d^s, gaz. 
L'e(]ualion exacte est 

A et in ilanl deux constantes dont la seconde ni est superieure a ruiiite. On 

passe de (i3)' a I'equation simplifiec tlu texle en supposant que les variations 

dc 'Yip) pendant le mouvement sont iiifinimcnt petilcs, ct en remplaoant YiP) 

par unc constante a. Mais on pent aussi resoudre le pi-oi)leine propose pour 

requalioii {i3)', c'est-a-dire trouvcr unc integrale z(x, t) de cette equation, 

■ . . . , , ()z dz ■^, 

continue, ainsi que ses denvees clu premier ordre p = —— > q ^^ —1 pour x ^ o^ 

t = o, s'aniuilar.t pour t = o, quel f|ue soit x, et se reduisant, pour x = o. a inic 
fonclion /(/ ), qui est nulle, ainsi que f (t), pour f = o. D'apres la sign idea lion 
physique de ce problenie, un point de la partie positive de Oo; resle en repos 
jusqu'a un certain niomcut t = o{x), 'iix) ctanl une fonclion positive el crois- 
sanle, c'est-a-dire qu'il y a une propagation par ondes. La surface qui repre- 
scnle i'integrale cherchee se confond done avec le jjlan ^ = o dans la region 
comprise entre I'axe Oa: et la courbe t = zi{x). Au-dessus de cette courhe C, la 
solution cherchee est reprcscnlec par une surface langenle an plan des xy le 
long dc C, el nous sommes ramenes an problenie d'Hugoniot (p. -j). 

On a vu plus haul que cetle surface integrale S est une developpable langenle 
au plan des xy suivant la courbe C, qui est une caracleristiquc pour hi solu- 
tion z := o. Dans le cas acluel, les caraclerisli(|ucs siUices sur Ic plan des xj' soul 

les deux svslemes dc droites / = A. ir: — — Comnie la courhe C doit i)asscr par 

" ■; (o) 

Torigine el elre siluee dans Tangle .rO^,si la tranche iniliale entre en vibralinn 
ci riiislanl t = o, cette courbe C se confond forccmenl avec la dinitc I>, 
j; = (Y{o). el nous voyons deja (pic Tonde se propage avec une vilesse con- 
stante <!^' (o). 

Pour acliever de delerniincr la surface S, nous remarquons qu'elle doil verifier 



i-iS 



riiAi'inii: \\\ i. 



i;yi VTioNs i.i,m:\iiii:> hi im-i. ini'i:in»oi.K»i k. 



nnllo-; a ilrnitf df V ol i\ ^nuclio do (), ritil(';,'iiili' clicrcln'c ol inillo dans 
lo> lotions ( I ) et ( I i', die est cgale a iino constante K dans la rctjion ( II ), 
el a la ineiiic cnnslaiile clian;;ce de sijjiic — K dans la region (II)'. Dans 
nne iles ret^inns inar(]nees par des liailiuie< Imi i/onlaies seulement, elle 
eonseive nne valeiii' oonslanle i]uand .M se deplace parallelenient a la carac- 
leri"iliqiie OIJ; cost done nne fonclion de .r — at; de ineine, dans iinc des 
regions marquees par des liacliuies verlioales seulement, c'esl une fonclion 
lie .r-^nt. ICnlin, dans le parallelogranune Ot"..\B, elle depend a la fois 
de .r -f- <//, el de .r — at. 

II est facile de verifier ces conclusions par le calcnl. L'integrale generale 
de Tcqnalion (13 I esl z = V{.r-~-at)~<i>{.r — at), les fonclions F el <l> 
n'elant delerminees qua une constante pres. Ces lonctions doivenl salisfaire 
an\ conditions iniliales 



F(j-)--1'(a-)=/,x), 



V'{x) — t|>' ( a; ) = - C5 ( J- ) : 
a, ' 



une des ileux cquiilions -y (/y ) rr y = -^f o), rai" les e(|uutions (liUcrentieilcs des 
deux syslemcs de caractcristiijues do rcqualion (i3)' admetlenl les deux cond)i- 
naisons inlegrables 

c'[7--'y(/')] = '>' ^i['i — 'i{p)] = ^- 

La premiere convienl aux caracterisliques du syslcrne auquel ii'apparlienl pas 
I.I dniile H, et par suite, nous devons prendre ie si^ne -+- dcvant q. Cellc equa- 
tion du premier ordrc s'ccrit encore 



(e; 



Ox \ 






el i'on est ramene a clicrc-licr une iiitegrale de celle ('(pialion du (jremicr oi'dre 
passant par la courbe plane I"du plan des cf, representee par Tequalion ;: = y ( < j. 
Or. I'equalion ie) admct I'integrai.e complete formee de plans (II, n° 444), 



- = [ ( I -- ha )'-'" — \\x -X- at + b, 

et rinlegrale cliercliee est I'enveloppc de cc plan quand on etablil cntre a et t 
une relation telle qu'il renferme une langente a r (II, n' 4'i(i). L'equatioa du 
plan P passant par la tanjjenle a V au |)oinl de (ourdonnees [o, /., /(a)! est, 
eommc on le voit aisernent. 

- -/(/>) ~-/'0')(t- /.)-([' ^ -^Z' ( A)]'-'"- > )^- 

ICnirc la droite D cl I'axe Ot. la fonclion cherchee z{x, t) est done repre- 
sentee par la surface developpable, cnveloppe du plan P, dependant du para- 
metre variable /,. 

Si une portion de I'arele de rcbroussement de celte surface se projelte dans 
Tangle xOl, les derivees secondes r, s, t deviennent infinies en ces points. Celte 
discontinnite correspond au plienomene de Rieniann-Hugoniot. ( Pour I'etude 
(•(jmpbte du mouvemetit rcctiligne d'un gaz, voir IIadamahl), herons sur la pro- 
pasittion den ondes. Cbap. IN.) 



1. — I'uoni.KMEs ni.i.vTiFs A l'kquatiox s = f(x. y). \J.<) 

1111 pent sii|)|)o*cr Fi^o ) = 'l>(() i ct par suite poser 

F{x) — 'h{.r) = - I o{x) dx = 'l(x): 

I'integrale cherchee a done pour expression \cf. n° 485, formult: (v.vjj 

('•D -= ^ [/{x-^at)-+-6(x-hat)\-\-'-\f(x-at)^6ix — al)]. 

Happelons q\ief(x) est nul en dehors de rinlervalle (o, /), que ^(x) est 
nul ponr:p;^o, el conserve une valeur conslante H poura?^/. Jin appli- 

Viii. 8(). 




quant la forniule (j4) a cliacune <les regions du plan successiveuieiit, il est 

aise de retrouver les conclusions precedentes. Donnons, par excinple, a x 

, .r, — / 
une valeur conslante j"i > /. Lorsque t varie de o a , f{ Xj-\- (i() 

et /(xi — at ) soul nuls, '\'(.ri ^ at) el '\i{xi — at) ont la nieme valour con- 
slante II ; on a done ^ = o. Quand t varie dc '■ a — , f( Xi-\- at) = o, 

a a 

•b{xi-i- at) — 11, et z a pour expression :- - [f(xi — at) — 'l'(xi — at)]. 

i-lnlin pour t ^ — , f( Xi-\- at ), /{x^ — at) el 'l(Xi — at) soul nuls, el 

z= — l.'onde atleinl la tranche d'abscisse x, a linslant , el cellc 

•>. '■' 

H ■■r^ 

Irannhc revicnl au rcpos, avec un deplacemcnl constant—, a 1 instant 

' ■'. (/ 

<;., III. 9 



I >i) tiivi'Miu: wvi. — Kor.vTioNs i.inkaiuks nr type nvPEnnoi.iQii:. 

On Ni'iiiiit (If iiK-mo qu'il exi«te ime nmlo roj^iilit-re qui se pro|i:i^(' vers la 
gauclu". Tout se passe, en definilive, coninie si r('lii;inloineiil initial piovc- 
nait <lc la snperposilion <lc deux omles leuiulieres qui sc sepaiiMit jxMir se 
prr<pa;;er I'une vers la droile, I'autre vers la gauclic, avec la vitesse a. 

On peulaussi letrouver la fornuile (yi9. ) ( Chap. WN' ) eii faisant lerliau- 
gement de variables .r- -+-«/ = £, x — at = i). et appliquanl la forniule 
generate (G) a I'equalion transfnruiee (voir Kxcrcires 2). 



i"i:>. Cordes vibrantes. — Ine corde ('iastiquo ( ).V do lunirueur / riant 
lixee a ses deux extremiles, si on I'ecarte de sa position d'equilihre, le 
deplaccinent c normal a la corde d'un point d'abscisse x, a I'iiistant /, est 
line fonction des variables x el / qui \eriiie aussi I'equalion 03). ('.eltc 
fonction inconnne z doit satisfaire a daulres condilions : i" ies conditions 
initialcft. qui exprinienl que, a linslant inilial t = o, on connail pour cliaque 



valeur ile .?• 



el —_j soil ;; =:f(^x), — = o{x). ces fonclious elanl niilles 



ot •' - " dt 

pour ./• = o ct pour 3"=/; ■>." ies conditions aux li/nites qui expriniciit 



90. 



t 


y^^^\ 


t' 




03 


/^\, 


A3 




''2 


N</ 


'■z 




^. 


y^B \^ 


A. 









A 


■' 



que Ies cxtrerniles de la corde sonl fixes, c'esl-a-dire que ;: esl nul, quel 
que soil t, pour ar = o el pour x ^ I. Nous icnconlrons de nouveau un 
probleme niixle. Far le poinl A d'abscisse / sur Ox mcnons la caracleris- 
liquc x-i-at = l. et la parallele A/' a Ot, ct par I'origiuo la caracle- 
ristiquc x — at =: o (Jig'. 90). Les donnces sonl celies de Cauchy sur OA, 
et Ion doit avoir :: = o sur les droites O f et A t'. 

Les donnces de Cauchy deterininent I'inlegrale dans le triangle GAB. 
Connaissant les valeurs de riniegraie suivanl 00] el OB, elle est deter- 
minee dans le triangle OBOi ; dc meine, linlegraie esl determinec dans le 



I. — PROBLEMES RELATIFS A l'kqUATION S = f{x, J). i S I 

triangle .VBA| par ses valeurs le long de AB et de AA| ('), Connaissant 
les valeurs de I'integrale le long de BOi el de BA|, elle est determinee 
dans le paralh'dograninie OiBAiBj; en continuaiil ainsi, on voit de pioclie 
en proche quelle est di-terminee dans toute la region comprise entre les 
paralleles O^, At' au-dessus de Ox. 

Soil -s = F(a: -r- af ) -^'I>(.r — at) I'integrale chcrchee; d'apres les con- 
ditions initiales, on doit avoii- 

F{x)-h<Pix)=/(x), F'(x) — <i>'{x)= 'i^. 

On en deduit, commo tout a Ihciirc, 

Tr/ . /(x)-^'b(x} f(ar-) — <l(.r) 
F(x)=' , '1'^^:)=' : , 



en posanl 'li(x)^= — j o(x)dx. Ces formules ne di'finissent les deux 

•- 
fonctions F(ff), ^(u) que pour les valeurs de u comprises entre o et /. 
Pour que la solution ait un sens, il faut que F( u) soit definie pour toutes 
les valeurs positives de I'argument, et ^(ii) pour toutes les valeurs nega- 
tives. I^es conditions aux limites donnent les relations 

F(at) — <P(— at) = o. F(/ -+- al) — <l>( I — at) — o, 

quel que soil t, ce qu'on peut ecrire, en lemplacant at par «, 

F(u)~T-^( — u) — o, F(J -^ u) -^ 'Pi I — u) = o, M > o. 

De la premiere on tire ^( — ")= — F(u\, ce qui monlre que la fonc- 
tion <l> sera delerminee pour toutes les valeurs negatives de u, si F(u) 
est connu pour les valeurs positives de ii. Lorsque u varie de o a /, 
/ — u diminue de / a o, «!>( / — u) est connue ; il en est done de meme de 
F ( I -^ u), el par suite F(u) esl delerminee de o a il. Dautre part, en 
remplacant a par u — I dans la seconde des relations precedenles, il vient 

F ( '2 / -+- u) -h 'Ij ( — u) = o, 
et |)ar suite 

F(2l -+- u) = F( u). 

La fonction Fiu) admettant la |)eriode il est done delerminee pour toute 
valeur positive de ii, ct par consequent il en esl de meme de <i>i u) 
pour u <C o. 

Metliode de Dernouilli. — Chcrchons d'ahord dos integrales particu- 

M) Ces inieijrales se raccordenl le long de AH ct de OB. car il esulte des 

donnecs riuc — et -— sont nuls aux points O ct A (voir n° iOO). 
ox ()t ' 



i3/ r.iiviMTiu: \\\i. — i':qi ations i.iM';\ini:s Di tvi>i: iiYPi-iinoi.ioi k 

lieros dt' liquation (i3) de la forme V(.r) \{t). In f()iirtii>n III./) etanl 
iiulle pour J- = o cl pour x ■= I . On doit avoir 

M'jx) ^ _i_ ViQ 

U(.r) ~ a* V(/) ' 

cl par suite la valeur commune tie ces rapports doit se rodnire a une 
ronslaute K. Pour quo requalion U"( .7" ) = KU( J*) admelle une inte- 
;;rale particnlit're saniiiilaiit pour ./• — o et poui^ .r = /, K doit elre de la 

forme — — r^ - « elant un iioiiiliri- cntior, el Ton ohtieiil ainsi nnc intinite 

d'integrales de (i3) de la forme vdulne 

. n~T /_ an-t ,, . on-t\ 

liont ciiacune dilinil un niouveinenl vibratoiio do pi'riode — • Pour ^ := o, 

na 

, . I • . .. • iiT.x 'Iz . , . 

cette inte"rale se reduit a (.sin — -. — , tandis que — est eirale a 

an - ^, . n~x 
-^Gs.n-^. 

Cela etant, supposons que les deux fonctions /(r^ et ^{x) soient deve- 
loppaldes en series de sinus dans lintervallc (o. /) (I, n"204), 

-\- an -\- n 

VJIT X ^^ n T X 

..^, j,^,— ^ A,jSin— ^5 ':i(x)— > B„ sin — f— ■ 

n — \ « = 1 

II est clair que la serie 

-f- 00 -4-00 

V^ . . iiT.x anT.t xr^ r. ' • nizx . anrA 
(i6) ;; = 7 A,, sin — r— cos — ; > n„ sin — ;— sin — ; — 

' ^ I I ^md an- I I 

/I = 1 // = 1 

satisfait formellement a Icqualion (i3j. et quelle sc reduit a f(x), tandis 
que la serie obtenue en derivant terme a terme par rapport a t se reduit 
a 9(J"), pour < = o. G'esi la solution d<' Hernouilli. Elle manque evidem- 
menl de rigueur, mais 11 est possible de la justifier, moyennant qiielques 
livpotlu'ses dun caractere tres general. Nous pouvons en elTet representer 
la solution cherchee, a I'interieur du triangle GAB, par la formule (22) 
(Cliapitie X\\ , p. 106): il en resulte que si la serie (f>(a:) est iiniformemenl 
convergente. I'integrale cherchee est representee dans ce triangle par la 
«omme de la serie S-,j obtenue en prenant pour termes les iiitegrales qui 
correspondent aux conditions initiales 

. nT.2; oz„ n-x 

-„=A„sin— =-, = B,; sin — 2— (pour/ = o); 

elle est done representee par la serie (\6) de Bernouilli. D'a|)res la fai;on 



II. — APPIIOXIMATIONS SL'CCESSIVES. MKTIIODK DE RIEMANN. 13 5 

(lout Ton (Icdiiit \i"^ valciirs de I'inlegrale en un point quelconque des valeiii «* 
qii'ellf |ii('nd dans Ic tiiangle OAB, il est evident que la foriiiule est valiii)l<; 
dans tout ic domaine. Or, d'apros line proposition generaio sur los sf-iics 
de Fourier, les series (i.")) sont unifurinenient conver;;;entes, si les fouc- 
lions y(.r^) et o(ar), salisfaisant aux conditions de Diricldet, sont con- 
tinues ('). {C/.n" 489. Remarque II.) 



II. — APP110\LM,VTI0NS SUCCESSIVES. MliTIIODE DE lUEM VNN. 

\\)'l. Determination d'une integrale par ses valeurs le long de 
deux caracteristiques. — Nous ;tlloiis rcprendro, pour uii(> tMjiia- 
tion liucaiie de loiine generale du type liyperholique 

(17) — —a H /v cz -^- fix, y), 

^ ^ ' Oxdy Ox dy •' ^ ' -^ '' 

les problemes deja resolus poui- rt'qualion elementaire s =y(.r, y) ; 
les fonclions a(.r, y)^ b[x^ j'), c(x, j'), /(^, y) sont supposees 
continues. Proposons-nous d'abord de trouver une inlej^iale se 
reduisant pour j' = j',, a une fonclion donnee 'j(^) et, pour.r = x,,, 
a une autre fonclion '}(j'), salisfaisant a la condition 'i;(j^Q)= to{x^■^), 
On pent evidemment supposer ^(,=j'o=o; nous admeltrons de 
plus, pour preciser, que '^{x) est delerminee dans un inter- 
valle (o, a) el '}(j') dans un inlervalle (o, [ii), a el [j elant deux 
nomhres posilifs, el nous chercherons a determiner 1 intej^rale 
dans le rectangle R limile par les droites .r = o, .r = a, }- = (),. 
y =: [j. La nielliode que nous allons sulvre est due a W. Picard ( -). 
Kcrivons l^Mpiation ( i-) sous la forme un pen plus g<''nerale 

^•8) j^ =\\a{x, y)^ ^0(x,y)-^ ^ c{x, y)z^-i-f{x, y), 

A elanl un paramclre (pic Ion fera ensuite egal a I'linilc dans Ic 
resultat, el cherchons d'abord uue serie entiere en /, 

dg) z = z„(x,y)-^lzi{x, y) -h-. . .-hi" Zn(x, y) -\- . . . 

salisfaisant foruiellement a re(jualion (iS) el aux conditions iui- 

(') Voir, par cxeniple, le Traile d' Analyse do M. Pirard ( t. I, .>° edition, 
p. 256 ). 

(-) Journal de Mathemaliques (i.S()o). Note I du Tome IV des Lecons sur lor 
Theorie des surfaces de M. Darboiix. 



l3i CHAI'tTHl- \\\l. — KgiATIONS I.INKAIIIKS PI TVl'K II Vl'Kllllol.lOr K. 

iaies. Pour /.3=(i. r<'M|uatlon (i8) se roduil ;"i rt'(|iiali()ii tli'-ja ('Ui- 
di^c s =f(.v, y ), cl par siiilc nous lu'cndroiis pour pnMiiior triinc 
do la st'-rie [nj) la l\)nt'ti(Hi 

J„( J-, J' I = ci ( .r ) -I- 6( j>- I — (;( o ) -h y^ n'^ y^ /( $, r, ) ^/r,, 

• • (1 

(jui se rrduit a 'il .r i pour )• = o rl a 'li ^^) pour .r := o ; Ics antres 
coefficienls ::,. :;2' ••• doivent tons t'lre mils |)(uir .r =^ o, (jiiel que 
soil J', et pour >• := o. cpiel que soil r. En ri;alanl les deux coel- 
ficienls de A dans Irs deux niembres de re([ualion (i8) apres la 
sul)Sliliitiiin, il \ ifiiL 

el dime faron i;cncrale z„{x, y) se deduil de z-„._s{x^ y) par la 
forniule do rt-currence 



1 z„(x,y)= I dU r«(J, 



,)"- 



(20) ' "0 ""' L '^; 

Le resullal oblenu de celte faron ne dilR-re pas de celui qu'on 
obtiendrail par rapplication de la nielliode des approximations 
successives, la premiere valeur approchee etant ^o(-^5 .')• ^--^ 
seconde \aleur approchee serait evidemmenl r,i4-),c,, la Iroi- 

sieme r^-i- ), ;, -f- a-Co, el, d'une facon generate, la /i"' valeur 

approchee serait precisement la somme des n premiers termes de 
la serie (K) ). Si les fonclions ci(\r) et •i'fy) sont continues ct ont 
une deri\ee continue dans les inlervalles (o, a) et (o, Jii), toules 
les fonctions z„{:r, y) seront regulieres dans le rectangle H. 

Pour demontrer la convergence de la serie (19), nous nous 
appuierons sur la remarque suivante : soient :(x, y) une fonction 
reguliere dans R, et 7.{.r.y) I'integrale double 

si Ion remplaee les coefficients «, li, c par dautres coefficients 
posilifs A, B, C, constants ou variables, mais superieurs aux 



II. — Al>l'U()\l.\l ATIONS .SLCCESS1VE.S. SIIOTIIODi; I)i: IlIKMVNN. lOj 

Villeins absolucs cics coefficients r/, />, c; si Tou rein|)lace de 

, . r • \ II '^" <^" 

nieiiie :;(^, y) |>:ir une autre toiiction i/(x, y)^ telle (|iie //, — ^> — 

soient des lonctions doniinanles dans Pv pour ;, — > — > il est clair 

' (i.v Oy 

que Z(a:, j-^ sera remplacee par une autre fonction U(.r, r . (jui 
sera positive ainsi que scs derivees dans R, el qu'on aura, en tout 
point de ce domaine, 



Z|<U, 



< — 

^ (JX 



< 



''y 



Cela etant, supposons (pi'on ait, en tout [)oint de R, 



{x -^ y)"- 



(21) 



^ \z„-,{x,y)\<\\ 

{ 



()Zn. 



dz„-x 



<H 



dx 

(x-hy)"-^ 
in — 1)1 



( X — y )"- 
{n-i)\ 



H etant un noinbre positif. Soit M une liniite superieurc des 
\aleurs aljsolues des coefficients «, 6, c dans R; dapres la rcniarque 
precedente, nous aurons 

ct a fortiori 

' '^ ' '^'^' (n-Hi)! I rt H- 2 J 

et Ton voit de nieme que — ^ el — ^ sent inferieurs a 

1 \ il r- \ riv 



Ox 



Oy 



/I I L '^^ 



a- -+- y ) 



Par suite les inegaliles (21) entraincnl les suivantes 



(■M)' 



\^n(OC, y)\<\\\K 



. ix^yy 



(rt-i-i)! 



dZr 



Ox 



<HK 



( x -+-y)" 



cJ;;, 



<^y 



<M^^-^-±P^ 



R elant un noniLre jiosilif (pii ne depend que de M et des dinien- 



l3li OIIXIMIItK \\\l. Kor ATIO\< MNKMRKS Dl" TYPR IIYPKRBOI.lOli: 

sions (III iO( l;iiii;li' \\. Si I, (•>! iitu- liimic suprnomr do 



1-0 I, 

un a (1 iiliord 
et a fortioii 



dx 



dx 






3 ML J, 






3ML.r, 



|3,(x.j-)|<3Mr 



i .r ->- Y I- 



<3ML(r-^), 1^ 



<3ML(:r-!-j|-). 



( )n I'll coiiclut, on raisoiinanl de proche en proclie, les inegalilrs 



-,.(x. v)|<3MLK'-' 



(■r-f-yV«- 



')z„ 



Ox 



3MLK"-i 



(X — r)" 



(jul pnmvenl ipif la scric (^kji cI It's deux series oblenues par 
df'-rivalion sonL iinifornieiucnt convergentes dans le doniaine R. 
Soil z{x^y) la sonime de la serie (i()), qui esl line Ibntliou regii- 
liire dans R. Pour prouver que c'est hien une inlegrale de I'equa- 
lion (i8), il suffit d'observer que, d'apres la facon dont on a deler- 
niine les coefficients succcssils ^//(j7, )'), on a 

-f-). / cl\ I «.(^, r,/— ^ -r-...-Hc(^, tJS„_, r/r,. 

Srt(x, y) etant la soniine des « j)renilers ternies de la serie (if)). 
Lorsfpie n augmente indefiniment, S,j_,, — ^^ j — ^^ tendciii iiiii- 



dz dz 



Ox dy 



IVirnK'inenl vers z(x, y). — > — i et il vienl ;i la limite 
■ ' •' '^ Ox Oy 



[z(x,y) = ^ix)-h'l(y) — a(o)-i- / /( ?, r.) r/^ </r, 

' •- •- 

' ■ I) L ' I J 



(27.) 



La fonclion 2 (a:, }') est done bien une inlegrale de (i8) et il est 
clair qu'elle satisfait aussi aux conditions initiales. 

C'esl la scale inlegrale reguliere dans \\ salisfaisani n res 



II. — APruoKnmioNs succkssivks. .mi'miiodi: u\: rikmann. \3~ 

conditions. Soil eii rllcl 'A{jc,y) uiic !uU'-i;ralc satisf';ii>aiit a ces 
condi lions; posons 

Z — S„= U„{x, y), 

S„ avant loujours la lueine sii;ni(icali()n. Kii coniparaiit Icxpies- 
sion (Ic S„ ecritc plus liaiit a\(;(' la loniuile 



il vienl 



0- 



* •- (I '- 

11 i'('siille till calciil (JUL- uoiis venons de faire que Lh(x, y) 
lend vers zero lorsque // augmente indefiniment, quelle que soil 
la louetion Uo(^, V) dont on pail pour definir ]a suile de 
lonclions U,, Uo, ..., U„, .... L'inlegrale Z(x^ y) est done la 
limite (]eS„(x,y), c'est-a-dire est idenlique a z(.r,y). 

Si Ics fonctions 0(3^), 'i'(jK) ou leurs dcrivees o'(x), '^i y) preseiUeiit 
iin nombre fini de disconlinuites dans les intervalles (o, 1 ) et (o, [i), loiii 
<;n leslant boinees, Ics fonctions :;i, z-^, .. . sont encore regulieres dans Ic 
(loinaine R, et Tintegrale z(.r^ y) reprosentce par la serie (19) est ello- 
mrnic rogiilif'Me dans R, sauf le long d'lui nombre fini de segments de 
raraclei-isliqiies (cf. n" 489). 

495. La fonction de Riemann. — I.e probleine qui vienl d'cMre 
lrait(- pent loujours sc rainener au eas particulier ou les deux 
lonclions 'f (^■) el'l{y) sonl nulies identlquemenl, en prenant pour 
inconnue z — o[x) — <|'( J') 4- cp(o) a la place de z. Celle iransfor- 
niaiiou luodifie seulemenl I'expressiou de /'(a^, r) sans elianger les 
cocllicienls a, b, c. Le j)reirii('r tcriiie z^i^x^ y) de la serie (u)) est 
alors ('"-al a Tinleuraie douhlc 






I )S (iivi'iTUi: \\\i. — KoivTioNs i.iM;viiti:s iti; tvpi: iiYi>i:uitoi.ioi k- 
n line laroii i;cii«i;ilo. Sii|)|)(iS(ms (|iu' :■„ , soil dc la forme 

iT/j-i ( -r- .)■; ?. "l) elant une iondidn coiilinne ilcs deux couples de 
vnriahles (.r, v),(i, r,) qui admct des derivecs parlielles conllnues 
par rapport a .r ct a >•. Nous allons inonlrer cpie z„(.T^ y) yieul 
«'tre inis sous uiic lorine analoi;ue. I'niir appli(|U('i' la foiiuulc de 

recurrence (ao;, calculous d "ahord ;,,_,(;, y, ), "" ' , "" ' • Par 

livjioliiese. nous axons, en reniplacant dans (2.)) :r, j)', ^, r, 
|>.ir ;. y,. i/. c. 

• (I •- 
et. j)ar suite, 

;;? = / /./(«, ^O — -r- (^"^^^ 

; —I I /i "5 ^'J — ^ — dudv 

-I- / /<'", ■';),'?/(-i($, ■';; », -rj <:/<<. 
L expression de z-„{^, y) se coniposera de trois ternies 

Inlervertissons 1 ordre des deux jjreniieres integrations dans la 
premiere intej^rale tri|)Ie du second memhre, en appli(piant la for- 
inule de Dirichlet (I, n" 121); elle |)eut encore s'ecrire 

f d\ f dv f' a(l r,)f(l CM'«- if,^ r,; ?, c)c^ri, 



II. — Ai'i'uoxiM vTioNS si( CKSsivKs. Mi'niioui; Di: lUKMAN.N. iJq 

oil, cii pi rimitanl les IcUrt'S r, el r. 



<-.o) 



/ = f d\ f fCz. ■c,)dr, f aa, V)ffn-i(l ^■. I rjch- 



La secondf inlegrale triple (\r la forniule (24) peut tie nieme 
s'ecrlre 






) du 



Quant a lintegrale cjiiadrii|)le (jui forme le premier terme de 
^„(x, )■), elle est etendiie a iin domaine de I'espace a (jualre 
dimensions qui est delini jjar les ineyahtes 

o 1 z« ^ ; ^ .r. f> ^ I' '-- T, "^y. 

Si Ion integre dabord par rapport aiix variables ;, r,, les limiles 
seront a el x pour c, e et i" pour y,, et les limites seront ensuile o 
clx pour It. o et )' pour f. Cette integrale quadruple peul d(jiic 
s'eerire sous la forme equi\alenle 

dgn-lCz, •'■.•• «• I') \i.^ 



C dn f rfr r f/: / /(ii, f) «(?, r,) 



ou encore en perniulant les deux couples de varial)les (^if, i' ) 
el(=,-l), 



f d\ f drj^i, r, )) f du f [«(», 



0^^"-'^"-'--^'-...l^. 



()ll 



On voit done qu'apres toules ces transformations lexpression 
de z-n ( .r, y ) ]>rend la forme 

{■26) z„(x,.j)z= I d\ I /(;, Y,)^„(J7, jk; ^, ■'•Jrfr, 

en posant 



<27) 



-^ ^ b(u, ■r,)gn-i(u- r,: :, '; ) «^" 



,h- 



l.i<' CIIAI'ITIIK \\M. - Kyi ATIONS I.INK Vl lli:s 1)1 TVI'K in I'KIIUOI.IOI K. 

I'.ii paiianlde .!,'"o ^= i, on calciilora de proclic en in-orlic parcctte 

iDrMUile i'l (X, v: ^. r,). ,i'o(''< >' ? i* "'i) '■'^- I't'sullal ohlcnu pent 

s'enoncer ainsi : //f/i/(''ss/''ff<' 'f<' I Cr/H'iiion (iH), f/n( est niiHe 
pititr X = (). tjiit'l (iiic soil y, et /xitir ^^ = o. (/ucl (jiir soil .r, est 
ri'/trcsmtcc. thins Ic i-rrln n ulr \\. par /i/i(('^>n//c double 

(u8) z{x, y) = f cr- f /( ^, r. )G(.r. 7 ; f, r, : a , r/r., 

• (I ^ 

(j[x, y\ ;, r, ; ).) dcsi^nant la soninic de Id scric 

( uQ) G(T, y : ;. T, ; a ) = i -(- a,^', O, y; ;, rj -t- . . . -^ l"^„{x,y \-,t,) + 

Cellc fonclion G a c'te inlroduite parRicinann d iino faron toiilr 
dillerenle qui sera expdsee plus loin. 

On puunail ('Uidicr direclenienl celt(.' serie (2(j) coninie la 
serie (19), niais il esl facile de deduire ses proprit'les de ce qui 
pn'eede. Observons d ahoid quelle satislail lorincUcuienl a I'equa- 
liiui lioniuiicne 



(■30) 



d'-G 
ox oy 



/ oC, ,tC. \ 

\ ox oy J 



on pent ecrire eii ellet, d'apres la formule de recurrence (2'y), en 
adnieltant que la serie (29) est uniformement coiivergenle, ainsi 
que celles (ju'on en deduil en dilFercnliant par rapport a x et par 
rap|)ort a r. 



G(.r, j; ;, 0; A) = A 



Xdu I \ a( u, \- 



<iG( II , (• ; ;, Y, , A I 



-J 



\(x; \, r,, A)^ \{y: \, r,. Aj. 



On a done aus^i 



OTOy 



- r oG , <)G \ 

'• Y'^^^^y)-;j^ ■^'^^'^•■y^-jy ^c{x,y)Q.y 



\) autre pari, |)Our ^ = ^, clle sc reduil a la serie 
et la relation de recurrence (2-) devient ici 



*- ■'■/ 



II. — Al>PROXIM\TIO.\S SICCESSIVES. BIKTIIODF. OK niKMANN. I|l 

La scric (.ii) est precisenient la serie (|u"on obliendrail en 
developpant, suivant les puissances de a, Tintegralc de requatiou 
lineaire 



qui se rediilt a un pour r = Y,, intcj^ralc <[nl a pour expres- 

>r "It")'/" ^ . , , r^ 

sion <" in . Un verrait de nieme que, pour y=zr^. (j se 

reduit a e' ^ . Nous avons demontre, au paragrapne pre- 

cedent, qu'il cxiste une inteiirale de Tequation (oo) qui se reduit 

a <>^ r, pour a' ^ ;, et a e*^'? pour jk= ^- ^--ette inte- 

grale est representee par une serie uniformrment convergente 
dont tons les ternies, d'aprt's la facon nK'Uie dont on les obtient, 
sont des fonctions holomorplies de A. Elle est done elle-nieme une 
fonclion entiere du parametre A, et son developpement suivaut 
les puissances de A coincide forcement a\ec la serie (29). En 
resume, la fonction G(.r, r ; c, /,, a) est une integrate cle V equa- 
tion ( 3o) qui salisfait aux conditions aux liniites ci-dessous : 

(32) = 6*^' ([)our y = r/), G = c " "'i (poura; = ^). 



■190. Premiere solution du probleme de Cauchy. — Reprenons 
de nieine le probleme de Cauchy pour I'ecjuation generale (18), et 
proposons-nous de developper suivant les puissances du para- 
metre A, I'integrale satisfaisant aux memes conditions qu'au 
n" i89. Nous j)rendr()us pour premier terme de la serie I'inte- 
grale Zo{x,y) de Tetpiation s =f(x. _]■') satisfaisant aux conditions 
donnees, et nous determinerons les coeflicients successiis ^,(x, j'), 
3., (,7;,jk)j ... 1 au moyen de la loi de recurrence 



OH 1 OH preud le signe -f- ou Ic signe — dexanl 1 inlt'-grale, suivant 
(pie line Al) qui porte les donnees a la disposition {'^■\") ou (84*). 



I I > nuiMTUi: \Kvi. — i':;)i vTioNs i.im:viiu:s di tvim: iivPKUiioi.iQric. 

I.e (ioiiKiinr d inlt'-j^iMlidu. (|ut esl K: Iriannlc mixlilli;ne PMQ, osl 
chciisi do Irllc l;i('on (jiic :„{.r, v) soil mil. ;misi (jiic ses flerivt'os 
p;irlifllt'> <lu jircinior ordrc. Ic loni; ili' rarr Al!. IMiu oiis-udiis, 
])(Hir lixi'i- l(»s id(''rs. d;iiis lo tas tl(^ la lii;ure N^'S ^'^ sii|)|)()soiis h; 
|>i>inl ^f aii-tlossus di' Tare AH. II sidlil dim arlilicc Iri-s simple 
pour iMinciuT la toriiniio [■^^) a mir Idiiuide de rrciirrcnce de la 
forme (2o). Ima^iiioiis. cu elVet, Irois iV)iu;lions a(\r, i ), |j(j:, j^), 
v(^^.r, ;»*), niillcs dans le Iriaiiiile mi\lilii;ne ABD, au-dessous de AB, 
el egales respecllvemeiit an\ coe(('\c\enlsa(x^ y), b(x, ^^)^ c(.v, ^^). 
au-dessus de \H. II c^l rhiir (pic si I'oa a //„_,(.r, j)')= 3„_( (jt, }'), 
rinteirralc douMe 



"/.(•^- J) 



(33)' 



=/./: 



iCMy II 



T. ) 






-a(?,^:> 



()«„ii 



-i- Y(:. r,)M„_|( f,T, ) 



t/; </r. . 



etendue a Taire dii reclan^;le P'M(^'D, sera nulle si \c point M 
est au-dessous de Tare VB el egale a z-,i(x, y) si Ic j)oiiil M est 
au-dessus de AB. Malgre la discontimiile des fonclions y.ix^j'), 
P(x, J'), ^.^{X,y) le long de AB, celte foiiclion esl continue;, ainsi 

que ses derivees parlielles — '-> — -, dans le rectanijle R. Cela eiant, 
T ' Ox Oy ° 

imaginons qu'on vcuille dt'velopper, suivant les puissances de A, 

1 inlegrale de lequalion auxiliaire 

qui prend les niemes valeurs que ::„(j:, ri le long des coles AD 
et BD de R 

(35) u(x,y)= Unix, y)-^KUi{x,y)-^-.. .-^\" Uni -t, y)^ 

On a evidemmenl ii^ix^ y) ^= Zq{x^ y)^ el les coefficients M|, 
Un, ..., s obtiennent de proclie en proclie au moyen de la foi- 
mule (33)'. Malgre la discontinuile des coefficients a, j^, v le long 
de Tare AB, les raisonneinenls du n" ii)i s'applicjuent sans modi- 
fication, el celte serie est unifonnemont convergcnte, ainsi fjue 
celles qu'on en deduil en derivanl lerme a terme par rapport a x 
ou a > . Si le point M(j;, v') esl au-dessous de Tare AB, on a evi- 
demmenl ii„(x^y) = o(n^i), et la serie (35) se reduit a son pre- 



II. — AI'PUOMM ATIONS SI CCKSSIVKS. .M KTIIODi: DK KIICMVNN. I j'i 

niicf Icniie //„(./', J'). Mais si Ic point M est aii-dessus de Al>, on 
voit dc [)r()('lic en proclic, en veiMu ile la reinar(jue proeedenti.-, 
qii'on a m,(.c, y)=zZf{.v, y), ..., /^//(•^', y)=s,i{x, y), el la 
serie (35) represente precisement, dans le triangle mixtiligne ACB, 
line integrale z{x,y) de I'equation (i8) telle que 

soit nuUe, ainsi (lue — - > — - le Ion" de VB. J^a serie obteniie par 

■ ^ dx ay '^ ' 

la nietliode des approximations successives represente done unc 
inlegrale satisfaisant aux conditions de Cauchy aii-dessiis de AB, 
et Ion verrait de la menie lacon que cetle serie est aussi unifor- 
mement convergente au-dessous de AB. Le raisonnement s'acheve 
comme plus haiit. 

Dans le cas particulicr ou I'integrale cherchee doit etre nulle, 
ainsi que ses deux derivees partielles, le long de AB, le premier 
terme de la serie a pour expression 






et, par une suite de transformations d'integrales multiples, tout 
a fait analogues a eelles qui ont ete eflectuees au n" 11)5, on 
demontre de proclie en proche que Znix^y) pent se mettre sous 
la forme 

Zn{.r, 7)= / /(;, ■n).^n(^, y] ;, Tj ) d\ dr„ 

les fonctions g\{x^y\ c, /, ), g-^ix^y; ;, y ), . . ., se deduisant de 

au moyen de la formule de recurrence (2^). La valeur de Tinte- 
grale satisfaisant a ces conditions est done representee, en un 
point M(x, jk) du rectangle R, pai- Tintegrale doul)Ie 



(36) z(x,y)= / Alri)G(x,y;lr,0^)rn'^-r,, 

G etant la fonction de Piiemann detinie plus liaut; dans le cas de 

la figure 84*, Tinlegrale double doit elre pr(5cedee du signe — . 

Supposons, en second lieu, cpKr les donm'-es de Caucliy le long 

de AB soient arbilraires. Soit C(-^? y) I'l^e fonction (juelcon(pie 



l44 CIIAPITRK XWI, — KOIATIONS I.INKAIRKS Di: TYPE IIVPKnHOI.IOli:. 

salisfaisant a ces conditions, par cxemplc I'integrale de r<''(|iia- 
tion s = o. En j^osanl :; := v -|- «, on est conduit a I'l'quation 



Ox Oy 


. / On , On 
= A I a h h 

\ Ox Of 




\ Ox Oy 



-"j-^-ZC-"^' r' 



(■*") A / .ir ,)r \ (^JJ^ 



Ox Oy 



i38) 



1 ,- 1 ■ < II • • Ou du , I 

(I hi Itiiulion u(x, v) doit lire niillc, ainsi <liie-— >:^> le lonir 

^ ' " ' ^ Ox Oy ^ 

de \H. Lcs coefficients a, />, c nayant pas clianj^e, la fonclion dc 
Niemann G est la nieme pour les deux equations (i8) et i'^"/). 
I."inl(''r::rale cliercliee a done pour expression 

I -<•'', V)= l(T,y)^ f f /(?, r,)G(x,y\ ^ v, \)cl\dr, 

On aurait de inenie I'integraie pienant les inrmes valeurs (ju'une 
fonction donnee X( .r, y) le long de \D el de BD en prenant comnie 
'liainp dinli'gralion de I'integraie double le rectangle MQ'DP'. 

On |icul ariiver ties aisemenl a la fonmile (3(')) par une molhodc syn- 
tliilique. On a vu (II, n" -iOI) que rintegrale d'une equation Hifrerenlielle 
lint'ciire avec second niembre F( y) = f(x), qui est nuile ainsi que 
scs ri — I premieres derivees |)Our x = x^, est representee par une inte- 
"ralc definie 



/: 



o{x. %}f(a) cIt., 



o(x, OL) elant une function determinee de x el de a. 5'ar analogic, cher- 
chons ii dclerinincr a /y/7'0/7' une fonction 's,(x,y; ;, r, j telle que Tinlc- 
grale double 

1391 zix,y)=l f fiz,r,)o(x,y]i,T,)d\dr„ 

•^ «^PMO. 

etendue a I'aire du triangle f^MQ, soil une inli'-grale de I'equation (18); 

nous supposerons pour le calcul que la fonction o est continue et admct 

, , . . . . O'i 0-i 0-^'^ . .. . . Oz , , 

des flernees continues — '-> — ~y '— • La derivee — se composei.i dedeiix 

Ox Oy Ox Oy Ox 

lernies, donl I'un s'obtienl par la formule habituelle dc dinerentialion 

sous le signc integral, cl donl I'autre provienl de la variation du champ 

d'inlegi ation. Pour caleuler ce dernier ternie, observons que, lorsqu'on 

diinne a x un accroissement Ax >> o, le cliamp dintegration est aiigmentf- 



II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. METHODE DE RIEMANN. l45 

d'une bande de largeur Ix, ayant pour hauteur MP (fig'. 84) et la parlie 
principale de la valeur de rinlegrale double etcndue a cette bande esi 
evidemmenl 

ix I f{x,r,)o(x,y,x,r,)dr,. 



(PMi 

On a done 



-r =^ f f /il. ^.) ;;± ^; ^'^ — / /«^. ■'■.)? ^^' 7; ^> <)dr,, 

C-^ J J pjiQ, "^ '- PM 

fornnule que ion pourrait aussi etablir par (in calcul elementaire, en met- 
tant en evidence les liinites variables dans 1 intcgraie double Ofj). On 
trouve de meme 

^=ff M.->)%dUlr,-^ f M.yy.{x.,y-\,y)d\, 
^y "^ «^ PMQ y -^y.M, 

-^^ = r r /^:> -O -^ d\ df, -r- f fix, rj — ['^(x. y; x, r, )J dr^ 



■L 






Pour que la fonction z{x,y), representee par la formule (Sg) soil une 
integrale de I'equation (18), quelle que soit la fonction f{x,y), il faut et 
il suffit que, apres la substitution, les termes sous les differents signes 
d'integration soient identiques, ainsi que les termes en dehors de tout 

signe / , c'est-a-dire qu"on ait 

— = t.\a{x. y ) —^ -i- b( X, y ) —^ -\- cix. y )'i\, 

oxOy I -^ ' Ox -^ (>y ' -^ ' ' y 

— [o(x, y; X, r,)] =la(x, y)'^{x,y; x, rj, 

^ ['f(^.JK; c,y)] =lb(x,y)<s(x, y: ly), 
•^(x, y; X, y)= I. 
Ces conditions sont identiques a celles qui determinent la fonction 
G(x, y-l r/. I). 

En elTet, la premiere exprime que '•:( x, y : z, r^) est une integrale de Tequa- 
lion homogene (3o). Quant aux trois dernieres, on en deduit qu'on a 

). / )i.f,vdi' )./ h{u,\.dii 

rj.{x, y; X, 7,) = e'- -^i , o( x, y; '^, y) = e ' 

II suffit de remplacer .r par ; dans la premiere de ces relations et r par vj 
dans la seconde pour retrouver les conditions (32;. 

G., III. 10 



I {G ciiM'irni: wvi. — kqiatioxs lixkaiiiks nr tvpi: iivii-.imoi.iot i:. 

107. ]fequation adjointe. — lliomann a rrsolu Ic im'-mi' prohlonie 
j)ar mie nu'lliode loulo ililTereule qui repose sur l<i llit'-orie de 
rc(|uali<)n adjoiiilo (') Elanl donnee uiie equation liiieaire el 
homogene du second ordre, 

( ',o) --?( c) = a^ + b-^^ + g^-4-d4^-e^-^f--. 

().r- O.r Oy aj^- Ox oy 

>i Ton niuhiplie cliaque leruie par une meine fonclion u{x,y) et 
(ju'on integre par parlies aulant de fois que possible, on oblienl 
line suite d idenlitc'-s 

0- 1 A // I 



, d'-z r, dz d(\u) "1 

A U = -— iV H ; z 

o.r- ox L Ox ox J 

Ox Oy Oy \ ox I Ox L Oy J 

- d"-o '^ r - ''- cJi'C//) n O'ic.u 

C u = — L « z\ — z 

<>v- OY \_ Oy Oy J OV' 



Ox- 

>r-( Bit I 



OxOy 



,- oz ^^ O(Dii) 

U U = { I) II z) — z , 

ox Ox Ox 

,. oz „ 0(Ek) 

h « — = —-{ Luz ) — z , 

oy Oy Oy 

F II z = z(F in, 

el 1 on en deduit la relation suivante (jui a lieu pour loiites les 
formes possibles des foiictions u et c, 

(4.) unz)-z(,(u> = --^-. 

Oil a post- 

O^-iAii) 0'^(P>u) OUCu) d(Du) O(Eii) 
' ' ■' Ox- Ox Oy Oy- Ox Oy 

: „ . Oz d(^n) 0(Bi/) ^ 

I H = A ?^ Z Z ; r- Duz, 

\ o.r 0.7^ ay 

■"* ^ I ,. ,, oz ^. oz 0(Cu) „ 

' K = 15 « r- Cu — — Z ; hit z. 

ox Oy Oy 

L'equation (j'U/) = <» est Tt-quation adjoinlc de ir-quationf \o). 

P) Gottingen Abhandlungen, t. VIII, i860; (Muvres, p. i^J- Voir aussi le 
Cliapilre IV du Tome II de la Tkeorie des surfaces de M. Darboux (voir Exer- 
cice 5). La melliode que Riemann n'avait a[)pliquce qu'a une equation parli- 
culiere a etc etendue par M. Darboux a Tcquation generale de la forme ( 18). 



II. — Al'l'KOXIAUTIONS SUCCKSSlVES. MKTIIODI-: Dli Uli;.M.\N.\. I 47 

On pourrait verifier pur iiii calcul direct qu'il ja reciprocile entre 
ces deux equations, ce ([ui est aussi une consequence de I'iden- 
tite (4i) (cf. II, n"' 4()i). Remarquons que, dans cette identile, on 

peul reinplacer H |)ar H + -— , ct K par K — — , 0(.r, y) etant 
une fonctiou arljilraire ('). 

L'inl(''i;'rale double / \u^'(z) — ■ zCJ{u)]dx dv^ elcndue a iin 

(loinaiue oil les fonclions 3 ct u sont continues, ainsi que leiirs 
dcrivees jusqu'au second ordre, peut, d'apres rideulite (ii), elre 
remplacee par lintegrale curviligne 

(44) I ^^ ^f — ^^ ^^-^ 

prise dans le sens direct le lony du contour V qui limite ce do- 
maine. En particulier, si :; et ii sont res|^ectivement des inle<;rales 
de I'equation ( 4o) et de son adjoinle, regulieres dans un domaine 
quelconque, lintegrale curviligne (44)? prise le long du contour 
de ce doinaine, est toujours nuUe. 

498. Methode de Riemann. — Appliquons ce res^ultat a une 
equation lineaire du type liyperboliqne, que nous ecrirons main- 



(') On peut (itcndre la definition de I'equation adjointe a une equation lineaire 
a un nombre quelconque de variables. Pour I'equation a n variables, 

ruqualion adjointe est 

(\iu)= > — ^—^ — - — > -\-! — - -i-cu = o 
et Ton a I'idenlile 

M,, M M,, etant des fonctions bilineaires par rapport a z, u et ii leurs deri- 

vecs du {trcniier ordre, dont on aurait I'expression au moj'en des identites 

dx^ (JXf. ()x^ Ox^ Ox- \ r)x^ I dXf. \ Ox- ] 

U h V — = — • 

iix ■ Ox ^ Ox- 

On verra des exeinpics dans la suite ( n"' 501, 5'28, 534). 



l4S rilMMTRF. WVI. — KOI ATIONS LlNE.VtRES Dl" TVI'E IIVIM- RBOI.IOL'E. 

lenanl 



(43) 



^^z) = 



d*z 



d.r dv 
on a, dans cc cas particiilicr, 

(46) 



dz , dz 
a \- o h cz = o: 



dx 



^y 



dx dy 
W = a. 



du dit 

dx dy 



da 
dx 



— z — > K = 6 « . 



db\ 

— M = o, 

oyj 



dx 



Solent z(x, y) lintegrale de Tequalion (4-^) (') salisfaisant aux 
conditions de Caiichy le long d'un arc AB ( /?.:r- 84'*) et u(x, y) 
une inlt'gralc cjuelconque de Tequation adjointe reguliere dans le 

rectangle ACBD. En rempla^ant sous le signe / Ics leltres x cly 

par les lettres q, ti, nous avons, d'apres la proposition generale, 



(47) 



•^(QP, 



H ih 



Kd'- 



f U dr, — f Kd\=o, 



la m^me substitution ayant ete faite dans H et K ; le point M est 
un point du reclangle ACBD, de coordonnees J7, y. Par hypo- 
thcse, on connait la valeur de Tintegrale cherchee ^(c, 'i\) et de ses 
derivees partielles le long de Tare AB, ;/(;, y\) est une solution 
determinee de I'equation adjointe. Par consequent, la premiere 
integrale curviligne, prise le long de I'arc QP, est une fonction 
connue des coordonnees x ety du point M. II semble au contraire 
que les integrales curvilignes le long de PM et le long de MQ ne 
peuvent etre calculees sans connaitre les valeurs de z le long de 
ces droiles. L'artifice de Riemann conslste precisement a choisir 
la fonction a de faron a elinilner ces integrales. Nous avons 



f Kd--= f (buz-^u'^ \d\, 



MQ •- .MQ 

ce quune integration [lar parties immediate perinet d'ecrire 



f Kd;= ( U^jJ ^ f -(hu-^) dl 



( ' ) On suppose, pour simplifier, / ( x, y ) ■= o. Si / n'litail pas nul, il y aurait 
un lerme de plus, facile a r^tablir, clans Texpression dc I'integrale. 



II. — APPROXIMATIONS SLCCESSIN KS. MKTHOUE I)K UIEMANN. 1^9 

el la forinule generale (47) nous donne 



(48) 



(uz)yi =( UZ)Q-h / Z[/JU 7)^; 

- MQ ^ ^ / 

— / z( au Wo -f- / II (^^r. — K d'-. 



Pour faire disparailre les integrales ou figurent les valeurs incon- 
uiies de z le long de PM et de MQ, il suffira de prendre pour u (;, y,) 
une integrate de I'equation adjointe (ou x et y ont ele remplacees 
par q, yj), satisfaisant aux conditions suivantes 

Or u{l, y) et u(x, r, ) representent respectivement les fonctions 
de ^ et de r, auxquelles se reduit cette integrate le long de MQ et 
de MP. En dcsignant par ;/>, la valeur de cette integrate lorsque le 
point (q, r, ) est venu en M, il faut et il suffit qu'on ait 

/ I,)-, (it i <i.r,f|rft' 

«(;!„■'') = "Me ■*' , u(x, T^)= u^>\e'■ y , 

pour que les integrales le long de MP et de MQ disparaissent 
dans la formule (48)- En supposant ?/„=i, nous designerons 
par n(x,y; ;,/, ) la fonction des deux couples de variables (x, y)^ 
(q, r, ) ainsi determinee. Consideree comme fonction des va- 
riables (q, '/■,), c'est une solution de I'equation adjointe 







)-u ., ^ du du [ .^ da dbl ^^ 

_ _ a^:. -0 - - bU. rj - - [^c(;, rj - - - -J „(,, r J =_- o ; 



/•O 
pour ^z=x, elle se reduit a c- ? el, pour tj = y, elle se 

I ' b l.y dt ^ 

reduit a e^ ' ; elle est done egale a un, pour ; = jc, r, =jk- 

Si nous supposons quon ait determine cette integrale de I'equa- 
tion adjointe, la formule ( \^) nous donne la valeur au point (:c, )) 
de I'integrale qui satisfait aux conditions de Cauchj le long de 
Tare AB 

(i9) zs\ = {uz)n— I iiz(b d\ — a df,) -^ / u^,d'- + z---dr. 
-^,yp, .'op, '^^ '^^. 

Dans cette formule ne figurent que les valeurs de - et de -^ le 



l5o niAPITRl- WVI. — KdlATlONS I.INKAIRKS Ul TVIMC II VI'r.RROI.IQLK. 

long do \1>. Lii tcaanl ooinpte de I'identile 

r d(its) „ (Xifz) , 

on pout rcinj)lacer la fonnule {/\[}) par liinc on lantrc ilcs for- 
mulcs 

(ig)' z\\ = { II z )\> -^ I iiz(a dr^ — b dz) -+- I u — dr, — z — d\. 



(■59)' 



^^l!L=:ii^ -.- f uziadr,-bd\) 



donl la (lerniLTC est la plus svinetricpie. mais depend des valeurs 
de z et de ses deux derivees le long dc AH. 

Dans loutes ces forniulcs. le point {x^ y) est considere comme 
fixe, et les variables d'inlegration sont c, r, , de sorte que les 

variables x et y ne figurent sous le signe / f[ue dans // et ses 

derivees. On pent repeter sur ces forniules toutes les reinartpies 
(pii onl ete faites a propos de I'equation 5 = (n" 489); la fonc- 
tion de Riemann //(.r, y\ H, r,) se reduit a lunite dans cc cas 
particulier. 

Ces formules s'appliquent encore lorsque Tare AB \ient coin- 
cider avee la ligne brisee ADB; les points P et Q viennent alors 
en P' et Q' et la formule (49)'? P^r exemple, donne 

z\\zzz { uz)iv-^ i ( z —- — buz] (li -~ I u\ — -T- az\dT,, 

. . . , . on 

CC qu on peut encore ecrire, en integrant par parlie z — > 

(5o) zii= (iiz)u~ I u{^ -r-bz]dz-^ I u 



/dz 



Pour calculer Zy\. il sufiit, conforineinent a la tlieorie generale, 
de connaitre les \aleurs de z le long de la ligne brisee ADB. En 

ellet, z{x^ y) etant une fonction connue de x le long de AD, — est 

connue le long de AD, et, pour la meme raison, — est une fonc- 
tion connue de j' le long de DB. 



II. — MM'UOMMATIONS SUC(:ESSlVli:S. METIIOOi: KIJ lUKMANN. l5l 

Soient .r,.r, les coortlonnees du point I); dcsij^nons par 

I'inlegrale dc r(''([ualion .?(::) :^ o ([ui satisiail anx conditions sui- 
vantes 

Celle integrale est egalea un an point D et, quand on remplace a:, 
y par ;. y,. die satisiail aiix deux relations 

dz oz 

b z ^ -=o, az =o 

<)\ &ri 

le lona^ de AD et de BD respectivement. Si Ton a pris pour :; cette 
inlegrale, la formule (5o) se reduit a ^m^ ;/|,, c"est-a-dire qu'on a 

( 5 1 ) z{t, y\ .Ti , ^1 j = « ( X, y ; x^ , r i ). 

Reniplarons x^. y\ par c, yj respectivement, nous vovons que la 
fonction ^/(jr, jk; ?, 'f\)i consideree comme fonction de x, y, est 
line intcgrale de I'equation proposee qui satisfait a des conditions 
tout a fait pareilles a celles qui la determinent quand on la cansi- 
dere comme fonction de (H, r,), puisque a et b doivent etre rem- 
places par — a et — h quand on passe dune equation a son adjointe. 
La connaissance de cette fonction u{x. y; ;, r, ) permeltra done 
aussi de resoudre le problenie de Cauchj pour I'equalion adjointe, 
el Ion peul dire que V intef^ration d' une equation lineaire et 
V integration de t' equation adjointe sont deux problenies equi- 
valents. 

Les dernieres conditions qui determinent u(x, y\ ;, r, ) sont idenliques 
a celles qui determinent la fonction G(x, y\ ;, Tj ) quand on suppose X ^ — i . 
II est facile, dapres cela, de verifier I'identile des deux solutions. La for- 
mule (38j s'ecril en effet, en supposant fix, y) nul, et rempiacant G 
par — «, 

(38j' z(x, y ) — "CJx. y) -r- j I ^^ {"^.i"::- 'rt)\'(i^r, y\ '':,,■',) d\dr^. 

Cela etant, il suflit d'appliquer a cette integrale double la formule 
generale (44 ' H"' '" ramene a une integrale curviligne, et les transforma- 
tions qui vienrieiit d'rtre effectuees conduisent precisement a la solution 

de Riemann. Les valeurs de !^, — -i — j le Ion" tie Fare Atj, sont en edet 

ox oy " 



fii riiAPirnK xwi. — koi ations i.iM-;\ini:s nr tvim: iivPKniioi.igri". 

ogales par hypotliese .iii\ valeurs ile rintegrale clierchee el de ses deri- 

vces -— . — » le long du nu'-me arc. On peul remarciiier seiilement que la 
Ojt Oy r 1 1 

solution du probleme de Cauchy donnee par la formuIe(38) sous forme 

d'inlegrale double iie suppose |>as ['existence de i'eqnalion adjoiiite, c'est- 

. J- ,, . , 1 . • . On 00 

a-dire I existence ues derivoes — > — • 

dx ciy 

.t99. Equations a coefficients constants. — Toute equation lineaire du 
type liyperbolique a coeflicienls constants admel pour caraclerisliques 
deu\ families d^droites (n" 482 ;; si on la rapporle a ses caracteristiques, 
les coefficients a, b. c qui ligurent dans la forme reduile (45) peiivenl 
aussi etre supposes constants (I. n°G3). Si Ton pose ensuite z = ue ''^ "^y , 
on la ramene a une equation ne renferniant pas de derivees du premier 
ordre, el oii le coefficient de u esl encore constant. Toule equation de 
I'espece considcree peul done etre ramenee a la forme simple 

I- \ '^'- 

{■y>.) -— hcs = o, 

dx dy 

c elanl un coefficient constant. Si c n'esl pas nul, le cliangement de t 
en Ax permel encore de donner a ce coefficient une valeur arbitraire, ± i 
par exemple. L'equation Cj?.) esl, apres I'equalion elementaire s = o, un 
des types les plus simples auxquels s'applique la nietliode de Riemann. 
On sail en efi'et irouver la fonclion u{x, y; ^, t, ) pour cetle equation, 
car il suffit de Irouver une integrale se reduisant a I'unile pour :r = ;, 
quel que soil j>', el pour y = r^, quel que soil x. Posons v =(x — ^)iy — 'r,} 
et cherchons une integrale particuliere de (52) ne dependant que de v, 
z = "^(v); nous sommes conduits a I'equalion du second ordre 

I' c''(t^)— 'i'{v)-+- c o(v) = o, 

qui esl une des formes de requalion de Bessel (II, n" 41-4). 

On a vu que cetlc equation admel pour integrale une fonclion enliere 
de f, se reduisant a un pour v = o, el cetle integrale a pour expression 
J( — cv), oil J( f) esl la serie enliere 



J(0= ' 



/" 



(\. '.>.)■' {n'.y- 



On peul done loujours resoudre le probleme de Caucliy pour une equa- 
tion du type liyperbolique a coefficients constants. 

Considerons par exemple I'ef/uation des teleirraphistes qui s'ecril, avec 
un clioix convenable d unites, 

^ ^ '* Itx^ HF ~~ ' 'ot ~ "' 

V dcsigne le polenliel au temps / en un point d'abscisse x sur un fil recti- 



II. — APPROXIMATIONS SfCCESSIVES. METIIODE I)E UIEMANN. U) 

ligne indeliiii, dirige suivant Or, qui transmet une perlurbalion eleclrique. 
I^s caiacteristiques sent ici les deux families de droiles x±t = C; en 



|>ren;itu les deux nouvelles vuiiahlos x' = 



/■^ 



'7 = 



v/'^ 



> et posant en 



meme temps V == ; e -', I'l-qualion (53) devieni 

d-^z I 



(54) 



dx' Oy' 



= (). 



On suppose qu'une perturbation eleclrique initiaie a ete produite sur le 
fil entre les deux points x =o el x = a{a> o), et Ton demande la valeur 
de V au temps / au point d'abscisse x. Analvliquement, le probleme a re- 

soudre est le suivant : <.)n connait les valeurs au temps / = o de ^ et de — > 

-=/(^). j7 = *(-^)' 

ces fonclions etant nuUes en dehors de I'inlervalle (o, a): en deduire 
z{x, /), quels que soient a- et / (/ > o). 

G'est precisenient le probleme de Cauchy, et la courbe qui porte les 
donnees est la droite f = o dans le systeme d'axes (Ox, t), et la droile 



I"'ig- 9' 




y = x' dans le systeme d'axes (Ox' , Or'). Les valeurs de z et de ses deri- 

vecs partielles ^, — ^ le long de cette droite resultent des donnees. 

^ 6x oy 

Soil M un point dc coordonnees {x,l), t etant positif, dans le systeme 
(O^, 00- J^a valeur de I'integrale cherchee au point M est donnee par la 



ID I niAPiTni: wvi. — kqvations i.im:vihi:s nr tvit; iivperboi.ioi i"- 
fonmilc i^f'iUMitlo ( i'j i" i|iii th'vieiit ioi 



_ (uz)v -It-(IIZ )q 



(53) 



1 f J'^,.,-'!±.i{)-j!l^.^-,-%ciA 



la fonclion u Ac l{ioinann ('-tant cgalo a .1 ( )> oil i' = {.r — l)(y — Tf)); 

nuns la designerons par «((■). Suit N nn point cln segment PQ de coor- 
donnt'cs (X, o) dans le sysleme (Ox, 0()\ ses Of)ord<)nnees dans Ic sys- 

tenie (Ox'. Oy' ) sent J = r, = — ^ , et X vario do .r — / a .r -+- / le long du 

\'> 

segment I'Q. Pour appliqu<M- la fniuiule (">), il e«t necessaire de con- 

du du dz dz ..- , ,,^^ 

naitro ii. z. —-, — , -rr > — en tout point A dc r(i. 
d$ dr, c»t dr, ' 



C>n a dahoid 



i- = X — 



v/v 



>. \ /.r — f — /. \ i r — I — >. 



(.r — A (2— /2 



|=?V)0 






= cp'(i')( 



Pi .r — /. I- — /- 

" = ?|. ->. 

, r »' -^ — A )- — r- "1 /a — X — t\ 

-'■'-H_ — ; — \y^^)' 

, , , r ' -^ — X ) - — /- 1 / x — X — f 

= — .= r[ — ^ — J(^r- 



On voit de meme, en tenant comptc des conditions initiaii-s, qu'cn tout 
point -N de PQ, on a 



/^ 



v/^ 



Au\ points P, Q, on a « =: I , :; se retluit re«pectivement a fix — /) et 
a /( X -r- f ), et la formule ( 'I'j ) devicnt 



fix — t }-hf(x — t ) 



(56) 



\ ' r''^'\ \(x — \r--t'^ ,. ^. ,r,.r-x.2-/n 



dk. 



Les variables a?' et j'' ne figurent pas dans la formule definitive (5()), qui 
cxprime dircctement la solution au moyen des donnees. Pour discuter 
cette solution, rappclons que les fonctions f(x) et f,'(x) sont nulles en 
dehors de I'intervalle (o, a). Supposons a7> a : tant qu'on aura t < x — ■ a, 
X — ^ et X -I- / seront superieurs a a, et le second rnemljre de la formule; (56) 



APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MKTIIODE DE niEMANX. 



l55 



sera nul. I^a perturbation electrique n'atleint done le point d'absci?se x 
qii'au bout du temps x — a. S'l t est superieur a x — a el iiifrrieur a x, 
X — ^ est inferieur a a et posit if, x -i- / est toujours superieur a a, /( x ~- t) 
est nul et Ton peut rcmplacer la limitc superieure :c -t- / de I'integrale 
par a. La foriiuile (5G) peut s'ecrire 



(56/ ^=- 



f(T-t) 



r 



F(x,(,l)dl ix—a</<x), 



en designant pour ahreger par F(x, t, X) la fonction sous le signe / . Knfin, 

si t est ^ X, X — t est negatif, x -i- t superieur a a, f{x -h t ) el f(x — t) 
sont nuls ; on peut prendre o et a pour limites de lintegrale, et la for- 
uiule qui donnc ^ devicnt 



(56)" 



- f F(x, t, l)crK (t>x). 



On voit don(- que la valeur de z, pour une valeur donne de .r > a. ne 
cesse d'etre nulle que lorsque t atleint la valeur x — a, mais a partir de 
cette valeur de t, elle ne redevient pas nulle. il y a bien pour la perturba- 
tion un front d'onde a I'avant qui s'avance avec une vitesse egale a un, 
Miais il u y a pas de front arriere. On peut dire encore qu'entre les 
temps t = X — a et ^ ^^ ;r, il passe au point x une onde representee par 
la formule (56)'; mais cette onde laisse derriere elle une sorte de residu, 
represente par (56/'. Lorsque t croit indefiniment, ce residu tend vers 
une limite independante de x. F>a discussion serait analogue pour x negatif. 
Observons que le potentiel V est egal a ze-^, et la presence du facteur 
exponentiei prodiiit un amortissement tres rapide. 

300. Autres problemes. — Le probleme de Cauchy n'esl pas le seul 
qu'on puisse avoir a resoudre pour les equations lineaires du type bypei- 
bolique. On peut aussi avoir a resoudre dcs problemes mixtes comnie dans 
le cas de I'equation 5 = 0. La methode des approximations successives 
s'applique encore a ces problemes. Supposons, par exemple, qu'on veuille 
obtenir une integrale de I'equation 



5 = l(ap -+- bq -^ cz) -i-f(x, y) 



ue r = o ot le lonj 



prenant des valeurs donnees le long de la caracteristiq 
d 

P 

lion s=f{x, y, ^-. „... „ ^^^ ^- 

proclie en proclie les fonclions Zn par la relation 

^n(T,y)=f f ra(^-0%:i-^^^,V^-c(^,rJ.„-, 
^ "-^(M.Nyp, L "■= " ' J 



prenani cies vaieurs uonnees ic long oe la caiacLerismjuc > = u 11 i*^ "juj^ 
de Tare de courbe OND {Jig. H5; qui n'cst rencontre qu'en nn point 
par une parallele a Ox. En designant ^d^r z^i x., y) I'integrale de lequa- 
lion s=f{x, y) qui salisfait a ces conditions (n" 490;. on dclinira de 



d": dr^, 



o6 iiivpiruK \\vi. — i>oi vrioNs linkairks or tvim; iiYi'i:niu)i,ioi k. 

rintegrale elant otemlue au rectangle .MNQP; par <les aililiccs analogues 
a ceiix. ilii n' i'.U. on deniontre qne la seiic 

Zo< T. y)-^ /. -|( J-, r )-+-.. .-t- K" z„{x, j) -}-. . . 

est unifornienienl ron\eigenle. ainsi que les deux scries formees par les 
derivees partielles dii premier ordre. On pent egalcnicnl employer la 
melhode des approximations successives pour determiner unc integrale 
prenant des valeurs donnees le long de deux arcs de courbe silues dans 
le meme angle des caracterisliijues. M. Hadamard a monlre aussi qu'on 
pouvait olendre a ces problemes la melhode de Riemann; la fonc- 
tion i/(t. y; ^, r, ) doit etre remplacee par une solution de I'equation 
adjointe, qui presente des lignes de discontinuite (•). 

La methode des approximations successives permet aussi de traiter les 
memes problemes pour une equation de la forme plus generale 

( >7) 5 = F{T, J^', z. p, q). 

Nous nous bornerons au plus simple de ces problemes, celui qui consiste 
a determiner une integrale, connaissant les valeurs quelle prend le long 
•le deux caracteristiques de systemes difTerents. Pour simplifier un pen 
I'exposition, nous supposerons qu'on ciicrche une integrale de (57) s'annu- 
lant pour j" = o. quel que soil y, et pour ^ =: o, quel que soit x\ il est 
clair que des transformations simples permettent de ramener le cas general 
a ce cas particulicr. Sur la fonction \'{x,y^ z, p, q) nous ferons les hypo- 
theses suivantes; cette fonction est continue dans le domaine D defini par 
les inegalites 

Gloria, o<y^% [gI^H, |/,|SP, |^|<Q, 

a, ^, II. P, O etant des nombres positifs. De plus, dans ce domaine, elle 
satisfait a la condition de Lipschilz relativement a z, p, </, c'est-a-dire 
qu'elant donnees des valeurs de x, y, z, z\ p, p\ 7, q' , comprises dans 
les intervalles precedents, on a 

/rox \ \^(^,y. ^'. P\ q') — F(x,y, Z, p, q)\ 

* i <:K,\z'-z\^K,\p-p\-^K,\q'-g\, 

K|, K;. K3 »'tant des nombres positifs. Soienl M une limite superieure de |F| 
dans ce domaine D. et R le rectangle limite par les droites x = o. x — ol. 
y = o, y = "i. Nous prendrons pour premiere valeur approcliee de I'inte- 



(') K. I'lovno. Note I du Tome IV des Lerons sur la theorie des surfaces dc 
M. Darbolx, p. 353 et suivantes. 

E. GouRSAT. Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse, 2" s^rie, t. VI, 
igo'i; p. II-. Bulletin de la Societe mathematique. (Seance du I'j, mai 191 1.) 

J. Hadamard. Bulletin de la Societe mathematique , t. XXXI, p. 208 el 
t. XWII. p. 2',!. 



n. — APPROXIMATIONS SLCCESSIVES. METHODE DE RIE.MANN. 1 57 

grale chercliee :;o' -^i y ) = O7 P>i's nous poseron?. d'une faron genorale 

Soient p cl p' deux nombics positifs au plus <gau\ a a et a 2 respecti- 
vement et satisfaisant, en oulre, aux conditions M pp'< II, Mp'<P, 
Mp<Q. On voit aist'-ment, de proclic en proche, que toutes les fonc- 
tions Zn{x,y) sont regulieres dans le rectangle R' de dimensions p et p', 
analogue a R, et qu'on a dans ce rectangle |.s„| < H. \pn\ <i P, l^n] < Q- 
Pour prouver que z„{.r. y) tend vers une limile lorsque n croit indefini- 
inent, remarquons qu'on a, d'apres la condition (58), 

Zn(,JC,y)—Zn-x{x,y)\<f d\ JK, | ,-„_i( ;. r,) — ^„_2(;. rjj 

•-0 "0 

-r- Ko \pn-\ —Pn-1 \ H- K3 \q n~\ — qn-l\\dr, , 

\p,i(^0'^—Pn-\i3-,y>\< I \Vi.i\Zn~x(\, tJ — J„_,(^, T^jl-u.-.-hjc^r,, 



Posons, dune maniere generale, 

Un(x.,y)= j (f\ \ Ki ;/„_! ( ;, r, ) -^ Ko ""~^ — K3 """' dr^. 

et supposons qu'on ait pris pour it^(x,y) une fonction reguliere dans R' 
et telle qu'on ait, en un point quelconque de ce domaine »i ( t, j>'; >> | -^i |, 



> 



OZj_ 

Ox 



Oui 



> 



dz^ 
dy 



• on voit, de proche en proche, qu'on aura, pour 



toute valeur de n, 



\^n{x,y) — Zn-i(x, y)\ < u„(x,y), 
du„ 



\Pn(x,y)—pn-\(x,y)\ < 



Ox 



\qn-7„~i\< — 



dii. 



Or, on a demontrc plus haul ('n°494') que les series 7 u„, / — '-> / -— ^ 
sont uniformenient converfrentes : il en est done de nienie de la serie 



z\{x, y)-^[z2ix. y) — Zi(x, y)] 



\Zn(x, y) — Zn-i(x, y)']-^-.. 



et de celles qu'on en dtduil en differentiant lerme a terme par rapport 
a .r ou a y. Le raisonnement s'acheve comme au n" 494; lorsque n croit 
indefininient, z,i tend vers une fonction Z(a", y) qui satisfait a toutes 
les conditions du probleme. De plus, cest la seule integrale de I'equa- 
tion (57) satisfaisant a ces conditions. 

Le domaine dans lequel I'existence de I'integrale est assuree est, en 



I ")S (luiMTnr. wvi. — 101 ATioN'^ iiNKAinr.s nr rvi'i: iivi'i-niioi.ion:. 

giMieral. inoiiis I'temlu i|ni' \^(^[\\• iiiu- I'-qualion linrairo. il est tin ens iiitr- 

ressant oil cod(imiiiiio ol lo iiiliuo; ccstccliii ou la fonrlion V{.t,j', c, />. q) 

restc continue pDiir lout svstenie do valours reclles de -, /', 7. lorsque Ic 

.... 'H- dF f)F 
point ( .r. 1') leste dan? le <l<iinaiiie U. el admit des iliiivees -— > — -> — - » 
I • Oz Op dq 

lostanl moindies en valeur ab*olue qu'un nombie fi\e, dans Ics memos 

conditions. Nous n'avons pas alors a lenir compte des conditions qui 

evpiinient que z,,. /Vi. 7« reslenl dans le domaine E) et nous pouvons 

prendre ; = a. ;= 'i. La scrie fournie par les approximations successives 

converge dans le rectangle R. Tel serait le cas de Icqualion 

5 = ap -k- hq -^ c si'i -:, 

oil <t, b. c Sunt des fonclions continues de a™, j'dans R; i"cquulion obtenue 

en posant 

z = o(.r) -t- <l'( r) — 'f (o) -f- II 

satisfail evidemment aux conditions vouluos, pourvu que ^'(x) el'l>'{y) 
soicnt continues dans les intervalles (o, ol) et (o, P) respectivemcnt. 



IH. — KOL.VTIUNS A PLUS DL DELX VAIUALLKS. 

II t'lail niiliuel de chf^rclier a etendrc la iiiclliodc >i siiiij)le de 
Piieniann aiix t-quations du type hvperbolique a plus de deux va- 
riables. AIM. Kii'chhoir, Volterra, Tedone, Coiiion, d'Adhemar 
avaient traile un certain nom])re d'exemples particuliers. M. Hada- 
mard a obtenu le premier une solution generale, en montrant qu'il 
suffisait de connaitre une integrale de I'equalion adjointe, pre- 
senlanl en un point arbitraire une singularite d'une nature deter- 
minee, pour pouvoiren deduire par des (juadratures la solution du 
probliine de Caucliv: comme dans la met bode de Rieuiann, cettc 
inlegrale ]idrticuliere est independantc dc la surface qui j)orte les 
donnees. Xous renverrons aux travaux (') du savant geometre 
pour Tetude de cetle difficile question, et nous nous bornerons a 
indiquer la niclbode elegante de M. \ ollerra (-) pour I'eijuation 
des ondes cvlindriques. 



(') Annales del'Ecole .\onnale sitperleure, lyoj cl njo'); Ada malhemalica, 
t. XXM, i';o8. 

('; Ada mathematica. l. XVIIL i8fj^. Voir aussi le Mcnioire de Kiiichiioff 
Sitzuiiusberichle der Berliner Akademie, 1882. 



III. — EQIATIONS A PLUS I)F: DKLX VAniABLF.S. iSg 

oOl. Formule fondamentale. — Soit {j(x, r, z) une fonclion 

continue adme llanl des derivees partielles continues. II est souvent 

commode dintroduire la derivee de L prise suivant une direction 

delciminrc . Considerons x^ y, z comme les coordonnees rectan- 

yulaires dun point de Tespace, et soil L une direction issue dun 

point M. Sur cette direction prenons un point M' a une distance h 

de M: on appelle derivee de U(.r, ■>', z) suivant la direction L la 

1- • 1 U ' M) — Uf.M) , , • M- 1 

limite du raj)port r-rp j lorsque le j)oint M se rapproche 

indefiniment du jioint M en restant sur la demi-droile consideree. 
On ecrit, pour abreger, L(.M) au lieu de U(^, y, z)^ M etant le 
point de coordonnees ( .r, y, :;). Si a, |j, v sont les angles de la 
direction L avec les directions positives des axes, on a 

U ( M' ) — Ul" M I _ \}{ X — h z^^T.. y — /i cn9,'i. z -h /i cosy') — Ij (' ^.V. z) 

la limite dece rapport. c"est-a-dire la derivee cherchee -77-5 a done 

pour expression, dapres la formule qui donne la derivee d une 
fonction composee 

f/U ol oi: „ dU 

( DQ ) -77- = COS 'J. -:- COS j COS V. 

^ ^ dL ox (Jy ' (Jz ^ 

Soit .MV le vecteur a vant son origine en M, et dont les composantes 

f)V, d\j d\j . , . ,. , . d\} < I . I 

sont — J — > — : la relation (jf) exprime crue ^7- est CiraJe a la 
ox dy oz - -'' ^ 1 f/L ^ 

valeur algebrique de la projection du vecteur MV sur la direction L. 

11 en rcsulte aussitot que les derivees suivant deux: directions 

opposees ne diil'erent que par le signe. Rappelons encore que le 

vecteur M\ est dirige suivant la normale a la surface <le niveau 

\]{x^y, ^) = G qui |)asse au point M et du cote ou la fonction U 

est croissante, et que la longueur de ce vecteur est en raison inverse 

de la portion de normale comprise entre deux surfaces de niveau 

infiniment voisines. Toutes ces definitions s'appliquent evidem- 

ment a une fonction de deux variables, en remplacant I'espace par 

le plan. 

Cela pose, soit 

P _ d-u d-u d-u 

~ Ox^ oy- oz- 



i6o ciivpithi: xwi. — kqiations lineaires du tvpI' iivpmnoi.iQL'E. 
On a ridenllle (r/. n" iOT, nole), 

r F ( » ) — » I' ( r ) = — ( i' u — 1 

^ ^ Ox\ dx Ox J 

(> / du r)i' \ Of <)a dv 



quelles que solent les I'onclions it e{ i\ Si ces fonclions sont con- 
tinues, ainsi que leurs derivees parlielles jusqu'au second ordre, 
dans un domaine bornt- D. limilc p;ir une surface -, on deduit 
de ridenlilc [)rcredenle la relation 



(Co) 



fj f [v¥(u)-u¥{i')]dxdydz 



: / / [ V u — I dv dz ^ ( I' — — u — ] dz dx- 



du di> \ 
« -— h 



I'integrale dc surface etant etendue au cote exterieur dc i^. Soient 
a, ^, V les angles que fait avec les axes la direction exlerieure de 
la normale a S; I'integrale de surface est identique a 



r r [du <iu ,^ du \ 

II r I — cos a H cos i cos-' dfj 

J J(v, \f'^ dy ' dz 7 

r r /di> dv dv \ 

— / / " — cos 1 ~ COS S cos Y drs. 

J ./(V, \<^-^ Oy ^ dz 7 

Or cosa, cos 3, — cosv sont les cosinus directeurs de la direction 
symetrique de la normale exlerieure par rapport au plan parallcle 
au plan c = o menr par le pied de la normale; suivant une expres- 
sion due a M. d'Adhemar, nous appellerons cette droite la conor- 
niale a la surface H au point considere. La direction positive sur 
la conormale correspond a la direction exterieure sur la normale. 
Les coefficients de v et de «, dans les integrales de surface prece- 
dentes, representent respeclivement les derivees des fonctions u 
et V, prises suivant la direction positive de la conormale. Nous 

, , . , du dv . . 1 5 ' • I 

representerons ces derivees par -p^-, -p^, ce qui permet d ecrire la 

formule (6o) sous la forme abregee 



III. — KQL.VriONS A IMAS DK DEUX \ ARIAIil.ES. l6l 

o02. Methode de Volterra. — Considerons IVqiuition 

(6-2) F(m) = — - H ; — — - = Z, 

^ -^ ^ ^ Ox- Oy- Oz^ 

le second mcmbre elanl une fonctlon conniic dc [x. y, z); il suffi- 
rait de suj)j)Oser Z = o el de reniplacer :; |)ar al pour relrouvcr 
requalion des ondes cjlindriqiies (n° i8o), Celle equation appar- 
lient au type hyperbolique, et les surfaces caracleristiques sont les 
surfaces integrales de I I'-quation aii\ deri\ces partielles 

(jui exprime que le plan tangent fait un angle de 4>^" avec le plan 
z = o. i.a conorniale en chaque point est done situee dans le plan 
tangent, et cette propriett-, il est aist- de le voir, n'appartient qu'aux 
surfaces caracteristiques. Le lieu des courbes caracteristiques de 
I'equation (66), issues d'un point quelconque P de Tespace, est 
un cone de revolution de sommet P, dont Faxe est parallele a O^, 
et dont Tangle au sommet est droit; c'est le cone caractin'istique. 
Dans la methode de M. Volterra, la fonction de Riemann est 
remplacee par une integrale de Tequalion F(^/ ) ^ o, qui est nulle 
tout le long du cone caracteristique de sommet (./•,. y^, z^\ Pour 
obtenir une telle integrale, cherchons dabord une integrale nc 



dependant (jue de - > ou /■ ^ yAr- -\- y-- Si 1 on fait le changement 

de variables x = /• cos'j, y ^ r sin'^p, I'equation I- (// ) = o devicnt 

(I, p. i48i, 



0''-U I '/-« 


\ du 0-a 


Or- ' /•- 0-i,'- 


r Or ~ Oz-^ ' 



en cherchant une integrale ne dependant que de <t' = -i on est 
conduit a I'l rpialion didV-rentielle 

, „ d- u (la 

{W"- — I ) -— - H- U' -y- = O, 

aw- aw 

% 

dont 1 integration est facile. On oblient ainsi 1 integrale parliculiere 

± :: -T- v/z--' — r' 



log(^ 



)> qui est nulle en tout j)oint du cune caracte- 



rislique ayant 1 origine pour sommet, pourvu (juon prenne un 
G., III. II 



rb 



i.iiAiMTiu: wsi. — tyuATioNs i.im;\ihi:s di tvim: iivi'i;iuiolk)i i:. 

si<;nc convonahle dcvanl c. Coininc riMjualion V(if) = o ne change 
pas j>ar iin ilcitlacoinciU (ldrii;ini' iirhilraire, on voil (jiic la louclioa 



(fi4) 



Z, — -3 -+- v/(-i — - !- — (', 



■r)-—(r\ — v)- 



v^j-i — -i^)^-^(j'i—r)- 



est line iiitograle parllculirie de r('([iiation !''(//) ^o, (jiil est nulla 
en lous les points de la napj)e inferieure du cone caracterlslique 
ayant pour sommet le point P, de coordonnees (x,, y^, z-^). Gette 
fonetion e presente une discontinuile tout le long de I'axe de ce 
cone caracl«'Tisli(pie. 

Supj>osons que 1 on connaisse les \aleurs d'une integrale u de 
1 ccjualion (O2) et de ses derivees partielles du premier ordre le 
long d'une siirfiice ^, et qu'on veuille calculer la valeur de cette 
integrale en un jioint P(:c,, j',, ^,) exterieur a S. Ce point P 
etant supposf- au-dessus de -, coinnie I'indique la figure (92), 



Fig. [)■} 




considerons le doniaine I) liinite par la naj)j)e inferieure du cone 
caracterislique A de sommet P, et par la portion S' de 2 inte- 
rieure a ce cone; enadmettant tpi'iloxisle une intt'grale de I'equa- 
tion (62) satisfaisant aux conditions de (!^auchj etreguliere dans D, 
nous allons niontrer comment on peut calculer la valeur de cette 
integrale au point P. On ne peut appliquer immediatement la for- 
mule generale ''611 aux deux fonctions // el v dans le domaine D, 



III. — KQIATIONS A PUS DF. DlCl X VARlAliI.ES. l63 

parce (|uc la fouclion r «'sl (llsconliiiuc le long de I'axe du cone, 
et aussi j>arce que les drrivees de v sent discontinues sur le cone A. 
Pour cvilcr ces difficulles, on isole d'abord la ligne singuliere au 
niojen d'un cylindre de I'L-volution G de rayon trcs |)etit i] ajant 
menie axe que le cone, et Ion remplace le cone A par un cone de 
revolution A' de nienie soniniet ctde meme axe dont le denii-angle 

au sonnnct '.2 est un peu inf('rieur a ^ , C3 = 7 — s, et I'onconsidere 

le domaine D', forme par la portion du doniaine D qui est exte- 
rieure au cylindre G etinterieure a la nappe inferieure du cone A'. 
Les deux fonclions u et v etant regulieres dans ce doniaine D', la 
formule (61) est applicable. La su.rface qui limite D' se compose 
de trois portions distinctes, une portion 5" de S', une surface cylin- 
drique -, et une portion de surface conique provenant du cone A'. 
La formule (61) devient, en remplacant F(m) par Z et F(t') par 
zero, 

"^/X,, ('■ ^' - " ^) '" -"/Xv, (" ^ " " ^ ) "'' 

En un point de la surface du cone A', a une distance / du 
sommet, on a, comme le montre un calcul facile, 



V = log(cot'j -h v/cui-'j — I ), 



dv I ycos'.i'j 

dS I sino 



lorsque I'anole 'j tend vers -> v, -tzt et par suite linte^rale double 

le long de A', lendent vers zero (*). L'integrale double etendue a 
la surface I, du cylindre ne peut etre calculee puisqu'on ne 

connait pas les valeurs de a et de -rrr sur cette surface. Mais on 

• rt.M 

peut trouver la limite de cette integrale lorsque le rajon r, du 
cylindre tend vers zero. En effet, nous pouvons prendre pour ele- 
ment d'aire sur ce cylindre ch ^=-r^dix> dz, Tangle to variant de o 



( ' ) La foiiclion t^' etant nulle le long de A, la derivec de v siiivant une direc- 
tion quelconque du plan tangent doit etre nullc aussi. Or, la conormale est pre- 
cis inient dans le [dan tangent. 



itVi r.iivpiTni: wvi. — kqlation? i.im;\ihks nu TVi't: iiMM:Ritoi,Kii ic. 
a UT.. En nil piuul tic la surface, r a pour expression 



la direclion de la eonornialc se ronloutl avcc la direcllon de la 
norinalc inlorieure au cylindre, el Ton a 

</i' tic I "^ 

Le produit y.c a pour Imiilc zero, laiidis (jue /■, -rr. a pour 

limile +i. On en dcduit aiscnienl que la liniite de I inlegrale 
double elendue a la surface du cvlindre est eirale a 



— ■IT. j itixi,ju ^)dz, 



Co elant la coordonnee du point ou I'axe du cone renconlre la 
surface -. Dailleurs, lorsque c et r, lendent vers zero, les inte- 
grales etendues a D' et a S" respectivement ont pour limites les 
inlegrales etendues a D et a i!'. On a done a la limile 



(65) 



En prenant les derivees des deux membres de Fegalile prece- 
dente par rapport a c, nous trouvons enfin 



uixi. J',, -1 ) = — ^ -^ / / / K-'Ldx dy dz 



. ,, . .... du 

La lonclion auxiliaire v est connue; u et -r^ sonl supposees 

connues sur I. et par consequent le second membre de cette for- 
inule est une fonction determinee des coordonnees (X(, j)^i, ^i) 
du sommet P du cone A. La formule (66) fournit done la solution 
du probleme de Cauchy, en admettant que celte solution existe, 
ce qui nest nullement evident a priori. II est done necessaire de 
demontrer inversement fjue la fonction m(x,, jKn ^i) representee 



Iir. — EQUATIONS A PI.IS DE DEIX VARIABLES. l6> 

par celte fornuile est une inlegrale cJe ['equation (Oa), dont la 
valeiir. ainsi que celles de ses dcrivees premieres, tendent vers les 
valeurs donnees lorsque le point P lend vers un point de S. Celte 
question, que M. Volterra avail laissee de cole, a etc etudiee par 
M. d' Vdlit'-mar, qui a etabli la reciproque ('). 

Lorsque la surface S qui porte les donnees est une surface 
caracteristique, la direction de la conormale en chaque point est 
situee dans le plan tangent a la surface. Si Ton se donne la valeur 

de u en cliaque point de S, la valeur de -jr^ est connue par la 

meme. Une inlegrale est done determinee si I'on connail sa valeur 
lout le long dune surface caracteristique (^cf. n° 494). 

Exemple. — Supposons que la surface }il soil le plan z = o, et en outre 
qu'on ait Z = o. Nous avons a trouver une inlegrale de lequation F(a) = o, 

sachant quelle se reduil pour ^ = o a une fonctiony(a7, jk), tandis que — 

se reduit a 'f (.r, y). Nous nous bornerons encore a calculer la valeur de 
cette inlegrale en un point P(^i, jKi, ^i ) donl la coordonnee ^j esl posi- 
tive. En chaque point du plan ;3 = o, la direction de la conormale est 
parallcle a O-, et Ion doit prendre par consequent 

sur la portion du plan des xy qui intervient dans le calcul de rintegrale. 
D'autre part, on a, sur le plan des xy, 



' V " 1 ' 

Le champ d'integration S' est ici le cercle de rayon z^ ayant pour centre 
le point de coordonnees (:ri, j^t), dans le plan ^ = o. En supprimant les 
indices, on pent done ecrire la formule (06), 



(67) 



»(-.>-'= h. ;;^l//h(^^^^^)^(- P'* W^Y< 



Oil /•- = (a — .r )■--+-( p —J')-, rintegrale double ctant etendue au cercle T 
de rayon z ayant le point {x^y^ pour centre dans le plan des xy. La pre- 



(') Journal de Liou^ille, 5- scrie, t. X, p. i3r-207; liendiconti del Circolo 
nialematico di Palermo, t. XX, 1905. — l^oir aussi les Mciiioires cites plus haut 
de M. Hadaniard. 



lG6 CHAPITRE WVI. — EQIATIONS I.INKVIRES DU TVPE IIVPERBOMOUE. 

niicre inlcprale double devieiit, en passant aux coordonnoes |toIaires, 

^ » I ) / 

= / </0 / logf-^^— ^ j<f{x -T- r coi(), y -^- r sirtO) r dr. 

L'integrale du second nienibre est unifornument convergenle (I, n° 100) 
si la fonction o est borncc, et Ion peul appliquer la formule de dilleren- 

tiation habituelle, co qui donne pour expression de — > 
^ ' ' dz 

OU _ r~ ju r"o(j--t- '-cosO, r-^/-sinO) ,._ r T o(a, ^) <1:il d'i 

OZ ~~ \ ^ / J.l _ ,.2 ' ' ~ / /„ v/^2_,-2 ' 

11 suflit lie remplacer c par / pour relrouver la formule (20) du n" 4X5, oil 
ion aurait « =^ i . 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 

1. liludier le mouvemenl d'une corde vibrante, sachant que. pour t = o, 
elle a la forme d'un arc de parabole, symetrique par rapport a la perpen- 
diculaire au milieu du segment qui joint les extremiles, et que la vitesse 
initiale est nulle en chaque point. 

2. Resoudre le probleme de Caucliv pour lequatiiin = 5 en 

appliquant la methode generale du n" 489. 

Si les conditions iniliales sonl z =:f(x), — = 9(^7), pour ^ = o, en 

posant X -i- at = i, X — at = r, I'equation devient , = o, ct les condi- 

tions iniliales deviennent les suivantes : le long de la droite ; = •/;, on doii 
avoir 

3. Resoudre le probleme d'Hugoniol fnote de la page 127; en supposant 



■M/';= Ti«g(i-^/>^ /'0 = ^^' 



Quelle devrait elre la fonction y(^) pour que la surface S soit un cone? 
4. Etablir, par la methode des approximations successives, la formule 



COMI'I.K.MKNTS ET EXF.RCICES. I Oj 

de Caucliy (II, n' iUl i, 

''.fa 

pour rintograle de Toquatiun lineair« F(y) ^=f{x), qui est niille, ainsi que 
ses (n — i) premieres derivees pour .r = x^ (cf. n" 495). 

/?. On ccrit rcqualion sous ia forme 



dx> 



et Ton remarque que rintograle clierchee «alisfait a lequation integro- 
difTerenliello 

ce qui permet de la developper suivant les puissances de ).. On trouve 
ainsi pour expression de cette inlegrale 

j('^)=y f(t)dt{g^{x, t)-^\g,{x, t)-\-...~\"^g„,{x, t)^...\, 

( X / )'J — 1 

oil f:»{x. t) = —, — ■) et ou les coefficients suivants sobliennent par 

( n — I ; 1 

la formule de recurrence 

^ \ 11 \ ) . 

5. Equation de Ricinaan. — La fonclion u{x, y; ;, rj de Riemanii 
pour I'cquation 



= o 



Ox Of X — y Ox X — y Oy 
a pour expression 

F designanl la serie hypergeometrique MI, n° 413) (vo//- Dahhoix, Theorie 
des surfaces, t. II, p. 8i et suivantes). On pourra consulter aussi un 
Article dc M. Janiet (Bulletin des Sciences mathenialiques, 7." serie, 
t. \IX, iSg*,. p. -ioSj. 



CHAl'ITRI': XXVll. 

toLATlONS LlNtvllU-S DU TVPE LLLIPTIQUE. 



I. _ FONCTIONS ilMniONIQUKS. INTKGK \LK DK POISSON. 

503. Proprietes generales i ' ). — L'efjiialion de l-,aplace joue le 
merne role ilans r<'tuJe ties equalions lineaires dii type elliptique 

(|ii(' I equation = o dans la tlu-one des equations dii type 

livperholiqiie. Mais les problemes qui se posent pour la nouvelle 
t-quation sont ttjut dillerents de ceux que nous avons etudies 
jusqu'ici. 

On dii (jn'une fonction it(x,y) des deux variables reelles 5", -)', 
est harmoniijue dans iin domainr D, lorsqn'elle est regulieie 
dans ce domaine, c'est-a-dire continue ainsi (jue ses derivees par- 
tielles jusqu'au second ordre, ct lorsqu'elle salisfait en tout point de 
ce domaine a lequation de Laplace, que nous ecrirons, en supf)ri- 
mant I'indice, 

l)"- u <)'- It 

(l ) \ll = -— - -i- -—7 = o. 

Ox- Oy- 

La parlie reellc dune fonclion y(:;) de la varialde z^^x-\-iy^ 
liolnniorplie dans un domaine D, est liarmonique dans ce domaine 
(II, n' 261). Inversement, a toute fonetion liarmonique '/(^, y)-, 
on pent associer unc autre fonetion i'(\r, y)^ definie a une con- 
slante additive pres, satisfaisant aux deux relations (-) 

dv On Ov _ Oil 

Or Oy ' Oy Ox 

(') Je me suis beaucoup servi, pour la redaction de cc Chapilre, <iu Traitc 
d' Analyse de M. Picard, en particulier des Cliapilres I, III, X du Tome II. 
(') Soient mt. ml' deux directions reclangulaires idles que Tangle tmt' ail la 

m^nie disposition que Tangle xOy; -j-^ -j—,' designanl ies derivees prises au 



[ 



I. — FONCTtOVS IIAHMOVrQfES. IMKOR.U.i: DE POI>SON. lOg 

(Ic telle sortc (jue a -\- iv est une lonclion analylique de 
z == X -i- iy- Cetle fonction r(.r, r) est atissi une integrale (Je 
recjiiation (i); elle est encore uni forme et reguliere dans le 
(loinaine D, et par suite harmonique dans D, si ce domaine est a 
contour simple ('), el u -\- iv est holomorphe dans ce domaine. 
De cetle liaison avecla theorie des fonctions d'une variable com- 
plexe on deduit aisement quelques proprietes importantes des 
fonctions liarmoniques. Ainsi, nous allons montrer que toule 
fonction litirnwniqiie est iinc fonction analylique des variables 
X et )', au sons (jue nous avons attache a ce mot (I, n" 197). 
Supposons iiix^y) reguliere a I'interieur d'un cercle C de rajon 11 
decrit du point (\roiJKo) pourcentre; il en estde nieme de v[x^y) 
et par suite f{z) =: « H- A' est une fonction holomorplie de z dans 
ce cercle. On a done, a I'interieur de C, 

les coefficients a a etant en general des nombres complexes. Rem- 
placons c — Co par x — XQ-\~i{y — y^) et separons les parties 
r(''elles et les coefficients de / dans la serie (3); u{x^ y) se presente 
sous forme dune serie entiere a double entree 

(4) uix.y) ^^0,,,g(T — XQ)i>{y—yo)'i, 

p,q 

point in suivanl ces directions, on pent remplacer les relations {i) par les rela- 
tions equivalentes 

du th' du (/^' 

^''' di " cii' d? ^ ~~ dl' 

La demonstration directe est facile, mais il suffit d'observer que, d'apres leur 
signification dcins la theorie des fonctions, les relations {?.) ne changent pas 
quand on fait tourner les axes d'un angle quelconque; il suffit done de les faire 
tourner de facon a les rendre paralleles aux directions mt, mt' . 

Supposons que le point m decrive une courbe fermee C dans le sens direct ; si 
Ton prend pour mt la direction de la tangente dans le sens du parcours, mt' sera 
la direction nin de la normnle interieure. et les relations (i)" dcviennent 

. ,, du _ rfi' du _ dv 

ds dn dn ds 

d d . . . ,,... 

-r fX — — designant les derivees suivant ces deux directions. 

ds dn ° 

(') Si le domaine L) est limite par plusicurs courbes dislinctes, la fonc- 
tion <,'{x, y) peut avoir des determinations multiples. Prenons par exemple la 
fonction Logc; la partie reelle est harmonique a I'exterieur d'un cercle decrit de 
I'originc pour centre, tandis que le coefficient de i adinet la periode 2-. 






\-0 CIIAPITRE WVII. — Ktjt VTIO.NS IJNKAIRKS Dl T^ PE KI-MPTlyr K. 

I/egalile (3 ) prouNo que //(.r, ^■) est egalr a la soiniiu' tie celte 
scrie double, quand on groupe enseiiihle tons les lormcs du ineine 
dej,'rc en x — Xo, y — I'o. niais cela ne suffit pas pour prouver la 
convergence absolve de la serie. Pour elablir cc point essenliel, 
il faul nionlrer quelle resle convergente quand on remplace cliaque 
lerme par sa valeur absolue pourvu que \x — Xo\ el | >' — yo| soicnt 
assez pelits. Or, lenscinble dcs lermes de degre /i dans la serie (4) 
est egal, en posanl (i„ = 7.,, -f- /j,,, a 

[n( n — I) , . „ "1 

(x — xo)" j (x — xo )"-^i y — }\, )- -i- . . . 

-,- 3 J- /H .r - .r„ )"-> ( J - jKo) 

(x — xo}"-^(y—yo)'^ — ..- • 



n( n — \ )( n — ■> ) 



I est clair que si Ton remplace clia(|iie tonne par sa valeur 
absolue, la sonimc obtenue est inferieure a 

\an\\\T—X,\-r- \y-y,\'^". 

R elant le rayon de converi^encc de la serie entiere ()). la serie 

S|«„ir'» 

est convergenle pour\n (|u"ou ail r < R cl. par consequeiil, la 
serie f 4) est absoluineiit converi:ente j)0urvii qu on ail 

(5) |j:-- j-ol-f-]^— Jul < R, 

cest-a-dire lorsque le point (x.y) est a Tinterieur dun carre 
facile a definir. 

De celte importante proposition resulte toute une serie de con- 
sequences lout a fail pareilles a celles qui ont ete developpees 
pour les fonctions analvliques d'une variable complexe. Ainsi, 
loules les derivees d une ftjnclion barnionique dans un domaine D 
sont elles-memes des fonctions analvliques regulieres dans cc do- 
maine; ce sonlaussi des fonctions barmoniques, comme on le voit 
aussitot en dillerentiant lequalion (i;. Si deux fonctions barmo- 
niques coincident dans une aire, quelque petites cju'en soient 
les dimensions, elles sont idenliques, car toules leurs derivees 
partielles sont egales en un point de celte aire, et Ton pourrait 
repeter, pour le prolongemcnl analjtique dune fonclion harmo- 



I. — KONCTIONS 1IAKM()M(JII;S. IXTKGHALE DK POISSON. I7I 

nique, tout ce qui a etc dit a propos des fonctions d une varialjle 
complexe (II, Chap. X\ I ). jXous iij reviendrons pas ('). 

L'ensemble des termes de degre n dans ia serie (/j) est de la 

fortne 

C| p"cos«'j -H C> p" sin /? 'i. 
en posant 

X — o^o = p cos 'J, y — j'o = p si n o . 

On voit done que le polvnonie l»arnioni(jue et liomogene le plus 
general de degre n en x — x^-, v — yo, ne depend que de deux 
constanles arbitraires C, et C^. De la forme generale des termes 
de la serie (4), on deduit aussi qu'une fonctioii liarmonique ne 
peut presenter ni maximum ni minimum au point [x^^ JKoj- t^n 
efiet, si le developpement de w(x, y) — u(xo, yo) commence par 
des termes de degre /i, l'ensemble de ces termes, etant de la forme 

p"(Ci cosrto -T- Cosin/zcp), 

change de signe pour n valeurs distinctes de '.2 (-) (voir I, n" i7). 

(') Toule fonction liarmonique, etant une fonction analytique de x^ }\ est 
definie virtuellement pour les valeurs complexes aussi bien que pour les valeurs 
ree//es de ces variables des que Ton connait ud element de la fonction (II, n°355). 
Voici une consequence interessante. Soil /(z) une fonction holomorphe de la 
variable complexe z = x -+- iy dans le doniaine de z^ = ^c,-+- iy\ 

f{z) = a„+j:i„-4-...+ (a„--/,3„)(c-r„)''-^.... 

La partie reelle u{x, y) def{z) est representee dans le meme domaine par la 
serie 

u{x, y) = a„-h V ] "'^''^" [x~x,-^i{Y—y,)Y 



n^l 



-^ . \X — X,,— i(r — Jo)] • 



Hcmplacons, dans cette formiile, x — x^ par ^^^ —•, y — y^ par " . % elle 

devient 

rette relation, etablie lorsqu'on a | :; — ^J<R, subsistc evidemment dans tout 
le domaine d'existence de f{z), puisque les deux membres sont des fonctions 
analytiques de z. En particuiier, si ii{x, y) est une fonction rationnelle ou une 
fonction algebrique de x, y, f{z) est une fonction de z de meme nature. 

(-) Le point {x„, y^) ne peut ^tre qu'un point ordinaire ou un point multiple 
i tangentes distinctes sur la courbe u{x, y ) = u{x^^, i'„), mais jamais un point 
isole ni un point de rebroussement. 



i-i riiAiMini: wvii. — i:yi vtions i.inkmkks ni tvpk n.i.ii'Tiot'K. 

I -.1 pliipai'l (Irs aulres propriclcs des fonctioiis harinoniqucs qui 

Noiit r[ri^ (li'inonlit'-t's ponriaieiil dc memo so deduire de la tlieorie 

dt's ronriioiis il'iine variable coinplexo. (dependant olles soronl 

elahlifs ilirccteineiil, de far^n a |)onvoir elcndre la denioiistration 

ati eas de Irois variables. Ohservons d ahord qu'on pout appliqucr 

aux fouclions harnioniquos les remarques failes plus haul a propos 

des equations lineaircs [n" 4-83). Ainsi, de toule solution de I'oqua- 

tion (i) dependant d'un ou plusieurs parainetres, on pent deduire, 

pai- des ilillerentiations ou des quadratures, unc infinite d'autres 

solulions. Parnii les solutions connues, la fonction /^ = log/', 

ou /• est la distance des deux points (^, r), (a, b), qui depend 

des deux paraniolres (/. b. \a jouer un role important. Les d^rivees 

parlielles de u par rapport a Tune quelconque des variables «, 

6, X, y sont aussi des I'onctions harmoniques el il en est dememe 

de toute conibinaison lineaire de ces derivees dont les coeffi- 

cienls sont independents de x et <lejK. Par exemple, soil L une 

direction quelconque, issue du point (a, b)^ faisant avec la 

dlreolion allant du point (a, b) au point (x, y) un angle o. 

La derivee, prise sulvanl celte direction, de log/-, consideree 

coinine fonction des parametres «, b, est une nouvelle fonction 

liarmonique des variables jr, j', car c'est une combinaison lineaire 

/•r- • II'-. d\osr d\o"r ^, ^, • , 

a coeiiicienis constants des derivees — r-^^. — -r— • L-etle denvee a 

oa ob 

\ dr , ... cos o ■ , „ o / \ ' • /> 

pour expression - -jr-> c est-a-dire ^(1, n' o*); on venlie 

direclement ([ue — -^ est une fonction harmonique en observant 

que c'est la partie reelle de la fonction e''^ r^> H etant I'ar- 

^ ' ;; — a — bi 

- I 1- • 1 r\ -1 A cos <ii 
guinenl (pii convienl a la direction L. On voit de meme que -t 

ou -li est Tangle que fait la direction allant de (.r. jx) en (a, b) avec 
une direction /?:re A, independante du point (x^ y)^ est une fonc- 
tion harmonique, car cette expression est egale, au signe pres, a 
la derivee de logr, consideree coinme fonction de (.r, y)^ prise 
suivant la direction A. 

Observons encore que toute transformation ponctuelle qui con- 
serve les angles change une fonction harmonique en une nouvelle 
fonction harmonique. Cette propriete a deja ete etablie implicite- 
nientill, [). Go; I, p. i6o, ex. 8). 



I. — FONCTIONS IIAKMOMQIKS. INTKfiRALi: UF, I'OISSON. i;^ 

504. Integrales uniformement convergentes. — Pour eviter des 
repetitions iniitiles, nous allons daljord tl»'inoatrer une propriele 
de cerlaines integrales, sur laquelle on s'apf)uieia sou\ent. Soil, 
d'une facon gcnerale, /<(M, P) une fondion des coordonnees de 
deux points M el I*, df)nt chacun peut decrire uncertain doinaine, 
el qui est continue pour tous les syslemes de positions de ces 
deux points, sauf lorsque les deux points sont confondus ; telle est, 

par exemple, une expression de la forme ' \ ; ((M. P) elant 

M F' 
continue, et a etant posilif. Supposons dabttrd que le point M 
decrive une courbe plane determinee C, tandis que I* peut tjccupcr 
une position cjuelconque dans le plan. Lintegrale 

\](P)= f lo M. P ,ds. 



= f lo M 



prise en supposant le point P fixe et faisant decrire a M Tare C. 
est une fonction continue des coordonnees du point P. tant que 
ce point ne vient pas sur G (I, n" 98). Lorsque le point P coin- 
cide avec un point Mo de C, linlegrale L (Mq) peut avoir un sens 
quoiqu'elle ait un element infini, mais la presence de cet element 
infini ne permet plus daffirmer sans autre examen que I'integrale 
est continue en ce point, c*est-a-dire que U(P) — L (M(,) lend 
vers zero avec la distance MqP. 

Nous dirons que lintegTalc L(P) est imiformetnenl coiner- 
gente dans le domaine d' un point Mq de C, si la condition sui- 
vante est remplie : etant donne un nombre posilif arbitraire e, on 
pent trouver sur I'arc C un arc C sur lequel est silue Mq, et un 
nombre posilif o, lels que pour tout point P pris a I'interieur du 
cercle c^ de ravon o, decrit de Mo pour centre, la valeur absolue 

de I'integrale / w(M, 1*) ds soil inferieure a z. Lorsque cetle con- 

dilion est remplie. il suffit de reprendre le raisonnement classique 
employe si souvent pour demontrer que U(P) — U(Mo) tend vers 
zero avec MqP. On peut ecrire en eflet 

U(P)-U(Mu)=U'(P)-U'(Mo)^;U"(P)-L''(Mo)!, 

en designant par U' et U' les integrales elendues a Tare C et a 
Tare C= C — C. L'arc C el le nombre z avant ele choisis comme 



17 i <:iiAiMini: wvii — Koi ations i.im;\iui;s di tvpe Ki.i.iPTiyiK. 

on \ienl tif If (lin\ los valeiirs ahsoliies do U'(P) et de lI'(Mo) 
soul inferieures ii e, lorsque V est a ri-nterieur de Cp. Mais, le 
nombre p pouvanl elre reni[)lace j>ar tout nombrc positif plus 
pelil, on j>eiil supposer Tare C tout ciitior a rcxiericur de Cp. 
L'inlej^rale U'(P) esi alors nne foncli(Hi contiuiu' dans ce cerclc Cp. 
Cljoisissons nn notnbrf posilif p' ■; tel qn On ail 

|U",P)-U"(Mo)|<e, 

lorsqu'on a MoP<C ^^ . H est claii- qn'on aura aussi 

|U(P)-U(Mo)l<3£, 

lorsque Mo I* >»-ra infcrieur a z' . 

I^a dellnilion des iute^rales unifornic-ment convergenles dans le 
doniaine dun point st'-lend aux integrales doubles et aux inte- 
grales triples. Supposons que le point I* puisse occuper toutes les 
positions dans res[)ace, tandis que le jioint M est assujctti a resler 
sur une surface -. Nous dirons encore que I'integrale de surface 



viP)=j'jmM, P)./7 



est uniforniement convergente dans le doniaine d'un point Mq 
de }i] si, etant donne un nombre t positif, on j)eut trouver une j)or- 
lion S' de I enluurant le point Mq, el un nombre positif o, tels 
que pour tout point I* pris a 1 inlerieur de la spliere de rajon o 
avant pour centre M,,. la valeur absolue de rinteyrale 



ff u(M,V)dz 

soit inferieure a t. Enfin, si le j)oint M decrit lui-nieine un domaine 
a trois dimensions D. on dira que I'integrale trij)le 

IJ(P)= I f f u(M, P)ch 

est uniformemont convergente dans le domaine d'un point Mq 
de D si, etant donne un nombre positif £, on |)eut trouver un 
domaine D' renfermanl M,, a I'interieur et un nombre positif o 
tels que, pour tout point l^pris dans la sphere de rajon p ayant Mo 



I. — FONCTioNS iiAHMONK>UHs. iNTi';(;nAf.i: i)i: polsson. 175 

pour centre, la valeur aljsolue de rintei;rale triple 

f f f «(M, P)dv 

soil inferieure ii z. 11 n y a rien a cliang;er a la demonstralion pour 
prouver dans les deux cas que L (P) est continue au point Mq. 

oOo. Potentiel logarithmique. — Des integrales particulieres 
de I'equation (i) citees a la iin du n" 503, on peut deduire une 
infinite d'autres fonctions harmoniques par des quadratures. Nous 
n'etudierons d'abord que les fonctions representees par des inle- 
j^rales definies, prises le long dune courbe C. Sur les courbes C 
dont il sera question dans la suite, nous ferons les hvpotlieses sui- 
vantes : nous admettrons qu'elles se composent d'un nomhre Jin i 
d'arcs de courbe tels que les coordonnees dun point qui decrit 
I'un d'eux sont des fonctions continues dun j)aranietre admettant 
des derivees continues. Ces conditions sont evidemment remplies 
pour une courbe qui se compose dun nonibre fini d'arcs ana- 
Ijtiques (I, n" 198), mais il y a interet pour la tlieorie a ne pas 
se limitcr a ce cas. 

Soil [JL une fonclion qui prend une valeur determinee en chaque 
point M de C, el qui varie dune maniere continue avec la posi- 
tion de ce point, par exemple, une fonction continue de Fare s 
conipte a partir dune origine fixe arbitraire. L'integrale definie 



(6) V = Tulog 



/• ds. 



oil /• est la distance dun point variable M de G a un point fixe P 
du plan, et ou ds est essentiellement positif, represente une fonc- 
tion liarmonique des coordonnees (a, b) du point P, dans lout 
domalne ne renfermant aiicuri ])oinf de C. Cela resulte des pro- 
prietes de log/-, et de la formule babituelle de diU'erentiation sous 
le signe integral, qui est ici applicable, puisque 1 integrale (G) et 
celles qu'on en deduit par differentiation uOnt aucun element 
infini. On appelle cette fonction V un potentiel logaritJunique 
de simple couclie {cf. Chap. XXVIIIj. 

La fonclion V(a, b) est continue snr la courbe G elle-nieme. 

11 sutlit de prouver que lintegrale / 'x\o'^{ r) ds eH uniformement 



I7*> CIIAl'ITRK \\\ll. — 101 VTIONS I.INKVIUKS Dl TVl'E KLI.ll'TIQI li:. 

converijouto dans Ic domaino d uii point M,, do (.. Prenons pour 
origlne le j>oint Mo- pour axes des x et des y la langenle ct la 
nonnale en ce point, el soil C un petit arc tie C, reprcsente j)ar 
re(|iialiony = /"(.r\ ou x varie do — // a -h //, // etant un noinbre 
positif assez petit j)our tpie cet arc C soit a rinteneur du cercle 

de raven - dt'crit tic lorigine pour centre. Soicnt Cr, un cercle 

concentrique ile rayon z_/i. ct \U(i, b) un point interieur a Cp. 
La distance /• du point P a un point M de C est inftirieure a 
I'unitti; endesignant par H une limile superieure de |[JlI\/i -\-f'-{x} 
sur une portion de G renfermant I'arc C, la valeur absolue de 

est infcrieure a 
— H / log[v/(-r — a)'--^{y — b)-\dx<_ — IF / log( |.r — a] ) <;/x; 

«- —h "-■ —It 

a ctanl compris entre — A ct + A, cetle dernicre integrale est 

r'' 

elle-menie infcrieure a — aH / log(^) dt et tend vers zero avcc h. 

<- 

On elendrait aiscment la dt^-monstration au cas ou Mq est un point 
anguleux de C. Au contraire, les dt^rivees partielles de V eprou\ent, 
quand le point P traverse la courbe C, des disconlinuitcs qui 
seront t^tudiees plus loin (Chap. XX\ 111 ). 

On obtient encore des fonctions harmoniques en remplacant, 

dans la formule ((3), log/' par -co5(/\ ).), ou cos(/', A) designe le 

cosinus de Tangle que fait la direction Ml* a\ec une direction 
arbitraire issue du point M, indt-pendante de la position du 
point (rt, b), car nous avons reinarque que celte expression est 
une fonction liarmonique de (a, b), quelle que soit la position du 
point M. Si Ion prend en particulier une direction sur la nor- 
male en .M au contour C, on obtient Je poleiilici loga]-illinn'<iuc 
de double coiiche 

(7) \V= fix^ds, 

Z' etant Tangle de la direction MP avcc une direction choisic sur 



I. — FOXCTIONS IIARMONIQIES. INTEGRAI.E DF, POISSOX. 177 

la norinale fii M; AV est encore line fonction harmoniqiie des 
coordunntes de P, dans tuiil doniaine nc renfermanl aucun point 
de C, mais elle est disconlinne, (jiiand I* traverse le contour 
d"inte<^ration. Pour ('ludier celte disconlinuitr, nous supposerons 
que C est une courbe fermee sans [)oint double, el ([u on a prls la 
direction interieure sur la normale. 

Si a se reduit a une constante, I'integrale / —^ c/s, a laquelle 

on est conduit, u une signification geometrique, qui met en evi- 
dence la discontinuite. Elle est egale, en effet, a Tintegrale 



.,( 



, r — fj r ( T — a ) dy — ( r — h \ dx 
aarclang' = / 



af-^{y — bf- 



prise le long de G dans le sens direct. On le verifie au moyen des 
formules dx = ds cos ,3', dy = — ds cos a', ou a' et |j' sont les angles 
(comptes de o a -) que fait la direction de la normale interieure 
avec Ox et Oy (voir p. 179). 11 suKit encoie de considerer le 
triangle infinitesimal PMM', ou M et M' sont deux points infi- 

nmient voisins de L., pour reconnaitre que ■ — ^-^ as est ega) a 

Tangle dio, afiecte dun signe, sous lequel on voit du point P 

lelement dare MM'. L'integrale / — ^ ds est done egale a 2-, si 

• c ' 
le point P est interieur au contour C, et a zero si le point P est 
cxterieur a ce contour. Si le point P est un point ordinaire du 
contour, I'integrale est egale a t:; en un point anguleux du con- 
tour, elle est egale a I'angle a sous lequel se coupenl les deux 
langentes, compte de o a 2- dans le sens convenable. 

L'etude de ce cas particulier sulfit pour montrer que linte- 
grale (7) nest pas uniformement convergente dans le voisinage 
dun point Mq de C. Supposons par exemple que Mq est un point 
ordinaire de G, et soit G' un arc tres petit sur lequel est Mq ; si 
Ion neglige la variation de -j. le long de C', on volt que I'inte- 

, r ros-:; , •!>•'• - r' ■ 

grale / a — 7^ "s", pour un j)Oint 1' inlerieur a L. tres voism 

de Mo, est a peu pres egale a --jio = '7:|jl(Mo), tandis quelle est 
tres voisine de zero j)Our le point Mq lui-meme. Mais lintegrale 



(8) 

G., III. 



I(P) = f(,j.-,^j.,)S!!ll ds 



i->i I IIAI'ITHK \\V||. — KOIATIONS MNKAIIUCS 1)1 TVI'K ICI.I.IPTIOIK- 

esl taiifornir/nt'/if convrriicnlc ilmis Ic donidinc dii pDi'nl M„. 
Supposons, on cHrl. Tare C assez jx'lil [loiir qiioii ail 

|:x(M.-;i(Mo;I<£. 

en lout j)oinl .M *\o (7. Pour un point (juclconque P voisin de Mo, 

1,1 v.ileiir absoliio ^\i' linlegrale /(;-«• — |-'o) — 7-^ '^^•"» est inferieurc 

• c ' 

a .1-1. et j)ar consequent pent otre rendiie molndre que tout 
nonibre donne, en prenant Tare C assez petit. I/integrale 1(P) 
esl done continue au point M,,. 

Cela etant, designons par Wq la valeur ile Pintt-grale (7) lorsque 
le point P est en M„, j)ar \\',o et W^o les \aleurs liniites de W(P) 
lorsque le point P tend vers le point Mo en reslanl a Tinterieur 
ou a lexterieur de C. Si le |>oint Mo est un point ordinaire du 
contour, on a I(Mo) = Wo — -jjlq, et d'autre part la limite de 1(P) 
est \\ ,0 — 2t:|jlo ou W^o, suivant que le point P tend vers Mo en 
restant a linterieur ou a I'exterieur du contour. En ecrivant 
que I(P) est continue an |)oint M,,. on a les deux egalites 

Wo — T.[lo = W,o — '^-uo = WcO, 

dou ion deduit les relations fondamentales 

( 9 ) W/„ = Wo ^ -;jio , W, = Wo — - [J-n ■ 

En un point anguleiix 011 les tangentes font un angle a, ces 
relations doivent etre reuiplacees par les sui\antes 

(9/ W/o= Wo-i- (-IT. — a);jLo, Wt.o= W,, — x.'JLo. 

oOO. Seconde formule de Green. — Dans le cas particulier de 
I'equation de Laplace, la formule generale (4i) du n" 497 prend 
la forme simple 

ox\'dx ox J (fy \ <)j ^y I 

Si les fonctions 'i et 'j sont regulieres dans un domaine D 
limite par un contour ferme C, on a done, d'apres la premiere 
formule de Green (1. u" 1^23), 



I. — KONCTION'S HAR.MONlyriiS. IXTEGKVLi: DE I'OISSOX. 1 79 

rinli'grale ciirviligne etant prise dans le sens direct le long du 
contour C. Solent a et |j les angles (comptes de o a t:) que fait la 
direction MT de la tangente a G dans le sens direct avec les axes, 
a' et [j' les angles de la direction inlerieure MN de la norniale avec 
les monies axes. II est clair qu'on a cosa cosa'+ cos^3 cos ^i'= o. 
D'autre part, siipposons que par un point Af de G on mene deux 
demi-droites ^[x\ Mr' respectivement paralleles a Ox et a O j' ; 
une rotation qui amene ^ix' sur MT amenera aussi Mj-' sur MN, 
et par suite on a cos j'=cosa, ce qui entraine cosa'= — cos^. 
On pent done reniplacer dx par cos^i' ds et dy par — cos a' ds dans 
I'integrale curviiigne, et la formule precedente devient 

/ I {z 11 — 'l \-:.)dxdy = f 'l ( -^ cos ^' -r- -^ cos 2,'] ds 

— / '^ — ^ cos a -; cosp \ds. 



00 yO f^\J (i\J 

Or -^cosa'H — -^cos,3' -^cosa'-H ^cos3' representent preci- 

ijx Of ^ Ox '^.y 

sement (n" oOl ) les derivees -^^ —r-j prises suivant la normale 
^ ' dn da ' 

interieure, et nous obtenons ainsi la nouvelle formule de Green 

Nous ferons remarquer une fois pour toutes que, dans cette 
integrale et dans toutes les integrates analogues, ds est essentiel- 
lement positif, ef, j)ar suite il n'y a pas lieu de specifier dans quel 
sens le contour est decrit. Ce contour pent se composer de plu- 
sieurs courbes fermees distinctes, mais la direction de la normale 
interieure au contour est toujours celie qui penetre dans le 
domaine D; elle coincide done avec la direction exterieure de la 
normale a la courbe geometrique lorsque celle-ci limite interieu- 
rement le domaine. II est essentiel aussi d'observer que cette 

formule (lOj, ou figurent -t^» ^> suppose que les derivees par- 
lielles — ^, — ^, • •• ont des valeurs finies sur le contour. Ouand on 

Ox Ox ^ 

dil, par exemple, que — ^ a une valeur finie en un point M de G, 
cela signifie que la valeur de — ^ en un polut in de D, situe sur la 



I So CIIVPITRK \\VII. — EQUATIONS LINKAIUKS HI TYPE EM-IPTIQIT:. 

parallt'le a Ox menee par M, tend vers uao limite lorsque ni lend 
vers M, el de int-ine pour les aiilres. Ges conditions sont certaine- 
ment vc'riliecs si 'j> el <l sonl rei^iilieres dans un domaine a lintc- 
rieur ducpiel est silue le contour C, niais cette condition n'cst pas 
necessaire: nous n'avons besoin d'aucune hvpollicse sur les fonc- 
tions 'J et •!/ en dehors du contour. 

I)e la (onnule g:encrale (lo), on dcduit plusieurs forniules par- 
liculicrcs luiporlantes. Si s cl -h sonl deux lonclions harnionicjues 
dans D. die de\ient, en remplacanl o et 'l par U et V, 

(in (\J —. \ -r- ) ds = Q. 

Prenons encore -i/ = i , etremplacons C5 [)ar une fonclion liarnio- 
ni(]ue I ou le carre L - d'une fonclion lianuonique; nous oLtenons 
U'S deux nouvelles forniules 



{\i) I —7- as = o, 

La premiere de ces relations caraclerise les fonctions harmo- 
nicpies, car le premier membre est egal, d'apres la formule gene- 
rale (10), a — / / WJdxdy el, par suite, lintegrale (12) ne 

pent etre nuUe, cpiel que soit le contour C.. que si Ion a idenll- 
quemenl AL = o. 

507. Application aux fonctions harmoniques. — Soient P un 
point <]u domaine D de coordonnees {a. b) et L(j.', y) une fonc- 
lion liartnonifjue dans cc domaine. Posons V^logr, /• etant la 
dislance du point P a un point variable (.r, j^), et appliquons la 
formule generale (i 1) au domaine D' limite par le contour C et un 
cercle Y decrit de P pour centre avec un rajon p assez petit pour 
fju il soit tout enlier a I'interieur de D. Les fonctions U et V etant 
regulieres dans D', nous avor)s la relation 



x< 



d\(>zr , dXi \ , r/\.d\>>i:r , dlj \ 



\ 



I. — FONCTION'S IIARMONrQUES. INTKGIUI.K I)K POISSON. l8l 

les derlvees -7- le lonjr de v elanl prises siiivant la direction intc';- 
dn o , i 

rieure a v. L'integrale curviligne sulvant y est, par suite, indepen- 

dante dii rayon p. 11 sufllt done, pour avoir sa valeur, de cherclier 

sa liniile pour = o. La seconde partie de celte integrale peut 

s'ecrire / -r- loir c/'i el teud evidemment vers zero avec 0. 

( Kiant a la premiere [lartic, remarquons que le long de v, on a 

dloiir I , , 

— -^ — = , as = p dv, 

dn p 

et cetle integrale peut s'ecrire 

— / [Uia, b) -i-z]d'f, 

z elant infiniment petit avec p. La limite est done egale a 

— 2 7:U(a, b) 
el nous obtenons la formule fondamenlale 

(13) U(a, f^)--\^ ('^="'-777. -^ ^f-)^^' 

les derivees -j- etant loujours prises suivant la normale interieure. 

II est a peine besoin de laire remarquer I'analogle de ce resultat 

avec la formule fondamenlale de l'integrale de Gauchy (II, n"291) 

dont on pourrait, du reste, le deduire [Exercice 1). 

Si le contour C est une circonference de rayon Pi et de centre P, 

II 1 /^ I 1 r> d\osr 1 

on a, tout le Jong cle (_j, Jog/' = JogK, . = — tt ^t, en tenant 

compte de la relation (12), on obtient Xa forum le de la moyenne 
dc Gauss 

<i4) U(a, 6)=-^ / Urf5 = — / \}{'\)d^, 






U(t|/) etant la valeur de I a Textremite du rayon qui fait un 
angle <]> avec une direction fixe arbilraire. II est aise d'en deduire 
i\uune fonction havnionique ne peat avoir ni maximun} ^ ni 
niininiuin (Cf. n" 503). Supposons, par exemple, que U(j:, y) 
soil maximum au point P. Decrivons de ce point pour centre un 



i8i chapithk wvii. — i:oi'ATions mm-:aiiu:s m type klmi'Tkh i:. 

cercle G de rayon assez pelil pour quon alt, en tout |)()inl de C, 
U('^)<;L (<7, h). II est clair que Tegalile ^i4) serait impossible. 
La dcinonslralion s'appli(|iie aussi an cas ou U(.r, r) aurait en P 
un inaxiinuin inipropre. L'liypolhese oii I ('}) scrail constaniment 
egal a la valciir do I an point I\ aussi petit (juc soit le ravon de C, 
est evidennnent a rejeter, car la lonction se reduirait a une con- 
slanle (n" o03). 

Soient A et H les valeurs maximum et minimum d'une fonction 
harmonique Ic long dun contour C. Celle fonction ne pent prendre 
aucune valeur superleure a A, ni inferieure a B, a Tinterieur de C, 
III' ces valcnrs V ct B cllcs-niemes, car elle aurait forcement un 
maximum propre ou impropre en un point intcrieur au contour. 

L ne autre consequence imporlante est celle-ci : on dit (juune 
fonction m(t, i'), definie a Tinterieur de C, prend la valeur ^j, en 
un point M de C lors([ue la difference Mp — w,| tend vers zero en 
meme temps que la distance MP, P etanl un point quelconque 
intei'ieur a C. II ne pent exister plus dune fonction harmonique a 
I'interieur d'un contour ferme C, et prenant une valeur donnee en 
cliaque point M dc C. cette valeur variant d'une manicre continue 
a\ec la j)Osilion du point M. En effet, s'il en existait deux, leur 
diflerence serait une fonction liarmoniquc a linterieur de C, s'an- 
uulant tout le long de C; si cette difference netait pas identique- 
ment nulle, elle aurait forcement un maximum ou un minimum a 
I'interieur de C, ce qui est impossible. La formule (i3) ne donne 
pas la solution du probleme, appele probleme de Dirichlet^ qui 
consiste a determiner U, connaissant ses valeurs sur C, car le 

second membre renferme U et -^- II resulte, au contraire, de ce 

an ' ' 

qu'on vientde dire qu'on ne peut choisir arbitrairement les valeurs 

de U et de -j- le long de C; la formule ( i3) renferme done des 

donnees surabondantes. Ceci n'est point en contradiction avec 
les theoremes d'exislence de Cauchj, car le probleme a resoudre 
est tout different du probleme de Caucby. D'une part, le con- 
lour C qui porte les donnees, et les donnees elles-memes ne sont 
pas forcement analytiques. D'aulre part, il s'agit de determiner 
une fonction dans tout Vintej'ieur d'un contour ferme, et non 
point seulement dans le voisinage d'un arc de courbe, de part 
et d'autre de cet arc. 



I. — FONCTIONS IIAHMOMQIICP. INTKCiRAI.K I)K POISSON. I S3 

o08. Integrale de Poisson. — Les proprietes dii potentiel de 
double ccmclie conduisenl f'acilcnient a la solulion du prohleme de 
Diriclilet lorsquc le contour C est une clrconference. Soient U(]M) 
une fonclion qui varie d'une maniere continue avec la position du 
point M surC, P un point intrrieur. Le potentiel de double couclie 

(i5) V(rt, 6)= /"u(M)^^ f/5, 

Oil /• et '^ onl le sens liaj)itiiel, est une fonction liarmonif[ue des 
coordonnees (a, b) du point 1*, a I'interieur du cercle. Lorsque le 
point P coincide avec un point quelconque de C, on a, pour toule 
position du point M sur ce contour, /• :^ aPv cos'^, Pt <'tant le ra^on 
du cercle, et, par suite, I'integrale (i5) a une valeur constante 

en un point quelconque de C. D'apres le theoreme general du 
n''oOo, lorsque le point Pinterieur an cercle tend vers un point Mo 
de la circonference, la fonction V(a, b) tend vers 

La fonction representee par lintegrale definie 
(.6) \j{a,b)=^ fij^M)(^S^^J^y/, 

fournit done la solution du probleme de Dirichlet pour le cercle. 
On ecrit habituellement cette integrale sous la forme suivante, 
consideree par Poisson. Le centre du cercle etant pris pour ori- 
gine, soient (o, H) les coordonnees polaires du point P, (l\, 'h) 
celles d'un point M de C. En tenant compte des relations 

p2 = R2-^ r- — aR/- cos 9, /•- = ]\--i- s- — aRp cos('I^ — 0;, 

la forniule (16 j s'ecrit sous les formes eqiiivalentes 

(>7) 






{\\-^rJ)(Pj 



1 Rp cos( ']/ — j 
ou Ton mety"('L) au lieu de L (M). 



l84 lllVPITRK \\\11. — KQUATIONS I.INKVIHIIS Dl TVPi: IM.I.ll' TIQUK. 

La lormule (^17) peul aussi sedcdulre de la formulc generale (i3) 
au movon dun nrtiliro, f(ind<'' siir iiue proprit-te j^f'oiiK'lriqiio de la 

cirronfcmiif'. tiiii ptMiiiol d ('liiiiiiior — ,-- • Si)i('nt I', Ic (•(imiu'iik'; 

1 I ,in .1 o 

harmoiiiipie ilr I* par rapporl au\ cxln'-inilt'S dii diainrlif |)assant 
par I*, rt /•, la dislancc de P, a ui\ point (.r, 1). La fonclion lo{j/i 
r-lanl iiiiiinoniipit' i"i I mlerieiir dii ctMcle C, nous avons la relation 

U ('tanl la fonolion luninonique cherchre, dont on se donne les 
valeurs sur C. Ln ajoutanl les relations (i3 ) et ( i))', il vient 

car le coeKicienl de —j- sons le sij;iie inl(''^ral est log( — 1) qui reste 

constant sur C. ct, par suite, Tintegrale correspondante est nulle, 
d'apres la relation (12). Soient 0, p, les distances OP et OP,, 
csi Tangle de la normale interieure en un point ^^ de C a\ec MP,. 
On a les lelalions 

dn /■ dri /•, " /• p 

C5 = 1\I -(- /-i — 2 R/" COS'v, of = R- -f- /f ■>. R/i COS'^i, 

d'oii Ton <Jeduit, en eliininant '^, 'i,. /•,, p,, 
ros'v cos 91 R- — p- 

ce qui j)rou\e Ijicn ridcntitt' des forniules (17) ct (18). Cette 
seconde d(-nionstralion est moins complete que la premiere, car 

ellc suppose (pie -^ a une \aleur finie le long de C, et d'aulre 

part, elle no prouve pas que la valeur de Tintegralc ( r8) lend hien 
vers la \aleur donnt'-e de L en un jjoint M de C lorsque le point P 
tend vers le poini M. 

yipplication. — Supposons /"(-l^) ^o le long de C; L(rt, h) est 
alors positif pour tout point interieur. Comme /• varie du mini- 



I. — roNCTION.S IIAHMON[QLES. INTKGaAM-: Dl!: POISSON. l8) 

mum R — au inaxiimnn R + p, on a ('vidcmment, en remplacant, 
successlvenienl /• |)arl^> — z et par R + o dans la formulc (17), cl 

en ohsprvanl (pn^ / fcl))d'l=z 9tI ,,1 

• 

(19) R— 7 ^"<^'*<ir^. ''"' 

I et L|, elanl les valeurs de I («, h) au centre du cercle et au 
point P. On en dedult que la valeur absolue de Up — Uq est infe- 
rieure a la difference des deux tcrmes extremes de cette double 

inegalile t-^ — ^ I o- ^^' m^P function harmonicpie U est reguliere et 

positive dans tout le plan, on peut supposer le nombre R. aiissi 

grand qu on le vent, et, par suite, t— — '—; L plus petit que tout 

nombre donne. On a done L,, = L 0, ce qui prouve que toiite 
foiiclion harmonique positive dans tout le plan se reduit d une 
conslantr. 

Plus gcnc'ralement, toute fonction harmonique dans tout le 
plan, qui est bornee dans un sens, est une eonstante. En effet, 
si Ton a j)ar exemple U(j7, y) << C, la fonction C — U(:r, y) est 
line fonction barmonique positive dans tout le plan. Cette propo- 
sition correspond au tlu'-orc'ine de Liouvdle (II, n" 29i). 

Gonsiderons encore le cas 011 la fonction y"('!; ) presente sur le cercle un 
nombre fini de discontinuites de premiere espcce. L'integrale de F^oisson 
repit'sente encore une fonction iiarmonique a I'interieur du cercle. Lorsque 
le point 1* intt'iieur au cercle tend vers un point M du cercle oil f{'^) est 
continue, la limite de l'integrale est encove. f{^Y)\ il n'y a rien a changer 
au raisonnement. II nous reste a ctudier comment se comporte la fonc- 
tion U(a, 6) dans le voisinage d'un point de disconlinuite de f{'^)- Pre- 
nons d'abord le cas particulier ou f{'^^) = (I'l 't' etant Tangle au centre 
romple dans le sens direct de — t: a -t- r a partir du rayon OA' oppose au 
rayon OA qui aboutit a un point de disconlinuite A. 1^'integrale ((6) peut 
s'ecrire 



( •>.() ) u( a, b ) 



= i(.(^-^)- = ^.-. 



o) etant Tangle, comple de o a :>.- dans le sens direct, que fait la 
direction PM avec une direction fixe; il est evident, en elTet, que Tinte- 

/* ^5 cos 'J 

gralo I '^i -yc e>t nulle, landis que ' ds est egal a </(o (n° 50d). II est 



l86 niM'ITRK WVll. — KQl ATIONS I-INEVIUKS III TVPi: KM-IITIQl IC. 

olair que. -i le point V est siir le tliamclro qui passe au point A, <>n a 

tt{(l, I) ) = o, 

car Ics elements syinctriques par rapport au diamelre se detruisent deux 
a deux. Si P n'esl pas sur ce diametre, <oii Ai une des extremiles du 

diametre passant par P. el Ut(a, l>) I'integrale - / 'l\dM, 'l\ elant 

" • c 
Tangle au centre comple de — - a -:- - dans le sens direct a parlir du 
rayon 0.\', oppose a OAj. D'apres ce qu'on vient dc rcinarqucr, »[( «, 6) — o. 
On pent done ecrire 



«( rt, b) = ii(a, b) — iti(a, b) 
= — I el — •!/ 1 I ch<} 



■ - lAM A,l 



le long dc AjMA, on a '^ — 'i/j = %(Jiff. 9J), tandis que Ic long dc AM'Aj, 

Fig. 9.3. 




'li — '!'i = ^ — 277. Par consequent 

u(a. b) = -ct(2- — ^j-l--(a — 2-;a = 2(a — 3) = 2-;. 

Par consequent, dans le cas de la figure, I'integrale u(a^ b) est egalc 

au double de l'angle'(, compte de — - d -^ - dans le sens direct^ que 

fait la direction AP a%ec la direction kO. II serait facile de vt'rificr que 
cette relation a lieu dans tons les cas de figure, niais il sulfit d'observer 
que, si elle a etc eiablie dans une parlie du ccrcle, clle subsisle dans tout le 
cercle, car les deux membres sont des fonctions harnioniques dans ce cercle. 
Prenons maintenant le cas general, ouy('i') a une discontinuite de pre- 
miere espece en A, L'angle <b etant comple, comme on vient de le dire, 
de — 7: a -T- r, a parlir du rayon 0.\', supposons qu'on ait /( r — o) = /, 
f{ — -—o)= m( I ^ ni). 



1. — l-0.\criO.\S IIAUMOMQLES. INTKGRALK DE POISSON. 1 87 

La difTerence /(•!/) ^— 'h est une fonctioii continue /i (■!/) dans le voi- 

1 • I • II I I -r~ m . ,,.,,, 

sinage du point A, qni pirnd la valeiir en ce jiomt, et 1 inlcgrale dc 

Poisson (17) est la somine des deux integrales 

•^ *" ^ "• fj ^ ' 

qui representent Tune et Tautre des fonclions lim inoni([ues dans C. Lorsque 
le point P tend vers le point A, la liniile de L i(rt, h) est egale a j 

tandis que la iiniite de -— - ?<(«, b) depend de la faeon donl le point P 

■ , . . . , I — in , I — m ,, . ,. 

tend vers le point A, et vane de — ■ a • Jin particulier, si le 

point P deciit le rayon OA, la limite de U(rt, 6) est — '■ Lorsque le 

point P se rapproclie de A sans que la direction AP ait une limite, il ny a 
pas non plus de limite pour U(a, 6) ( • ). 

rJOO. Relations avec la s6rie de Fourier. — L'integrale de Poisson est 
etroitement liee a la theorie des series trigonometriques. Nous poserons, 

pour siniplifier, R = i, ce qui revient a ecrire p a la place de ^' Une 
decomposition en fractions simples nous donne 

1 — p- I I 



1 — 20 cos to -+- p- I 

d'autre part, on a, p etant inferieur a i, 

. = I _^ pgWi _|_ p2 g2(0 

I r otjil ' t^ 



;« gUhll . 



et une identite analogue obtenue en changeant i en — i. On aura done 
aussi en Ics ajoutant 

-(- 00 

I -t- •>, 7 p" COS/iOJ, 



1 — 20 cos W -i- p^ 



la serie du second membre etant unifornie merit comergente puisqu'on 
suppose p < I. Remplacons (0 par '|i — 0, multiplions |)ar /(di) et integrons 



(') M. Fatou a etudie rinlegraie de Poisson en faisant sur f{'^) des hypo- 
liiescs beaucoup plus i;eiicrales. {Acta mathematical I. XXX, 1007O Voir aussi 
un .Memoire recent dc M. Lichlenslein dans le Tonic I'll dn Journal de Crelle, 
p. 12. 



lR8 (IIMMTUK \\VII. — KQIATIONS LINKAIRKS \M TVPE KI.I.IPTIQUi:. 

(Milio o et ■> t: : hi fonmilo i 171 doviont 

V{a,b)=-^f /(<^)</'>-^ :^ y ?" / /'C,<!/)cos«(4/ — 0)rfi, 
nu oncoie 



(21) U(<?. i) = — -t- ^p"(a,j cos/iO -h p„sin«0), 

n = l 

a„ el 'i„ rtant precisement les coefficients de la serie de Fourier relative a 
la fonclion continuey(6) (I, p. 5o2). Reinarquons que ce developpemeni 
de U(rt, b) e«t ideiuique a la partie reelle de la serie entiere en ^ = a ^- ib 

V\ z\= "^ -+- y ( a„ — / ;i„ ) (" rt -(- iby , 



qui est certainement convergente dans le cercle de rayon un, car les 
valeurs absolues des coefficients a„ et p„ sont inferieures a la borne supe- 
ricurc de |/(6)| ( >/. n" o03). 

La formule ( /ii ) est etablie en tons les points interieurs au cercle de 
layon un; si la serie de Fourier deduite dey('ii) est convergente pour une 
valeur de 'I/, legalite subsiste pour p = i, = 6. En effet, lorsque le 
point (a, b) se rapprocbe du point fcos-i/, sirnl/) dn cercle suivant le 
rayon, la limite de lJ(a, b) est /('i;), tandis que, d'apres le theoreme 
d'Abei, la limite du second niembrc est egale a la somme de la serie 
obtenue en posant = 1,6 = 6. 

Mais, sans faire aucune hypothese sur la convergence de la serie de 
Fourier, la theorie de I'integrale de Poisson montre qu'on a toujours, 
pour une function continue quelconque^ I'cgalite 



(22) 



/(6)= lim - — y p«(a„cosn-]^-F p„sin/i'V) 



an, an, P« elant les coefficient* de la serie de Fourier deduite At f{^). 
M. Picard en a deduil une elegante demonstration dun theoreme de 
Weierstrass (voir plus loin, n° .j31). 

Inversement. on pourrail se proposer de deduire rintegraie de Poisson 
de la serie de Fourier. Soil f{^} une fonction continue de periode 'it. 
develop|)able en serie de Fourier 

-t-« 
(23) f{'\)-=. — -^/,( ^/i cos n <\ -4- 3,; sin n 6 ). 

n — \ 

La serie (21 ) obtenue en prenant pour ao, ot/,, '^n les memes valeurs que 






I. — FONCTIONS IlVltMOMQl ES. INTEGRAI.i: DE POISSON. 1 89 

dans la seiie ('23j, est uniformement convergente dans tout cercle de 
rayon p <i, decrit de I'origine. On pent done appliquer a cetle serie les 
transformations inverses de celles qui onl ete ell'ectuccs, et remontcr dc 
cette serie a I'intofrrale de Poisson. La fonction ainsi obtenue 



U(a,b)=^ f"'/rl)- 



I — 0- ) d'\) 



1 p COS( 'h — j 



represente bien une fonction harmonique a I'interieur de C. Mais, si cette 
integrale n'avait pas deja ete etudiee directement, nous ne pourrions 
affirmer qu'une chose : c'est que la valeur de U(rt, b) tend vers f('l^), 
lorsqne ie point (a, b) tend vers le point ( cos'i/, sin'V) suivant le rayon 
qui aboutit d ce point. La premiere demonstration est done plus complete 
et, en outre, elle ne suppose pas (\\\efi'b) est developpable en serie de 
I'ourier. 

oIO. Theoreme de Harnack. — Le iheoreme de Harnack est 
I'analogue du theoreme de \\ elerstrass sur les series de fonctions 
holomorphes (II, n" 297). Soient Uq{x, y), ii{{x, y), ..., 
u,i{.x, y)^ ..., vine suite de fonctions harmoniques dans un 
domaine fini D, liinite par un contour T , pouvant se composer 
d'une ou plusieurs courbes fermees. Si la serie 'Eui(x, y) est 
uniformement coriK'ergente le long de \\ elle est uniforme- 
ment convergente dans le domaine D. 

Soit U/ la valeur de iii{x,r) en un point de V. D"aj>res la defi- 
nition de la convergence uniforme, t etant un nombre posilif 
arbitraire, nous pouvons choisir un nombre entier n tcl ([u'on 
ait, en un point quelconque de F, quel que soit/>, 

I u„+i -f- U„+2 + ...-+- Un+p i < ^ ; 

cette inegalite sera verifiee aussi pour la valeur maximum du pre- 
mier membre lorsqu'on decrit Y. Par consecpient, (^x, y) etant les 
coordonnees dim point quelconcjue inlerieur a D, on a done aussi 

ce qui prouve bien la convergence uniforme. 

La somme de la serie F(x, y) = 2_,^^i{^^ }') ^st une fonction 



continue dans D, et sur le contour lui-menic ; lors(pi"un point P 
de D tend vers un point M de P, la somme de la serie en i^ tend 



if)<> <ii\i'irni: xwii. — iauvtions i.im:aiki;s di tvim-. ki.i.iptiqii:. 

vtM> la xHiiiiii' (l«* la si'iu' (Ml M, (|U('II<' ([iif soil la lacoii doiit I* 
sc rappiorlio tie M. ('('tic f<ui<lion V\x^y) est lair Jonctioi) 
liarnwuii/ut' f/<i/is I). 

II snlTil t'-N idoinincnl de uroiivcr"" (|ii"il en est ainsi a riiil('ricur 
(1 1111 ci'icK" (|nt>l('on(|ii(> Ci conlciui daiis |). Soicul {•f, v) les coor- 
(luniii-es (I iiii |>()iul 1' mltTifiir a ( ", ; nous avons, d aprcs la loi'inule 

de Poissdii, 

I /",, R- — 0- , 
UH.V. ) ) = — - / U/ ., ds, 

^ i~^f^ l\r- 

R. z. r avanl Ic inOine sens que plus haul (n" 508), et U/ elant la 
Nalciir de it, en un jioinl de C. On en drduit 

ear la serie IL/ etant uniformemenl convergente sur C, il en est 

de lurme de la serie — ^i^U,, et Ton pent inlerverlir les signes / 

et ^ . La dernicre expression de F(x,j') montre bien que c'est 

une fonrlion liannonKjue dans C. On dcmontrerait de la meme 
faron tjue les derivees parlielles de F(a:,j>^) sont les sommes des 
series ohtenues en dinV'rentiant terme a terme la premiere (cf. II, 

P- 99)- 

Application. — Soient C, Gi deux cercles ayant pour centre I'origine, 
de rayon H el I'm ( H > H,), et U(o), \(o) deux fonctions continues pe- 
riodiques de periode 2-, satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Ges 
function'; sont developpables en series de Fourier uni/ormement conver- 
ire/tfcs i n" 493, p. i33) : 

T- ^0 XT'/ , 

U(o)= H 7 ( «« cosno -4- 6,j sinno), 

■2 .^d 



/i = l 



^('■f) = 7" -i- ^^{/^ncosri'.^ -i- ^,; s'lnn'c.). 



Le ilieoreme de Harnack permet de former aisement une fonclion har- 
iiionique dans la couionne comprise entre les deux cercles G ct Gi, et se 
ri-duisant a U('o) ou a \7'^) respectivenieiU sur ces deux cercles, o etant 
I'ar^'ument qui correspond a un point sur (J ou Gi- 



I. — I'ONCTIONS IIMIMONIQIKS. INIKGKAI.K Dli) I'OISSON. IQI 

Posoiis en eilet 

F(/-, G) = Ao^ Bolog/--f- ^ [( A,„ r'" -{- B,„ /-"' ) cos m o 

-■■- ( G,„ /•'" -i- D,„ r-'" ) sin /?i q ] , 

A,,j, B,„, C,„, D,;, (Jlani dcs coel'licienls constants. Tons les terines de cette 
serie sent des fonctions liai inoniques dans la coiironne consideree, coinme il 
resulte de I'egalite z~"' = /•-'"( cosnio — i sinmcp). Il suffira done, d'aprcs 
le theoreme de Harnack, de chbisir les coefficients de facon que la 
serie ¥ ( /\ o) se reduise a Ui^o) pour /• = R, et a V('^) pour /• = Ri. On 
obtient ainsi les relations 

Ao4-BoLogR = ^, A,„R'" + B,„R-'" = a,„, C„,R"' + D„, R-"' = 6„,, 

A„ -h Bo Log r*M = ^ ' A,„ R'/' -:- B„, R7'" = a„„ C,„ R'/' -f- D,„ R7'" = p„„ 

qui deterniinenl ces coefficients. 

Lorsque loiites les fonctions harmoniques d'line suite sont posi- 
tives clans un domaine connexe D, on a le theoreme siiivant : 

Si la serie 7 uiix^y'), dont tons les terines sont des fonctions 

harmoniques positii'es dans le domaine D, converge en ujv 
point O a linterieur de D, elle converge en tons les points 
de D, et sa somme est ane fonction liarmonique. 

Du point O comme centre, decrivons un cercle C de rajon R 
assez petit pour quil soit tout entier a linterieur de D, et soit P 
un point quelconque interieur a C, a une distance p <^ R du 
point O. D'apres I'inegalite (19) elablie plus haul, on a, pour 
loutes les valeurs de lindice ;', 

R-{- 
R — p 

ce qui prouve que la serie '^ai(x, y) est convergente an 
|)oinl I*. La meine inegalite prouve qu'elle est uniformement 
convergente dans tout cercle G de centre O, et de rayon R'<<R; 
elle re|)r('sente done une fonction harinonicjue dans ce cei'cle C. 
i'aitons mainlenant dun aulre point (Jj interieur a G el decrivons 
un nouveau cercle C| de centre O, interieur a I); en raisonnantde 
proche en proche, comme pour le prolongenient analytique, an 
moyen d'une cliaine de cercles(n, Chap. X^ 1), onvoitque la serie 



I()2 ClIAI'ITHi: \\\ll. — Kyi AXrONS I.INK.VIRES DT TMMC Kl.l.lPTIOl K- 

est convori;;onl»' I'li loiil point i\f I) cl rc[tit'>tnlt' un<' loiiclion li;ir- 
n)(iiii(|iic. II MMMit liicik' (1 «'l;il)lir, dr crllo f.i((m. (jiic \n sc'-rie con- 
verge iiiiirunmincnl ilans luul doinaiiir inlrnciir a I), c[ ii avaiil 
aiicun point coninuin avec la frontii'ie. 

oil. Prolongement analytique d'une fonction harmonique. — 
Happclons ilaliurd l,i ilflhiiliou d iiu <iir analvtiqur (I, n" lt>8). 
In arc dc courbe AB reprcsenle par Ics equations x^=/{t), 
V = '■2(/), ou le parametre t varie de a a //, est analytique si les 
dcii\ fonctions f{t), '^{t) sont developpables en series entieres 
onlonnecs suivant les puissances de t — /q dans le voisinai,'e de 
loute valeur /o comprise enlrc a el b\ \\ va de soi que les coeffi- 
cients de ces series doivenl etre des nombres reels. Si les deux 
derivees f'{io)i 'f '(^o) J^e sont pas nulles a la lois, le point M,, 
correspondant est iin point ortUnairc ou regulier. Si ces deux 
derivees sont nulles pour t = (q, M(, est un point singulier, a moins 
(pia un point M de Tare voisin de Mq ne correspondent plusieurs 
\aleurs de t voisines de to, d'apres le choix du parametre /. Un 
arc analytique sans point singulier est dil //// arc rcaulier. 

Soit u(x,y) une fonction des deux \ariables x, y definic dans 
un domaine D a 1 iuterieiir duquel est Tare analvtique AB. La 
valeur de cette fonction en un point de Tare est une fonc- 
tion F(i) du parametre t, qui sera evidemmcnt analytique si la 
fonction u{x^y) est elle-meme analytique dans D, et en particu- 
lier si m(x, y) est harmonique. Cela etant, soit m(x, y) une 
fonction harmonique dans un domaine D, limite par un contour T 
dont une portion est formee par un arc analylic|ue AB. Nous dirons 
(|ue celte fonction harmoni([ue u{x^y) |)eutetre prolongee au dela 
de Tare AB, si Ion pent Irouver une fonction LJ(x, )'), harmo- 
nique dans un domaine n-^, renfermant D et Fare AB, qui soit 
egale a u{x^y) dansD(c/". II, n" 342). Pour que le prolongement 
soit possible a travers AB, il est necessaire, on vient de le re- 
marquer, que la suite des valeurs prise par u{x, y) le long 
de AB forme une fonction ancdytique de t. M. Schwarz a 
demontre que la condition est suffisanlc si I'arc AB est regulier : 
Toute fonction harnioniquc dans lui domaine dont la fron- 
tiiire contient un arc analytique regulier AB pcut etre pro- 
longee au delci de cet arc^ si la suite des valeurs qu^elle 



I. — KONCnONS llAKMONigLKS. INTKGRALE DK I'OISSON. I<)3 

prend sur cct arc forme c/le-mrnie iinc fo/iction anafytique. 

Supposons daljoid que Tare Ali soil iin segment de Taxe des x 
el (pi'iine I'onction n(x,y), liaruionique dans un doniaine D situe 
aii-dessus de Ox el limlle en parlie par AB, soil uulle tout le long 
de ce segment. Soil D' le doniaine symetri({ue de D par rapport 
a Ox et i-(x,yi la fonclion qui en tout point P'(^, — y) de D' 
prend la valeur — ii(x,y), svmetrique de la valeur que prend 
u(x, y) au j)oint P symetrique de 1^'. 11 est clair que v(x,y) est 
liarmoniqtie dans D'; la Ibnction F(j", > ;, qui est egale a u{x,y) 
dans D, el h i-{x, y) dans D', est continue dans tout le domaine 
D + D'. II n'en resulte pas qu'elle soil harnionique dans lout ce 
domaine, car rien ne permet encore d'affirmer qu'elle admet des 
derivees continues en tout point de AB. Pour demontrer ce point 
essenliel, prenons autour d'un point quelconque de AB un seg- 
ment aS de Ox assez petit pour que le cercle G decrit sur a j 
comme diametre soil tout enlier dans le domaine D + D' ; la [)ro- 
position sera elablie, si Ton prouve que F{x,y) est harnionique 
dans ce cercle. Soient v, y' les demi-circonferences siluees respec- 
tivement au-dessus et au-dessous de a|j. 

Considerons la fonclion representee par lintegrale de Poisson, 
oil R, p, /• oat le sens habituel (n" 508), 

R2 — S2 






dans laquelle on prend |ji. = u (jt, y) le long de y et |jl = ^'{x, y) le 
long de y'. Celte fonclion U(.r, y) est liarmonique dans C; elle 
est nulle le long de a|3, car les elements symetriques de Tintegrale 
se detruisent. 

Celte fonclion L (x, y) coincide avec u{x, y) dans le denii- 
cercle superieur, et avec i^{x, y) dans le denii-cercle inferieur, car 
elle prend les nienies valeurs que ii[x,y) le long de y.p et de v, et 
les memes valeurs que v(x,y') le long de y.-i et de y'. On a done 
[j(x, y)= F(x, y) dans tout le cercle C. 

Supposons en second lieu que, le long du segment AB de Ox, 
une fonclion u(x,y), harmonique dans le doniaine D situe au- 
dessus de Ox, prenne une suite de valeurs formant une fonclion 
analylique f(x). Celte fonclion /{x), etant developpable en 
serie enliere dans le voisinage de tout point x^ de AB, est definie 
G., III. i3 



11)4 <:ii\i'iTm; \\\ii. — i;iji ations i.inkviiiks ol tvim: klmithjui:. 

par la mriiu> ilans mi (iomamc l\ ilii plan th" la variahle ("(im|)Iexc 
z = X -i- I \\ rentennaut le sei;incaL AB [\l, p. ;>. ^ i , note). I.a 
parlie ix-olle u^ [x^ y) tie colle rourlioii /(:•) est liarinoul(pie dans R 
el se reduil a /'(j?) le long de AB. Snpposons le diunaiiie I) siliir 
dans R; la diflerence //(.r, r) — m,(^, y) esl harnionique dans 1) 
el nulle le long de AB; on vient de demontrer tpi'elle pent elre 
prolongee an-dessous de AB. Conmie la fonclion Hi{jr,y) peul 
etre prolongee au-dessous de AB, il en esl de nienie de u[x,j'). 
Prenons enfhi le cas oii AI3 esl un are analylicjue reguller 
cjneleKnque, el soil ft(.i\y) une fonclion liarnionicjue definie d'nn 
cole de eel arc, el lelle que la suile des valeurs (pielle prend 
sur AB forme une fonclion analjlique du paranielre t. Nousallons 
nionlrer qu elant donne un point quelconque Mq sur AB on j)eul 
prendre aulour de M,, un arc a|B assez petit pour que la fonc- 
lion tt(.r, }') puisse clre prolongee a Iravers ajii. Soienl 

y = 60+ biit—to)^...^ b„(/ — f,,)"-r-. ... 

les dt'\eloppenienls de J^iy dans le voisinage de la valeur /„ qui 
correspond an jxiint Mo. Posons 

^ \ z = T -r- iy = ao-\- ibo-\-(ai-^ ibi)(7, — to)^. . . 

^^'^^ '/ -h(a„^ibn)(Z-to)"^... 

el soil /• un nombre positif assez petit pour que la scrie (24) soil 
convergenle lorsqu'on a |Z — ^qI^/'. I^a relation precedenle fait 
correspondre a tonl point du cercle v de rayon /• decril du 
point (X^^o? \ =0) eoinine centre, dans le plan de la variable 
coniplexe Z = X-|-fY, un point (x, y) d'un domaine (/ aulour 
du j)oi(it M|, du plan des xy. Les deux coefficients at et f), 

n'elanl pas nuls a la fois, -7^ n'esl pas uul |)onr Z = /,,. I^'equa- 

tion i'J.^) adinet done inversement une racine et une seule 
Z=C5(;) qui tend vers /„ lors(|uc z tend vers Z(,^= a^-h iOo, el 
celle racine '-^(z) est holoniorj)lie dans le domaine du point :;o- 
Nous supposerons qiron a |)ris le rajon /■ de v assez petit poui- 
que 'f (-) soil holomorplie dans lout le domaine d correspondanl. 
La relation (24) elablit alors une correspondance univoque entre 
les points du cercle v du plan des XY et le domaine d du plan 



I. — roNCTIO.NS II VUMOXIQIKS. INTHGRVLIC DK I'OISSON. Hj5 

cles.ry, avcc conservalion des angles; a Fare a^j de AB siliie dans d 
correspond \\n segment v'fj de I'axe reel dans le plan des \^ . 
La fonclion liarnionique nf^x^y) definie d'un cote de i'arc a|j se 
change en une fonction harmoniqiie IJ(X, Y) des variables X, Y, 
definie d'un cote dii segment y.' fJ de I'axe reel, et il resulte des 
hypotheses que la suite des valeurs qu'elle prend le long de a'Ti' 
est une fonction anahlique. Celte fonction U(X, V ) pent done etre 
j)rolongee de I'autre cote du segment a'^', et par suite u[x^ y) peut 
etre prolongee a travers Tare a[j. 

Lorsque I'arc AB presente des points singuliers, il peut arriver 
que le prolongement analytique ne soil pas possible a travers Tare 
tout entier. Par exemple, la partie reelle de \/x + iy\ qui est j)o- 
sitive a droite de I'origine sur Taxe des x^ est liarmonique a droite 
de la parabole semi-cubique t-= .r'. La suite des valeurs qu'elle 
prend sur cette courbe est analytique, car si I'on pose x^t'-, 
y ^ t^, on a \/x + iy = t \J i -j- it, et cependant I'origine est un 
point singulier pour cette fonction. Ce point divise la courbe en 
deux arcs reguliers, la fonclion harmoni([ue |)eut etre prolongee a 
traxers chaeun deux, mais les deux prolongements ne se raccor- 
dent pas a gauche dela parabole. 

Si une fonction ;^(.r, >') est liarmonique a I'interieur d'un con- 
tour C forme d'un certain nombre d'arcs analytiques reguliers, et 
prend des valeurs analytiques sur le contour, elle peut etre pro- 
longee au dela de cliacun de ces arcs, et les seuis points singu- 
liers possibles sont les points du contour ou se rejoignent deux 
arcs analvliques reguliers. En particulier, si le contour est forme 
(I iinseul arc analytique regulier, comme un cercle ou une ellipse, 
toute fonction harmonique a I'interieur, qui prend des \aleurs 
analytiques sur C, peut etre prolongee dans un domaine renfer- 
mant ce contour ( ' ). 

( ' ) Le Iheoreme de Schwarz prouve que le prublcnie de Caucliy se presente 

tout aulrement pour requalioii de Laplace que pour une equalion hyperbolique. 

Snient u{x, y), v{x, y) deux fonclious harmoniques dans un domaine I), a 

droite de Oy, limite en partie par un segment AB de Oy. Si, le long de AB, ces 

deux fonctions u et v se reduisent a une meme fonction dej)-, /(^')i I** dille- 

rence u — v est une fonction liarmonique tjui peut etre prolongee ^ gauche de O^', et 

d (u — v) ^ . , . , , , , . -, 

par consequent est une f(jnction analytniue de y le long du segment AB. 

II s'onsuit qu'on ne peut se proposer de trouver une fonction luniiionique m (x, y ) 



|f)6 CIIAPITRn WVII. — KylVTH)NS l.lNKAinrs 1)1" TVIM: KI.MPTIQl F.. 



11. — PROBLEMI-: DK DIKICULKT. FONCTION DK GHIiKN. 

-M^. Demonstration de Hiemann. — < )ii a dt'iiioniic plus liauL 
(|no le pix)blcine de Dirlchlel ne pouxail adincllrc plus dune solu- 
tion (^') el irouve ellectivenient celle solution dans le cas ou le 
contour est une circonference. Nous ailons niainlenant nous 
occuper du inenie problenie dans le cas general, et nous repro- 
duirons dahord la denionslialion par laquelle Ricmann etablil que 
ce problome. qu il appcile \c piincipe <Ie Dliiclilct^ adinet loujours 
une solution. Soil I) un doniainc borne, liinitc par iin contour T 
compose d'une ou plusieurs courbes fermees distinctes. Nous dirons 
pour abreger qu'une fonclion v{x^y)^ definie dans D etsur le con- 
lour r, appartient a la classe ( A) lorsqu'elle satisfait aux conditions 
suivantes : i" elle est continue dans le domainc D, y compris le 
contour F; 2" elle prend sur ce contour des valeurs donnees, la 
valeur on chaque point de F variant d une maniere continue a\ec 
la position de cc point: 3" elle adniet des derivees partielles con- 
tinues des deux j)reiniers ordres en tout point inU'vieur a D. 
Nousne faisons aucune hypolhese sur ces derivees en un point du 
contour. 

Pour toutes les fonctions de la classe (A), I'integrale double 

dans le domaine D, se reduisant pour a: = o a une fonction donnee f [y) le long 
de AI5, landis que — est egale a une autre fonclion donnee de y, g{y), ces 

deux fonctions /( J') et g{y) etant arbitraires. 

Soit en effet v{x,y) une fonction harmonique satisfaisant a la premiere con- 
dition: la difference — est une fonclion analvtique de y le long de AB, 

et par suite la fonclion giy) est delinie, a une fonction analylique pres, quand 

on se donne/(y). 

(') L'impossibilite de deux solutions pour le probleuie de Dirichlet pent aussi 

se deduire de la formule (ij) bis ( n° oOG). Cette formule prouve, en effet, que 

si une fonction U est nulle en tout point d'un conlour C et liarrnonique dans le 

. , , . dV] d\] 

doniaine inteneur a ce conlour, on a en tout point de ce domaine -— = — — = o. 

Ox oy 

[>a fonction est done constante el par suite nulle, puisqu'elle est nulle sur C. 

Mais cette demonstration suppose que U admet des derivees continues sur C, ce 

que n'exige pas la premiere demonstration. 



II. — I'UdiM.KMi-: i)i: r)iiuciii.F.T. konction dk gui;i:n. 197 

est evidemmenl |>osilive, a nioiiis (|iic // iie soil constant dans 1) 
el par suite sur V. Kcarlons ce cas 011 la solution est evidenle, et 
soit ((x, 1) une fonrlion de la classe (V) pour laquelle I'inte- 
grale 1 est ntininiiint . II est facile de demonlrer avec Riemann 
que v(x,y) est une fo notion liannonique. Soit, en elFet, ■r^(x,y) 
une fonction s'annulant sur T et continue ainsi que ses derivees 
parlielles des deux premiers ordres a I'interieur de D et sur le 
contour V liii-menie, et a un jjarametre arbitraire. La fonction 

u = i'( cc, y)-h oiT^ix, y) 

est de la classe (V), quel que soit a, et la difference 

doit etre positive. Or cette difference est egale a 

Pour qu'elle soit positive quel que soit a, il faul evideniment 
que le coefficient de 2a soit nul. 
En tenant conipte de I'idenlite 

(Jl- Of^ rJV r)r^ f) I <)<.' \ () I dv \ 

Ox Ox dy Oy ' ' Ox \ Ox / ' Oy \ ' Oy ) 

et de la premiere formule de Green (1, n" 123), ce coefficient s'ecrit 

/ r I — tly — dx ) — / / r,\v dx dy ; 

Jy '\.^ox -^ Oy J J J^^ 

Tj etant nul tout le long- de \\ on voil que I'integrale double 

I I T, Ac dx dy 

doit etre nulle jjoui- toutes les formes possibles de la fonc- 
tion r, (j:^, )•) satisfalsant aux conditions enoncees. Or cela ne peut 
avoir lieu que si Ton a Ac = o en tous les points de D. Supposons 
en effet qu'on ait Ac >> o par exemple en un point x^, Jo inle- 
rleur a D. De ce point comme centre decrivons un cercle C de 
rayon p assez petit pour qu'il soit tout entier a I'interieur de D, 
et qu'on ait A^' >• o en tout point de C. Si Ton prend y](x, y) ^ o 



|<|S (iiMMTUi; \\\ii. i\UAri(».\.s i.inkmues ni ivim: CLi.ii'rigi k. 
a 1 exlerieiir tie ce ccrclo. el 

r,{-r. y) = \ p'- — ( a- — Xoy- — (y- j,, )-]'", 

u rinlerleiir de C, cclle loiicliou est conlinuc, ainsi (|iie ses dori- 
vees parlielles tin j)i'oinier el du second ordic si ///>.?, et eile 
s'annulc siir V. 11 est clair (|iie riiik''i;iali' tlouhle correspon- 

daiilc / / r, A\" (/./ r/r. (-U'liilut' a D.aiirail line valour j)Osilive. I.a 

tomlion \-[.r, y) esl done harinoniqiie dans Ic duniaine IJ. 

La lln du raisonnement esl inallac|uable, mais il repose siir deux 
posliilats, qui paraissaient evidenls a liiemann, el (hmt une critique 
plus rigoureuse a dcinonlrela faussele. Dune pail, on adinot qu'il 
exisle des functions de la classe (A) pour lesquelles linlegrale 
double I a une \aleur finie: d autre pari, on adniel atissi (|u II 
exisle au inoins une de cos fonclions pour Uupiellc 1 integrale 1 
atleint clieclivement sa borne inft^rieure. M. VVeierslrass (') a 
niontrt3 d'abord que ce dernier point ne pouvait etre adniis sans 
demonstration. Plus recemnient, M, Hadaniard a fait connailre 
un exemple simple dans lequel il n'existe aucune fonction de la 
classe (A) pourlaquelle lintegrale double 1 ait une valeur finie (-). 

La methode de Riemann ne fournil done pas de demonstration 
rigoureuse du prineipe de Dirieldel, mais elle nous ollre un 
exemple dun modede demonstration souvent employe en Pbjsique 
malhematique, et qui rend loul au moins vraisemblable le rtisultat 
«ju"on \eut elablir. 

lieniarcjue. — On a deja cxpliqut* ce qu'il fallail entendre quand on dil 
qn'une fonction harmoniqiie dans un doniaine D piend iine valeur donnee 
en un point du contour. Si ion n'a pas egard a la signification precise de 
Icnonct', il peul sembier que le pioblemede Diiiclilet admet dans certains 

nri ._^ -1/2 'XJC 

ras plusieurs solutions. Par exernnle, la fonctinn u = ^ s'an- 

nule en lout point du cercle (J qui a pour equation x- -t- J- — 2X = o, el eile 

est iiariiionique dans ce cercle, car c'est ia parlie reeile de i '; en ajou- 

lant Kit il une autre fonction iiannonique (ians C, il seinbie qu'on aura 



(') Weikhsthass (Mathematische Mez/.e, l. II. p. 49)- 

(') Bulletin de la Societe niathematir/tie, I. WXIV, p. io5. Dans eel exemple, 
le contour Test un rercle, el par consequent le problertie de Diriclilet adniel bien 
une solution (voir Exercice h). 



II. — I'U()UI.i;mi: i>i; diiuciii.kt. fonction dk (iRi;i:N. 199 

line inlinilc ile fdiiriiniis liannniiiqiu"; dans (1, prenanl Ics memes valeurs 
sur le contour. I'oiir oxplirjuer ce paiadoxe, il siilTil <l"observer quo la 
valeur <le u{x, y) en un point P interieur au cercle C el voisin de I'origine 
ne tend vers aucune liinite lorsque ce point I' lend vers I'origine. II est 
done inexact de dire que la fonclion u{x,y) est nulle a I'origine. 

rJIIi. Methode de C. Neumann. — On doit a ^^. G. Neumann (') 
line niclliudc celcbrc |Joar resoudre le probleme de Diricldet dans 
Ic cas d'un contour convexe, ne presentant qu'un nonibre fini de 
points anguleux. Nous allons exposer, avec (juelques modifications 
(le detail, cetle methode qui est fondee sur Ics proprieles du polen- 
tiel de double couclie. Pour fixer la position d'un [)()int Al sur le 
contour Icrme C, nous ju-endrons pour paramelre vaiiable la lon- 
gueur \ de Tare AM compte a partir d'une origine arbilrairc A. 
Toute fonction qui a une valeur determinee en chaque point du 
contour est alors une fonctiony(5) de periode /, si / est la longueur 
du contour ferme. G'est uniquement afin de preciser les notations 
que nous adoptons cette convention; les resultats eux-memes sont 
absoliiment independants du choix du parametre. Soit \J-{s) une 
fonction continue sur C; nous avons demontre (n" 505) que le 
potenliel de double couclie 



(.6) W=/*,.^ 



ds 



est une fonction harmonique dans C, qui en un point de ce con- 
tour, d'abscisse curviligne x, prend la valeur 

(27) w(x) — 'X-ix{x)-\- I [;jl(s)— p.(a7)] ( — -^ j ds, 

, /COSO , . rOS'vr , II- I 

ou ( ■- 1 est mis pour — ■> /•.,• etant la distance du point x au 

point variable .v, et -i.,- Tangle de la direction sx avec la normale 
interieuie an contour en s. Cette formule (^7) est generale et 
sapplitpie aussi aiix points anguleux du contour. 

Cela elant, soil f(s) une fonction continue donnee de periode /. 
l*our resoudre le probleme de Dirichlet, nous chercherons avec 



( ' ) Unterxuckungen iiher das [ogarithtnisclie and Xewlonischc Potential 
( I>i--i()zis?, 1S77). 



2on (lui'iTHi; \\\ii. — ligi vTioNS i.im:.\ii\ks in Tvi'i: i:i,i.n'Tion;. 

^tMiiUiinn uiu' loiiction iuixiliairo 'J-[s)^ coniiiiuo el *!»' j)(;riodo /, 
telle que le polentiel de double coucln- W , rcprcsenk'- |);ir la for- 
mule (2(>) a linleriour de C, prennc jM(';cis(''nienl la \aleur /(.r) 
en rliatjue point dc C. II faul cl il suffil pour cela (pie celle fonc- 
lion 'J-is) verifie la relation I'onrlioimelle 

(28) ■2-r,x(x)-h I [ix{s)— ix(x )](^^^\ ds=f{x)\ 

nous alions resoudrc celle equation inU'grale par une melhode 
dapproxiinalions successives qui sera raUachee plus lard a une 
llieorie generale. Pour cela, ecrivons celle equalion en inlrodui- 
sanl un parainetre A, (pron fera ensuilc e^al a ruuit*} (cf. n" 491), 

(7.9) ;a(a:)= -?-/(x)+ 4: [-A^ } - \^{s)] [-^) ds, 

el cherchons un develoj)peinont dc la forme 

(3o) k(^)= r^ I ao(^)-^X;JL|(^)-^...-^X";x„(r )-+-...] 

sallsfaisanl forinellenient a I'equalion (29). On Irouve ainsi 
successivement 

\ f / C O S 'J \ 

el, d une facon generale, 

(3i) :-i«(^)=— / f:-^«-i(^) — i-i/'-iC*^] ( — ;r^ ) ds. 

11 esl clair que loules ces ionclions '^i(x) admellent la pcriode /; 
si elles sonl continues, el si la serie (3o), ou I'on fait ). = i , esl 
uniformement convergente, la somme ,«.(x) est une fonction 
continue qui salisfait bien a la relation (28). On le verifie imme- 
dialcmcnl en integrant terme a terme la serie qui donne le deve- 
loppeinenl de |J^( ">) — a(a:)et en tenant com[)te des relations (3i). 
II suffira de remplacer 'i.(s) par la foiiclion ainsi determincc dans 
la fonnule (26) pour avoir la solution du probleme de Diriclilct. 

Nous alions maintenanl examiner les points qu'il reste a elablir 
pour que celle solution ne soil pas puremenl formelle. En premier 
lieu, les fonctions \i-i{x) sont continues. Dune facon generale, 



II. — PltOBI.KMr: UK DiniClII.KT. FONCTION UK GREEN. 20r 

SI f(x) esl continue, il en est de inenie de la (onclion 

en effet, Xo etant iine valeur fjuelcon(|ue de.r, nous pouvons ecrire 

I^e raisonneinent de la page i-S s'applique icl sans modification 
el prouve que la premiere integrale est une fonction continue de^ 
pour x^JTo, et il en esl evidemment de meme de la seconde 
partie. On voil ainsi, de proche en proche, que toutes les fonc- 
lions 'JL, , 'jL.. . . . sonl continues. 

Pour prouver la convergence uniforme, nous allons d'abord 
etahlir deux lemmes relalifs aux contours fermes convexes. 

Leinme I. — Soient P,, Po deux points cjuelconques de C, el C 
une portion quelconque de C, pouvant se composer de plusieurs 
arcs distincts. 11 esl a pen pres evident, d'apres sa signification 
geomelrique, que I'inlegrale definie 

■=X[(^-^)..-(^/J*=X/'^)..,*-X('^).* 

esl moindre que — en valeur aijsolue. Pour qu'elle ful egale a t., 
par exemple, il faudrait que la premiere integrale fut egale a t:, el 
la seconde nulle. Or la |)remiere integrale ne peul elre egale a t: 
que si C se confond avec le contour C. ou si C se compose d'un 
arc AB joignanl deux points V el B, le point Pj elanl sur le seg- 
ment de droite AB; dans les deux cas, la seconde integrale ne peul 
elre nulle, a moins que G ne soil le contour d'un triangle. La 
valeur absolue de I resle done inferieure a un maximum h~, 
h etant un nombre positif infevieuv a V unite, qui ne depend que 
du contour C ('), el nullemenl de C. 

Lemine II . — Soil J[s ) une fonction positive ou nulle en chaque 

(') Celte conclusion ne peul passer pour absolumenl rigoureuse: niais il est 
clair qu'elle est exacte pour les contours convexes tels que ceux que Ton consider© 
hal)ituellemeiit. 



2(>.> (IIM'ITIU: \\\ll. — KOIATIONS I.INKAIKKS DU TVI'K KLI.ll'TIQl IC. 

poiiil iK- ( . ft .1 I iii|(''^r;il(^ 

Parlageons C en deux parties C| el Cj, lelles quDii ail 
/coso\ ^/costp\ 

sur (!, el 

(^X,<(^).. 

sur Cj, el soicnl .), ct ,L Ics inlei;rales etendues a C| et Cj I'espec- 
li\emenl. On a J = .1, -f- -l^, el, par siille, | J| est inferieur an plus 
<;rand des deux noudjres J) el |Jo|. Soil \j une liinile superieure 
dcy(5); d'apres le lenime precedent, chacun dc ces deux nombres 
esl inferieur a Lx/i~. On a done aussi |J|<;~/<L, (juels que 
soienl les points P, et 1*^. 

Cela pose, soient M et ni le niaxinmni et le niininiiim dey'(.s) 
sur C: I'l el Pj ('-lanl deux points du cuntoui', nous [)Ouvons ecrire 

M-i(^i)— !-i|(^2) = — L'-^of-^-i) / {—~r-) ds—iXo(Xi) I i—jr-) '^^ 

-j^.(;-'')-'"i[(^-^),,.-(^)J*" 
-fiXK^).,,-^^)...]"^- 

Si les [)oints 1*1 el Po ne sont |)as des points angulcux, la derniere 
inlegrale esl nulle, et la valeur absohie du premier leime 



est inferieure a 



I) aulre part, u„(.?) — tn resle compris 

enlre o el M — m, el par suite, d apres le lemine II, la valeur absolue 

(hi premier lenne de la seconde ligne est inferieure a ^ — h. 

Par consequcnl, la valeur absolue de |j., (./•,) — |j.,(^2) est infe- 
rieure a(M — m)[ | = (M — /'i)pj oetanl lui nombre positif 

inferieur d un. La fonclion u.)(^) elanl continue, cclle inegalite 



ir. — phobi.kmi; iti; ihiuciilkt. ko.nction hk GuiiEN. 2o3 

a lieu quels que soienl les points P( et Pj. Par consequent, en 
appelant M, et i)} ^ Ic inaxiinuni et le niinimiiiii de -j-if^r), on a 
1 inc'-yalile fondanieiila Ic 

(3'i) M, — //?,< ^M — m)p. 

On en deduit, de proclie en proche, qu'on a en gt'neial, 

iM,— m,< (M — /;?)?', 

M< et nil etant le maxiininn et le niiniuiuiii de la lonction 'j./. La 
valeur aljsolue de •j.,_|(a') — 'Xi_^[s) restant inferieure ou au plus 
egale a M, — ■ /«,, on a dune a fortiori^ dapres la ffiriniile (01), 

\v-n{3-)\ < - ( M — in ip"-', 

et, par consequent, la serie (3o) est uniforniement convergente 
pour A= I. La somme <j.{x) de cette serie est une fonction con- 
tinue qui satisfait a i'equation fonctionnelle (28), et en rempla- 
eant ;jl par cette fonction dans la formule (26) on a la solution du 
[)roljleme de Diriclilet pour le contour convexe C. 

Exemple. — Supposons que G soil une circonference de rayon R; on 

/(•oso\ I , .... „ 

a dans ce cas 1 \ = — j-j quel que sou le point x du contour. (Jn a 

done inimediaU'ineMl, en prenant jjlq =^f(x), 

el la relation de recurrence (')i) donne ensuilc, quel que soil n, 

On a done tx(x) = - fix) / f(s)ds. et en reiupiacanl a par celle 

expression dans la formule ('.()), on reliouve rinle;,aaie de Poisson (i(J), 
oil Ton aurait ecril Um a la place de/(s). D'ailleurs, dans ce cas parliculier, 
lequalion ('28) c^l faciit- a resouiin; direclemcnt. On voil. en cfl'et, 

que \>.{x) est de la forme > 11 clant une constanle qu on ilcler- 

mine en remplacant \i-{x ) par celle expression dans Tequation (28). 

La m(''tliode de Neumann, et la nietliode analogue dans I'espaee 
pour les surfaces eonvexes, onl ('te etendues a des cas plus gent'- 



■'Oj IIIVIITHK WMt. — KQUATIONS MNKAIKKS Of TM'K Kl.l.II'TIOli:. 

raiix par ililVi'Tonls iii'-onu'lrcs ( '"). L'exlension la |)liis imporlanle 
resulle des iravaux de Fredliolm vi sera exposee plus tard. 

On doil a M. Poincare iiuo nu'lliode absoliiment fjciK-rale, dile 
tni'lhode (ill Inilnyagc (^'- ,, \Mn\v rrsoudix" le prohl»"'me de Dirichlel 
dans lespace. M. Paraf (^) a monlrr ([iie cette methode s'aj)pli(|U(' 
aiissl. inovennanl qiieI(nios inodilicalions, an |)rol)l('nie df Dirichlel 
dans Ic plan. I^our Ic problcnie plan, on connail encore deux aulres 
nielhodes, dues a M. Schwarz et a M. Harnack. Le principe de la 
methode dc M. Schwarz sera indi(jU(' plus loin. 



.M4. Generalisation du probleme. — II y a iiiUTi'i, |ioiir cerlaines 
reclierches, a eludier un probleme un pcu plus general que celui de Di- 
ricliiel. Soil Dun domaine liniite par nn contour fernie G que nous suppo- 
serons forme dune seule courbe. A cbaque point M de C faisons corres- 
pondre un nombre Um variant en general d'une nianiere continue avec la 
position du point M, sauf en un nombre fini de points de discontinuite de 
premiere espece (I, n" 9), el proposons-nous de trouver une fonc- 
tion u{t, y), harmonique dans D, et prenant la vnleur U>| en tout 
point du contour C oil U est continue. 

On ne fait a pi-iori aucune bypotliese sur la nature de la fonclion cber- 
chee u{x. y) dans le voisinage d'un point de discontinuite de U sur le 
contour; il n'y a done pas lieu de parler de la valeur de u(x.,y) en un de 
ces points. Si I'on sait resoudre le probleme de Dirichlet pour le con- 
tour (], on peut toujours trouper ink solution du probleme generalise. 

Soit A/(3t/, ji,) un point de discontinuite de U sur C; lorsque I\l tend 
vers ce point A/, Dm tend vers deux limiles dilTerentes «,-, hi, suivant que 
le point ]\1 decrit C dans le sens direct ou dans le sens inverse. Cela pose, 
la function suivante, oil Ton a choisi pour arc tang une determination par- 
ticuliere quelconque, 



\\,(x, y)^ 



b, y 

— arc tan"^-— 



est une fonction barmonique dans D, et la valeur (W,Jm qu'elle prend en 
un point M du contour varie dune maniere continue avec la position du 



(') PoiNCAUE. La methode de iXeumann el le probleme de Dirichlel {Acta 
mathemalica, t. XX). Ce Memoire est fondamental dans cette llieorie. KoiVaussi 
les articles de MM. SleklolT et Korn dans les Comptes rendus (i8()7-hjoo), un 
Memoire de M. LiapounofT {Journal de Mathemaliques, 1898), I'Ouvrage de 
M. Korn sur le polenliel (Berlin, 1899). et piusieurs Memoires de M. Sleklofl 
(Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse, q" serie). el de iM. Zaremba 
(Journal de .Malheinatiques, 1904; Bulletin de l' Academic des Sciences de 
Cracovie ) . 

(') American Journal of Mathematics, l. MI. 

(') Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse, t. VI, 1892. 



II. — PRoni.KMi; [)E DIRICIILET. FONCTION DK GIIKEN. 20^ 

point M, sauf au point A,- oii elie prescnle la lueme discontinuite que la 
fonction donnee U. Ceci suppose tuutefois que ce point A, n'est pas un 
point anguleux du contour; si ce point elait le point de rencontre de deux 
arcs se coupant sous uii angle lo, on devrait remplacer - par lo dans le 
denominateur de la forinule precedente. Operons de inenie avec tous les 
points de discontinuite Ai, A2, ..., A,j de U. La difTerence 

n 

W.m=Um-2'W.)ai 

varie d'une maniere continue avec la |)osition du point M sur C, meme 
aux points oii U est discontinue. Soit i-(x, y) la fonction harmonique 
dans D qui prend la valeur \\'y\ en chaque point .M de C; la fonction 

n 

(33) uix,y) = i>(x,y)-^^\\i(x,y) 

i= 1 

est une fonction harmonique dans D, et, d'apres la facon dont elle a ete 

obtenue, elle prend bien la valeur Um en tout point du contour C qui 

n'est pas un point de discontinuite pour U. C'est done une solution du 

probleme generalise, et la recherche de cette fonction est ramenee a la 

recherche de v(x,y), c'est-a-dire au probleme de Dirichlet. 

La formule(33) met en evidence I'allure de u(x, y) dans le voisinage 

d'un des points de discontinuite de U sur le contour; elle est la somme 

dune f(jMCtion qui lend vers une limite delerminee, et dune expression de 

r — 3 . , 
la forme K arc tang j qui n'a pas de valeur determinee au point (a, p). 

Remarquons seulement que cette fonction est bornee dans D. Nous ne 
pouvons |)as aflirmer que u{x,y) est la seule solution du probleme gene- 
ralise, mais elle est la seule qui reste bornee dans tout le domaine D. Nous 
le deduirons d'une elegante proposition due a AI. Zaremba (Bulletin de 
t'Academie des Sciences de Cracovie^ '909)- 

Soit u(x,y) une fonction harmonique d I'interieu r dun domaine D 
limite par une courbe G, et prenant la valeur zero en cliaque point 
de C, sauf en un nombre limite de points Aj, A?, . . ., A;,, pour lesquels 

on salt seulement que le rapport —. '■ — tend vers zero en n\eme temps 

lug/v 

que la distance /•/ du point A, a un point quelconque (x, y) de D. 

Cette fonction u(x,y) est nulle dans tout le domaine D. 

En effet, soit t un nombre positif arbitraire et H un nombre superieur a 
la distance de deux points quelconques du domaine D. II est clair que la 
fonction auxiliaire 






■}o(\ CM VIM I hi: wvii - lotMioNs i.i.\i:\iHi;s Di Tvi'K iM.i.ii'iiyri:. 

est line fniuMion li.uiiioiiitjiK- dans 1>. qui fsl |)()-ili\(> dans ce domaiiie ol 
sur le O(inloiir (-, ou elle est conliiiue sauf au\ points A,. De cliacun des 
points A, coinmt* centre deciivons nn reicio do rayon ties petit p, et soil a, 
I'nrr i\o ccvc\e inhMieiir a D. Si dii tlomainc D on iL'lraiiclie les i)ortions 
comprises dans ce> petits eercles, on oldionl un doniaine Dp liinite par des 
portions dn contour primilifet les arcs j,. Dapres Tliypothese sur u(x,y), 
on pout clioisir le nonibre p asse/. i)ctit pour ipic les (\o\\\ exprcssiuns 

♦•(•^, J') — "(-^-rj- «'(-r.^') — n(-r,y'). 

soient positives sur les arcs J,, l-^ii elTet, cliaciine de ces expressions est la 
somme d'une partie reguliere dans le domaine du point A, et d'un tcrme 
de la forme (r,,- — t) log/-/, t,, etant infiniment petit avec p. Lc nombre p 
ayant etc clioisi de cette facon, le* deux fonctions v(x, y) -h u(x, y), 
v{T,y) — «ia:, j'isont liarmoniques dans Dp et positives sur le contour 
de ce domaine. On a done, en tout point de ce domaine. \u(x, y)\ < v(x, y). 
Ktant donnc un point queiconque i\l dans D, on |)eut toujours clioisir le 
rayon p assez petit pour que ce point M soit aussi dans Dq, et par suite 
I'inegalite precedente est etablie pour tout point de D. On pent evideni- 
ment clioisir le nombre posilif arbitraire t de facon qu'en un point deter- 
mine rlJ", )') soit inferieur a un nombre doiine a I'avancc. I/inegalite ne 
pent done subsislcr quel que soit £ que si Ton a u(x, r) := o. 

II est clair que la conclusion s'applique en particulier sj la fonction liar- 
monique u(x, y), satisfaisant an\ aulies conditions de I'enoncc, resle 
bornce dans D. Cela etant, si le probleme de Diiiclilet generalise admi.'ltait 
deux sidutions bornees dans D, leur dinVrence scrait une fonction liarmo- 
nique bornee dans D, et prenant la valour zt-ro sur le contour, sauf en un 
nombre limite de points; cette diderence, nous venous de le voir, doit etre 
identiquement nulle. 

lieniarque I. — Si Ion n'impose pas a la fonction liarinouique la con- 
dition de rester bornee a I'intcrieur de D, le probleme generalise peut 
admettre une infinite de solutions. Supposons par exemple que G soit le 
cercle x--r- y"- — ?.x z^ o, el que I'origine soit le seul |)oint de discontinuite 
poui' U sur ce contour. I'^ii ajniiiarit a la solulioii iiix.y) du probleme 

X~ -^- V" — '?.X 

generalise, qui reste bornee a linti-ricur de(>, lexiiression K — 



■y- 



oii K designe une constante arbitraire, on obtienl une infinite de solutions 
du memo probleme. inais ces solutions ne sont pas bornees ilans le doniaine 
{cf. n" Vy\i. liemnrcjue ). 



lieniarque II. — Soient L et / lo niaxiiiiuin ct le miiiimum de la fonc- 
tion discontinue U sur C; la fonction liai monique uix^y) representee par 
la formule (35) reste comprise entie L et / dans le domaine D. Pour 



II. — I'UOllI.KMi; in: DIKKlll.KI'. I'OXCTION 1)1-; I.UEEN. 'lOJ 

diMiio Hirer, par exemple, que in.r, y) ne preiid aucune valeur su|)erieiiie 



a L. il suffil (le reiiiplacer v{x. y) par L-f-i^log( — j dans 1 



e raisoii- 



nemeiil de .M. Zareinlia. I. a fDiiclion liarmoiiique v{x, y) — u{x^ y) elant 
positive sur le contour du doiiiaine Dp, pourvii que p soil assez petit, est 
positive en lout point du doniaine D, et, comme t est un nombre positil" 
arbitraire, reci ne |)ourrait avoir lieu si u{x,y} elait superieur ;t L. On 
voit de meme que u{x, y) ne pent prendre de valeur inferieure a / en un 
point de D; u{x, y) ne pent prendre les valeurs L et I, car cette fonction 
aurait alors un niaximuni on un niiniinuni dans D (c/. n" 503). 

Dans le voisinage d'un point de discontinuite A de la fonction L sur le 
contour C, nous avons deja observe que u{x, y) est de la forme 

r — S 
u{x, y) = y (t, y) -h K a re ta n g > 



V(ar, ^) tendant vers une limite determinee lorsque le point (x, y) tend 
vers A. Si le point (x, y) tend vers le point A suivant une courbe, don/ 
fa ta/ii^'ente en A n'est pas tangente au contour C, la valeur limite de 
arc tang est comprise entre les valeurs du meme arc pour les deu\ direc- 
tions des tangentes au contour G issues de A, et par suite la valeur limite 
de ii(x, y) est comprise entre les deux valeurs limites a et b de la fonc- 
tion Um lorsque le point INI tend vers A sur le contour G. 

olo. Methode alternee de Schw^arz. — On doit a M. Schwa rz un pro- 
cede alterne, ap|)licable a beaucoup d'autres problemes, permettant de 
passer fl'un contour convexe a d'autres contours beaucoup nioins parti- 
culiers. Ge procede repose sur un lemme que nous allons d'abord etablir. 

Soit G un contour convexe ou, plus generalement, un contour fernu- 
pour lequel on sait resoudre le probleme de Dirichlet, et soil nin \\\\ arc 
situe dans le domaine D limite par G, et joignant deux points ni et n de 
ce contour sans etre tangent au contour en aucun de ces points, f^es 
points ni et n divisent G en deux parties Go et Gj ; appelons u{x,y) la 
fonction barmonique et bornee dans D, consideree au numero precedent, 
qui prend la valeur zero sur (\q ct la valeur un sur (Jj. Gette fonction est 
positive et inferieure a I'unite en tout point P de Tare nin, et si le point P 
tend vers I'un des points ni ou n, on a fait observer que ?<i> tend vers une 
limite comprise entre zero et un. La fonction u{x, y.) reste done infeiieure, 
tout le long de /nn. a un nombre positif q in/erieur a I'unite. Soit, 
d'autre part, p(ar, j) une fonction barmonique dans D, |)renant la valeur 
zero sur (J^, et dont la valeur absolue reste plus petite qu'un nombre 
positif g le long ile Gj ; nous supposerons, pour fixer les idees, que «'(.r, y) 
prend une valeur determinee en cbaque point du contour, et que cette 
valeur varie dune maniere continue. Les deux fonctions ^« -r- p, gu — v 
sent barmoniques et bornees dans le domaine D, nulles sur Go et positives 



•jc.S 



CIUIMTRi: XWII. 



KQIATIONS r.INKMRKS l)U TVPi: EI.I.I I'TKJL K 



sur Ci : olles si>i»t done positives on tout point de D, et la valeiir al)Solue 
(le i-{T, y) est inferieuie a g'n- 1-n paiticiilier, le long de I'aic rnn, la 
valeur absolue de i'(ic,y) est inferieuie a ffq; il est a peine besoin dob- 
server que le noinbre q^ qui a etc defini tout a I'hcure, ne depend que du 
contour C et de Tare mn, et niillement de la fonclion v{x, y). II est clair 
que la propriele subsiste si Co el Ci se coniposent de plusieurs arcs dis- 
tinct?; on pent aussi reniplacer Tare mn par un sysleme de plusieurs arcs 
intcrieurs a D et joignanl des points de Co ou des points de separation 
de Co et Ci. Le raisonnemcnt qui |>rocede s'applique sans ino<iilicalion. 

Pour exposer la melliode de Scliwarz, plagons-nous inaintenant dans le 
cas le plus simple, celui d'un domaine (£) resultant de la superposition de 
deux domaines D, D', limites par deux contours fermes C, C, qui se 
coupenl en deux points seulenienl m et n {fig. 94) sans etre tangents. On 



Fi?. .,4. 




suppose que C et C sont des contours convexes ou, |j1us generalement, 
qu'on sait resoudre le probieme de Diriclilel pour chacun des domaines D 
et D'. Les deux points m et n divisent C et C en deux arcs distincts (a, a) 
et (6, ^). A Tare a correspond un nombre positif inferieur a I'unile rela- 
tivement au contour C, et de meine a Tare S correspond un nombre positif 
inferieur a un relativement au contour C; nous designerons par q le plus 
grand de ces deux nombres. 

On suppose donnee one succession continue de valeurs sur (a, 6), c'est- 
a-dire sur I'ensemble des deux arcs a et b. Formons una fonction U\, har- 
moniqiie dans D, prenant sur a les valeurs donnees et sur a une succession 



II. — PROBLIiME I)E DIRICIII.ET. FONCTION DK GREEN. 



209 



continue de valcurs uniquement assujettie a la condition de prendre en m 
et n les monies valeurs que la premiere. Cetle fonction Mj prend certaines 
valeurs sur Tare ^. Formons ensuite une fonction i^j, harmonique dans D', 
prenant les mt'-mes valeurs que Mj sur 3 et les valeurs donnees sur b; puis 
une fonction u-i-, harmonique dans D, prenant les valeurs donnees sur «, 
et les memes valeurs que I'l sur a, et ainsi de suite alternalivement. Nous 
obtenons ainsi deux suites indcfinies de fonctions (mi, u^, ..., ««, ...) 
et(p'i, ^'2, ..., Vni •••)• Les fonctions », sont harmoniques dans D, el 
prennent les valcurs donnees sur a; les fonctions Vi prennent les valeurs 
donnees sur b et sont harmoniques dans D'. De plus, u„ el i>n prennent les 
memes valeurs sur ^3, tandis que u,i et (^^-i prennent les memes valeurs 
sur a. Nous ailons montrcr que, dans les domaines D et D' respective- 
merit, les fonctions u,i et v,i tendent vers une limite lorsque n croit 
indejiniment. 

Soit g une limite superieure de | ^o — "i| sur (3; fi — Vi est nul sur b 
et egal a u-, — U\ sur ^ : la valeur absolue de fo — ^"1 est done inferieure a gcj 
sur a. La fonction ^3 — Uo est nulle sur a el egale a lo — t^i sur a; on a 
done aussi 1 11^ — Ui \ <:i cj- g sur [3. En continuant ainsi, on voit de proche en 
proche qu'on a | Un+\ — "« i < q-^"--'^' g sur ^, el \vn+i— r„| <g-"-' g sur a. 
La serie 

«,-f- (?/2 ?<i) -h. . .-1- (m,j— 11,1 I )-+--.. 

est done uniformemenl convergente sur le contour («a) el par suite uni- 
formement convergente dans le domaine D, d'apres le iheoreme de Har- 
nack. La somme de celte serie \J(x, y) = limunior, y) est une fonction 
harmonique dans D, qui prend les valeurs donnees sur a. On voit de meme 
que (•„ a pour limite une fonction V(a:, y) harmonique dans D', qui prend 



Fig. (p". 





les valeurs donnees sur b. Ces deu\ fonctions U el \ prennent les memes 
valeurs sur a el sur p, puisqu'on a 11,1= <-'« sur p, et Un= v,i-i sur a; elles 
coincident done dans le domaine limite par les arcs a el 3. Par suite, la 

G., III. i4 



aio ciivPiTiu: xwii. — i;oi ations i.im;airk> di tvim: iii.i.iptiqli:. 

fonclion l'(X. v), qui est egale a U dans D ct ;i \ dans D', est harmonique 
dans lout le doniaine cO et donne la solution du piobleme do Dirichlet 
pour ce domaine. 

La methode s'etend d'olle-nionie a des cas bcaucou|) inoins simples, oii 
les contours C, C se coupent en plus de deux points, ou nienie ont cer- 
laines parties communes. Dans le cas de la figure 95", les contours C, C 
out quatre points communs m, n, p, q; on a marque sur la figure les arcs 
qui doivent remplacer les arcs a, b, a, ^ dans le raisonnement. Dans le 
cas de la figure yS'', les contours G et C sonl les contours mnpqrstzni 
et mstqrnpzrn qui ont certaines parties communes. \in remplacanl dans le 
raisonnement a par les arcs npqr et mzts, a par rnii el rs, b par qrnp 
el tsmz, 3 par tq el zp, on voil que, si Ton sail resoudre le probleme de 
Dirichlet pour les domaines limiles par G et C, on pourra le resoudre 
pour le domaine limile par les deu\ contours nizlsm et npqvn. 

Le dernier exemple montre comment on peut passer d'un domaine 
limile par un seul contour a un domaine limite par plusieurs contours. 

yl(). Probleme exterieur. — INous n'avons etudit* jusqu'ici les 
fonctions liannoniques que dans un domaine borne. Considerons 
malnlenant un domaine (0 forme de la portion du |)lan exterieure 
a no contour ferme F, el soil u{^x^ y') une inlegrale de 1 equa- 
tion 111 = u, reguliere en lout point (<7, />) de a). Pour eludier 
cette fonclion lorsque x el y augmentent indefiniment, il suflil 
de faire une transformalion par rajons vecteurs reciproques, jjar 

exemple de poser x= -r-, r? r= —r-^ — -• A la porlion du 

plan (les xy, exlerieure a un cercle C de rayon Pi, silue dans (D, 
avanl poui' centre Torigine, correspond sur le phin x' y' un cercle c 

de ravon 77 • Pa fonclion u(x^ y) se change en une fonclion 



u {X . y ) = u i —r:, tz ? —^ -, ) 



y - x^-hy 

qui est aussi une integrale de Icquation de Laplace ( u° o03), et qui 
est reguliere en tout point de c, sauf peut-elre a I'origine. Si cette 
fonclion u'(x\ y') e^t aussi reguliere a I'origine, elle est harmo- 
nique dans c, et nous dironsque la fonclion n{x, y) est reguliere 
a I'infini. A linterieur de c la fonclion (i'{x', y ) peul elre deve- 
loppec en serie de la forme 

■+■ « 
(34; ii'=^^v,„(x,y'), 

ni=0 



II. — I'Koiii.KMi': 1)1-: Diuicin.irr. konction dk gkkkn. 9.1 1 

^'m{x',y') elant mi poljnoine harmonique lioinogene de degre m 
(n"503). Va\ efTectuant la transformation inverse, 011 en deduit que, 
a rcxlt'-rieur de C, la lonclion u[x^y) est devcloppable en serie 

de la tonne 

-4- 00 

(j5) u(x, y)= y - — ; ; — : 



invcrsement celte forme de developpement caraclerlse une fonction 
harmonique reguliere a Tinfini, car on remonte immediatement de 
la serie (35) a la serie (34). 

On s'est propose, pour le domaine cO forme de la portion du 
plan exterieure a un contour ferme F, un probleme analogue a 
celui de Dirichlet : 

Trouver une fonction harmonique dans le domaine (0 exle- 
rieur aa contour F, reguliere d I'infini, prenant sur F une 
suite continue de valeurs donnees. 

C'est ce qu'on appelle le probleme exterieur relatif au con- 
tour F; par opposition, le probleme dont nous nous sommes 
occupes jusqu'ici s'appelle le probleme interieur. Le probleme 
exterieur relatif a un contour ferme F se ramene au probleme inte- 
rieur pour nn autre contour F'. En effet, soitO un point interieur 
au contour F; une transformation par rajons vecteurs reciproques 
avec le j)oint O pour pole remplace F par un contour F', et le 
domaine o> exterieur a F par un domaine (0' interieur a F'. D'autre 
pari, toute fonction harmonique u[x^ y) danscO, reguliere a i'infini, 
se change en une fonction u[x', y) harmonique dans cO'. La suite 
des valeurs de u(x, y) le long de F etant donnee, on connait par 
la meme la suite des valeurs de u' le long de F'. Si ion sail resoudre 
le probleme interieur pour le contour F', on en deduira done la 
solution du probleme exterieur pour le contour F. 

Remarque. — Klaiit doiinces deux fonctioas U cl V, harmoniqiies a 
I'extcrieur d'un contour F, et regulieres a I'infini, on pcut leur etendre la 
formule generale (ii). En enfet, considerons une circonference auxiliaireC, 
ayanl pour centre un point fixe 0, et renfermant tout le contour V a I'in- 
lerieur. Les deux fonctions U et V etant harmoniques dans le domaine 
limite par les courbes G et F, on peut appliquer la formule ( u ) a I'ensemble 



■ll\f. CHAPITRE \XVn. — EQl'ATIONS LINIiAIUES DU TYPE ELI.Il'TIQl E. 

de ces deiix courbes. Lorsque le rayon R de C croit indcfiniment, linte- 

1 1 ^ 1 .r <^U d{] 

crale nrovenant de (^ lend vers zero; en ellet, — > — — ^ • • • et par suite 
° ' 0.r dy '^ 

dV f/\ , . ,, . •,,.,,! 1.- ■ I 1 1 

— — > -;— «ont des inliniinent pelits do 1 oruie de t— > el 1 inlc2:iale le long 
an an ' H- 

de C esl de la forme — / F r/-, la fonclion F reslanl finie. II resie done 

la relalion 






dn iln 



les derivees elant prise? suivanl la direclion de la normale exterieure a P. 
II esl a remarqiier que la foiinule (i3) ne s'etend pas de la meme facon a 
une fonclion harmonique a lexlerieur de F (cf. Exercice 6). 

517. Representation conforme. — Le prolilt-me de la repre- 
sentation Lonlornic ollrc des liens etroits avec le probleme de Di- 
richlet. Soient D, D' deux domaines bornes, limites par deux 
contours C, C, tels que I'on connaisse iine transformation con- 
forme qui etablit une correspondance univoque entre les points 
de D et de D', de C et de C. Toute fonclion // harmonique dans 
le domaine D se change, par cette transformation, en une fonc- 
lion u harmoni(|ue dans D', et il est clair que, si Ton connait les 
valeurs de a le long de C, on connait aussi les valeurs de u' le 
long de C. On saura done resoudre le probleme de Dirichlet pour 
le domaine D' si Ion sait le resoudre pour le domaine D. En parti- 
culier, elant donne un domaine D limite par une seule courbe 
fermee C, on saura resoudre le probleme de Dirichlet pour ce 
domaine si Ion sait eflectuer la representation conforme de D 
sur la surface d'un cercle. Inversement, Ptiemann a demontre 
la possibilite de cette application conforme en se servant du prin- 
cipe de Dirichlet. 

Soil 7^z=.f(z) la fonclion analylique qui permet d'elTectuer la 
representation conforme dun domaine D sur un cercle de 
rayon un; la fonclion f{z) doit etre holomorphe dans D, et pour 
tout point de ce domaine on doit avoir |/(-)| < i. De plus, a une 
valeur de Z de module inferieur a un, doit correspondre un point z 
et un seul dans D. Soil Zq^ki -^ hi le ()oinl de D qui correspond 
a Z = o ; 1 equation /( z ) = o doit admettre la seule racine z = z^ 
a rinterieur de ce domaine, et par consequent/(:;)doit etre de la 



I 



II. — PRoui.i'iMi: DK DiuiCHi.irr. ponction I)i: Gitiiiix. iti'J 

forme (:; — z-o)e'^' = K -(:;) eiant une fonclion holomorplie clans 1), 
ce qu'oii pent encore ecrire, en reniplarant ?:(;) par P + Q/, 

/• et C5 etani Ic mudiilc el l'arj;uaienl de ; — z^. Pour toiU point (In 
contour C on doil avoir |Z.|= i, el par suite P + log/-^o. J^a 
fonclion P(.r, y) doit done etre harmonique dans D et prendre les 
niemes valeurs que — log/' sur le contour C. Nous sommes ramenes 
a un cas |)arliculier du probleme de Diriclilet. Supposons qu'on 
saclie resoudre ce probleme pour le domaine considere; a la 
tonclion P(x, r) harmonique dans D, on pent alors adjoindre une 
autre fonction harmonique dans D, et defmie a une constante 
additive pres, de facon que P + Q; soil une fonction holomorphe 
de z dans D. II nous reste a examiner si la fonclion ainsi deter- 

minee 

Z =(z — Zo)ei'+'^ = e"+'^ 

satisfait bien a toutes les conditions requises. Nous pouvons 
remarquer tout de suite que la constante dont depend Q n'a aucune 
importance dans la question, car un changement dans la valeur de 
cette constante revienl a augmenter largument de Z d'un angle 
constant sans changer le module. 

i" i\. tout point z interieur au contour C correspond un point Z 
interieur a la circonference F de rayon i decrite de I'origine pour 
centre dans le plan de Z. En eflet, la fonction // = P + log/- tend 
vers — X lorsque z lend vers ^o '■> on pent done, du point :;o comme 
centre, decnre un cercle c de rayon o assez petit |)Our que n soil 
negalif dans ce cercle. La fonction a etant harmonique dans le 
domaine compris enlre C et c, et nuUe sur C, est negative en tout 
point compris entre C et c. Le rayon o pouvant etre pris aussi 
petit qu'on le veut, la fonction a est negative en tout point z inte- 
rieur au domaine D, et par suite on a bien |Zj << i . 

2" Inversement, soil Z nn point (juelconcpie iatc'rienra L; I'equa- 
liony(:;) = Z a une racine et une seule dans le domaine D. Cela 
est evident pour Z = o. Gonsiderons maintenanl un nombre ne- 
jatif quelconque ni. Sur tout arc de courbe joignant le point Zq a 
un point de C, il y a au moins un point pour lequel «(.r, y) prend 
la valeur m puisque u varie sur cet arc de — oo a zero, l^e lieu de 



t5 



71^ CIl.VPITni: WMI. — EQIATIONS LINEAIRES Dl' TYPE ELLIPTIQIE. 

ces poinls forme unc on plusiciirs courbes ferm^es, car la courlje 
analvtiqiie u{.r, y) = /;? ne renlornie <|iio des poinls ordinaires ou 
des poinls niiilliples a langcntcs ilislinctcs (n" 503^; de plus, un 
arc analjlique nc pcul renconlrer celte courbe qu'en un noinbre 
/ini de poinls, puisque le long dun arc de cclle espece u{x,j') 
est une fonction analjlique dun paramelre. Je dis que celle 
courbe se compose d'une seule courbe fermce C,„ entourant le 
point Z(s. En elVcl, dans loul autre cas, elle delerminerait un 
domaine S, a liriU'rieiir (hnpiel n[x^y) serait harmonique, landis 
(|u"ellc aurail une valcur constante sur le conlour; elle se reduirait 
done a une conslanle. La courbe C,„ decompose ainsi le domaine D 
en deux regions, une region inlerieure renfermanl le point ;;o pour 
lequel on a ««</«, el une region annulaire comprise entre C„t 
el C pour lequel on a // >- m. Lorsque ni varie de — oo a zero, on 
a une famille de courbes C,„ s'enveloppant muluellement, parlant 
dune c()url)e fermee infiniment pelile autour de z^^ el se rappro- 
chanl de plus en plus du conlour C lorsque ni lend vers zero. 
Imaginons que le poinl z decrivc la courbe C,„ dans le sens 
direct; le poinl correspondani Z decrit un cercle de ravon e"'^ en 
marelianl toujours dans le meme sens. Soil en efl'el s Tare de C,,, 
compte posilivement dans le sens direcl; I'argumenl de Z esl egal 

/-\ T I • d^' du , „ ^'rvo\ dv 

a (> = cp + v^. La relalion ^7; = — -^^ (n oUo) monlre que -j- est 



ds 
du 



dn 



posilif j)uisque la derivee -j- prise sui\anl la normale inlerieure 

est evidemmenl negative; I'argument v va done constamment en 
croissant el, comme eel argument augmenle de 2- lorsque z decrit 
la courbe C^^j, il s'ensuil qu'a tout point de C,w correspond un point 
et un seul du cercle |Z| = (?'", et inversement. Cela pose, elant 
donne un point quelconque Z = e"^+'" interieur a Tim «< o), tout 
point racine de /(r) = e'"+'" doit etre sur la courbe C,„, et il 
esl evident quil y a un poinl et un seul de celte courbe pour 
lequel v = n -t- iK-. 

'■\" II resle a demontrer que les contours C et F se correspondent 
aussi poinl par point d'une facon univoque. Riemann ne semble 
pas s'etre preoccupe de ce point qui nest nullement evident. 
Lorsque le point :; s'approche d'un point M de C, P H- log/- tend 
bien vers zero, et le module de Z lend vers I'unile, mais nous ne 
j)Ouvons rien affirmer jusqu'ici sur Tallure de la fonction Q(x, j>^) 



It. — pnom.KMi; dk niRirni,ET. fonction de gheex. ai*> 

dans le voislnai^o dii jioinl M. Rn ofiet, rclte fonction () se dt'duil 

I I , , , . , OP oV ., , ,, 

par des quadratures des dcrivees — ? — : il n est nullenienl siir a 
'1 ()x oy 

priori que res dc'-rivi'-es conservcnt des valeurs finies sur C et il 

pourrait arriver fjue (^) ne tende vers aucune limite, ou que son 

module augmente indefiniment; I'arj,'^ument de Z ne tendrait lui- 

nieme vers aucune limite lorsque c lend vers le point M. 

On ieve tout do suite la difficulte lorsque le contour C est 
forme dun seul arc analvtique regulier. La fonction P(jc, j). qui 
prend des valeurs analytiques sur cet arc, est alors harmonique 
dans un doniaine (0, renfermant a I'interieur le domaine D (n" oil). 
II en est de meme de la fonction conjuguee Q(^, JV'), et par suite 
a chaque point de C correspond un point determine de F. Le rai- 
sonnement fait tout a I'heure pour les courbes Ctj prouve qu inver- 
sement a un point de F ne correspond (ju'un point de C. Prenons 
encore le cas plus gt^neral ou le contour G se compose d unnombre 
fini dares analvtiques rei;uliers se rejoignant aux sommets du con- 
lour, un point singulier sur un arc analvtique etant considere 
comme un sommet. Soit ab un de ces arcs; la fonction P(je, y) 
peul encore etre prolongee au dela de I'arc a6, et le meme raison- 
nenient prouve qu a un point m de ab correspond un point 'x de F, 
les deux points in et -jl se deplacant en meme temps dans le sens 
direct. Lorsque ni decrit Tare ab, 'j. ne pent decrire (juune j^artie 
de F; en effet. si a deux points ni el ni de ab correspondait \\n 
meme point j. de F, a un point interieur a F, infinimenl voisin 
de u, devrait correspondre un point de D, infinimenl voisin a 
la fois de m et de ni' . A Fare ab de C correspond done un arc 
determine a j de F, ces deux arcs etant decrits en meme temps 
dans le sens direct. Nous allons montrer que les arcs tels que a[ii 
rccoinrent la circonference F une fois et une scale fois. 

Soient ab, be deux aics analytiques reguliers se rejoignant ea 
un sommet b. auxquels correspondent deux arcs 7.|i. |i'-' de F. 
II faut d'abord prouver que ,3' coincide avec |J. Supposons d'abord 
que |i' soit en y. ou sur Fare rtSp ; nous pouvons prendre sur ab et be 
deux points d et e suffisainment voisins du sommet b pour qu'on 
rencontre les points correspondants sur F dans lordre 3', £, o, 3. 
Cela est evidemtnenl impossible car en joignant les deux points d 
el c par un petit arc; de situe dans D, auquel correspond un arc Oc 
daii'^ le cercle. deux obser\aleurs decrivant ces arcs de et 0£ ne 



■jLiCt riivpiTUE xwii. — KyiATioNS i.im:\iiu:s iu rvi'i: ki.i.ii>tk»ui;. 

laisseiMiiMil p.is ilii mriuc r<d(' les (lomaiiie^ corrcspoiulaiUs diins I) 
r[ «ians le cercle. II esl iiii pen plus diflicilc do (liMiiDiiln'r (pic Ic 
|)()iiit ^j' nr peul elr«» on dehors ile a|i. 

Supposons (jiril on soil ainsl el considt'ions Ic njsoati orlhogonal 
IdiiiK- |)ar les (NM'clt's (Himi'iiliiipu's a V el l<'s i-avons. A ce rt'sean 
C(»riTS|)t)iid d.ins Ic jilan dc la variable r un rt'-seau lorine par les 
ctmrhes (.],„ considerees plus haul el leurs Irajerloires oiihoi:;<)- 
ualcs. Soieul </ el c deux puinls de (] Ires voi>ins du jtoiul /j sur 
les ares ah el Oc. \ ces deux poinls correspondent sur V deux 
points el : Ires voisins des poinls jet [j' respeclivenienl ( /?i,». C)6}. 



Fig. .,*i. 





\u\ r.ivun- (Jo el ()i eorresnoadenl deux Irajeeloires r/r/\ oe' . 
aboulissanl aiix jxjints ri el e, F^orsque les poinls d el e lendenl 
vers le point b. les ravons Ooet Os viennent se confondrc avec 
les rayons O |i> et Ojj', et au secteur ombre compris enlre ces deux 
ravons devrait correspondre un domaine D' du plan des :? compris 
enlre deux irajeeloires issues de ^^ et aboulissanl au point b, el la 
lonelion r = -^(Z) de'duite de la relation 'L-=^ fi z) devrait etre 
une foneiioii holomor[)he de Z dans tout le secteur 0|j3'. Lorsque 
le point /tend versun point <pie]eonque de larc^jj'de T, le poinl 
correspondanl c doil tendre vers le poinl b. Par consequent la parlie 
reelle/>( \. \ ) el le coefficient ^(X, \ ) de / dans la lonelion '^(Z) 
devraienl prendre des valeurs constantes le long de Tare [51,3'. Ces 
fonelions pourraienl done etre prolongees au dela de Tare ,j[i' 
Cn" 51 1 j. el |)ar suite csfZ) serait holomorphe dans un domaine 
renfermanl eel are. Puisque, d'aulre part, ;;( Z^ prend une valeur 
eonstante le lonj; de Ij^', il s'ensuil que cetle fonelion devrait se 
reduire a une eonstante, ce qui prouve rabsurdite de riiypothese 
donl nous sommes partis. 



i 



II. — I'UOBLKMi: Ui; DIIUCIILKT. 1 ONCTION UK GREEN. 217 

Eiifin les arcs a'ii, 3*'. ••• recouvrenl une seule fois la circon- 

4 I 1 

ference V, car Targunient de Z augmeule de 2- lorsque z deci'il 

la combe C dans Ic sens direct. 

JJans le cas qui vient d'etre examiin', la function P -h /Q peul 

(Hre [)roloni;eo analvtiquenienl aii dela de cliacun des arcs qui for- 

1 r^ I 1 • ' . ,, dP OP dO oQ . 

nirnt le contour L.; les dcnvces nartielles -— > — ? -r^> — > outdone 

' ox Oy ox dy 

des valeurs finies en tout point dii contour, sauf peut-etre pour 

les somniets (' ). 

Reniar(jues. — i" Si un domaine D pent etre decompose en plusieurs 
doinaines parliels, empielanl les uns sur les autres, de telle facon qu'on 
puisse effectuer la representation conforme de chacun de ces domaines sur 
le cercle, on sauia resoudre le probleme de Diriclilet pour chacun d'eux, 
et I'emploi du procede alterne pernieltra de le resoudre pour le domaine 
total D. C'est ainsi que M. Scliwarz (-) a obtenu la solution du probleme 
de Diriclilet dans le cas tres j^eneial oii le contour se compose d'un 
nombre fini d'arcs analytiques regaliers se coupant sous des angles difTe- 
rents de zero. 

'i" Toutes jes transftjrmalions confornies, qui font correspondre a lui- 
mcme le cercle de rayon un ayant pour centre I'origine, s'obtiennenl au 

moven de la transformation lineaire Z = e'^ -r^ — tt' -^o etant I'affixe d'un 

point interieur a ce cercle, a une distance f/du centre, z'^ I'affixe du point con- 
jugue, a une constante reelle. Ces transformations dependent bien de trois 
constantes rcelles. Si Ton connait une representation conforme d'un do- 
maine a contour simple D sur ce cercle, on aura toutes les autres en la 
combinanl avec les transformations precedenles. 

ol8. Fonction de Green. — Scjit D un domaine a contour 
simple C, qui satisfait aux conditions du paraj^raphe precedent, et 
dont on pent faire Fappiication conforme sur un cercle de ravon un. 
Si Ion sail eflectuer cetle representation, le probleme de Dirichlel 
relalif au domaine JJ est ramene au probleme de Dirichlet relatif 
au cercle, dont la solution est connue. 

Soil \jis) une fonction continue donnee sur le contour C. que 



(') .M. Painlcvc ( Coniptes re/idus. I. IIJ, i'^;^, p. *:')'■>) a demonlrc que les 
resuUals du lexle subsistent, pourvu que le contour C admette une tangente 
qui varie d'une manicre continue, sauf en un numiire fini de points angulcux. 

(-) OEu^rea completes, t. II. p. i4i- \'oir aussi le Traite d'Analyse de 
M. I'icanl. I. II. p. .;i--3i9. 



21 S CIIAPITRK XXVII. — KQIATIONS I.INKAIRKS ItV TVPK EI.I.II'Tiyi K. 

nous supposcms oxpriinec an moven do Tare v. toinple dans le sens 
direct a partir d iine ttrii^inc arbitraire. Pour Iroiiver la \aleur do 
la fonclitin liaiinonique dans D, egale a [J{s) sur C, en iin point 
{o, h) i\\i doniainr 0, reprrnons la fonrtion 

A = f z — (I — A/ )e''-^'y, 

(pii fait corrcspondre point par point le domaine I) et le cercle de 
ravon un, de telle faron (pic le centre dii cercle correspondc au 
point {(I, 0). A nn j)oint s de C correspond iin point d'argnment 



= 



- — a — bi = re'?, 



sur la circonference I". La fonclion I (.s'jsr cliani;e en une fonction 
continue I ,( f|), de periode y— . et la fonclion Iiarinoni(pie cherchee 
se change en une fonction Iiarmonique dans le cercle, prenant la 
valeur I i ( B i sur la circonference. La valeur au centre du cercle, 
c'est-a-dire la valeur V{a, b) au point («, b) est donnee par la 
forniule (17) (n^oOS) 



U(. 



a.b)= -^ f U,(0)rfO, 

qui devient, en prenant Tare s de C pour variable independanle, 
U(«, 6)= -^ ^ U(. 






^1"- 



rin d-:> 



— r^> —r- desiirnant les derivees prises sui\ant la tangfente a C, 
ds ds ^ ^ o ' 



dans le sens direct, Mais ces derivees sent egales respectivement 

rfP rflosr , ,, ».Ao 1' • ' '. . • • .1 

a T- i ;- — (n o()o I, ces derivees etant prises suivant la 

dn dn ^ ' ' 

norniale inlerieure a C, La valeur de L (r/, b) pent done s'ecrire 



on encore 



•'.-,',. \ da dn I 

*' (.J ' 

\1( a, b )= — / U -7- ds, 
'. - . ' . d:i 



en designanl par (ii'./, y; a, b) la fonction — ^^i-^, y) — lo©''- 
Celte fonctionG(a:, >'; a. b) est \ai/onctio/i de Green^ relative au 
contour C et au point inlf rieur (a. b). D apres la definition nieme 



tl. — I'ROBLKME DE DIRICHLET. FONCTION DE (iREEN. i.Kj 

de la fonclion harmonique P(^, J'), la fonction de (ireen est d«;finic 
par les proprieles suivantes : i" elle est nulle en tout point du 
contour C; 2° a I'interieur de C, elle est egale a la somnie dune 
fonction harmonique et de — log/'- H s'ensuit quelle est harmo- 
nique dans le domaine de tout point interieur ii C, sauf dans Ic 
voisinage du jioint (a, b) ou elle est inhnie comme 

— - \o<^[(x — a)--^ (y — ^ )-j. 

La connaissance de cette fonction de Green pour le contour C 
permet, on le voit, de resoudre le probleme de Dirichlet interieur 
pour ce c(mtour, quelle que soil la fonction donnee \J(s) sur C. 
A. ce point de vue, la fonction de Green se rapproche de la 
fonction n(x,y; c, r,') de Riemann (n° i98). Mais, landis que la 
fonction de Riemann est independante du contour pour lequel on 
veut resoudre le probleme de Cauchy, el ne depend que des coef- 
ficients de requation, la fonction de Green depend du contour C 
lui-meme; de plus, elle admel un infini logarithmique, tandis que 
la fonction de Riemann est continue. A chaque contour ferme 
de I'espece consideree correspond une fonclion de Green; la 
recherche de celte fonction revienl a trouver une representation 
conforme du domaine interieur D sur un cercle, c'est-a-dire a 
resoudre un cas particulier du probleme meme de Dirichlet. 

Dans quelques cas simples, la fonclion de Green est facile a 
obtenir. Prenons d'abord un cercle de rayon R; soient P un 
point interieur a une distance z du centre, P, le point conjugue 
harmonique de P par rapport aux exlremites du diametre passant 
par P, /■ et /•( les distances d'un point M aux points P et l\. Le 

rapport ^ est egal a -^ en lout point de la circonference; la fonc- 

'' ? 

lion log I ^—^ \ = \og('-^ \ — log/" est la fonclion de Green rela- 
tive au cercle, car elle est nulle sur la circonference, et lo;,^( ^^ j 

est harmonique a Tinterieur. En remplacanl G par cette expres- 
sion dans la formule generale (3-), on retrouve precisemenl la 
formule ( 16) (n" 508). Prenons encore le contour compose d'une 
demi-clrconference AMB et du diametre AB. Soient P un point 
interieur, P, le conjugue harmonique de P par rapport aux extr('- 
miles du diametre passant par P, P' et P', les symetriques de l^ el 



72'> illM'lllli: \\\II. — KOI ATIONS I.INKAIUKS 1)11 TM'K KI.I.IPTKU I.. 

(Ic r, . ri'lali\<-mt'iil an (liaiiiflrc AU ; /•, /•, , /', /• ', , los dislancos dnu 
|)(iint M.iu\ poiiiH I'. I',. I'. I',. ( )ii \ rnlic aist'incnl (jiic 1 e\prrs- 

sion loi; I -!— ) est la ioiicliun de Circoii relative a ce conloiir. 

L'aiiillct^ (111 n" 'iOX. par Icipicl on fall »iis|iai"ailre lo lerme 

en -;— dans la torniule iit'-nciale ( i.i ), lorsqiie le conlunr C est unc 
an " . ' 1 

circonleronce, n'-ussit pri''cis(''inent parce qu'on connait a priori la 

lunclion do (ireen ponr ce (Minion i-. Le nieine ai'tifioe rcnssll ponr 

nn eontdiir (|iit'lcoiiipif, >i Ton connail la ionelion de Green 

(.j(.r, )■; a. b) corrosjiondanle. \a\ cllel, la function 

G( T, t; «, b) ~ log/' 
etant liarinonitjuc a 1 inlt'rieur dii conlonr C. on a la relation 

Ln ajoulanl nienihre a nienibre les forniules (i.i) el (38), el 
en ol)ser\anl qne G est nnl siir C, on retrouve la formule (3"). 

Celte demonstration a lavantage de s'appliquer a un domaine a 
connexion niultiplo. on liniite par plusieurs coiirhes fermees dis- 
tincles. l.a function de (ireen, pour un pareil contour, est definie 
par les nicnies conditions que plus haul; elle doit s'annuler sur le 
contour, el elre egale a linlerieur a la somme d'une fonclion liar- 
nionique et de — log/', /' designant toujours la distance du point 
(x. y) a un point interieur (V/, b). Mais la demonstration suppose 

que —1- exisle sur le contour j>our la lunclion liarnionique clier- 

cliee ( '). iVjur le cas dune couronne circulaire, on Irouvera le 
calcul plus loin {Kxrrcicc l^). 



(') Lorsque les diverses parlies clu contour C se coniposcnl dun nombre fiiii 
dares analytiques reguliers, on pcul aisemenl completer la demonstration. D'une 
part, les metliodes de Schwarz permetlent de demontrer que le probleme de 
Dirichlet a une solution pour ce domaine. La fonction de Green existe done, 
puisqu'on I'oblient en ajoulant a — log/' une fonction harnionique P(a:, y; a, b) 
qui prend les mcmes valeurs que logr sur le contour. Cette fonction P, prenant 
des valeurs aoalytiques le long des arcs analj'tiques du contour, pent 6tre pro- 

longee en dehors du domaine, et par suite -r— existe sur le contour. Nous nc 

an 

pouvons pas affirmer <jue —j- existe aussi sur le contour pour la fonction bar- 



II. — PRoni.EMK I)E DIRICIILKT. FONCTION I)E GREEN. -19.1 

On peut aussi definir la fonclion de Green pour le probleme exterieur 
relatif a un doniaine eO s'etendanl a liufini et limite par uiie ou plusieurs 
courbes fermees qui forment le conlour G de ce domaine. Suit P un point 
quelconque de iX), de coordonnees (a, b). 

La fonction de Green G(x,y, «, 6), relative au contour C |)Our le pro- 
bleme exterieur, est definie par les proprietes suivantes : elle est nulle en 
tout point de C, reguliere a Tinfini et harmonique dans le voisinage do 
tout point tie (0, sauf dans le voisinage du point (a, b), ou elle est infinie 

comnie — - log[(jr — a)2-t- (jj- — b )-\. Pour trouver la valeur I' (a, b) au 

point P d'une fonrtion harmonique dans (.0, reguliere a linfini, et prenanl 
des valeurs donnees snr le contour C, il suffit d'appliqner la formule (ii/ 
aux deux fonctions U et G{x, y\ a, b), qui sont harmoniques dans le 
domaine CO', obtenu en supprimant de (Jt) la portion interieure a une cir- 
conference y de rayon tres petit, ayant le point P pour centre. En faisant 
tendre vers zero le rayon de y, et en reprenant le caicul du n" oU7. on 
obtient facilement la formule 



(39) Ufa. b) = — f \]^ ds, 

i-.J^ da 



la derivee etant prise suivant la direction qui penetre dans le domaine Ot) ( ' ). 
Dans le cas dun cercle, la fonction de Green pour le probleme exterieur 

, /MP, d\ ^ . ,. .., . ,^ 

est log I — 1, Pi etant le point conjugue harmonique de P par rap- 

port aux extremites du diametre passant par P, "SI un point quelconque, 
R le rayon, d la distance du point P au centre. On trouve, en faisant le 



monique U qui prend une suite de valeurs donnees U(s) sur C. Pour tourner la 
difficuite, prenons sur chaque arc de C une fonclion analylique V(5) telle 
queiU(5) — V(s)| soil <£ en chaque point de C. La fonclion harmonique \ 
qui est egale a \ (s) sur le contour peul ^Ire prolongee en dehors, et par suite, 

d\ 

-7- existe sur C. On peut done appliquer a celle fonction harmonique V la for- 
mule generale (07). U'autre part, la difference U — V est inferienre a £ en tout 
point interieur. Dans I'identite 

les deux parlies du second membre sont nioindres que z {voir n" 519), et par 
suite la valeur absolue du premier membre est inferieure a as; s etant arbilraire, 
ce premier membre est done nul. 

(') II est essenliel de remarquer que la fonction G h- logr n'est pas reguliere 
a riofini, de sorte qu'on ne peut appliquer la formule (11) aux deux fonctions L 
et G ■+■ log/- le long de C. Au conlraire, la methode suivie pour etablir la for- 
mule (Sq) dans le cas du probleme exterieur s'applique sans modification au 
probleme interieur. 



•iix nivi'iruE \\\ii. — KyiATiONs i.im;.viiu;s du tvim-; ki.i.ii'tioi i:. 
oalcul, iiiio foiiinilf toute pareille .t oollc tie I'oisson, 



I r d^—iv- 

-I.. :>. It /•* 



qui se \eiirio ile Ii tiieiue l"j<;oii en mellanl on oviilenoe un polenliel ile 
cli'iililo coiirlie 

«*l en appliqiiant le^ propiictos connue? dc ce polenliel (n" oOo). 

310. Proprietes de la fonction de Green. — La ionclion de 
Cireen ij{x,y\ ;, r^) depend de deux couples de variables (x, y), 
{ H, r,V Kile n'a ele delinie jusqu'ici (en nous bornanl au prohleme 
inlerieur) que lorsque le point ( ;, r,) est intrrieitr au contour C, 
le point (x, r) elaut liii-menie a Tinterleur ou sur le contour C, 
niais diffevent du point ( ;, y,). Solent (a, 6), («', V) deux points 
quelconqucs Interleurs a C, y et y' deux cercles de rayons tres 
petlts p, z . decrlts de ces points pour centres et sllues tout entlers 
dans le tloniaine D. Les deux fonctlons 

(j{x.y\a,b) el G' = G(j7, ^; a', 6') 

sont harmonlques dans ie domalne D' llmite par G et les deux cir- 
conferences v, v'. En observant que G = G'= o le long de C, la 
formule geuerale ( i i ) conduit a la relation 



/■(g^-c 



dn 



dG 

dn 



ds 



-IM 



dn 



G'^)ds = o, 



la dt-rivi-e ♦■tant prise suivant la direction de la normale exterieure 
au cercle. Dans le voislnage du point (a, /^), la fonction 

G(ar, y; a, b) 

est de la forjue — \o<^r -r- g(x, y), g(x, y) etant liarmonique et 
/• etant la distance du point (x, y) au point (a, b). L'inlegrale le 
long: de *' se redult done a 

= 1T.G' (a, b ; a' , b' ). 
L'inlegrale le long de y' est de meme egale a 
— i-0(a' , U \ a, b). 



II. — PHOiii.KMi: [)!•: DimriiLET. fonctiox dk green. 1'?.'i 

En rein|)la(;itiit (a, b) par (jc, r) el («', b') j)ar (^, yJ, nous 
«»blenons la rolalion fondainenlale 

< io) G(r, j; i, T,; = G(;, r,: x,y). 

\a\ fcjnclion Qi[x,y\ ;, rj) est done syniclrujue par rapport aux 
deux couples de variables (.r, r), (q, vi) el, j>ar suite, c'est une 
lonction harinonique de (c, rj) en lout point du domaine D, sauf 
au point ^ = .r, r| = )•. En resume, conslderons dans I'espacc a 
tjuatre dimensions (\r, )■; ^, 7,) le domaine Pij defini en faisant 
decrire a chacun des points [x^ y)^ (;, r, ) le domaine D el le con- 
lour C; la fonclion G(j7, y; ;, t,) a une valeur determince en 
cliaque point de R4, sauf sur la variete a deux dimensions H = x, 
r, =JK. Elle est nulle lorsque I'un des points (^x,y), (q, Ti ) vient 
sur le contour C. Elle est liarmonique par rapport a chacun des 
deux couples de variables (x,y), (^, f\) dans le voisinage de tout 
point inlerieur au domaine R4, non situe sur la variete singuliere; 
elle ne change pas (juand on permute les deux couples de va- 
riables (.r, j), (;, •/;). 

Cette fonclion esL constammenl positive, si les deux points 
(o", y)^ (c, r, ) sont a I'interieur de C. En effet, consideree comme 
fonclion de (x, j), elle est nulle sur C el egale a +c» au point (c, Tj). 

11 en resulte que la derivee —j~ est positive en tout point de C, 

puisque G ne pent aller qu'en croissant quand on se deplace vers 

I'interieur. f/integrale / —j^ cls^ dont tons les elements sont po- 

silifs, est egale a 2 7t; car, si la fonclion U est egale a un sur C, on 
a aussi en tout point inlerieur, U(rt, ^) = i. 

Soient x = <f(x',y'), y^ <b{x\ y' ) des formules definissant une trans- 
formation confonne, permettant dappliquer le domaine D, limile par 
le contour G, sur un autre domaine D', limile par un contour G', de 
facon quil y ait correspondance univoque entre les points des deux do- 
maines at des deux contours. La fonclion de Green G{x^ y; ^, tj), relative 
au contour G, se change en une fonclion G(cp, <];; ^, t^) des variables x',y' 
qui est nulle sur G' at harmonique dans le domaine D', sauf dans le voisi- 
nage du point f^, If)') qui correspond au point (^, 'l)- En elTet, G(x, y; ;, r, ) 
est la partie reelle d'une fonclion analylique F(^) de la forme 

,^(3)-log(5 — J-r.O, 
g(z) etant une fonclion holomorplie dans le domaine D. Apres la trans- 



22 1 rilVPlTRK WVII. — hX)l VTION-i I.INKMUES DV TYI'n ELI.IPTIQli:. 

formation x -t- iy = '^ -i- i'l. F se change cmi uiie fonclion analyliqiie 

F,(c') = F,(T'-4-iy), 

(]ui est tie la forme 

fTiiz') — log(-'— ;'— t//). 

^,(3') etant holomorphe dans D'. It suit ile la que, dans le domaine du 
point (;', T,'), la fi)ncti'in G('i. 'l; ;, t, ) est egale ii 

— i log[Cx'— I';2h-(^'— r/)2J, 

augmente dune partie reguliere. On a done 

G['f(j-'. j'», 'l(x\y'); I rj = G'(x\y; t\ r/), 

G' elanl la fonction de Green pour le contour C'. oii le point singulier (;', r/) 
correspond au point (;, t, i par la transformation consideree. 

En particulier, si le domaine D est liniite par une seule courbc fermee C, 
on pent faire I'application de ce domaine sur un cercle; ce qui rend 
intuitives certaines proprietes de la fonction de Green (>). Si, par une 
inversion, on remplace le cercle par un demi-plan, par exemple par le 
demi-plan superieur du plan des xy, la fonction de Green est remplacee 
par une fonction g'{x, y. ;, r, ) qui doit elre nulle le long de I'axe des x^ 
harmonique en lout point de ce demi-plan sauf en un point (\, r^) qu'elle 
admet comme inlini logarithmique, et tendre vers zero lorsque {x'^-^y-} 
croit indefiniment. Cette fonction est evidemment 



2 •l{^ — c)--^Ky—-r,)-\ 



III. — EQUATION GENERALE DL TYPE ELLIF'TIOL E. 

520. Extension du probleme de Dirichlet. — Le raisonnemenl 
par lequel on a etabli que le probleme de Dirichlet, pour ['equation 
de Laplace, ne peut admettre |)lu5ieurs solutions, s'etend aise- 
inent. dans certains cas, a I'equation generale du type elliptique, 
ramenee a la forme canonique (n" 479) 



UO 



F(a) 



0- II 
ox- 



0- u 



Oil 'III 

a i- i^ ■- cu = /(x, v), 

dx Oy '' -^ " 



«, //, c, f etant des fonctions continues des variables a: el y dans Ics 
domaines dont il sera question. Le probleme de Dirichlet genera- 



ls ; J. IIadamard. IJulletin de la Societe inalhemalique (seance du js juin 191 1 j- 



III. — KQiATiox (;i':m;u\i,i: di tvim: ki.i.iituji k. iaa 

lisc consisle encore a determiner une integrale de rcquation ( ii), 
reyuliere dans un domaine borne D, limite par un contour C, et 
prenant siir ce contour une suite continue de \aleurs donnees. 
(](' prohlriiif ue peut adinelire |>iiis d une suhilion. si Ic coeffi- 
cient c est negalif oil nul. en l(jiit point de IJ. La nietliode ele- 
mentaire suivante est due a M. Paraf. 

Supposons d'abord que le coefficient c ait une valeur negative 
en tout point de D. Si le probleme propose admettait deux solu- 
tions, leur difterence v serait une integrale de I'equation homo- 
gene F((')=:o, reguliere dans le dom;iine D, et nulle sur le con- 
tour. Si cette dilTerence n'est pas idenliquenienl nulle, elle prend 
des valeurs positives ou des valeurs negatives a linterieur de D, 
et par consequent passe par un maximum posilif ou par un minimum 
negatif pour un point (xo,yoj de ce domaine. Le second cas se 
ramenant au premier par le changement de v en — 4", nous pou- 
vons supposer f|u'au point (jto^JKo), 'a fonction v[x^ y) a un 
maximum />05/7//' r„. D'apres la tlieorie generale (1, n"-47), on 
devrait ;ivoir en ce point 

conditions qui sont iiicompatibles avec les equations F(^r)=o, 
<'o > t>, pour le point (xq, JKo)- H ne pent done exister d'integrale 
de F(c) = o satisf'aisant aux conditions voulues. 

Le cas ou le coefficient c n'est posilif en aucun point du 
domaine D se ramene au cas precedent en posant v = ziv, :• etant 
une fonction de x et dey, reguliere dans D et ne s'annulant en 
aucun point de ce domaine ni du contour. L'equation F(t-')= o 
est remplncee p;ir une (Mpiation de meme forme oii le coefficient 

d«; w est — —• Lour que la concltisioii |)recedenle subsiste, il suffit 

qu'on puisse clioisir la fonction c de telle fiicon qu'on ait, dans lout 
le domaine D, c >> o, F(:;)<;<>, Tegalite etant exclue. Or, si Ion 
prend pour :: une fonction de la forme V — e'^', A et a etant deux 
constanles positives, on a F(;)=:cA — ( 7.- + «a -h c)<?^-^, et ce 
resultat est negatif. quel que soit A, dans le domaine considere, 
pourvu fpie a- + rta + c soit [jositif en tout |)()int de I), condition 
a larpielle on pent loujoiirs satisfaire en prenant le nombre positif a 
assez grand. Ce nombre a etant ainsi determine, il suifira de 
G.. III. 10 



a»(> iiivi'iiiii; wvii. — i:or\ii<>N>* i.im:\iui:s m rvi-i: Ki.i.ii'iiyi t:. 
nrfinlrr potir \ mi noinlnc |t(i"<ilil Mipericnr ;iii iiiii\miiiin i\v e^'' 
ilaiis I). On voil on |)ailiciilior <|iit', lorsque c est mil, roqualion (^4 i) 
lie pciil ailmollre plus ilunc inlci;ralo rei;iili»'ro <lans Ic donialne D, 
el j>renanl des \aleiirs donnees snr le eonloiir. 

I -a ('(inclnsioii ne |>eiil •■Ire ('leiidiii' an (:(> oil le coeflicieiil c prcnd 
des valems positixes dans I). l*ar eveniple 1 (''(jualion \u-h2u=o 
admet Tinlejjrale /^ ^ sin.r sin^^, (jiii est re^niiere a linlerleur du 
carre limitc pai- les droiles .?" = o, ./• = ", i' = o, y = ", et qui est 
nulle sur le eonloui-. 

On deduit aussi de ce (jui pieeede la eouelusion suivanle : le 
probleme |)ropose pour leijuation (4' ) ne pent admeltre j)lusieui"s 
solutions, lorsque lequaliun F[i()=o adrnel une integrate parti- 
culiere //|, rei;uliere dans ce doaiaine, el ne s'annulanl pas dans iJ 
ni sur le contour. La transformation // = //, c conduira, en ellet, a 
une (''quatu)ii de uieuie forme en c, donl les coefficients seront des 
fouctions continues et ou le coefficient dee sera mil. Nous venous 
de voir (jue la nouvelle equation ne peut admettre plusieurs inle- 
grales I'egulieres prenant les memes valeurs sur C. 

Soil (o-fl, ■»'o) I'll point quelconque du plan; loule integrale u, 
de I'equation F(« )= o, regulierc dans le doinaine de ce point et 
prenant une valeur positive pour x = jr„, y = y^, est eertainement 
positive dans le voisinage. Si Ton |)rencl une eourhe fermee v, 
entourant le |ioint (x„, io ) et assez voisine de ce point pour (jue 
1 integrale u, soit |)osilive a linterieur, nous pouvons appiicpier ce 
qui precede an domaine limit*- par la eourhe ". i^ar consequent. 
Tequalion (4i ) ne peut admettre plus dune integrale prenant une 
suite de valeurs donnees sur une courbe fermee c entourant un 
point quelconque (xo, yo)i el reguliere a linterieur de *', pourvu 
que cette courbe soit suJ/isa/n/ne/U pelile. Ce qui precede 
ex|)lique le sens quon doit attaclier a ces mots. 

5^21. Etude de I'equation \u =f{T,r). — Suivaiil le ineme ordre 
que pour les equations du type liyperboli(|ue ( (>liap. XXV^l), nous 
commencernns par etudier I'equalion simple 



(\i) 



Or - 



0- If 



oy^- 



- =fix.y). 



Nous nous proposuns de Irouver une integrale de cette equation, 



III. — KolATiO.N (iK.NKIl VI.K HI' TVl'i; KI.MI'lIni i:. ^'27 

rc:j.;iilii're a I'intci-iciir (run (lomaiiie I), liinili' par iia conlour G, 
et niillc siir ce coulour; nous Icrons Ar. |)liis I'll ypolhcse que la 
fonclioii /{x, y) adinel ties derivces pailielles du j)remler ordre 
conlinues dans ce domaine el sur le eonlour il. D'apres le nuinero 
precedent, ce probleine ne peuta\i)ir plusieurs solutions ; ce qu'on 
voit direclement aussl, en oi)servanL que, sil en exislail denx, 
leur difference serait nne fonction iiannonique dans D, et nulle 
surC. Si I'on connait une integrale reguliere quelconque Hf [x, y) 
de Iccjualion [.\'2 ), h; pro])l(''nie se ranicne iinniedialeiuenl an pro- 
bleine de Dirichlet; |)(uir ohtenir la lonclion cliercliee, il siitfU 
dajouler a i(i(x, r) la fonclion liarnionlque dans D qui prend la 
nieme valcur (|ue — //) en cliaque point dn contour. Par exeniple, 
lorsquey(j7, j'j sc reduit a 1 unite, on obtient 1 integrale de lequa- 

tlon \i( = I, qui est nulle sur C, en ajoutanl a ' 7-^ — la fonclion 

I 

arniorncpie qui esl egale a — " — y^ — en (diaque [)oinl de C. 



hs 



Adinetlonsrexislence d'une inlegrale l]{x,y) de lecjualion (42), 
salisfaisanl a la condition voulue, et appliqnons la fonnule gene- 
rale de Green aux deux fonctions U( ;, 7,) el G(.r, y; c, r,) des 
variables c, y,, G elant la fonction de Green relative au contour C 
pour le [)roblt'nie interieur. Ces deux fonclions sont regulieres 
dans le domaine 13' liniite par G et par une circonference v de 
rajon Ires petit £ avanl ponr centre le point [x, y) de D. En 
tenant coin{)te de I'equalion (i'i) elle-meine et de ce fait que les 
deux fonclions L et G sont nulles sur G, on obtient la relation 



/ f Al-rr,)Gix,y;lr,)d^;dr,^^fJ^\]a,-0'-^^-G 



dn 



ds, 



les derivees etant prises suivant la direction de la nonnale exte- 
rieure au cercle y. Dans le domaine du point (x, )), on peul rem- 
placer G par g'{x, y; c, r, ) — log/", .^ etant une fonclion harmo- 
nique, et /• designant la distance des deuv |)oiiits (.r, ) ), (;, •/•,). 
I^orsque le rajon s lend vers zero, le seul lerine de Fintegrale 



curviligne (|ui ne lende pas vers zero est 



•Ay, 



T dlos,- 



(Is qui a 



pour liinile — 2-[J(.r, >). La fonction (diercliee, si ellc existe, a 
done pour expression 

M3) ^{-r, 7) = - ^_ f J /r^, rjG(r, y; I T;) d'-dv,. 



' '^ iiivi'inii: xwii. — KyLATMNs i.im:aiim:s or typk ii.i.iprioi k. 

Inverscmoiit, la I'onclioii ('(.r. »), repi'csiMilce par cellc lorinulc 
salisfail a l<tiii(>s Ics ntiuiitions voiilues. Considrrons d'abord un 
doinaine A, Iciiil etilit r inU'rieur a I); l(irs(|ii(' Ic |)(iint (x^y) rcste 
dans Ic domainc A, on pout ('-rriro 

'■ - • III 

.irelanl une fonclion lia!-nioi)i<|iic ile (.r, j^). Par conse(juent U(x, j') 
esl la sonime dune fonclion liarnionic|iie et d'lin jjolentiel loga- 
rilliniicjiie {voir jilus loin n" ^37 ). La fonclion /"(.r, y^ ayant des 
deri\ees conlinues, on peiil a|i|)li(|iicr la fiirinnle de Poisson 
(n" o37~), ct la fonclion \L{x^ y) salisfail bien a la rclalion ( \i) en 
toul poinl inlcrieur au doinaine D. 11 rcsle a d(''monlrer epic cetle 
fonclion U(j*, y) tend \crs zero lors(jue ic poinl ix^y") lend vers 
un point qiielconque dn contour C. Or i! est clair que la valeur 
alisoluc de L est infeiieure a 



■^ f f G(T,y:lr,)cndr, 



M clant une liniile snperieure de j/Va:', y)\. Dailleurs I'integrale 
double 






reprcsenle preciscnienl lintegrale de I (Wpiation Aw = i rpii est 
nulle sur le contour C, fonclion dont rexistence a etc etablie 
l<jul a riieure. Gelle exj)ressiou lend done \ers zero lorsqiie le 
poinl (\r, y) lend vers un point du contour C, et par suite il en est 
de meme de la fonclion U(x, jk), represent('e |iar la formule (43). 

Ueinaifjiic. — Lorsque la loncliony (a:, j^) est analjti(pi(;, toule 
inlegrale de r»'qualion (42) est elle-niemeanaljtique. Soil en elfet 
(jro,.)'o) "n point quelconque; I'equation (4^) admet evideininent 
une infinite dintegrales analvtiques regulieres dans le domaine de 
ce point. Soil Ui{x,y) une d'elles; toute autre int<''grale r('-gtiliere 
dans ce domaine est la soniine de «,(x,y) el d'une fonclion liar- 
m<jnique, c"est-a-dire une fonclion analytifpie, 



III. — l':Ol \TIO.\ GKNEUALK HI TVI'i; i;i.I,l I'TIOl IC. \>.?JJ 

o!2i2. Methode de M. Picard. — La prciiiirre mclliode ('iii])lov(je 
par M. 1*^. I'icard pour rcsoudre Ic prohlenie de Diriclilcl relalif a 
requalion ( 1 1 ) est encore unc inelhode d'approximalioiis sticces- 
sives, Ires analogue, an nioins dans la marche generale des calculs, 
a celle des n"^ iOi, 495, oOl). Rcrivons I'ecpiation ( i ) sous la forme 
sui\anle 

(44) A» = /J a j;.-^ ^ ^^-^ c" ) -^Z^^- y)- 

A (''lanl uu j)aramelre auxiliaire cpTon reni|)lacera ensuitc par — i 
dans le rc'sultat. On se proj)os(; de determiner une integrale de 
celle equation, reguliere a I'interieur dun contour ferme C, et 
prenant sur ce contour une suite continue de \aleurs donnees. 
Pour cela, nous chcrcherons d ahord une solution fornielle ' 

(Vi) u(x, j)= Uo{x, y)^\ii;{x, y)-^...-^ l"u„(x, y)-h..., 

toules les fonctions (/q, //(, ..., i(„, ..., elant regulieres a I'inte- 
rieur du contour C, Uo{^jy) prenant les valeurs donnees sur C, 
et toutes les aulres fonctions ;/,, i(.2, ..., elant nulles sur ce con- 
lour. Ges fonctions sont deterniinees paries equations 

I A«o=/(^, r), 

duo diin 

Ami = a -i- u — 1- cuo, 

' <Jx ()r 

(40; / 

/ i Af<> = a •- • -f- CM]. 

dx cly 



joinles aux conditions aiix liiuites. La premiere fouclion Uii(^x, }') 
s'ohtient en ajoulanl a la fonclion L(x, ')') donnee |)ar la for- 
mule (4>)i 1^1 fonclion liarmonique qui prend les valeurs donnees 
sur C. Une fois la fonclion //()(.r, y) connue, les fonctions sui- 
vanles u^{x, y), //ofx, r), .■•, se calculent de proclie en proclie 
par lapplication repetee de la formule (4'^)- Moyennanl (;erlaines 
hypotheses sur le contour C, les valeurs donnees de la fonclion 
inconnue sur ce contour, el les coefficients a, b, c, f, M. i*icard 
parvienl ;i demonlrer que la serie ( io } el celles qu'on en deduit 
en prenant les derivees partielles justpTau second ordre sonl uni- 
formcment convergenles pour A= — i, de sorte que la fonc- 
lion n(.jc,y) donne bien la solution du probleme, Sa methode 



v3o riiviMTni: \xvii. — kqimions i.inkmucs nr tvpi: ki.i.iptioi k. 
s"appli(|iio aiis>i, dans ctMlaiiis cas. aii\ rqiialions 

./ On Ou\ 

mais. (1 iiMc iiiaiutif j;('-nc ralo. Ics conclusions soul inoiiis |iircis('s 
(|iic |)(»ur Ics ((jiialloiis dn |v|u' liv|)t'rl)o|i(|ii(>. Nous en ncmious la 
laison pins loin. Nous I'envnrons, ])f>nr Ics dtMiionslralious, anx 
tra\aux cites plus haul. 

(S.c |)roccde de calcul inel snr la noic dune pioposilion inipoi- 
lantc. Lorsque les coeflicienls a, />, c, / sonl des fonclions ana- 
Ivliques, Ions les ternies de la serie ( ^T) i sonl eu\-incnies des 
fonclions analvticpies (n" ^)2I ). Lne etude |)lus apijiolondie de 
celle S(''iMc monlrc (pi il tn est de niciue de la sotnnic de la serie, 
ce (|ui a conduit M. Picard a un tlieoremc inijiortanl : Lorscjuc les 
roc/Jicienls de l' e<iiiation { \ i )sont anntyliques, loiiles les inte- 
grales soiK etles-nirmes des fonclions analyli</iies. (letle pro- 
position a etc depuis generalisec par M. Serine liernslein ('). 

523. Fonction de Green pour I'equation generale du type ellip- 
tique. — On a \n plus haul (pie la connaissance de la fonction de 
Green pour un contour C |)erniel de resoudre le problenie de Di- 
richlet pour cc contour, quclles que soient les donnecs snr C. On 
saura de ineme resoudre le prohlcine de Dinchlel relalif a un 
contour C, pour une e(jualion quelconqiie du tvpe elliptique, si 
Ion peut determiner une fonction unicpie, satisfaisant a cerlaines 
conditions qui vont etre expliquees. 

Reprenons d'ahord la forinule j^enerale (40 tlu n" i97, qui jouc 
un vC)\c fondaniental flans la niethode de Riemann. Dans le cas de 
I'ecjuation ellipti(pie 



(Hi) 



J( u) = 



0- U 
Ox- 



requation adjoinle est 
(48) ()'u; = 



(/^ c 



o- a 

'op 



(J-V 

or 



Ou 



, du 

b 1- Cii =: O, 



d(av) Oilw) 
Ox Of 



-4- CP = O, 



(') Ttiese de Doctoral (i()o4). On peul aussi elendre ie iheorcme de Ilarnack 
( n" 510 ) 5ur les series a terrnes posilifs el liarinoniques aux series a Icrmcs posilifs, 
dont les termcs sont des inlegraies de i'equation ( 41 ), oil I'on fait/" = o. ( Lichten- 
STKIN, Bendiconii del Circolo malematico di Palermo, t. XWIII, 1912, p. 201.) 



III. — EQVVTioN (;i:nku\i.i: m tvi'K kli.ii'tkui:. 
et Ion a. ([iielles que soiciil Ics fouctions u et r, 1 idenlite 



i\9) 



> ^ ,, <) V Oil di- T 

1 ^ '' ^ ot\ or ox J 

k r iiK dv 

I -i \ V U -r- OtH' 

oy I oy Oy 



Siipposons les fonclions // ct r rt'i;ulieres dans nn doinaine D 

.... /-It I 1 i' • / '^'f ^^ 

liinitr par iin coatoiir C, dans lequel les tonclions «, b. c. — > — 

I 1 ^ ^ ^ ox oy 

sont continues. On a aussi, d'apres lidenlite precedente, 

/ / [v5 {u) — » ()' (>" )] clx dy'= I \^Y~. — " *" '"^"^ '^•^ 

r du dv / 1 , 
— \ V u ouv ax, 

L (Jy oy J 

rintegrale curviligne etant prise dans ]e sens direct. En remplacant 
(Ix el dy par cosp' ds et — cosy.' ds, ou a' el ,3' sont les angles de 
la normale inlerieure avec les axes (n" 506), la formule prece- 
dente devient 



(3o) 



I — / i a cosoi' ^ h co^'i') uv ds, 



f/u i/v , , . II'-' • I I • ' • 

-f-j ~-r- desiiinant les denvees suivant la normale inlerieure. 

<ln (In '- 

Celte formule suppose, hien enlendu. riue les derivees — j^j 
' ' ' Ox ox 

Ou dv ,. . , 

— > — restent times sur le contour. 

oy dy 

Cela pose, soil u[x, >') nne inlegrale ([uelconque de I'equa- 

tion ^(u) =f(^x,y), reguliere dans le doinaine D, el restant finie 

, . . I ' ■ ' ■ jj da Ou ,- . ,. 

sur le contour ainsi (lue ses deri\<;es partielles -— > l5oit d autre 

1 ' dx Oy 

partc(jc,jK; ^,^i) line \n\.('.^^rn\c part icn Here de lecjualion adjoinle 

^)'(c) = o, satisfaisant a la condition suivanle : 

A. Pans le domainc D die est de la forme Ulog/'-f- V, U 
et \ etant re^^uliercs <lans ce domaine, et r etant e'^ald 

Ax — \)--^<y — -f,)-\ 



•>3i (IIM'ITIli; XWII. — I'XUATIONS l.l\KMUi;.S IH TVI'E Ul.I.II'TIUl K. 

Ic pni'nt ( ;. r^^ rsl iin fioint <ht ilomtiinc I) cl Von su/>i>osi' dc 
/>fi/s Ui ;. T, ) = — I . 

Stir \o contour (.. nous sii|i|tosons sciilcmnrit (|ih' r rrslc (inic. 

aiiisi (iiic — » — • A pplKiiions hi loiiinilc i:rn('ial«' (5o) an du- 

niaine I) liniite |)ar Ci cA par un cercle *' de rajon lrc;s petil p 
ajant pour centre le point (;, /,). Puis(ju'on a .'( t/) ^=f(x, y ) 
et <)'(»') = o dans ce domaine, la forniule devicnl 

/ / {/{J-, y) c/.r dy = j { n -i- — ^' -j- ) ds — / (a cos x'-i- /> cos 3') //iw/.v 

-+- / ( II -j *" "7~ ) '^'•^ — / (rt CO!-a'-(- /> ciis^')//r c/.v. 

la norinale iiitt'-rieure en un pcuut dt- v clanl la normale cxtcrieure 
a la courlic g;eometri(|ue. Lorsipie le ravon z tentl vers zero. 

rintr;;rale / ( a cosa'H- A cos [j' V/iv/\ tend vers zero, car un el(''- 

•^ y 

nienl de celle inlegrale est de la foiine z (/h(\.-\- Blogp), A el 1? 
reslant finis. 

Pour la nienie raison. linteirrale / r -t- ds tend aussi vers z^ro. 

Quant a 1 inte"rale / u -r- ds. elle |)eut s'ecrire 
'^ ./.. d/i ' 



>- I 



I , f/U d\ 

P 



dn 



dXl 



rfO 



el sa liniilc est e\ideniinent — ?.-//(;, r,). On a done, en passant 
a la liinite. 



(50 



\''^-'''' = i?..l.[''d7r-'-^7l7]''' 



•^(/« 



COS 'x — h c<»« 3 ) «t' ds 



^Ji 



if d:r dy . 



Si la \aleur de uix^y) esl doiinee en lous les points du con- 
lour, on pourra calculer lous les termes qui figurenl dans le second 

membre. sauf lintenrale I v -j- ds. fiui renferme -7-- Pour que 

ce lernie disparaisse. il suflira de |)rendre pour r uiie inlegrale de 
lequalion adjoinle salisfaisant a la condition A et qui soil nulle en 



III. — KoiAiioN (;i:ni':k\lk ix; rvi'i: i;i.i,ii'tk»i i;. ?.'j3 

Iniis k's points (!<■ C. La connaissancc (rune iiil('i;ralc v(x,y; q, /, ) 
de 1 equation atljoinlc satislaisant a ces di verses conditions per- 
meltra de resoudre Ic problenie dc Diricldet pour le contour C, 
quelles que soient les donnees sur le contour, car la (orniule (5i ) 
(I e VI cut alors 

(52) "(;' ■'^^)= -^ / "^ "'•""■— .7= / / ^'f{^^.y)(i^(h' 

et se reduil a la forniule (3-) elle-meme lorsque /(j7, jk)^ ^• 

La fonclion c(.r, r; ^, t^), si elle exislo, joue done exactenient 
le menie role fpic la fonctionde Green pour Tcquation de Laplace. 
La determination de cette fonction se decompose en deux pro- 
blemes distincts. On doit d'abord cherclier une solution fonda- 
inentale de I'equatiuu adjoint*; ()'((')= o, c'est-a-dire une inlc- 
grale ayant en iin point arbitraire (c, 'r{) une discontinuite loi;a- 
ritliniique de la nature qui a etc specifif^e plus haul ('). 
Ce premier probleme est independant du contour C. 
Dans le cas particulier de I'equatlon \ii =o, une solution fon- 

damentale est logf )• Dans le cas general, avant obtenu une solu- 
tion fondamentale ^ (.r, j^; q, r, ), pour avoir la fonction c(^, _)'; S, v,) 
relative an contour C, il suffira d'ajouter a cette solution fonda- 
mentale une integrale de I'equation adjointe reguhere a I'interieur 
du contour et prenant la nieme valeur que — V en chaque point 
de ce contour. On est done ramene a un cas particulier du pro- 
bleme meme de Diriclilet. Nous reviendrons plus loin sur cette 
seconde parlie du probleme. 

On pent aussi etendre a la fonction c(.r,y; q, r, ) la propriete 
etal)lie plus liaut pour la fonction de Green relalivement a 
recliange des deux couples de variables (x, y), (;, r, ). Soil 
M(x,y; q, y,) une iutrgrale d(! rcMjiiatlon J(«)=o, definie de la 
meme facon que c, c'est-a-dire nulle en tons les points de C, et de 
la forme L i log/' -h ^^ , L, el \\ ('lant des fonctions regulieres 
dans le domaine D, et I i ( ?, '/■, ) clanl egal a — i. Prenons deux 



(') L'exislence de cellc solulion, lorsque les coefficients a, I), c sonl analv- 
liques. a d'ai)ord ele elablic dans nn cas particulier par M. I'icard, puis dans le 
cas general par MM. Hilbert, Iledrick et Iladamard (uo/Vle Memoire deji cite de 
M. Iladamard, Annates de I'Ecote iXormafe, 1900, p. 535 et suiv.)- 



•j3\ tllMMTUK \XVII. — KQIATIONS I,IM:\IUI:S 111- TYPK ICLMI'TIOI'I-. 

|i(imls (|ii('l(c)iu[ii('S ((/, b), [a\ I/) <lii domiiiiu' l>. el a|)|tli(jiions 
l;i I'dihuiIc gtiierale (jo) aiix deux lonclions ft[.r, y; a\ b'), 
!•(./■, y: (I, b) dans Ir doinainc I)' foriiu' par la portion dc I) <pii 
est exlt'rieurr a deux crrclcs -', ••', dr ravens Ires jielils o, o' avanl 
respediN cinciil pom- tenlit's Ics dciix points (r/, A), («■/', b'). L'in- 
U''i;ralr cur\ili^ne le Ion:; de C csl nullo, el Ton dcnionlre comnie 
tout a riiciire (pie los inl('i;rales le lonj; de v el de v' ont respecti- 
venient |)onr liinites — 2~u{(/, b: a\ b') el 27:('(a', b' \ «, 6), 
lors(pic s, z' lendcnl vers zero. ( )n a donr. en reiiiplarant (rt, b) 
par (.r, )'), el {(t\ b') par (H, r,), la relation d'(''cliani;e 



(54) 



"^■^, r; ;, •'- )= ''(;, tq; ^,r)^ 



tont a lait senihlahle a celles cpii ont ele ('lahlics potir la lonction 
de liicnuum (^n" 11)8) et pour la lonction do dreen, et dent on pent 
tirer les inenies consecpiences. Mais il est essenliel de rcmarcjuer 
tjue la fonclion u{x, y, ;, r, ) ne depend pas seulement de I'erjua- 
tion elle-nienie, coninic la lonction de Ricniann, niais aussi du 
contour C. 

o'l\. Problemes mixtes elliptiques. — La fonmilc (5i ) perniel d'aborder 
des problemes plus generaiix que le prubleme de Diiicliiel. Dans celte for- 
mule on a, sous le signe integral, une expression bilineaire par rapport aux 

deux couples dc variables ( «, -y- 1, (r, -y- ) • Supposons qu'au lieu de se 

donrier ki valeur de a sur le contour C, on se donnc une relation lineaire 

enlre a et -7—. qui doit etre veiifiee en toul iioint de C, 
an 



(5->) 



H « -T- K -— = L. 
an 



H, K, litanl des conslantes, ou des fonclions connues en cliaque point du 
contour, qui peuvent d'ailleurs avoir un nombie quelconque de points de 
discontinuites sur ce contour, el L une fonclion donnee sur C. Par exernple, 

on pcul se doiincr la valeur de —j— en cliaque point de C, ou la valeur de u 

sur certaines portions tie C, el la valeur de -7— sur le rcste du contour. La 

an 

fonclion sous le signe integial dans la forniule (iij sera elle-meme connue 

si les coefficients de u et de — — sont pioporlionnels aux coefficients H et K, 

an 

ce qui exige que I'inlegrale v de I'equalion adjoinle verifie elle-meme le 



in. — kQlATKlX (iKNKRAI.i: 1)1 TVI'i: KI.LIITIQl i;. 23i 

liinj; <lu contour C la relalion 

. dv 

(56) K -; ^ r( II — a\\ cos a — b\\ cos 3') ^^o. 

da 

Un oluiondra ciicoie celle fonclioii r en ajoulanl a une solution fonda- 
mentale W(x,y\ ;, t;) une inlegrale I'l de I'equalion adjointe, reguliere a 
rinli'-rieur du contour C, et salisfaisanl sur ce contour a la relation 

/f/('i d\\ , ,-x., ,, o, iH 

— ; ! — -- 1 -H ( I'l -f- \ )(/ — rt cos a — b cos i ) = o, / = — ; 

\ da dn J ' K 

ce qui est un cas |)articulier du |>rnldeine i;ent''ral f|u'il s'agit de rcsoudre. 
La connaissanrc de cette fonction K'ix^ y\ c, r,) permellra encore de resoudre 
le problenie niixte propose, quelles que soient les valeursde L dans la for- 
mule (55) qui expriine les conditions au\ limiles. 

On conceit ainsi I'existence dune infinite de fonctions dependant de deux 
couples de variables (ar, ^), (^, r, ), dont chacune joue le role de la fonc- 
tion de Green pour un problemc aux limites du type elliptique. Ces fonc- 
tions dependent a la fois de I'equation, du contour C. ct aussi de la nature 
nieme du probleine, c'est-a-dire des coefficients H el Iv. 11 est clair que ce 
sont la seulement des vues generales, qui ont besoin d'etre precisees dans 
chaque cas particulier, et il peut arriver que les conditions auxquelles 
devrait satisfaire la fonction v soient incompatibles. 

Un exemple simple de ce cas est fourni par le Probleine de Neumann 
qui oonsistc a determiner une fonction u{x, y), liarmonir/ue a I'inte- 

rieur dun contour, connaissant la valeur de -r- sur le contour. 

dn 

Soil 1 '(M) la \alcur donnce de —r- en cliaque point M du contour G; 

dn 

d'apres la propriele generale exprimee par la relation ( \i) ( n" o06), cette 

fonction u(x,y) ne peut exister que si la fonction donnee U'(M) satisfail 

a la condition 

(5;) C\}'{'S\)ds = o. 

(>ela suffit pour prouver quil n'existe pas (Je solution de lequation Ac = o, 

, ,, . . , dv . „ ^ ...,...,,.. 

• iont la dcrivte noiinale -7- soit nulle sur L., et qui soit reiruliere a 1 inte- 
dn 

rieur', sauf dans le domaine dun point ( \, r, ) qui e>L un infini logarillimique. 

Kn eflet, cette fonction v serait harmonique dans h; domaine limite par C. 

et un cercle y de rayon tres petit p deciit du point ( ;. tj ) pour centre, et 

ion devrait avoir / — — ds = o, puisque -;— est nul sur C. Or le calcul fait 
J., dn dn 

touta riieure prouve que cette inlegrale lendrait vers i:: qua nd p tend vers 
/.tro. 

Lorsquc la condition (67) est verifiee, le probleme <le Neumann se ramene 



asr. 



CllMMTUi; WVII 



KOi'ATioNS i.im:.\iiii.s in rvi'i: i.i.i.iinniri;. 



;)ii pri>bloine <lo hirii-lilcl ; nmis nuns lnniu'i'oiis ;iii cas diiiii' aire i'l con- 
tour simplf. ICii tflt'l. considorons i^iir le conloiir ( ', la foinlioii 



\is) = / V'(M)fis, 



laic elaiit tomple a pailii' (rune oiii;iiie arliilraiie : ccllc foiirti(jn \' (.<; ) 
est continue et adniel uiic valeiir iiniqnc en chaqne point, dajjies la rela- 
tion (57). Soit \ (t, j') la fonclion liarinoniqiie dans le doniainc D qui 
prond la valeui\'(5) siir C; a cette fonction \{x,y) on |ieiil associer une 
autre fonclion liarmonique I (.r, y) telle que V-+-tU soit une fonction 
liolomor|)he de x-i-iy u rinlerieur de C. Kn vertu des relations gencrales 

1 „ «,>.. <^^' '^^' lU Itl X I 

dii n ;>(>.{. on a, sur ce contour, — — = —r- = U (!M) el par conscqncni, la 

an (IS 

fonction \J(ar,y) donne la solution dii prnhjenic de Neumann. Celle fonc- 
tion n'esl detcrminee qua une constant-.: additive jires, coinme il etait 
evident a priori (voir Exercice 12). 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 

1. Dcduire la forniuli' i;enerale ( i3 ) ( n" riOT) de linlegrale de Caucliy 
(II. n°291). 

/?. Soit \]{x, y ) -— i\ (x. J ) une fonclion holomorplie a I'interieur d'lin 
contour C. En reniplacant, dans la formule de Cauchy, x par a-\-bi^ 
oil a et h sont les coordonnees d un point interieur P, et en egalant les 
parties reelles, on ohtient la relation 






d\o^r _ ^ d\o^r \ ^^ 
ds dn j 



en observant que 



dz 



dW^r . f/iogz-v , , , , ^ 

I ■ \ds. le Ion" dc L. 

dn I 



hi \ ds 

II snffit dune integration par parties appliqin'c a la premiere integrale 

d\ dV 



dn 



pour parvenir a la formule (i3), apres avoir remplace — ^ par — 

2. Demontrer que la fonction L(«, b), icpresenlec par la formule (18), 
resout le prohleme de Diriclilet pour le cercle, en s'appuyant sur ce que le 
second membie est la difTerencc de deux potcnliels de double couclie. 

3. Demontrer, au moyen rlcs tbeoremes de Cauciiv, que j'integrale 

■i - J_, dn 

est egale a Targument de ( 1 -h a -h bi ), compris cnlrc — - et -^ -; /• est 



co.Mi'i.KMKNTs i:t KXEHCICES. 237 

lii (listanie fl'nn point dii ceicle <Ie rayon iiii a\anl pour conire I'origine a 
un |Hiinl {a. b) intoiiL'nr a co cercle {cf. |>. iSj-iSj). 

/«'. On commence p.ir eUililir la relation 

dz 



r , dz 

I i^o^z =: '2-t Log( I -f- :r), 



oil u- = a -r- bi\ largiiment de j elant comple de — - a -i- -, el I'argument 

<le I -i- ./• fie — - — a -^ -• Pour cela, on applique le tlieoreiiic des residus 

au contour forme da G et des deux bords de la coupure joiguant Torigine 
au |)oint (— i). 

A. .Montrer', par une inversion, que la t'ormule de Poisson (17) peul 
«'ccrire 



L{a, b)= -^ 1^ /(■l)d'b\ 



•If' etant langle polaire du second point de rencontre de la droite P.M a\ec 
le cercle C. Soient P et Q deux points quelconques interieurs au cercle, 
p et p' leurs distances au centre, d leur distance, D roscillation de la fonc- 
tion donneey('y jsur le cercle; on a I'inegalite 

... ,, , ^ 2D ^ Rrf 

1 \ Q — V p , < —^ Arc tan: 



[D.VRBOLX, Bull, des Sc. tnath., a*^ serie, t. XXXI\, 1910, p. 287]. 
.-). Exemple de M. Iladaniard {nole de la page 198). La fonction 






U = y £^ COS(22«0) 



est liarmonique a I'interieur du cercle G de rayon un el se reduit sur ce 
cercle a une I'onclion conlinue ile 0. 7 — cosfa-^Oi. L'intet;rale double 



■2' 



etendue a I'airc d'un cercle concenlrique de rayon p < i, a pour valeur 

;iz- 1 

et augmente indefinimcnl lorsque p tend vers Tunile. 



•238 ciivpiTiu: wvii. — KyrvTioNs iinkairks dl" tvpi: ki.lii'Tiqli:. 

(>. Soil I (j", )•) uiic foiiclioii liarmoiiiqiie (l;in> la partie du plan o\le- 
lieure a nn contour C el le^uliere a i'inlini. Demonlrer qu'oii doil lem- 
placcr, pour cettc panic du plan, la formule i;enerale (i3) par la suivanie 

•'. - ^ Y ', (In (In J 

les derivees etant prises suivant la direction exterieuro de la iiormale. 

On applique d'abord la formule (i3) au contour forme de C el d'un 
cercle T de centre i^a, 6). donlon fail ensuile croilie le rayon indefinimenl. 

7. Calculer les potenliels de simple cnuclie 

I,= / cos/i'l- log/- f/i. \.,= I >in /( i log/- f/i, 

oil /• est la dif tance des deux points de coordonnees polaires ( z, to) et (i, •\i), 
n un noinbre entier positif. 

R. De la formule clas-^ique qui donne le devcloppemenl de Log(i — - ), on 
tire, en posant ^ = ze'^K oil ') = i — to. et supposanl o < i, 



log( I -^ p- — -i V cosO)"- = — ;: cosO — 



cos-.>0 



cos/iO 



log/- etant remplace par son developpement, on oblient, en integrant 

terme a terme. 1. — 3" cos /i to, I, = — — s" sin /j oj .si o^i.On aura 

/I ' ' n ' 

les valeurs de Ij et de Ij en reniplacaiil z jiar -, lorsque o est plus grand 

que un. Le potenliel etant continu, les formules subsistenl pour p = i, ce 
qui donne les relations 



cos«'^ log 9.1 sin-: cl'l = — — cos /^ CO, 



i: 

I sin n'L log 



,1 



'•'I ,/.. 



sin — 



dl=^ 



— sin /i to. 



8. ^eri^lerque les seules fonclions F('I/ ) verifiant une relation de la forme 



r 



Vi •!/ )log' 2 



sin-^ 



d-li = KF( to), 



oil K est constant, sonl de la forme .\ cosn-l ~ B ^\n n 'l. 



li. On considere le potenliel V(p, ioj= / V ( -l )\o^r d'l, el, en cal- 



CO.MIM.KMKNTS KT KXKUClCi: 



'239 



culanl — ) 1)11 (ienionlre, apii's <nji'l(|ues iransfunnolinns I'acilcs, qm; ce 

poteiiliel jali*fail a iine relation o r- — V = C, G elaiU constant. Gc 

' ' <)■: K 

coefficient doit etre mil |)iiisqiie \ c>t mil an centre tin cercle, ct par suite 

\' est line fonction liarnioniijuo lioniogene. 

9. Galculer ics potentieis de double couclie 

/ cos no d'j, / suirt'i/ d'j, 

Jo ' '' ' Jo ' '• ' 

r et o ayaiit la signification ordinaire. 

10. Soit L nne fonction continue \i long d'un cercle G de rayon R; 
X etant I'affixe d'lin point interieur, lintegrale 



\ r \j dz I Tt- ^'•^ 

V{x) = — . / / ^ -i7 



represente une fonction lioloniorphe de x a I'interieur du cercle G, dont la 
partie reelle tend vers L, lorsque le i)oint x tend vers un point du cercle G. 

It. On observe que cette partie reelle est un potentiel de double couclie. 
On deduit de la la relation 



d\.o^(z — x) 



T f* fl Zt or f* 
Fio-j— F(o)= — . / U ■ — - = / U ^ '^' ~ ^ ds. 

' -I J^. Z{Z—X) ~R^V '^^^ 

il. Soient u el c deux fonctions liarmoniques conjuguees dans un 

cercle G ayant |)our centre I'origine, lelles que u -+- iv = F(3). Demontrer 

du dK' -If-, • • . 

que — et s — sont aussi des tonclions liarmoniriues coniuijruees, et que 
' ' </v ' (^p 1 J a ' 1 

Ton a 



' O'j 



' (J»3 



1^. I'robleme de Neumann j>our le cercle. — Soit uia. h ) une fonc- 
tion harmonique dans le cercle G de lavon R, ayant |)Our centre iUrigine, 

dont la derivee -;— prend une vaieur ilonnee en cliaquo pi'int de (\, telle 
dn 

que / —— ds =: o\ v((i^ 6) etant la fonction coniuguee, iiosons 
J . dn 

f{x)^ K -t- iv. X ^ a -r- ib. 
On a, d'apres I'exercice 11, 

du . dv r, , ■ 

^ Op ' O'j J '^ ' 



a4o ciiviMiur \\\ii. 



KQiATioNS i.im:\iui:s 1)1 rvi'E Ki.i.ii'riQi i:. 



I,;i |»aitio ii'ollo do la fiiiiclinii lioUimdrplio x/' (x) est rgale a — '^ ~7~ 
Mir (".; on a dour {/i.r. 10), 



ot, 1)31" suito, 



r /" fhi d\.oii( z — .r) 



<i.r 



ds 



' •^■■^"^=i/7 



' (III (I \m<^{z — .r) 



In 



dx 



ds 



da 



/(^) = ^ j'Jt^L,.r^z-x)ds. 



Kn |)ienant la |jarlie iL-elle, on oljlioni la foiniiile de Dini qui rcprosente 
dan? le cercle la fonction liai monicjue cherchee 



I r dii 

II z^ — I —— \o<ir ds. 
-I., dii 



On verifie ai.>-ctnenl cc rosiillal on s'appuyanl sur les piopiioles des derivees 
nornialos dii polcntiel de simple couche [n" 338, formules ( >4)I, ou sur les 
foimules do IKxercice 7. ( V^oir iin article de M. Tomniaso IJoi^gio, Rcale 
Accailemiii dellc Scienze di Torino, igii-i9r>.) 

13. Generalisation. — Doterniiner une fonction liai iiioni(iuc li dans un 
cercle C de rayon H, telle que Ton ait sur ce cercle 



|{ 



du ' 
dn 



(fonction donnee sur C). 

[ToM.MASO UoGGio, Ibid.] 

li. Soit II la fonction harnionique ogalo a U sur G; on iloit avoir 

au -+- J =; K u, 

car les deux menibres sent des fonctions liarmoniques ogales sur (J, 
Soient v et v' les fonctions harmoniques conjuguees de u et a respecti- 
venient: on pent snpposer aussi que Ion a 



^A-' 



= ru'. 



Soient u' -h iv' ^=/(z), u -i- iv =^ F ( z). (Jn deduil de ces egalilos que la 
fonction y(Cj satisfait a I'equalion didoronlieile 

af(z)-~zf(z)=l{F(z), 

qui admet une solution holoniorplie dans C, pourvu que a ne soit pas un 
nonibre entier nogalif. 

14. Problenie de Dirichlel p'tur une aire annulaire. — Ce pioblenie, 
dont on a deja indique une solution (n",olO), a fail I'Dhjot d'un travail 
clendu dc M. \ illat {Rendiconti del Circolo niateniaiico di Palermo., 



((iMPLKMnxTS Ki i;\i:»(:i(:i:s. -^/Ji 

t. X\\[ll, i9iv«, p. I ) i )• l-;i Innctioii <li' (Ireen coiiesponiJanle pout 
s'evpriiiier iissez siinpleiiieiil an iii(i\eii do tiaiisceiulanles ellipliqiies. 

Soil D le (loiiiaiiic i<»in|)ris ciilre le< ilt;iix cercles C, C de lawtns i 
«'l R>i, ayanl pom- reiilie loiij^iiic dans le |)lan dc la variable z. En 
posant u = / \a)<^z. od fail roriespondre an corcle C I'axe reel dans le |jlan 
<le la variable ii, an reicle C' iiiie paralleic a I'axe reel d'ordonnee logH, 
el a la cmiroune cireulaire CDrrespoiid la h.iiide iiidefinie D', de largeur 
loi^H, comprise eiilre ces deux droites. /V nil pninl de D correspondent 
niie infinite de points de la hande IJ i[ni onl iiienie ordonnee el donl les 
abscisses foinienl nne progression arilbnietiqiie de raison ■?.-. Considi-rons 
le sxsterne de periodes -^ao = >.-, .ic<>'= ,*( lo^U ; «i, e-2. Cj, ,A'2i n3 sont reels 
ct les fonclions :r, Ji, 3'.j, jd, lormees avec ces periodes, sonl representees 
par des (le\e!o|)peMients en series enlieies a coefficients reels; r est reel, 

aiiisi (pie -^ ( coir, par exeniple, Tannkuv et .Molk, Foiictinns elli/ftique!;, 

I . I, p. 188 et suivantes ). 

Soil a-i- 3t un poinl pris dans la bande D'. Le (pjolienl 

3' ( » — X — 'i i ) 



:i{i( — a -1- ^j) 



,-i un niMilnlt' egal a I'unile lorsque a decrit I'axe reel: il est holomorphe 
<laii- l> it n y admel pas d'anlres zeros que les points a -r- pt -t- 2/ -. Le 

pidiiuil 

•fir,,,, 
— ^— J (It 7. il ) 



9(H): 



■{ u — a -T- 'pi) 



|tossede aussi ces |)i"opiiet('s, iiiais di? plus on voit ai^enieiil que cette fniic- 
tion adinet la periode 20j = ■?.- en tenant compte de la relation entre ^ 11 
it ^{u -^ -mm). Le module de o{u ) leste constant lorsque u decrit le bord 
sn|)i''ricur de la bande D'. hapies les relations i^enerales 

J ( II — oj) = e''^ "^ :f u>' J -^ II . f^ii}' — r/ b) =; — i, 

on a, en eOet. 






u -^:r- ^^{ II — 'J. -~'U 
3-:, (U — •X-T-'U) 



el coinnie les coefficients de j:j sonl reels, le module de o(//-f-io') est 
egal a e- ? lorsque ii est reel. Gela etaiil, posons c = Log[o( h)J; lorsque z 
decrit un contour fcniK- <l;ins la couronne l>, ti auL;menle de u/.-, o{u\ 
reprend sa valeur iniiiale, et la parlie rcelle de c est une fonction uni- 
forme des variables ./•. y dans ce doinaine, (pii est nulle sur G et egale 
.1 — 'i sur C. D'ailleurs la fonction v n'admet quun seul poinl singulier 

logarillimique dans D, le poinl et-'''*+f'' = e?-*'. I'^j ajonladl a la parlie 

o 
reclle de v la parlie reelle de - — *— — Log:;, on a la fonction de Green 

ilemandcc. 

G.. III. 16 



CHAI'ITHK XXVIII. 



{•ONCTIONS liAI!MnM()ri;s \)\: THOIS \ AUIAlUJ'r 



IT. ni;r.i;M i; di: di r. ic, ii i.kt i>\\s i.isp \r,r.. 



')!2.'). Proprietes generales. — F.;i ( It'll nil ion drs lonctimis li;ii- 
iiiiiiii(jues s'cleiul iniinrtliak'nient aiix IoiicLkhis tie liois vai'iahles. 
Ndiis diions quiino luiiction //(./■,)'. ; ) tit' trois variables x, y, z 
r>[ liarmonirfuc dan.s iin (loinaiiic I) tlt^ I Cspacf si file est regii- 
litTC, c est-a-<lirc coiiliiiiie aiiisi ([in- sc-^ tltri\i'i's paitiellcs |us(|u'aii 
second ordre. el si les denvt'es parliellcs tin scctjiid mdre m'ti- 
(ienl re(nialif)n de I^aplare 

0- ti 0- II 0-/1 

( I ) A// = ! r -n = II, 

ilx- dy- dz- 

.11 loll! iioiiil lie or di)iiiaine. La fttuelitm -? du /■ esl la distance 

dii ponil Narialile .M(.r,j^, c) a iiii point lixe \*{a, ^, c ;, est liarmo- 
nii(U(' ilan^ Ion! doinaine ne renlerniant [)a> If point P. et eelle 

lonrlioii joiic li- ineine role que log - dans la llicorie de Tefpiation 

;i ilriix N.iiialde-^. f>es tli'-rivees parlielles de eelle fonction, soit par 
rapport aii\ \ ariahles .r. y, z. soil par rapport aux parametres a, 
h. c, sont liai-nioniques dans le incme doniaine, etilenestde menie 
ill- loute I'oniliinaison linfaire de ees derivtjes. dont les coefficienl> 

I'll It II' • coso 

sonl independanls de ./ , ]-. z. I'ar exem|)le. I expression — ~j on 

'i desiji;ne ran<;lede la direction P.\[avee iine direction quelconque 
issue de P. e>l nm; foiulion liannoniqiie. I'ar elle est egale a 

la di'-rivt'e lie - |>rise siiivant la direction consideree qiiaiid on 

regarde - coinini' fonction (Jes rordonnees (a, b. c) dn point I*. 

JJe interne ,' > on -j est I anirle de la direction Ml' avec ii ne 
/■- ' '^ 



I. — I'lioBi.KMi: i)i: DiRM iii.i;i dans r. i;si>aci;. i^'i 

(liicclion fixe. iii(l(''|>emlaiilr dc M, est encore liarin()iii(|iie, car 

<• e>l la (l(''ii\ee dc -, coiisidci'ee coinnie loiiclion de •'■•, J% z. prise 

siiixaiil celle diiecliun. Les pioprieles des tonclions liannoniques, 
d«"diiiles dc la llicoiic dii polciiLiel on de la lorimde tie (Ireeii, 
s f'iciiilciil . a\ec (|iiclqiies cliaiii^enienls faciles a reconnailre, aiix 
fouclioiiN liaiiiKiiiKUK's {{{• iiois \anal)les: on sc hornera sou\eiil 
a ijucitpies nidicalious. cii aissaiil an lecleur le soin dc dc\ elopper 
les d('-Mionstrati()ns, loi:l a fail paieilles a celles des n'"" iHV]->'An . 
A II (I I 111 la I re. hi I Ih'o lie des lunct loiis anal \ I iipies d line \ ariahle 
i(ini|)lexe ri la ili('-oric des liansronnalions confonnes nonl pas 
d analiii;iirs ipiaiid on passe de deux a Irois variables. Tonte fonc- 
Imn liaini(ini(|ne >e change en line loncLion liarmonique qnand on 
ronplace .r, y, z par /.,/•. / r, />:■. (piand on efTccUic snr ces 
variables nne snbsliUilion (irllioi;onale quelconqiie, on cpiand on 
eliani;e ./•. r. ; en .r^((. v — />, r + c res|)ecli\ einent ; la \erifi- 
calion est iiniiK'dialc. De ineiiie, si U(.r, i', ;) e>t lianiionKpic. la 
lonel Kin 



esl aiisxi lianiioniqiie i ' ). \Li\ eonibinanl les Iraii'-lnniialioiis pn-- 
eedenles, on ohtienl Ionics les lransforniation> 

\—fx(x,y,z). \ — fii x,y. z), Z — f-.iix.y, z \. \J = 0(11, x, y^ z) 

|jar le>(jiiellcs li'qnalKin Al ==0 se clianj^e en line ('([nalion dc 
meine fonne ( - ) ^n = <>. 

(Jn a \n (n" oOlij (pie le polynoine liannoni(|ne cL lioinoj^ene le 
j)lns i;eneral de degre /?, a denx variables, depend de deux con- 
slanles aihilraires. Ln polvnoine lioino^riie de dcyre n a Irois 

\aiial)le"< reiileiiiie eoeiiieienls ; en eenxant (in 11 

■I ' 

• ,• ■ . I- , • , , , .,,.//(/« — II I . 
salislail a I ('(pialHin di^ l.aplaee. on (iaolit relations enlrc 

..... -I I (//—- I i( «--■>. ) — m n — I ) 
ces eoellicients : il re^^e done ^ -Mt -|- 1 



(') Celle propiieli" esl fine a Lord Ivelvin {Journal dc IJouiille. I. X(i"serie), 
i^4S P- '^'^ll- *Jn li' di'monlre ais(iinenl :i(i nioyen dc lequalion de Laplace en 
roordoiwu-es polaires (I. y. i ")f) )• 

(-) I'aim.kvi':, Memoirex des Facullcs de Lille. I. I, iSS(,. 



j'\'\ CM \IMTIIi; \\\lll. — Fl)N<TIO\S lUUMOMOl.KS DK 1H01S \ \UI A lll.KS. 

fcx'flicienls arhilraires. ( )ii |Hiit fiuoie Ic noiicii ohsciN aiil (jiic 
I ('-iliiatioii (Ir I^aplac*' »'l rt'lk's (|u on en dt'diiil |»;ir (U'-nvalioiis 
porincllenl il oxprlnici- loutos Ips drii\ ccs d ordrc // an moyeii dc^ 
di'i'lvrc"' de eel ordi-c oii ./• no lij^^iire pas on lii;iire line scule loi-. 
Dans III) |)olynoni«' lianiioiii(|iic lioino<;rne dordrc //. on nt' pciil 
done clioisir arhilraiiciiu'nl ([iio Ics coeKicirnls d»'s lernies nc mi- 
iennanl pa.s r nn rciilcrinaiil x an premier de<;r('; Ic iimnbre d<' 
ecs lernies esl hicn ('-iial a •>// - i. (les |»i)l\ii(»nies liarinoniques 
\ «(.r, >', z) peiiNcnl se dt'dnirc des dt'-nxrcs parliclles dc la fonc- 

iKMi liannoiiKpie ^ Imi cllrl. Ionics ces il(';riv(;es salis- 

Inn! aii<si a rccpialioii (\c Laj)la(C. cl line dcnxc'c d oidrc // esl <lc 

I 

— /; 

la lorine V/,(./\ )'. :; ) (.r- -j- y- + r* ) -, \'„[x^ j', z) elanl nn 
polvnoine lioino<;cne de dcijre /i ; la lonclion liarnioniqiie qn'ou en 
ilt'-diiil par la Iranslorinalion d(; Lord KeKIn esl prt'-ciseinent le 
poKnoine \ „(j:, )', :;). Jons ccs |»olviioincs sc it'duiseiil a :>.//+ > 
jtolvniuiies lim'-airemciil dislincls, pniscpic le noinhre des d(''rivees 
parlitdles d'ordre ft hncaireinenl dislinctcs d iine lonclion liarnio- 
ni(pic esl e^al a 2/1 -^ i. Pour /* = 1, 2, > on a respccli\ einciil 

\ , ( \r, J', Z) = A, J- — "A27 -r- A-, Z, 

\,(x, J', z) = '/.iix^—z'-) — '/.iiy-— z-^) — '/.3.ry^ l.,.rz-^Ar,yz, 
Xji X, y, z ) = \i( r^ — J .ry- \ — '/..,( x^ — 3 .rz- ) -i- . . . -1- A; Xfz. 

les coefficients /./clanl arhilrairos. el les lerines non ecrils dans \ ;{ 
se di'dnisani des deni nreinicis par ncrniulalion circniairc. 



o^rj. Potentiel newtonien de simple couche. — Tiap|)clons 

(1 ajjord (jiielqnes dcfinilions relatives aiix surfaces. On dil qn'nn 

point M,, (./■„, )y, ::o) d'nne surface S esl nn point ordinaire si les 

coordonnees ix,y, z- ) d nn point \oisin M dc S sonl des fonc- 

lions j=f{u, c), j-:^'i(//, V), z = 'l(u, r) de deiix para- 

rnclres //. c. continues et adinellanl des derivees partielles dii 

pieinicr ordrc < onlinncs dans Ic voisinaqe dn svstcnie de valeiirs 

('^0? ^'0) q^'i •orrespond au point NT,,, el si de |)lns les trois j'ico- 

, . lU r, z ) \){ z. X) D(x, y ) I - I /• • 

inens -; — '■ > -rr- -, —— — ^^—^ ne soiit pas mils a la lois nonr ce 

D(«, V) D(u, V) D(a, v) ' ' 

svstcnie de valeurs. I ne portion de surface est dite regulirre si 

elle ne renfernie (jue des points ordinaires. Les surfaces donti 



I. — I'ltoui.KMi: in: iiiiiii iii.i;t dans i, kspack. 2\5 

ser.i qinv->tion dans hi -^iiilc iic sfinl pas loicf'-incnt anal vli(|iic's, 
inais nous stipposcroiis loiijours qn ellcs so coniixiscnl d un nonil)r<; 
fini <lr |)(iili()ns de siirfiices rejj;iili('i-e.s. Elles peiivenl avoir im 
n()nd)ic lini d"ar(''les. siiivant IcsfjiiolU's se rejoii,nienl deux najjpes 
dt' siirlace regulirres avec deux plans langenls dislincls, el iiii 
n()Md)ie (Ini dc [)<)ints singnliers isoles, conime des points ronicpies, 
on des soniinels oii ahoulissenl plusieurs arrles. II est clair qn"iin<; 
integrale dc surface, etendue a iinr siiiface de celle naluie. a 
loujouis un sens si la (onclion sous Ic signc d integralioa est con- 
tinue, on si elle est disc(;nlinne. en icslant horncc. en cerlams 
points oil Ic long de ceilainrs lignes. en nondirc lini. I'ar f\eni|)le, 
si la I'onclion sous Ic signe integral depend de la direction dc la 
norniale. elle est discontinue Ic long des aretes, niais si Ton a 
clioisi unc direction d('-tcrniincc pour la normale sur cliaque por- 
liiin de surface. 1 inlc;;rale doidile a une \aleiif (inic 

vSoienl S une surface de lespece considcree. (ermee ou non, 
inais situ('e tout enticre a distance (inic. et |j. unc fonction continue 
sur ^. l/iiiteurfilc «Mcndue a cette surface 



\(rt, h, r,=. j f '^d7, 



oil /■ designc la distance dun |M)iiil M dc 1" a uii |)itiul fixe P de 
coordonnees {rt. 0, c). est un polcntiel newtonicn de simple 
coiiche. On dcniontre comme an w' oOo (|ue \ (a, b, c) est une 
fonelion liariiioiii(|iie des coordonnees (a, Ik c), dans tout do- 
iiiaine I) n avaiil aiiciin |)oint cominun avec' -. ct (jn' elle est con- 
liiiue dans tout t'cspace. 11 suffit. pour etahlir ce dernier point, 
dc prouvcr (jiie linlj-grale (3 ) est unifoi-menient convergente dans 
ic doiiiaine dc lout point M„ de 1' 1 n" oOi). Supj)Osons que le 
point .M„ est un point ordinaire deS; prenons ce point pour on- 
line et la norniale pour axe des z. Soit ^' une portion dc !S enloii- 
ranl M,,. (oii ii"e>l reneonlrec qii eii iin |)oiiit par- line paiallele a 
laxe des ;, et se projetle sur le plan des xy a rinti'-rieui- d une 
<'ourl»e leiinee " entourani iorigine. L integrale 



ctendne a la |)orliou dii plan des jv inlerieure ii la courhe y- est 



V4(> (IIVI'iniK \\\lll. - IdNcnoNS IIAIlMOMyl is l)E TIIDIS VAIIIAHI.KS. 

inhiiciirc en \ ;ilcui- .ilisoliic ;'i 






M (li-»ii:ii;iiil line liiiiili- >ii|)(ii('iiic (Ic \'J.\ \ -\- p- -\- (f-] siir iiiit: 
|Htrli()ii (Ic 1! iciil('iiii;iiil 1 . Si I on |»;i>^(' ;iii\ (( m uddiiiiccs polairi's 
rii |>()s;iiii ./ •=: ^/ -;- CDS 'i, V = /> T- Ci sin i, oil \ I II I (MIC \a \ ill cur 

;il»S(>lu(> (Ic \ '( ,■/. A. r ) esl plus pclilc (|iic riiil(''i;ialc \\ I I dz f/z. 

I'l pill' ctnis(''(|iu'iit plus pclilc (pic ■>r:\l/. si la coiirlx' " est siUk'c 
Idiil cnlicro a rinh'-nciir d iin cciclc dc diamt'trc /. (^e noinhrc / 
p(Hi\aiil r[n' piis aiis>.i pchl ipiOn Ic \ciil. il en c^l par siiilede 
iiHMiie de ] \ |. l-ii d(''iii()nslralion s eleud laeileincnl an cas (u'l Ic 
|)(iiiil M„ serail silm'' sin- uik' eoiiihc double de 1". 

Imi deliors lie 1". \ i ft. h, c ) esl iinr fniiclioii (tn<tlyli(jiti' dc a. 
b. c. (...oiiinie (ni pent prendre pour (uii;iuc iiii poiiil (jiielcon<pie 
en deliors de il, il nous snflira de deinoiilrer (pic I peiil ('tre (l('\e- 
loppee en serie enliere siii\anl les |>nissances de //. h, c loixpie 

I online' esl en deliors de ^. La loiKiioii -. ou ./'. v. :: soni les 

/• 

eoonlonn(''e.s d nn poinl de 1" ol iiiic loiiclion lioloinoiplic de ti. 

0, c, dans le \oisinage i\e> \alciirs r/ = // = r = o. Consideroiis res 

\arial)les coinnie des \ ai-ial)l(.'S eoinplcxes: si le nioflnlede eliaeiine 

d (dies esl inlV-rleiir ;i p, Ic module de /- esl snp<'rieur a 

j:----}--^ z- ~ ■:>.z[\t\ -■- \ ]-\ -^ \z\\ — '> y'-. 

\a- noinhre z a\anl ('I*' i lioisi assez pclil pour ipic rexpression 
preeedentc ne sannnlc pa> lors(pie le poinl ./\ r. :: ) di'ci'il 1'. 

la lonelion - des \aiial)lcs com|)lc\c> a. h. c c>l Indoiiiorplic dans 

!<• doiiiaine |ire(('"deiil . el son module role inlV-rieiir a iin noiiihie 

posilil M (|ii(dle (pie soil la position dii poinl ( ./■. )', ::)siirl\ Par 

(•onse(juenl, sj I on de\eloppe eelle loneliftn en s(''ric enliere siii- 

\ant les j)uissanees de c/, />, e, les niodiilcs des coefficients seronl 

inferieurs (II, n" 332) anx coefficients coiTesponrlanls dii d('\elop- 

peiiienl *.\(' 

M 



''-7K-?)(-^; 



I. — I'ltditi.KMi: 1)1-: i»iitM;iii.i;r ii\>s i. i:si>Ar i:. <.Jj 

(.(■lie s«''ri(; csl (Ioih; nniloniK'Hiciit cum cr^cnlf IdiMiiic Ic iioiiii 
(.r, )', ; ) decril 1". |)oiii\ii (|iic lf> valeurs absolues de «, (^, r soierit 
ifi(eririii-f's ;"i z. \:n iiiulti|)li.inl Ions les lerines par u.{jc^ j\ z) el 
iiil('i;i;iMl leniie ;"i tciiiic Ic long de 3], on ohtieiil pour \(«, />, c) 
uiic s(''iic ciiticie oi'doiiiK'C Mii\,inl Ics puissances {\i' a. h, r; cf 
ipn dcniontre la |)i'0|)osilion. 

11 est csscjilicl de rcMKir(picr ijiic ccllc prupiicic n c-l |)lii-- \iale 
pom- nil pf)iiil lie X; dc pail cl d anlrc d iiiic porlioii (\e (;elle siir- 
(acc. \ I a. h. (■) represeiite deux fonclions anal vl icpics dislineles, 
(pil ue sonl pas le prolongemenl analylitpie lunc d*- laiilic quand 
n\\ liaverse eelte surface. Par exeinple, dans le cas on 1" csl iine 
sphere (Ic lavon P», si Ton a y. = i . a I iiilerieur de la >pli(rc on 

a \ = 1-15. cl \ = |TT— - a lextf-ncnr. // ('-laiil la di>laiicc dii 
point I' an cenlrc. La discoiiliiinili' do d(''ii\(M'> pailicllcs — ,... 

qnaiid on lia\crse 1". expliqnc hicii ce resiillal { voi/' n" ."il^Sl. 

Pour (''ludier le polcnliel \ (V/, 0. c) lorsque le point P s eioiyne 
ludcdiiiinent, il sulfil d inLer\ertir le lole des deux svslcmes de 
varialdcs ( ./, 7-, ;) el (a, h, c) dans le raisonneinenl pr('c('denl . 
Soil S une sphere de rayon avanl pour centre lorigine. et con- 
tenant a I intericnr la surface V; |p point P (-tanl exlerieiir a S, 

considcrons - coininc lonction dcs vanahles coni|)lexes ./•. y, z. les 

Miodules i\(' CCS \arial>les rcslanl inferieurs a z. Dans ce domaine, 
Ic module de / - restc sn|)('Ticni' a 

a 2 _^ A 2 _^ c 2 - V. p ; u I ^ I ^» I ^ I c I ; — :5 ,; 2 
= \\a\-?\^~\\b\-z\-^-^\\c\-z\^-\\z-^: 

SI I on sup|)ose le |)OinL \*\f(^ />, C) a I cxleiieiir d une sphere S'. 
concenlriqiic a S, el de ravon P« = .')c. on voit ais(''nicnl cpie ce 

iiioflnle csl sn |»(''ncni' a ■> z- . Par suite, la ronclion - dc> xai-iahles 

complexes j:', ^\ rest liolomorj)he, cl >on iiiodnlc lolc plus jidit 
qu iin nomine |ios||i| (h'lcriiiiiK'. tpiellc que s(nl la position dii 
(toint P en ihdiors ile S , lorsrpic les modules de ./■. y, z sont infi'- 

ricuis a z. On en conclnl (pic - |)enl (Mre dc\elop|i('c en une si'-rie 

cnlicic ordoniK'C siii\anl les puissances de j., y. ;, et unijornu'- 



•JliS CIIM'IIIII \\\II1. - lONCTIONS IIMIMONIOI KS Di: TIIOIS VAUIMM.KS. 

mint co/MC/i'v///''. l()i-(Hic Ic ixuMl 1./. )', v) (li'ciil lit suii;ici! i] 



Cli 






Ic i-n(>Hi('iriit \,„,i/> iivaiil |niui- t\|)it>>si(»n 



,\ — 1 I i//i-t-/n-/< 



\^/ai^/,i^ci) '«! "!/>! 



()ni i /( » /> 



I. II iniillipliiint l<'-> dfiix iiifiiil)i r-< dc l,i loniiiilc i > ) |);ir y. (./',-)% ;;), 
rl i II I ('-i; la III li'iiiic a Icriiic, (tii (ililitiil nil di's clopiiciiuMil (If 
\ [U, 0. c) <|iil i'<| valalilc |i(iiir Iniitc poMlidii dii |hiiiiI I* ;'i ICxU'- 
rif'iir (\o S' 



(4i \ ( (I. h. r) = 



. - "•" — *' III II 11 ~ ; 






'^' <'l l>///r//. <'linil ^\<'< cocriicM'iits coiislaMls. (Jii it'iiiai(|iicra (jiir 
tmis Ic^ Iriiiio dc (•(■ d(''\ cldiiiiciiioiil soul dcs loiichoiis liai- 
iii()iii(|iic- y\i- It. h. r. rl (|iic Ic cdcl licionl (} ol <''.i;al a I inh'-- 

uralf / / •J.i/j. ('inidiic a 1. 

Lcs iiiriiH"^ calciils. a ppl i(|ii(''> an polciilKd l(»^aiilliiiii(|nc de 
simple coiirlic. |iniii\(iil (iiic i- ol iiiic (oiirlion analvli(|iie, m;us 
Ic d(''\ (di)|»|iciiiciil , |)oiir des \ aleiiis Irrs ^laiidcs diw/. //. <'oiiiinonce 
par till teniK' eii ^ } Idi; ( \ a- -]- 0- ) . 

')tiT. Potentiel de double couche. Soil \L\ imc diieclicjii 

d('lfnmn('-r siir la noniiale fu cliaipic |ii)iiil M d iiiic .surface 1', 
\ai'iaiit d line inanicrc cdiiliniH' avcc la pDMlioii dii poinl M siir la 
•«iiifarc cnlicif. on >iii' < liacpic poilioii dc sinlacc; appclons o 
Tannic t\i- la diicclioii MNavcc ladircclioii M I* joif;nant le point \I 
ail poiiil I* dc coordoimces (n. h. c). ()n d('-iiioiilrc cfuiiiiM; au 
11" *»()'( (pic I iiili'-^ralc doulilc 



d:t. 



on •;. c-l line {(Miclmn fpii vari<- d iiiic iiiaiiicrc coiilimic avcc la 
pn^ilioiidn poiiil \| >iiil". est line foucl loii liainioiiiqiie des coor- 
doiiniM-s (III poinl I*. daii> loiil doiiiaiiic :i a\ aiil aiicmi pm nl conini nn 



I. — I'lioiii.KMi; i)i: niunMii.i.i dans i.espaii:. 249 

avcc ^. Oil a tlouiK' ;i ct'Ue fDiiclioii Ic \\u\n dr ftnti'iiticl clc doilhh^ 
couch<\ eiii|tiim(t'' a la tln'oric flu iMai^nelisme. Cest aiissi une 
f'onrtion andlylitjiie. Www le deinoalrer, plarons-nous dans les 
nieincs tondilions (|u a(i iiuiik'to prrrc'^deul : nous pouNons ecrire 

■•C-) ■'('-) ■>{'-) 

cos 3 \ /•/ \ r / , \r / 

'- = C(»« a ^- ; CO<s5 -:- COS", 

/•"- iiri lit) ' DC ' 

v.. '■j. " (Hani It's an^ulcs de la diicclion MX avec les axes. 

Lorxjuc les modules des \aiial)les coinplcxes a. f>, c soiit |)lii> 

|irlil^ (jti nil iioiiihiT jMi'^iliI com riialtlc 0, on a vii (iiif la lonr- 

1 • < I ' I ' 

lioii - |)oiivail clrt' (l<"\ elo|i|)(M' en une serie cnliere. qui i-esle uni- 

roriiK'iiieut ronverjieiitc loixjtie If poiul ( ./\ y. z ) d(''ciit 1. 11 vn 

fsl cs tdciiiiiH'iil (If lufiuf dfs (l(''n\ ('•('S parliflles de - pai' ra|)|joil 

aux \ aiial)les /^A, b.r. f[ paisuile de -■ Le raisoniif luenl s ac hevc 

I ,-i 

romme \m\\w If |iolfulifl df >iniplf cDiirlie (' ' ). 

l)f la rclalion 

4-) 4-) "(-} 

= (IIS a -. co« i cos -' 

/•- '/./• r)]- ' Oz 

i)\\ dt'duirail de uK-me que la f()nclion^^ ( a^ b, c) est developpahic 
fu une st'-iie de la lornie ( j ). lorscpie \/a- -\- b- -^ c- est superienr 

a uii noiiilirf posilil. con vf nalih-iiif ill ciiruM. iiiais il est a reniar— 

I 
ipif r (|u il 11 \ aura pa> df If riuf fU (r/- -f- //- -h C" ) ", de sorte qu a 
I inlini. AN f >l df Toed re de 1 f/- -\- h- -\- <:'- ) ' . 

I. a loiiflioii \\ ui. b. c) est discontinue en un poini de 1'. I're- 
nons d aljord le eas simple oii I on a 'jl ^ 1 ; I inle^rale ainsi ohtenue 






( f) I W , I a, h. 

appelee inteQrale da Gauss, a une siijnilication geonietriqiie qui 



(') I.rii's«|iic la siirfiire — est aiiiilvli(|iio. si ;x csl yiissi uiie fonclion ;mal\liiinc 
sur il, les deux poieiitiels \ («. h, r), W («, /j, c) ()eiivenl ('-ire [)rol(inges ana 
l.vlif|ueiiienl ;i li avers la surface il ( Hrixs. Journal de Cielle, t. lAWI; KniiAiu* 
Schmidt. Malltcinatisrln' Annalen. t. lANIH ). 



•»M» rii\i'iiiii; wviii. - roNCTioNS ii \iiMiiMt.ii i:s i»i: luois vaiii aiii.ks. 

iiM't <Mi <'\i<l*Mu-r lii ilisconiiiuiitc. I'.l.inl tloiuu's iiii poiiil <) <! iino 
|)Oi'lion (le sill liicr j. lellc (|ii iinr (Icim-droilr issue do ( ) nc piiissc 
la icniMinlnM" on |)liis <riiii |i(iiiil. !•• Iii'ii il('> doini-droilcs issmts 
t\t' ( ) «'l nassani par iiii nniiil dr ~ c^l ii ii ((inc scilidc ; I aire dccdiiprc 
|>ar (•»' <t'>iif ^iir la -idiric tic ia\im ii/i f\ di' cciilii' ( ) ot la iiicsiirc 
d«» I'liii i;li' snliili' soii> l('(|iicl (111 \ (III (III |)(iinl <) la ^ii r la cc j. ( ada 

|>ii»(-. I (•\|)i<'->»i()ii — ^ <Ij f«l c^alc a r I aii;;l(' xtlidc ^()ii-< Icijiirl 

(111 \ (III (111 |)()iiil I* I (dciiH^iil (k- ^111 lace (^i. car ci)>Z(/j csl, an sii;iir 
piM's, Irl/Mnenl d aire d(''((iii[)(' siir la splitTc de ravon rcl de cenlre I' 
par Ic rune ('h'-iiU'iilairc de <(iiiiiiicl I', avaiil pour liax" I (•li'-iiicnl //-f. 
(>iiaiil all >ij;n<\ il c^l i\\v par la com elll Kill suivaiilc : Appcdoii-^ 
c<'>l('' posilil de ^ Ic C('ilc (MM coircspoiul a la diroclKHi ( Ikhmc >iii 

la Morula Ic. ct C(\lc in'-^al il Ic C('ilc (i|)p(i^('' ; il c-l t'-N idciil (pic cos 'i — - 

t-^l po-<ilil SI line dcmi-droilc i>>iic de I' el lra\crsaiil I clciiu-iil (\f 
siirlacc pa»^c dii c(~i|(' |)o-.|||| .m cnlr in'-iialil. cl n('-i;alil dans ic cas 
coiitiairc. ( )ii \(iit iimiK'dialcmcnl d ajiif'S ccia (piellc c>l la \aleiir 
dc I inlc;L;ralc (() I ; c cs| Li xiininc dc> aii:;lcs solidcs (■IcMneiilalrcs. 
allcclcs d nil mi;iic coii\ ciialilc. >oii^ IcMpicIs on \oil dn poiiil I* 
Ics divers (•Icinciils dc i^. Siipposons cii parliciilier ipic i! soil iinc 
Mirlacc lrriii(''(r ct tpi on ail clioisi pour direction de .MN la noriiiale 
iiilt'iiciiie : W I ( /-/. //, (■) est cLial a j- m Ic poiiil I* est a lialerienr 
(In diiniaiiic I) liinilc par 1". cl a zero si le point I* c^t a r(,'\lerieiir. 
Imi nil poiiii noil >ini;iilier I' pri^ siir ^. I inlf'iiralc e>l ('■i;ale a v.r:; 
en nil poiiil on la ■^nrlacc ii adnicl pa> nn pi. in laiiLiciil niiKpie. I in- 
b'ljrale e>l ('•ijaic a la iiicsiirc (\i- I aii;i;lc xilidc a loriiK'' par Ics laii- 
i;ciiles a la siirlacc issues dc ce point ( ' i. 

Itevenons inaintcnant an cas i:»^ii<'-ral. en snppo^aiil loiijonrs 
tpic la -uilacc 1' c«.| ("criiK'c. ct (|iroii a clioi>i la direction de la 
iioriualc iiih'riciire. ()ii d(uioiilrc coiniiie pins lianl ( n" oOo ) (|ue 



(') Ces resiiilats se d(.'rluisciil aiissi lr«*s aisement <les forimilcs dii n" 5'2S. Si 

jKiinl I' esl il re\t(h iciir du il"jiiiaiiK- 1 1, I,' — - c-il liiuiiiipiiifiiK; (hiiis ct; (Idiiiaiiic. ct 

/• 

ronmile ( u) doiiiK- W , - ... .Sj je |>(iint I* e»l a liiilerieiir de I), la Cormuic ( i 
H(i|)Ii(]uec a la fonclion liariiioiiii|ue I - i . doiiiie \V, = ^j -. Si le iioiiil P est sur : 

• •ri a(ipli(|iicia la formiile ( i '. ) a la roinHion L — - qui esL liaiiMOiii(|ue dans 

/• 

(Miilioii du domaini- I) exlerieur ii uiie splic-ic de lavon o ayanl |j(jui- ccmUc 
poinl P, el Ton fera decroilre indefinimcnt le rayon o dc celle spliero. 



I. — I'KOBLKMi: hi: i>ini(.iii.i;r I)\ns l icspack. a-ji 

I liitrj^iiilc 

oil UL,, (.'St la \aJeui' dc y. en iiii |i(tiiil M„ ilc ^, csl iiiu' loncliou 
coiilinnc cles cooi'donnccs dii poml I* en re |)<iiiil M,,. de soi'le que 
la diU'crcace 1(P ) — I(iMo) lend vers zc'to eu im-inc Iciiips (|iie l;t 
ilislanee Mo I*. Cela elaiil, appelons \\ „ la valeiir Ar liiilei^rale (5) 
elle-meme lorsqiic le poinl I* coVncidi! axcc Ic point M,,, el \\ „/< 
^^ 0,. Ics liniiles ncis les(|ll('lle^ lend \\ ( <■/. //, c) lois(Hie le point I* 
[vn(\ \ers le |)oinl M,, cii rcslanl a linlerieur on a I'exterieiir de i^. 
I.orscpie I* est en Mq. I est egal a W „ — ■i -ijiq : Jorsque P lend 
\<'rs A[„ en reslanl a linterieur de S, le jji-emier tenne de 1 a pour 
liinilc \\ „,. [andi^ ijne le coenieienl (\(' u,, est con^lainnient ("gal 
a — -j"- ^11 contraire, lorscpie P tend \ers M,, en elanl a I exterieur 
(le 1\ le |)reniiei' teinie de I a |)onr liniile \\ „,.. et le eoefficient 
de 'j.„ est nnl. [.a lonetion I elanl continue an |)oinl M,,, on a 
(Jonc W — iTr'j-i, = \\ „i -~ 4~'~'-o^^^^ Of": ^^ (>" I <'ii d(''(lni! les deii\ 
relations tout a fail panilles a eelles dii n" oOo : 

( 7 ) \\\u = Wu -^ •^. -y.n, \\',„- = ^^■o — ■.'. -;j-u- 

\\n nn point .Mn:L;nlH'r, ces relations doi\ent rtre renij)laeees 
par les sni\ antes 

( S ) W,„ = Wo — ({-—-/) ;jLo. W„, = Wo — auo, 

a avani la sii;n ilical ion cxplKpiec plus liaiil. 

.^!2<S. Seconde formule de Green. — luant donnees deux fonc- 
lions (picleoiKjues 's>{.r, y, c), 'li-/-, y, c- ), on a i<lenti(|uenient 

t)jr \ ■ O.f ' Ox I 



oP V Tip ~ '• oj' ) ^ 0^. \^ Ul~'^7'z) 



Si \v> IdiiclKins 'c et ■!> sonl ri'-i^iilicres dans tin doiname borne IJ, 
liniiif' par une on plusieurs surfaees ieniiees, et continues ainsi 
que leiirs deiiM-cs parlielles du |)reniier ordre siir les surfaces 
qui limilent ec doniaine. on a. d aprrs la |)reini»''re lorniule de 



•>.'>! nivi'iiiu: wviii. — konctions ii aunkimoi is im: trois \ \iuaiii.ks. 
( "ir<'oii 1 I. n' I i 'i I. 



I I I i'i^-'-f- -l l-y)<l.' ,ly,l: 



<>.'. : - "f,i^(^'0-'= -t''^"-^^^'''"^) 



if i ( -? ,ly ,tz + "i- ,IZ ,lr ^ "S ,l.r dv\, 



\v< iiil(''i;ial('s douMcs (''laul elciuliio-^ an <oi(; cxhTicur de la siir- 
i.icf 1' (|iii lliiiile I). Soicnl a, [j, y los ani;les que fail avec les axes 
la (liicclluii lie I.I iioiiiialf inlriiciii f en iiii point i\v. 1": la prr- 
niuTe iiili'::i all' (Imiliir [>ciit > I'crirc 

/ / o ( — ^ cos a =- COS i -i cos-' </:r = — / / •:. —- <(:: . 

,' ,K ■ ' '>.'• '>(>- ' (>- ' ' ,' ./v, ■ till 

< >ii [Mill lran>roriiirr i\^' iik'hk* la scconde inl('i;ial(' lioiihlc, el la 
fnriiiiile (^(j ) (levieiil 



,„. /77- 



■:. Av — •!/ Au I dx riy dz -+- 



d-:, d'l 



au^^^S)'-- 



If-. (Iciivecs -7^ » -7-^ ('la III prises siiivaul la diiecliou de la uorniale 
an d/i ' 

iiitfTieiire. ('ost-a-dirc (jiii |)enelie dans le duniaine I). 

I.iir>(ni<' Irs fdiiclion^ 'i el •!/ -.oiil deux ronilious liai inoniqucs 

dans I). I el \ . liiih-^rale Iriple di>|)arail el il re^le la relaliou 



^in 



/X'-^^-v^)"— 



( )ii olitienl eneiire deux forjuules iniporlanles. en su|)|)()saul 'l- 
'i = I . ou 'i :^ I -. I ('laiil une lonelion liarmonicjiie, 



(15! ) 



dl 



la premiere caraelerise les lonetions liarnioni(|ucs (n" i)06). 

Soient V(a. b. un |>oinl du domaine J> el L(.r, r, -) une 
ronelU)n liarmonique dans ee doniaine. Les deux lonetions U et 



I. — i'KOiti.i;Mi: in; Diuiiiii.Kr i»\\s i.ijsi-vci-;. '^5i 

V= - . pu /• csl l;i ilistaiiCM; dti ituiiil I* ;i mi dihiiI \;in;il)lc ( ^z, V, :? ) 

/• ' ' ■■ . ' / 

soiiL liiiriiif»iii(|ii('s (Imii-; I;i [tdrliou dii ilnitiiiiiu' I) f xlcrioin'c a uur 
splirrc S dc C(Milrf P el tic laycjii o assez pclil [xjiir (|u ell(.' soil 
loiil culiere a I iiilf'-neiir de \). Appliqiions la IVjrimile (ii) a co 
ddiiiaiiie liiiiilc |»ai- }:^ el S; en laisanl leiidic •: \cis zero el en rai- 
soiinaiil eoiinne an n" 'iOT. on (il)liniil la loiiimic 



^'i) 



V( 



a,b,c)=~ J ( I ■ — -7- 



d^. 



loiile pareille a la lonimle (i)) dii u" f*)()7. Le lacleur >.7: a ('■!('; 
reinplace |)ar |~- '|"' niesnie I aire d tine s|)luTe de laNon ////, 

el loi;- pai' • \a\ part iculit-r. si la surface 1! esl la Miifa((> d iiiu; 

s|»liri(' S de ravon W a\aiil It- |K)inl I' [loui' (ciiire, on a hml le 

I. '■ ' 



luni; lie cede >jjlier<' /• = \\. 



= — > el I on olilifiil la for- 



(In \\^ 

nude (le. id nioyonnc pour les lonclions liarinonupie> de Iruis 
\ anajjles 



( 10 j 



\j{ a. 6, c) 



J^'fl 



U d:r 



On en deduirait, comnie plus haul ( n"507 ). qu'une fonction liai- 
moniipie de Irois variables nc j)eul a\ oir iii ina\iiiiuiii ni imniniuiii. 
Le seeond membre de la Ibriniile ( i i i esl la somine d un polen- 
liel tie simple eomdir el d'uii p(tlenliel dr doiiMe roiu lie, eesl- 
a-dire de deux tonelions anal\ liques (n " e^!2(j-f^)i27 ). On en conclul 
<pie ioulc fonctio/i /ia/-/>io/if<//fp esf mic J'onclion iinalytif/Kc 
\'A\ elTel, elanl donnt' un point I', |)ris dans le doiiiaine I) oii la 
foilChon U esl liarinoniipir. on pent lou|our> applupii'r la lor- 
nuile (i4) f'n prenanl |)oiir 1 iine Nurlace leriiK-e enlouranl le 
|)oinl P el siliit'-c loul enlirre dans ce doiname D. Soienl .r„. 
Toi ~o le.> cooidoiiiK'es dun point (pi(d(tui(pic de I): dans le \oi- 
sinage de ce jxiinl, la fonclion liarnionique L(j;-. )', Z) |)eul elre 
d<'veloppee en serie enlierc ordonnee suivanl les puissances 
de ./• — ./•„, )- — j„, ; — ;„. 1. ensemble des lermes de degi'e n 
est un polvnoine 



■i')'\ riiviMTni: \\\iii. — iii.M rioN< iiAitMoMyi r.s dk trois v\uiaiii.i:s. 

m (lrsii;ii;ml par \ „i .r, )'. c ) iiii pnl viiniiic liaiiiiniii(|iic lii)moi;rue 

I.. I roiiiiiilc Mjl |ici'iihM ill- I i'|)(iii(lic iillii iiiiil i\ I'liu'iil ,i l.i (|iioslioii •<[[]- 
^.lllt^" : Sni/ I ////(• fiinrlion cuntt iiu<' <it/isi </ur scs t/rrn'ecs particllcx 
lilt premier ill lire ditns iiii ilmiiaiiie 1); oii sail de jiliis i/ne /es i/e/irees 
piirtiellcx ilii seroiul ordrc soul ron/i/iucs rl salisfonl n ler/tnttion ife 
l.iiplace en tons /es points dn doinainr IJ. sanf pki t-ictuk le loni^ de 
rcrtaines surfaces en nomhre fini sitnres dans ce doniaine. Peut-on en 
nmrlit re i/iir [ est li<4 rnmnii/iie dans lunl le dninai ne '.' 

Stiil S line tli'S siiiface* dn flomaine I>, Ic Inn;; (h-sfincMcs le-; dorivees 
secondo* (If I peinenl i"'tr<' siippusoos discdiit iniii'^. h uii pmni A do. edit; 
•snrl'aoc |n>ni ocnlic deciivons iiiie sphere il de rayon asse/. pclil pour qu'eIN; 
soil sitiitM> ti>nt cnlitTc dans 1>, rl no ronfcinie pas ilaiHre surface ana- 
Joijue a S. I. a pmiicm S di- S iMltiiciire a il decompose 1 interienr de la 
<plii-re en ileus dnniiiiiic^ !• <l !•. liniiti's respcclivenietil par S' et par 
ilriiN porlii>n> 1 el 1' de X. h.iiis cliarnn de ces deiix domaines la fone- 
tion I; est liariiKinique ; designotis par U' el I " les deux funclions liarnio- 
niqiies avec lesi|uei!i'S elle coincide dans les deux domaines D' et D" respee- 

tiveinent. \oii* voulons nioiiti er ipie re* dciix I Minns IJ' el l" snnt le 

prcdon^enient aiial\liqiic 1 iiiie de raiilre qiiaiid nii iiaveise S' on, ce qui 
rcvienl an meine, qnil existe uiie fnneiinii liai iiioiiiipie dans le domaine 
D'-T-E>'. qui coincide avec L' dans \)' el avec Li" dans D' . 

Soil I* nil pniiu quelconqiie dii domaine D'; L'clanl liarmonique dans I)', on 
;i, d'apres la rnrmule ( l4 I, 



l;.= - 



i TT, , v I / dn dn 



d:: 



d:i. 



dn 



; desii;nanl la dcri\ee en nn poini de S' suivant la normale inlerieure 



•a D'. I.es dciix (nnctinns L" el - elant liarinnniqnes il,ins je rinmaine D", 

/■ 

■on a aussi 

, * /» I ' I 



n 
777 



\-J Js_ \ I I 



I" 



dn 



— I" 



dn" 



d^. 



(' ) On a elendii aux series de celte nature les llicoremes connus sur les series 
«iilieres d'line vjriai)le complevc (voir Appfli., Ac/a nial/ieninlica. t. IV, iSH'i, 
p. oi.)-.");'!). 



I'RORi.i.Mi; III. itiiiii iii.i.i i)A.N> I. i;>i'.V(:i;. 



d 



—, — ^, desii!ii;iiit l;i (l<-ii\{''f siiivaiil Iti iiuiiiialL- iiili'i ieiiie ;'i l)"eii iiii unint, 
da' " ' 

<l(.' S'. '>!•. 1,1 fonotioii (lonnt-e L elant continue, aiiisi que ses dcrivces 

• II I III I C' ^^' '^^^ 

partiellos liii nicmier ortlre le Ion? ae z> . im a — — , p-r, = o: en aion- 

taut les rleu\ coalites piecedenlc*. un a ddnc 



U,.-:- 






1 d[ ■ 

r (III 


,/'^)l 


' .In J 


r dii 


dn 



^3- 



II c?l (lair qnnn aurail la iik-uh; e\|)i('".-ii()n [lour If. I' elanl un |)oiiit 
itilciieur a D". Or le second ineiiil)it* de celte formula, considcree coinine 
fonclion des coordonnt'-es du point I'. 0*1 hairnonique a rinlL-rieur de X; 
CO qui demonlre le resnltat I'lhinrc |)lu« liaut. 

o2il. Probleme interieur et probleme exterieur. — \j' proMciiK' 
(le Diriclilcl inli'-rK^iir dans I c^jiace se jxjsc coiiiine le |)i oljl("'ine 
iiiiiilo^iie dans le plan. I^^lant donm- un doniainc Imjimk'; IJ, liniili" 
p.ir nne ou phisienrs snrfaees ferinees, il s agil de troiiver line 
fonelion liurni()nif|iie dans D. pienant des valeiirs donnees sur les 
surlaees liiiiiles. ees \aleni-< loirnaiU iine swile conlinue sur elia- 
ciinc de ees surfaces. L al)seiiee de inaxlinuni el de inininuim pour 
une fonetion li,irnioni(|ue prouve encore que ce piohliine adinet 
ail plus line S(dnl ion. el la df''monslr,iliun de Riemann pour prou\ er 
I existence d une solution est soumise au\ nif^ines ohjeclions (pie 
dans le eas du plan. I>e leeleiir r('"tal)lira (acilcinrni de Iui-iikmih' 
ci'tle demonstration. 

A\anl de nous o((Hi|)er dw probli'ine exLrrieiir. nous de\on> 
donner d ahord (piehpies definitions. Soil L(.r. 1% z) une lonction 
liarinonique dans le voisinage de tout point P siliie en dehors 
d une spln.'re de ravon li ayant p(jur centre I (u^igine. La lonction 
obleniie jtar la Iraiisformalion ilc Lord KcKin 



ViT. 



\/ X- -^ Y- -r- Z"- ^X'--Y-—Z- X--\-r- 



est une solution de I (Mpialion A\'=o. i-('i;iiliere en lout point 
inlericur a la sjiln're de ravon —^ avant pour centre 1 origine. >aut 
peul-elre pour rorigine. 



j"»t'i lllM'irUK \\\|ll. lONCIIONS HAUMONKUKS KK TIIOIS \ \ HI Vltl.KS. 

Si cellc toiKiioii \ (./•. )', z), esl irgiilit'i'C aiissi a roiiiiiac, 
rile c<[ (lt''\ I'loppalilc en s<'rir cntirre (l(" la fdrtnc 

A„+ V A„ V„( J-, _)-, z), 

n — 1 

fl par consrqiienl, la iVinclioii Lj(.r, r. c i. (|iir so dt'-diiil (\r 
\ [^.i\ \\ :;), do la mtMiie fa(;oii (|iie V sc dc'diiil do L, est dovci()|i- 
paltlo oil sorio >\v la loiiiic 

-t- ae 



|)»)iir\ii (|iie \/./'- H-JK" -h ;■ soil sii|)<'THMif a iiii iioiiihic posiul 
couN enable. On dit aloi-s ijue Ln fonclion hdrmonifiuc Li eat rt'~ 
'j;uU('re rt lutllc t'l Vinjlni. II on osl ainsi, |)Oiir iin polonlnd (Xv 
simple ooiiolio on do double eonelie (n"'' TitiKJ-o^T). I.cs Ibrninles (4 ) 
«t ( i()i ne diireronl on olTel cpie par los nolalions. oar on a i"e- 

Miartpio \x\." ri^*)) (pn* los doiisoes /i'*"'"'" dc sonl do la lornie 

I 

\ „ ( .^•. r, ;i t'lani nn p(dviionie iiarinoiiKpio ol li()ni(ji;ono do 
dej;ro //. 

Diino l;i(;()n ^ononde, n()n> diroiis (pi unc lonclion liarino- 
nnpio I I ./•. )•, z) esl regulu're a Vinjini^ sil oxislo nno oon- 
slanlo (! lollo (|ne la diUV'ionoo I { j\ y. Z) — C soil roj;uliere ot 
nnllo a I inlini. CelLe lonolion toiul \ors la \alenr C lorsqno la 
ilislanco (Jii poinl (x, JK, Z) a Torijuino oinji indt'diniinonl. 

Cola |)0s«''. considerons, pmir (i\ei' lf'> id(''os, nno sonle siirtaco 
formc'-e -, ot soil (0 lo doinaino indolini (;\lorieiir a -. Lo pro- 
blonie oxlf'-rionr, relalif a la surfaoe i]. s f'-nonce ainsi : Tronvcr 
mtc fonclion lt(iinioiii(/iie ddiis o. rri^iilicre <'l \v\aa: a I' ii) /I ni\ 
/nfnani siir 1 unr suite continue de valeurs donnce. 

\ai |)robloine ainsi pose so rainone iminedialoinonl an piobloino 
inlerionr. Sn|)posons on eilot que I oriyine soil a linlorloiir do la 
surface -, ol cHeoUions nne inversion aveo lo poinl O |)Our p»Mo 
ol I'unile pour module. La surfaoe - esl rem|)lacee par \\\\v surface 
fermee -', el lo doniaine (O par le doniaine (0' inlerieiir a 1'', 



1. — I'RORLKMI:: I)K DIRIOHI.ET DANS l'eSPACE. 7.5y 

l^autrc [»art a la Ibnclion hannonlqiie cherchee L(jc, j', z) la 
Iransformalion ile Lord Kelvin fait correspondre une fonclion 
\ (a', y, r), harnionique dans cC)', ct prcnani sur i'' des valeurs 
connues qui sc dcdtiisent des valeurs donnees de U sur 1\ On 
obtiendia done celte fonetion V(cr, y, g), et par suite la fonc- 
lion L (x, y, z) elle-meme, par la rc'solulion du problemc inte- 
rieur. 

On voil par la quil y a unc difterence essentielle entre le probleme 
exlerieur dans le cas du plan el dans le cas de I'espace. Si, dans ce der- 
nier cas, on n'iinposait pas a la function harmoniquc l](x,y, z) la condi- 
tion d'etre nuile a linfini, le probleme serait indelermine. 

Soil en effet U(:r, j', z) la fonetion harmonique qui donne la solution du 
probleme exterieur proprement dit pour la surface S; soit, d'autre part, 
lJi(x,y, z) la fonetion harmonique dans cO, reguliere et nulle a I'infini, 
prcnant la valeur un sur 2. La fonetion U(x, y^ ^)-r-C[i — Ui(x,^, z)^ 
est harmonique dans tO, reguliere a 1 infini, et prend les memes valeurs 
que []{x, y, z) sur S, quelle que soit la co-nstante C; elle prend la va- 
leur G a i'infini. Pour que le probleme soit completcnient determine, il faut 
se donner la valeur de la fonetion harmonique cherchee a I'infini; on 
obtient le probleme exterieur ordinaire en choisissant zero pour la valeur 
de U a linfini. Par exemple, lorsque 2 est une sphere de rayon R, toules 

I j, oil r designe la distance au centre, sont har- 

moniques a Texterieur, regulieres a linfini, et prennent la valeur un sur 
la sphere: il faut prendre C = i pour avoir celle qui est nulle a linfini. 

Remarque. — Soient U et \ deux fonctions harmoniques a I'exterieur 
de S. regulieres el nulles a linfini. On pent encore appliquer a ces deux 

fonctions la formiile (ii), a condition de representer par — — la derivee 

dn 

prise suivanl la norrnale exterleure a Z. En elTet, soit S une sphere ayant 
pour centre un point fixe O, et de rayon 11 assez grand pour que la sur- 
face S soit a I'interieur de cette sphere. Les deux fonctions U et V etant 
harmoniques dans le domaine limite par S et ^, on pent appliquer la 
formula (ii) a I'ensemble des deux surfaces S et Z. Si maintenant on fait 
croitre indefiniment R, I'integrale double etenduea S est infiniment petite, 

.. ., , , ... ^ . d\} dV , ,, , ,1 

puisque u et V sonl nuls a 1 inlini, et que —r- et — ;— sont de I ordre de — - • 
' ' dn dn R'^ 

Gonsiderons en particulier une fonclion \3(x, y, z), harmonique a 

I'exterieur de 2, nulle a linfini, el la fonclion — > /• etant la distance du 

r 

point {x , y ., z) k un point fixe P(rt, b, c) exterieur a Z. Ges deux fonctions 

sont regulieres a I'exterieur de 22 et dune sphere t de centre P el de 

rayon p. Appliquons la formule hi) a lensenible des deux surfaces H et a, 

G., III. 17 



758 ciivi'ithk wmii. 



KON(.TU)>S IIVUMOMiJl ES DK TUOIS \ VRIAIU.KS. 



jtuis faisons tomire vers y.i-ro lo ra\on z do j; nous verilloiis encore que 
li(rt, b, c) est donnce par la fornuilc ( 14 ), les derivees otaiit prises sui\ aiu 
la normalc exlcriciire i\ S ( cf. /Cxercicc (J, p. 2IS). 

.')i)(K Solution du probleme pour la sphere. — I. a sidulion dii 
prtibU'iur inlt ru'ur pour la splicio •■>( doiinc'-e j>ar iinc fonnule 
analogue a I'inlegralc de Poisson. Soil I ( .r, r, z\ iine foncliou 
liarmonifjuc a liiih'ririir duiic splu-re S de ravun !», |)ionant des 
\aleurs tlonnees siir la auilace. Si Idii connaissail anssi la valenr 

de -1— en cliaque point dc la surface, la valeur de eelle fonction eu 

un point inltriciir de cdordonnees (o, />, c) scrail donnee par la 

formule ( i4)- On eliininc -7- au luoven dun arliiice lout pareil a 
^ ' an ^ ' 

celui du n° 0O8. 

Soit P, le point eonjugue harinoniquc de P par rapport aux 
extremilt's du dianietre |)assant par P, /•, la distance dc P, an 

point (-2", J)', z). La fonction — elant harnionique a I'interieur de S, 
on a la relation 



(17) 



ill 



,/(i) 



Jn 



T] dn 



f/r = 



Mais on a. en lout point de la spin re S, — = — > o etant la dis- 
tance du point P au centre de la sphere. 

En ajoulant les formules (i4) et ''17). apn-.-, ;ivoir niulti[)lie la 

secondc par — -, on oblient la relation 



((8) 



L'(a, Z>, c) 



4~,y J^ \_ an p dn J 



Oil I'inlegrale ne depend plus que de la valeur de L sur la surface de 
la sphere. Soieni z, la distance de P, au centre de S, o et '^, les 
angles de la normale interieure en un point M de la surface S 
avec MP et MP,. Nous avons les relations 



"Cr) 



''(^) 



dn r- dn 

p-= R2— Z-^— UR/TOS'J, 



COSO] 



Pi 



i/| COS'^,, 



I. — PROBLEME DE DIRICHLKT DANS l'kSI'ACK. aSg 

d'oii Vtnx (l('(liiiL encore, en eliminanl o, 'j,, /•,, p,, 

cos'j R coscpi _ R- — p- 
r- ~ 7 '{ ^ R ri ' 

el la fdiniule (iS) (jevienl 

r.a denionslration precedente suppose que le probleme interieur 

admet unc solution, et de plus que -j— existe sur la surface, ce qui 

na pas loujours lieu. Nous allons verifier directement que lafonc- 
lioii {j{a. />, c) representee par la fornmle (19) fournit la 
solution dn probleme de Dirichlet pour la sphere^ quelle que 
soil la fonction continue donnee U sur la surface. Cette formule 
pent, en efTet, s'ecrire 

d apres la relation R.- — z'-= 2\\r coso — /-. Le second membre 
est la dilTerence entre un potentiel de double couclie el un poten- 
liel de simple couche, par consequent une fonction barmonique. 

Soient K' la valeur du potentiel de simple couche 7^^ / I — dii 

lorsque le point P coincide avec un point M' de la surface de la 
sphere et L'la valeur donnee de U en ce point. Lorsque le point 1* 
interieur a la spbere tend vers le point M', le potentiel de double 
couche tend vers la limile U'+ Iv' (n° 527), car on a 2R cosci = r 
pour un point quelconque M de la sphere lorsque P coincide avec 
le point M'. D'autre part, la limite de la seconde integrale est — R', 
puisque le potentiel de simple couche est continu sur la surface 
< n" 526). La limile de U(a, b, c) est done egale a U' lorsque le 
[)oint P tend vers le point M' et la formule (20) donne bien la 
solution du probleme interieur. On verrait de meme que la 
formule 

(u) U(a, b, c}= T^ I / ^ ^~7^~ ^^' 

donne la soluii(jn du probleme exlerieur pour la sphere. 

On deduil de la formule ( 19) les memes consequences que de 



aGo cii.vpiTnE xwiii. — fonction? h.vumomqi es ni: trois vahubles. 

rinlegialc tie Poisson (n" 508). >i la fonclion donnee L' csl posi- 
tive en loul poiul de la surface de la sphere, I {a, 0, c) esl aiissi 
posilif pour lout point interieur, et comnie /• varie entre R — p el 
R + p, on aura deux liniiles pour U(rt, b, c) en remplac-anl /• 
par R — p, puis par R -«- o, dans la forinule; (railleurs rinlt'-- 

i^rale / / ^ ii^ est ej;ale, d'apres le theoW-me de la mojenne, 

^ '■ S) 

a j-R-l 0? t^o elanl la valcur de L' au centre de la s[)liere. Nous 
avons done les deux inegalites 

et conime Lq p^I compris aussi entre les deux ternies extremes, 
la valeur absolue de Up — Lo est inferieure a la diflerence de ces 

deux ternies, c esl-a-dire a Lo — ^^ .^' Les deux icrines tie 

cetle fraction sont respeclivement du troisieme et tlu tjuatrieme 
degre enR: elle tend done vers zero si, p restant fixe, onfaitcroitre 
R indt^finiment. On en conclut r/n'une fonction harmonirjne 
dans tout lespace, qui est toujours positive^ est unc conslante^ 
et par suite tjuune fonction harmonique dans tout Tespace, tlont 
la valeur absolue est bornt'-e. se reduit a une ennstante (n" o08). 
Gette extension du ihtiorenie de Liouville est due a M. Picard. Le 
iheoreme de Harnack, dont la dt*monstration repose sur I'integrale 
de Poisson, s'titend de mt^nie sans difficulte aux fonclions liarmo- 
nifjues de trois variables. 

331. Les fonctions de Laplace. — Supposons que la sphere S 
ail pour centre lorigine O, et lunitt^' pour rayon. INIodifiant un pen 
les notations, dc-signons par j;, y, z les coordonntics rectangulaires 
dun point P intt^-rieur a la sphere, et par o, 0, 'b ses coordonnees 
polaires, litres aux premieres par les relations 

X = ^inO COS'!/, y — o fs'ind %in'b, ^ = o co^O; 

La formule ( 19) prend la forme (•tpiivalente 

' c/o Jo (i — 2pcosY-i-,o'-=j2 

les coordonnees dun point variable M de la. sphere sont (j, 0', 'i/'^), 



I. — i'ru)itLi-:Mi; m: diriciilut dans i/espace. aGi 

eiy(0', -V) represenlc la fonction doanee L sur la surface de la 
sphiTC, cxpriniee an luoyen des variables 0', -V; *' est Tangle du 
favoii OiM avec la direclion OV, cL cosy a pour expression, d'apres 
la relation iondaruentale de la Trigonomelrie spheriquc, 

( -.'.j) COSY — cosO cosO'-t- siiiO sinO'cos('y — 'I). 

Dapres une formula deja demonlree (I, p. i(')/\). on a 

(•^4) , ' = l\-+- Pi(cosy)p +...-+- P„(cosY)p'' + ..., 

y/ 1 — ■>. p COS Y -^ p - 

1*„ elant le /<"""' polynome de Legendre. En ajoutant celte for- 
niule a eelle qu'on obtient en differenliant par rapport a o, et mul- 
hpliant les deux membres par 2p, il vient 

\ J = Po-t- 3Pi(cosy)? -4- 

( ^4 ) w I — 2 p cos Y -4- p' ) " 

( -1- (2/1 -M)P„( cosy) p"-)-. . . 

Cette serie est iiniformement convcrgenle^ lorsque le point M 
decrit la sphere S. En eft'et, d'apres la formule rappelee tout a 
riieure, P„(cosy) est egal au coefficient de p" dans le developpe- 

ment du produit (i — peT') -(i — pe"T') -. Si Ton developpe 
chacun des facteurs separemenl, les coefficients de p/'e/'T' et 
de p/'e^/'T' sont des nombres /?05/^//5, et, par consequent, on ne 
pent qu'augmenter le module du coefficient dune puissance quel- 
conque de p en remplacant eT'et e~Y' par I'unite. Lavaleur absolue 
du coefficient de p" dans le produit est done inferieure au coeffi- 
cient de p" dans le developpement de (i — p)~'i c'est-a-dire a 
I'unite. II s'ensuit que les termes de la serie (24)' sont inferieurs 
en valeur absolue aux termes de la serie 2(2/2 + 1)0", qui est 
convergente puisqu'on suppose p <! ' • En multipllant les deux 
membres de la formule (2/1)' par /'(()', -V) sinO', et integrant terme 
a terme, il vient 

(■^.V) U(.r, J, ^) = y i^^P« C dO' f I'„(cosy)/(0', 'l')sinO'd'y. 

n^O "*" "' ^^ 

Le polynome P„(cosy) ne contient (pie des termes en cosy dont 
les exposants sont de meme parite que n; on peut done le trans- 



•>(»2 CIIAIMTnE WVIIl. — KONCTIONS IlAnMOMQl ES UK THOIS VARIABLES. 

former rn iin polynoiue honiosrono en sin-', cosv, ne ("onlenant 
<|n«^ (los [Hiissancrs [laircs de sinv. En roniplaoanl sin-v par 

sin-0(^cos''i/ H- sin-'!/) --- cos^O — cos^y, 

rl COS"' par son expression (:>•>), on \oil en definilive <juc P„(cosy) 
est une lonclion enliore et liomogene tie tlegre // en cosO, sinO cosdf. 
sinOsin-j, tlonl les coefiicienls sonl fonclions de G' el de ^'. Le 
(ocflicienl de z" dans la serie (20) est une expression de memc 
nature, et I'on oblient ainsi un developpement de la fonction 
cherchee lj(x, y, ^•) dont chacpie ternie est un polynoiue hoino- 
jjene en x, y, z dun degre inar(|ue par son indice. La fonc- 
tion I' (.2^, Vf z) etant liarnionicjue, il est clair que tous ces 
polynomes sonl aussi liarnioniques. iNous ecrirons ce develop- 
pement 

(•i6) 



^■(^,y, c) = 2c^./i-4- OY^p", 



\n etant un polynome homogene de degre n en cos6, sinGcos'i, 
sinGsiu'li, qui so deduil d'un polynome harmoni(jue et homo- 
gene \„ de degre n eny remplacanl x, y, z par sin 9 cos 'J;, sinO sin^L, 
cos 9 respectivement. Ces polynomes Y„ sont Jes fonctions de 
Laplace; d'apres leur definition meme, il v a 2/1 -\- i fonctions \,i 
lineairemont distinctes d'ordre n. 

I^a formulr (2()) n'est demontree (jue j)Our Jes points intorieurs 
a la sphere. Si la serie du second membre est convergenle en un 
point M de la surface, de coordonnees (i , G, •]/), la fonction L {x,y, z) 
a pour liinitey(0, 'l') lorsque le point P tend vers le point jM ; en 
supposant que le point P reste sur le rayon OM, on a done d'apres 
le theoreme d'Abel (L n° 182), 

(27J /(O, •;.) = 2(2/1 -+-i;Y„(0, 'I), 

71=0 

^n(0, •]/) etant egal a I'integrale double 

C28J Y,J0. 'l)=~ f dW I P„Ccosy;/(0', y)sinO'^<j/'. 

Cette formule nous donne un developpement d'une fonction 



t. — PROBLK.ME Di; i)iri<:iiij:t dans l'kspace. '.GS 

conlinue siir la surface dune sphere, tout a fait analogue a la serie 
<le Fourier pour une fonction d'une Nariable. Laissant de cote 
pour le moment la question dc convergence, nous lemarquerons 
seulement qu'on a, d'apres ce qui precede, quelle que soil la fonc- 
tion continue donnee sur la surface de la sphere, 



^21)) 



/( 0, 6)= litn 



2(-'^« + uV,aO, '})p" 



Application. — M. I'icaid a drdiiil <le celte formule (29) une extension 
elegante dii tlieoreme de Weierslrass (I, n" 206), aux fonclions continues 
de deux variahles. Soil U une fonction continue quelconque sur la surface 
de la sphere S, et ./"( 0, ^)j) la fonction obtenue en I'cxprimant au moyen 
des variables et 6. La fonction qui est representee par la serie (26) a 
rinterieur de la sphere, et qui est egale ay(0, <l^) sur la surface, est con- 
tinue dans tout ce domainc ferine, et par suite uniforniement continue. 
Etant donne un nombre positif£,on pent trouver un nombre pi<Ci id que 
la diiferencc 



/(O, 'y)-^{in^i)\A^, 'V)?'t 



soil moindre en valeur absolue que - pour tons les points de la sphere. 

D'ailleurs la serie dont Ic terme general est ( a/i -t- i)Y,jp'j' est elle-meme 
uniforniement convergcnte, car, d'apres I'expression (28) de Y„, on 
a I Y„ I < I], H etant le maximum de 1/(0, t^)|. On j)eut done prendre 
dans celte serie la sonune d'tin nombre fini de termes 

'^ = Y„ -r 3 Yi -h . . . -1- ( 2 /« + I ) Y„ 

qui dilTerc de la somme de la serie de moins de ^i quels que soient et '];. 

Enfin cette somme '!> pent elle-meme etre developpee en serie cntiere 
en Oet '^ et Ton pent prendre un nombre fini de termes dans celte serie, 
c'est-a-dire un polynome Q(0, '^) en Oet f^, tel qu'on ait 

I'l'— OfO, •^)1< i, 



pour tons les systemes de valeurs de et de -^ compris entre o et ■i.-n. II 
est clair que la dilTerencc /(O, -!/) — Q(0, •^) sera inferieure en valeur 
absolue a s pour tous ces systemes de valeurs. 

Si la fonction /(O. '^), au lieu d'etre detcrminee sur toute la sphere, 
n'est detcrminee que sur une partie, on pent toujours completer cette 
determination sur le resle de la sphere en respectant la continuite, ct 
cela d'une infinite de manieres. I-a conclusion precedentc s'applique 



>Gi cii\riTnE \\\iii. — i-onctions ii vumdm^i i:s i>k tuois vvruiu.k.s. 

encore, el Ion en deduirail, conimo an n" "lOii (I. I i, i\ur toiite fonction 
de dear variables, continue dans tin domainr A, /leiif clrc repre- 
sentee dans cc domaine par line si-rie iinifornienicnt convergente de 
fiotynomes. 

;)32. Propri^tes des fonctions ^ „. — I.es |)olynoinos \ ,„(r, i", z) 
soul los soules fonrlions hoino^^cucs. (|iii soienl liiirmoniques a 
I inl«''rioiir (rime spln'ro avant pour conlro 1 originc. I'.u ellel, 
loule fonclion liarmonique dans celle sphere est developpablc eu 
^erie de polynomes \ „i, el il esl clalr que la somme de cette serie 
ne peul rtre homogene (juc si ellc se reduit a iin s(mi1 terme. Le 

lonjr d'nno sr>li»'re de centre O el de ravon 11, la d»''rivee — 1-~ 

prise siiivanl la nonnale inlerieure esl egale, d'apres lliomogeneile, 

a — -7T ^ III- "^i 10" applique la formule (i i)a deux polynomes \ ^, 

^^ q{Pyf] )•■ i' I intf-rleur dune sphere de centre O, on veil que 

I'integrale douhle / / \ /, \ ./(H, clendue a la surface de la sphere, 

esl nuUe : ce qu on peul encore ecrire 

rSo) C f V/,(0. 6)V,/(0, 6)sin0f/6(/'{/ = o { p -^ q). 

La foncllf^n liarinoni(pie V,„f.r, r, ;) = o'"^ ,„( 0, •!/) se redui- 
sanl a \ „i{h. '!/) sur la sphere S de rayon un, on a, d'a[)n'S la 
formule generale (2.")), si est inferleur a un, 

ce (jui enlraine les relali(jns 

/ / F'„('cosYJ V,„( 0', 'V; sinOV/O' c^-y = o, si m j?^ /i, 

( f P, „( coi -'jY „,(()■, 'I') s\n()' d<)' d-l' =^ '-^^ \,„(f), <l). 

. /^ . '„ ' ' •'. m -r- I 

En rapprochanl ccs forinules de la formule (r>.4) qui donnc le 

developpemenl de -, on en conclul (juon a, en siipposanl << i , 

Hi) / / - V„, ( 0', 'I') sin 0' dh' d'l' = ^ ■ Y,„ ( 0. -i ) ; 



I. — I'KOULKMi: OK DIUICIII.UT l).\N> I. KSPACr. 



•>.f.» 



ct'lle ('•yalilt' suhsislo pour p = i, car le {)icinier nicnihrc, (jiii est 
ua polentiel do simple couclie, esl iine toiiction continue sur la 
split-re elle-nieme. On a done aussi 



( ii I 



r r 



v„ao\ 'Y) 



sinO' 



/^ 



f/d' (bv = 



4- 



V,„(0, .;), 



eos"' ('lant (iounr- par la lorniule (''-•>). l-e polcnlicl de simple 
courhe dil a unc couclie de densile ^,„(0', 'V ), ('tendut; sur la 
sphere, est done e;;aL a riulr'-rieur el sur la surlace de la sphere, 

a - — ■ V„;(0, 'I) (voir Excrcicc i, p. 23(S). 

Rceiprorpiement, toule foneti on /"(*!), •!*) satisfaisant a une rela- 
tion de la lornie 



sin 0' 



/^ 



'2 cosy 



f/ft'^/'V = 4-K/(0, 4.), 



oil K est un lacteur constant, esl une des fonctions ^/«(0, •}). 
Considc'-rons en elVet le polentiel de siui|)le couclie 



V( 



p, 0, -:)= f" f" ■- 



'• /■( 0', 'i')sinO' 



f/0' f/'V, 



oil /• desii^ne la distance du point de coordonnees polaires (p, 0, 'I/) 
ail point (1, 0', 'L') de la sphere. Cest une fonclion harinoni(jue a 
riuU'-rieur de la sphere, qui se reduil a 'J — KyiO, -i) pour = 1, 

d'aprcs la relation (33). En ealculant la derivee — par la regie 

hahituelle de dillerentiation, on Irouve, apres quelques transfor- 
mations iaeiles, 

le second memhre esl une lonclion liariiKjuHjiie, [)uisque c'esl la 
dinerence de deu\ potentiels. Sur la sphere, cettc fonclion est 
('•gale, d'apH's les proprieles des potentiels el la relation (33), 

a ■>.-{\ — K )/(0, 'V). II s'ensuit (iiie la dillerence ;^- V 

est une fonction harmonitjue nulle sur la surface de la sphere. 
Kile esl done nulle eii tout point inlerieur, et la fonction V est 



, I — K 



1 — K 



une foncti(jn homojiene de de";re — r^— » ce (lui exi"e iiue — ^r- soil 



■)0C> niAPiTiu; wvin. — konctions iiaiimomqies de tbois vAniAni.KS. 

111! ndmlnv rnlici- ///. ot l.i Iniirlion \ cil iiiu' lomtion dc l;i 
forme C^"'^ ,„(0, -L). La I'onclion /"(O, y) osl cllc-mrmc itlonli(|iic 
;"i "^ ,„(0. -V, a tin faclcur conslnnl jtrt-s. 

llcinartjHc I. — Lorsque p o-^l ;-ti|i<i icur a iiii, Ic second iricmbre de la 

fiirimile (3i) doit iHrc rcmplarc par r Y,„(0, J/), car c'est 

^ '^ ' (9. /;/ -t-i)p"'-* ' ^ 

line fonclion harmonique a rcMcrieiir dc la sphere, d'aprcs le thcoreme 
de Lord Kelvin, nuiie a rinfini, el prenanl les niemes valeurs que le pre- 
mier meinbre pour p = i. Elle est done idenliqne au potenliel de simple 
couclie reprosento par le premier niembre a I'exlerieur de la sphere. 

/icinartjuc II. — On peut aussi deduire des forniuies prccedenlcs la 
\aleur du potenliel de double couclie 



\\ 






pour an point inltrieur ou pour uii point cxlerieur a la sphere. A I'inle- 
rieur, \V est une fonclion harmonique qui se rcduit a 

•2rY„,(0, 6;- — ^^^ Y,„(0, 'Y), 
•> /n -1- I 

d'apres les relations (3i) el (7), sur la sphere elle-memc; elle est done 
egale a 

•2- ' '" "^ '" p"'Y„,ce, 'I). 

,-. • 1 . • , . . - i-"' Y,„(0, 'I) , 

<)n verrait de meme que ce potenliel est etral a — a 

^ ' *" am -I- I p"'-^i 

I exlerieur dc la sphere. En supposanl /n = o, on lelrouve les proprietes 

de I'integrale de Gauss (n" ri27 i. 

o33. Methode de C Neumann. — La mclhode de Neumann, 
qui a ele exposce en detail jkjut les contours convexes (n°ol3), 
s'elend sans modification essenlielle aux surfaces convexes. 

Elanl donnee une surface ferniee S, le |)rincipe de la melliode 
de -Neumann pour resoudre le proijlenic inl(Tieur consisle encore 
a representei- la fonclion harmonique cliercliee par un potenliel de 

double couche / / ;j. — ^ r/^". Les proprieles de ce potenliel con- 

duisenl pour determiner la fonclion inconnue ui a Tequalion fonc- 
tionnelle suivante (ou Ion suppose A = 1 ), 

(H) |j,(M)=A r /" [.;(ni;-;..(l';]^^3'^-^ U(IVlj; 



I. — I'nom.KMi; di-: dirichmct hvns l'espace. y.Sy 

F(M) designe en gen('ral la \aleiir dc la fonflion F en im poinl M 
de la surface, U esl la fonction continue donnee sur S, /■ est la 
distance de deux points M et P de cettc surface, cs I'angle dc la 
norinale interieure en P avec l^M, et i'integrale double est prise 
en consid('rant le point P comnie variable, el le point M conime 
lixe. 

On salisf.iil J'orinellenie nl a celte etjualion fonctionnelle en 
posant 

(35; ;JL(M)= -^ [Uu(M)-r-X L,(M) + . . .- X" U„(.M ) + . . . J, 

U„(M) etant cgal a la fonction donnee L (M), et les termes sui- 
vants se deduisant du premier par voie de recurrence au mojende 
la formule 

(36) U„(M)=-i- r/'[U„-,(M)-U„_,(P)]^«?s', 

I'integrale double etant loujours prise en faisant decrire la sur- 
face S au point P. On demontrerait absolunienl comme au n" ol3, 
(jue loutes ces fonctions U« sont continues sur S. Pour ctabllr la 
con\ergence de la serie (30 ) lorsque la surface est convfxe^ on 
s'appuie sur deux lemmes analogues a ceux qui ont (He ctablis 
pour un contour convexe. 

Lemme I . — Etant donnes sur la surface convexe S deux points 
quelconques M, et Mo et une portion S' de celte surface, pouvant 
se composer de plusieurs morceaux separes. la difierence entre les 
angles solides sous lesqueis on voit des points M, et Mj les dilVe- 
rentes parties de S' est inferieure a 2rJi, It etant un nombre po- 
sitif inferieur a I'unite, qui ne depend que de la surface con- 
vexe ('). En eflet, pour que cette dilVerence fut egale a air, il 

( ' ) La dcmonslralion dc Neumann repose sur un leminc un peu dillcrent. La 
surface S etanl decomposee en deux portions S'. S", a et p etant deux points 
quelconques de S, si Ton represente par 1{. I'angic solide sous lequel on voit du 
point Y la surface S, on a pour unc surface convexe. non bieloilce, rinei;alite 
fondanienlale 

I^. + l3 >;>.::, 

A etant un nombre positif inferieur u un ([ui nc depend que de S. I! esl facile 



a68 (iiMMTRi: wviii. — i o\rrioNs iiahmomqii.s di: tkois varimu.ks. 

l.iiulriiil (|nr ilii poiiil M, on \il S sous iin ;iiii;l(; solide rgal ;"i i^.—, 
c*r>l-a-ilire quo S' oompril la surface S toul eiitlrrc, on ful fornn'-t* 
dune surface limilce par une face plane, sur laquelle serail M,. 
Dans les deux cas, Tangle solide sous lequel on voit S' du point Mo 
nc poMirait «'lre mil ;"i iimins (juc S ne so rcdtiise a une pvraniidc. 

I.ininii' II. — Soil F( .M ) line fonclion |>()sili\r on miiIIc sur S, 
fl .) I inlt'-i;i;dr douhlc 

^=/X'"'''[('-^),-(^)J''^- 

( — 7^1 dcsignanl !•■ cosinu.s dr langic (pic lail la norinale inle- 
rieure en I* avec la dirccllon PM(. divlsc' |)ar Ic carrc dc PM,, 
el ( — ^1 ajanl une signiticalion analogue. 

Parlageons S en deux jtarlies S,, S^, tclles quOn ail 



coso \ ^ /cosg\ 



.• /cosoX /0OS'j\ .. . , 1 I • . I 

Mir >»,, el ( — -^ 1 << I — ~ \ sur So, cL soicnl J, cl Jo Ics integrales 

doubles elendues a S, ct a So respectivement. On a .1 =.),4- J^, 
cl |)ar suite |J| est inlciicMir au plus grand des deux nombres .), 
el |.Io[. Soil L une limite superieure de F(M); d'apres le lemnie 
prcc«'denl, chacun de ces nombres est inferieur a a/tTzL. On a done 
aussi [Jj < ihr.h. quels que soient les points M, et Mo. 

Cela «'lanl, soient L et / le n)axiniuin ct le minimum de U 
sur S: M, cl Mo clanl deux points quclconqiics de S, on peul 



d'en fleduire Ic lenime du lexle. Supposons 1?,,^I|.„; la sDmrnc I* h- I*„ clant au 
plus cgale a 2:r, rinegalite de Neumann donne a fortiori 

.. - - I* -.- 1^., > 4 \t. OU I *, _ I J, < o - ( . _ 2 A ). 

Le facteur i — 2 a est ccrlainenient inferieur a m«, el Ton pout aussi en conclure 
que le facteur A de Neumann est inferieur a -• Mais la sccondc inegaiite s'appiique 
aussi aux surfaces convexes bietoiices. 



4. 



I. — PROBLEME DE DIRICHLET DA.NS l'eSPACE' 2G9 

t'( rire 



U,(M,j-U,(Mo) 

I 



Si les points M) et Mo sont des points ordinaires de S, la dcrnierc 
integrale est nuUe, et la valenr absolue du premier lernic 

i[U(M,)-U(M2)] 

est inferieure a — — - • D'autre part, L (P) — / resLe compris entre o 

et L — /, et par suite, d'apres le seeond lemme, la valeur absolue 
des termes de la troisieme ligne est inferieure a 

L-/ L-/ 

; 2 - « = /I . 

La valenr absolue de U,(M<) — U)(M2) est done elle-meme infe- 
rieure a (L — /) / — — — j ^ (L — /) p, z etant un nombre positif 

injerieur a un. La fonction L,(M) etant continue, cette ine- 
galile subsiste pour toutes les positions des points Mj et Mo ; done, 
en designant par L, et /, le maximum et le minimum de U(, on a 
encore L| — /, •< (L — /)p, et Ton en deduit de proche en proche 
cjue Ton a L/ — /, <C(L — OpS ^i et // etant le maximum et le 
minimum de L/. Le raisonnement s'acheve comme au n" 513. 

Remarque. — La metliode de G. Neumann, appliquee a la sphere, nc 
semble pas conduire immediatement a la formule (19), comme dans le cas 
du cercle (n''513). Cependant il est possible de raltacher a celte methode la 
solution obtenue directement. L'equation integrale qu'il s'agit de resoudie 
peut en elFel s'ccrire 

en observant qu'on a aRcoso = /•. /• etant la distance des deux points M 
cl 1' de la surface. En posanl ;;l(M) = -^ V(iM), cette equation 



■/-O rilMMTBK XWIII. — KONCTIO.NS II AHMOMQUKS DK TROIS VAniABLHS. 

ilovieiu 

d:r \ r r d:i 



(KV 



-VO..-//;V,P.^ = ^//;U(.>)^; 



cest une t-quation do mt-me forme que la premiere, oil la foiiclioii inconnue 
esl V(!V1). Or, pour avoir la solution du probleme de Diriclilel, il nest pas 
noccssaire do connaitre V(M ;. mais seulement le potentiel de double couclie 

•' «- Si 

pour un point quelconque interieur a la sphere. La relation (t!)' exprime 
preci^ement que la valeur vers laquelle tend ce potentiel lorsque ce point 
interieur tend vers un point M de la sphere est egale a la valeur du poten- 
tiel de simple couchc — I I IV Pi — en ce meme point. Ges deux 

fonctions harmoniques, prenant las memes valeurs en tous Ics points de la 
sphere, sont idenliques a I'interieur, el la solution du prohleme de Dirichlet 
esl representee par la dilTiMence entre un potentiel de double couche el 
un potentiel de simple couche. On retrouve bien la formule (20). 

334. Fonction de Green. — Etant donne un domaine home J) 
limit*'- par une surface 1\ lornit'e dune ou plusieurs surfaces fer- 
mces dislincles, la function de Green correspondante est une 
fonction G(x, j\ z: a, h. c), nulie sur 1\ el liarnionique dans le 
voisinage de tout [)()inl <ie D, sauf dans le domaine du point inte- 
rieur Pi a, b, c), ou elle esl de la forme - -r- g[x, r, z; a, b, c), 

la fonction ij^ etant harmonique. La connaissance de celle fonction 
de Green permet de n'-soudre le problome de Diriclilel interieur; 
il suffil pour cela de rapprocher les deux forniules 



d oil 1 on deduit en les ajoutanl, et observant que G esl nul sur 1, 

'(1) 

La demonstration suppose que la fonction harmonique cherchee 



(37, v<a.,.c,= ±Jfy:'.^^,.. 



I. — PROBU-.ME l>F. DIRICIII.KT DVN.S LESPACK. 27 1 

U(t, t, z) a (les (JtTivi'es j)arliellf.s continues siir la sui'face 1". 

On appellc de nieaie lonrtion do. Green j)our le jn'obleme exte- 

rieiir line lonclion liannonique dans le doniaine de tout point exte- 

rieur a -, sauf dans le domaine d'un point (rt, h, c) ou elle est 

inliiiir comnie -> reguliere et nulle a 1 iiiluu, el nidle sur -. Les 

foiiiiules (i i) et (i4) s'ctendanl aux lonclions liarnioni(jues a 
rexlerieur de S, et nulles a I'inflni, il n'y a rien a changer aux 
calculs qui precedent, et la foi-niule (3^) donne encore la solution 

du problenic exterieur, la derivec —j- <''tant prise suivant la nor- 
niale exterieure. 

Dans le cas dune sphere de rayon l\, soient P un poinl a une 
distance d du centre, I*, le point conjugue harnionique de P par 
rapport aux extremites du diametre passant par P, /■ et /•, les 
distances dun point M aux points P et P, respectivenient. Pour 
le |)robleme interieur, la lonction de Green est 

I i; I I d \ 
/— , et - — 

\w\xv le probleme exterieur. Dans le premier cas, on a<r/<;Pv, et 
d > R dans le second cas. 

En appliquant la forniule generale (3-) a ce cas particulier, on 
retrouve les resultats etablis directement au n" 530. 

On pent aiissi etendre la definition <le la fonction de Green a des equa- 
tions lineaires a trois variables, plus generales que I'equation de Laplace, 
comme on I'a fait dans le cas de deux variables (n" S23). Les deux equa- 
tions n ) 

' ^ ' Ox Oy Oz ° ' 

,. (., , , ^^(av) dibv) d{cv) 

^ ^' ''^ ' Ox Oy Oz 



(') L'tiquation J(a)=:() ne represenlc pas la forme generalc d'une equation 
lineairc du type elliptique a trois variables. Une equation de ce type etant donnee, 
il n'exisle en general aucun choix de variables independantes permettant de ra- 
inencr {'equation a la forme (38). La condition do possibilite de cette reduction 
rOsuIlc dcs recherches de ^L Cotton (Th(';se. n"' 15-17). 



i-x niAriTRr. \\\iii. — KONrnoNs iiahmomqiics hi: rnois vari aiilks. 
sont adjointo> I'unc i\c I'aulio cl limnicnt li(Mi a 1 iilonlito 

I ^, . ,, . () / Oil ih' \ 

\ Ox \ (l.r ().r I 

1 i) I Oil (h , \ 
(j'o) • -i M' II r- bin' 



oy 


r ;/ — 





^ (III (>V 


Oz 


\ Oz " oz 



Supposons ies deux fonctions ii etc rt'Siilieics dans iiii doniainc borne D 
et coininues. ainsi que lenrs dorivees parlielles du premier ordre sur hi 
surface i^ qui liinile <t" ihnnainc. (Jn lire do ridenlilc (f{0) la iiouvellc 
relation 



/ / / \^'rHu) — ii(J{^-)\d.rdjc/z 
J •' • It, 

u H auv ) dy dz -\- . 

Ox J -^ 



m 



Oil Ov 

ox 



lintef^rale double elant. prise suivant Ic rule intcricnr dc la surface 1. 
Soient a, ^i, -' Ies anj^les de la norinale inlericure avec Ies axes; la formulc 
precedenle prend la forme plus simple 

[ fj f [vHu)-ii{i(y)]dxdydz 

f '^11 ( rt cosa -(- 6 cosli -1- c COSY)"*' ''/^ = o. 

Cela (ilant, soicnt a{x, y, z) une inlegrale de lequalioii 
r*(u)=f(x,y, z) 
rcguliere dans le domaine D el \' une integrale de lequalion adjoinle 

reguliere dans le domaine D, sauf dans le voisinage dun point (a, b, c) 

de ce domaine oil elle est de la forme U 1- V, U et V etant des fonclions 

r 

regulieres et U(«, b, c ) etant egal a un (' ); /• designe tou jours la distance 

d'un point (x, y. z) au point (a. b, c). Nous pouvons appliquer la lor- 

mule generale (4i) au domaine D', limite par ^ et par une sphere S de 

centre (a, b, c) et de rayon tres petit p. En faisant tendre vers zero le 



(') Des solutions de celle forme onl etc obtenues par M. Holmgren {Ar/.iv 
for Mateniatik, t. I, i'jo3). Voir aussi Ic Miimoire cite plus haul dc M. Hada- 
mard. 



II. — I'OTKNTIKL NEWrONIEN. •^-73 

ravoi) c, rinlegrale dc surface, ('lendiie ii S, a encore potii' liinile 

\ -ii( a, b, c) 
(n" rj:28), el la fonmile (40 nous doiine. en passant a la liinilc, 



( \> » 



i ii(a,b,c)= / / \i'-r-—ii—, h(acosa-i-6cosS-!-cosY)«a' '/: 

\ 4-./ ./,v, L "" "'^ J 

I — -1- I j I i^fix.y, z)dxdydz. 



Celle foiinule |)erniellra de tesoudro Ic probleine di' Diriclilel, si I'inlc- 
i;i-ale ('(ar, y, z\ a, b, c) est nuile sur ^. On pourra de ineme etendre aux 
problemes mixles relatifs a ce'te equation les considerations generales qui 
ont ete exposees plus haul pour une equation a deux variables (n° K24). 



II. — POTE.M'IEL NEWTOMEN. 

On s'est deja servi plusieurs fois des polentiels de simple couche 
oil de double couche. Nous allons resumer rapidement les princi- 
pales proprietes du potentiel newtonien qui seront utilisees dans 
la suite; Texlcnsion de ces proprietes au potentiel logaritlimique 
ne presenle pas de difficulte. 

o3o. Potentiel de volume. — Soient D iin domaine borne de 
I'espace a Irois dimensions, limite par une ou plusieurs surfaces 
fermees S, ^-i-^i J? -') "^"^^ fonction continue dans ce domaine 
et /' la distance d'un point variable M(.2', y^ z) a un point deter- 
mine P(rt, b, c). La fonction representee par I'inlegrale triple 

(43) V(a, b, c)= I C f ''■^^'■]'- ^^ dxdydz = j^ j f 'it di>, 
I, t, ., j)| . . «, ,1)) 

est une fonction continue, ainsi que toules ses derivees partielles 
jusqu'a im ordre quelconque. des coordonnees (a, b, c)du point P, 
dans loute region de Tespace n'ayant aucun point communavec D; 

de plus, c'est une fonction barmonique, comme la fonction - elle- 

raeme (n" 483). Les deriv«k's partielles de celle fonction 



44; 






G., III. 



I'.'i CIIM'ITIIK WVIII. FONCTIONS II AUMONIOTES DK TROIS VAIIIARI.KS. 

sont ryalos, a uu t'acleur constaiil pres, aux coinposanlcs ile 
ratlraclioii qu'oxorcMM'ait sur iin poiiil materiel dc masse tin plaec 
en P line masse de ilensile variahle ,u(^, Y, z) n'-paiidue dans le 
domaine D, en supposaut qiK^ lattraelion ail lieu siii\aulla loi de 
Newlou ; cc qui explique le nom de polenliel ncwtonicn donne a 
le fonclion \{a, b, c) ('). 

Les integrales (4^) et (44) oi^l encore un sens lorsque le point P 
est dans le domaine D; il suffil de verifier que ces integrales, eten- 
dues a linterieur d iine sphere de centre V ont une valeur finii;. 

Rn eflet, si Ion remplace les coordonnees rectangulaires par les 
coordonnees polaires /•, 8, 'i/, Torigine etanl an point P, Tinte- 
grale (4^) etendue a la sphere devieiit 

(43)' r dr f (fO I iji(a -t-z-sinOcos-;/. ...)'• sinO ^/'}, 



(') Pour une attraction proprement dite, [i est essentielleinent posilif; s'if 
s'agit d'actions electriques, ii peut Stre positif ou iiegalif. 

Considerons une droite indefinie homogene, et soil tx la masse de I'unile de 
longueur. Une portion AB de cette droile exerce sur un point P, en dehors de la 
droile, une attraction qui est dans le plan PAB, et dont 11 est facile de calculer 
les composanles. Lorsque les deux points A et B s'eloignent indeliniment dans 
deux sens differents, la coniposanle parallele a la barre devient nulic, landis 
que la composanle normale tenil vers une limite, independante de la facon doul les 
points A et B s'eloignent indefinirnent, et cette limite est en raison inverse de la 
distance du point a la droile. D'une facon generale, on peut dire que les compo- 
santes de I'altraction exercce par une droite homogene indefinie sur un point P, 
de coordonnees (o, b, c) sont ^gales, ci uu facleur constant pres, aux derivees 

partielles par rapport k a, b, c de la fonction jxlogl-)? r etant la distance du 

point P a la droite. De m^me, I'altraction d'un c^lindre plein indedni sur un 
point a une valeur determinee si Ton suppose la deiisite p. conslante lout le long 
dune parallele aux generatrices. Supposons que Ton ait pris I'axe 0- parallele 
aux generatrices, le plan des xy etant le plan perpendiculaire passant par le 
point attire. La section du cylindre par le plan des xy est uiic courbe fermee C, 
liiiiitant un domaine D. En decomposant ce domaine en ^lenaents de surface, et 
le cylindre lui-m6me en cyiindres infiniment pelils ayant pour bases ces clt^menls 
de surface, on voit que les composanles de Fattraction cxercee sur le point P de 
coordonnees (a, b) sont egales, a un facleur pres, aux derivees partielles par ^^H 

rapport a a et ^ de I'inlegrale double / / p. log- dxdy. C'esl un polenliel ^^^ 

iogarilhmique de surface, qui se trouve ainsi ratlache au polenliel newtonien 
de volume. Les potenliels logarilhiiii(|ues de simple couche ou de double couche 
peuvcnl, dune facon analogue, etre ratlaches aux potenliels newloniens du 
m6me nom. 



II. — POTKNTIKL NEWTONIEN. 9-75 

p t'tant Ic rayon de la sphere; la premiere des integrales (44) s'ecrit 
de meme 

(44)' / dr I df) I jJL(a-!- /• sinO cos'{/, ...) cos '\i s'\n^O d'\i. 

Oil voit que ces inlegrales ne presentent aucun element infini. 
Si H est nne limile superieure de |ui.| dans le doinaine D, la valeur 
absolue de I'integrale (4'^)' ^'^^ evidemment inferieure a 27:Ho^. 

Dune facon generale, Tintegrale Iriple f f f —. dv, etendue a un 

domaine D' renfermant le point P etdont la plus grande corde est 
inferieure a /, est elle-meine inCerieure en valeur absolue a 27:H/-, 
car ce domaine D' est interieur a une sphere de rajon / ajant pour 
centre le j)oint P. On en deduil que I'inlegrale triple (4'^) est iinifor- 
inement convergente dans le domaine de tout point Pq interieur au 
domaine D, on sur sa frontiere. En efiet, si du point Pq pour centre 

on decrit une sphere S de ravon p, I'integrale triple f f I - dv, 

etendue an volume limit*; par cetle spliere, est Inferieure en valeur 
ahsolue a 8 — 11 o-, pour un |)Oint quelconcpie P inU'-rieur a S. On 
en conclut (|ue le potentiel V(r/, />, c) est une fonclion continue 
dans tout I'espace (n" rJOi). On \oit de meme que I'integrale (44) 
est en valeur ahsolue iiif(''rieure a 4~Ho, et par suite que I'inte- 
grale I I j [J. — — ; — dv, etendue a un domaine JJ' entourant le 

point P et dont la plus grande corde est inferieure a /, est elle- 
meme inferieure en valeur ahsolue a /\-kWI. II en resulte encore 
que les integrales (44) sont uuiformement convergentes dans le 
domaine de lout point Pq interieur a D, ou sur la frontiere de D, 
el par suite ces integrales sont des fonclions continues des coor- 
donuees [a, b, c) dans lout Tespace. 

Les formules (44) sonl encore vraies dans le domaine D, iXotis 
retabllrous pour la preinieie, en reprenant une fois de plus le 
raisonnemenl classique. Elant donne un point P du domaine D, 
de coordonnees («, />, c), decrivons de ce point pour centre une 
sphere S de lavon o, qui deconq^ose D en deux flomaines D,, D^. 
Inn iiih'TK'ur, laiitrc exleneur ;'i la spliei'c. Soil P, un point 
de coordonnc'-es (a-\-\a, b, c) pris dans I),; en a|q)elanl r^ la 
distance de ce point P, a un |)oiut variable M, nous pouvons 



I-G ClUI'lTlli: WVIII. - lOMTIONS ll\nMOM<.»l KS UK TIIOIS VAUIAlti.KS. 

ecrire 

\(a -+- Aa, b, r)— \(a, b. c I 



Aa 
(45) ■ 



fff'y^ 



dv 



=^-./:/:/,;,;-'-^"-[^-./:/:C;'-^'"- 

\ , el \ 2 deslgnant les polentiels relalils aux doniaiiios D, cl Do 
respeclivement. Developpons — ^. 

= -— I ix(x,y, z) ^- di\ 

En obspr\ant qn'on a 

|,-;,|,|A«1. -<-(;:,-;:t)' 

on voit (itie la ^alellr ahsolue de est inf(''riciire ii 

' la 

or il est facile de verifier, en employant des coordonnees polaires, 

line linlegrale Iff — > etendue a iiii doniaine silue toul enlier a 

rinlerieur d'une sphere de rayon / ayant pour centre un point P, 
est inferieure en valeur ahsolue a /[ — I. Le nomhre S est done plus 

petit que — (47:3 + 87:0)= 6r:Hp. La somme des deux premiers 

termes du second memhre de la formule (i^) est done inferieure 
en valeur ahsolue a ^tAI z -\- G-:zl{o = iottHo. Gela pose, choisis- 
sons d aljDpd If nomhre z de telle facon que lo-Ho soil plus petit 

que -> z ('tant un nomhre positif arhitraii-e. L integrale \ 2 est alors 

line fonctioii continue des coordonnees du p(jint 1* dans le do- 

maine Df. donlla derivee est egale •' / / / ;-'• — tt' '^' • ^^ der- 

nier terme du second nuMnhrc de la formule (i-^) lend done vers 
zero avec Aa, el, en achevanl le raisonnemenl comme d hahilude, 
on en conclutque le premier membrea aussi zero pour limite. Les 



II. — pOTKNTiKL .M:vvro.Mi;.\. 277 

formules (44) <1^'' Jomienl /cs dt''ri\ees premieres Jii [)olenliel 
s'appliquent done dans lout Tespace. 

o30. Formule de Poisson. - l-^ii dillcrenliaiil dc nomemi les 

formules (44 )i "i^ aboulil a dcs inte*;rales triples depourvues dc 

sens, lorsque le point P est dans le domaine D. Pouretahlir I'exis- 

tence des derivces secondes, on tiansfornie d'abord Ics integrales 

qui represenlcnt les denvees premieres au moyen de la formule de 

Green. Soient V*Q(^^^, 6,,, Cy) uu pdiut interieiir a D et S une sphere 

ayanl pour centre le point Pj, et de ravon assez petit pour etre 

lout enliere dans le domaine D; nous appellerons encore D, et D2 

les deux portions de D separees par S, V, et V2 les potentiels cor- 

rcspondanls. Le potentiel V2(a, b, c) est une fonction harmonique 

a I'inlerieur de I. Quant au potcntiel V,(a, b, c), nous venons de 

voir quil admel dans ce domaine des derivees du premier ordre 

T-' I ' -^ — '^z f^ / 'J- \ ^'^ ' 

continues. Jin oljservant qu on a 'j. = — — ( - + -r- -' nous 

' ' /•■* dx \ r / ox /• 

pouvons ecrire — '■ , par exempie, en appliquant la premiere for- 
mule de Green pour les integrales triples (I, n" lii) 

I'integrale double etant etendue au c(Ue ext^rieur de S. Linteyrale 
triple du second membre represenle un potcntiel et, par suite, 
aduiet des derivees continues du premier ordre dans tout lespace. 
11 en est de meme de la fonction representee par Finteyrale de 
surface lorsque le point (a, b, c) est a riuleiieur de S. Le polen- 
liei V (a, 6, c) admel done ties derivees continues du second ordre 
dans tout le domaine D, les frontieres exclues, puisque P^ esl un 
point ([uelconque interieur a D. Calculons AV pour le point P^ ; 
en ce point AV.j ;= o et, par suite, A^ = A^ , . Les formules habi- 
tuelles de differentiation nous donnent 

_ f f ;x f:^!!^' dy dz -f- -'-^p dz dx - i^ dx dy \ , 
/•„ elanl la distance du point P,, a un point xariablc M . Le premier 



I-S I 11 VIMTIU: WVIII. - KONCriONS II AUMOM^l i> i>i': TItOIS V.\KIAIU,i;S. 

incmlirc ('--t m(lc|)tii(l;iMl dii ra\(>ii o; il Millit done (\c clicrclior la 
liiuilo du secoml nirniluc lors(|uc > tciul ncis /('to. Or si Ion 
dcsij;nr par K iiiic liiiiilo superioiiiv dc la \;d(Mir absoino des (U'-ri- 
vt'os partiflirs dr n, la \idenr absoliic dr I in !('•}; rale triple est, 
da pics line rciuaKpic aiilcriciirc, inlcnciirf a i ', K — o el, par suilr, 
lend vers zero avee o. (^)iianl a I in [('^ rale de mm lace, on a /"o = '^ 

sur 1. el > > represenlenl preeiseinenl les cosinus 

? ? ? 

diieclenrs de la nnnnah' exlerienre. (-etle intejirale se reduit a 

o 
5 / / [J-i-r.y, z)<i:;' =^ — / / [JL(rto-r- p sin cos •!/,...) sin Oc^Od/'j;, 

i'' "^ • ill • ^ 

et il est elair (pi elle a |)oiii' liiiiite 

— [J.(ao, bo, Co) I / sinOf/0 rf'i/, 
.,'0 '- 

ou — i~ao. Ponr loul point (<7, b, c), inicrieiu' au domaine D, 
on a done, enlre les derivees du second ordre du polenlicl, la rela- 
tion 

t)n' ,i^\ (>2V 

C eslla fof mil /c de Poisson, qui coinprend. si Ion vciil, la ior- 
iniile de Laplace coinine cas parliculier. II siiflit en clFel de 
prendre 'J.(a, A, c) = o en nn poinl exterieiir pour relrouver la 
relation A^ =0, qui s'applique a lous les points exterieurs du 
domaine D. 11 resulte de la comparaison de ces deux formules que 
les derivees secondes, 011 du inoins cjuelcpies-unes, doivent eprouver 
des disconlinuites quand on traverse la frontiere Sdu domaine D. 
11 importe aussi d'observer que la demonstration precedente sup- 
pose que la densile jJL(.r, y, z) admcl des derivees continues, on 
tout au moins hornees el intei;rahles ('). 

Toutes les proprietes prccedentes s'etendeni sans difliculte 

au |)Otentiel logarithmique que nous ecrirons, en remplacant - 



{') La furmule tie I^oisson a ele etendue par dillercnls geomelics a des cas 
plus gcneraux. Voir, par exemple, deux Memoires de M. Petuixi [Ada mathe- 
matical I. XXXI, 190S, p. 12^; Journal de Liouville, 0° serie, t. V, 1909, p. «i7]. 



II. — poTKNTiEi, m:\vtomi;.\. 279 

1 I 
par lo<i- » 

1 o ,. 

Y(a,b)= I I ij.(x, y) log- dx dj^, 

rinlegralc double elant etendue a iin doniaine \) a deux dimen- 
sions du plan, dans lequel 'J-(.r, y) est une fonclion continue; 
V(a, b) est une fonction continue, ainsi que ses derlvees par- 
tielles du premier ordre dans tout !e plan, et ses derivees s'ob- 
tiennent en appliquant la f'ormule liabituelle de differentiatioii 
sous le signe integral. A I'exterieur de D, V est harmonique; 
a I'inlerieur de D, elle admet des derivees continues du second 
ordre qui verifient la relation 

<47) AV=^ + ^ = -..;.,«, 6j. 

En resume, le potentiel \(o, b^ c) est une fonction des trois 
variables (a, 6, c) possedant les proprietes suivantes : 

1° Elle est continue et admet des derivees partielles du premier 
ordre continues, dans tout Tespace, et elle s'annule a I'infini (ce 
point s'elablit comnie au n" o26); 

2" Elle est iiarmonique a I'exterieur dun domaine borne D, 
limite par une ou phisieurs surfaces fermees; 

3" A linterieur de D, elle admet des derivees continues du 
second ordre qui satisfont a la relation de Poisson A^ = — ^-iz'j.. 

Ces pro|)iietes caraclerisent completenient la fonction V(a, 6, c). Soit, 
en ell'et, V] (a, 6, c) le potenliel du a Taction de masses de densite [L{T,y, z), 
rcpandues dans le doniaine D. La dillercnce \ — • Vi est continue dans tout 
Tospace, ainsi que ses derivees partielles du premier ordie et elle est 
haimonique en lout point de I'espace, sauf peut-etre sur les surfaces S. 
Mais on a demonlre plus liaut ( n" S28) que les derivees secondes restent 
continues sur ces surfaces, de sorte que V — Vi est harmonique dans tout 
I'espace et, comme celte difference est nulle a linflni, elle est identique- 
nienl nullc. 

On peul, dans certains ca«, sc servir de ces proprietes pour facililer le 
calcul du potentiel. Par exemple, su|)posons quon veuille calculer le 
potentiel d'une sphere homogene de densite u et de rayon R. La fonction V, 
dcfinie par les egalites 

a Linterieur de la sphere, 



aSo tiiAiMiui: wviii. FUNCTIONS II AisMdMui i:s i>i: TIIOIS \ \IUMll.i:S. 

a l'e\tcii«Mii . (/ ciiinl la dislanoe dii poinl I' an centre, salisfail aiix inemes 
conditions que le |ioleiitiel clioiclie. \'A\o est oonliniie, aiiisi que ses deii- 
voes du premier ordre, et mille a linfini; a I'exterieiir <le la s|ilieie, on a 
AV = o et AV = '[-'J. a rinterieiir. l-^lle est done identique a re potenticl. 
I.ejeune-l^iriehlcl a donne nn exeinpie mnin* eh'nienlaiie en ealeiilant 
d'nne faron svntiietique le potentiel du a raltrarliim dun illi|)Soi(le honio- 
"••n.' iJourniil tie Crrllc. I. ;i2 i. 



V^M. Formule de Gauss. - Dc l;i fonmile do Poisson, on (l<'<liiil 
facileniCMl la \alciir do I inloirralo / / -r- el's, prise lo loii" d iiiic 

surface lennec (IuoIooikiiic i], la d('Ti\ ('•(• -p- etanl i)rise siii\aiil la 
' ' (In ' 

normale cxterieuic. Supposons, pour fixer les idees, que le 

douiaine inierlcur a - se compose de deux parties seulemenl, uu 

doniaiiie D, qui fait partic de D et tin domaine Da exterieiir a I). 

Le domaine D, est limilr par une portion S, de S el par unc 

panic S' des surfaces S qui liinitent JJ. Le domaine Do est lui- 

ineme limite par S' et par une portion S.> de i]. La formule de 

(jreen (lo), applitjuee au domaine D,, donne, en tenant compte 

dc la formule de Poisson, et faisant o = i ^ 6 r= \ , 

J J(v_, dii^ ^ ' "^J Jj., <://<, '^ ~' '^ "J J J,„ / 

-; — desienanl la derivee sui\aiil la direction extcrieure de la nor- 
d/ii ^ 

male; \ ('■taut liarmonique dans Dj, on a d'aiilre part 

•^ — ajanl une signification analogue. Mais, a cause de la conli- 



nuite des derivces premieres de \, on a, tout le long de S', 

1 — ; — =o: en aioutanl les formui. > precedentes, il vient 

d/ii dni 'J I 

(48, J fjl,,^ _,.,,, 



M ('laiil (--al a Tintegrale triple / / i 'J. di\ c'cst-a-dire a la 
somme des masses allirantes contenues a riiilcrieuj- de 1". 



II. — POTKXTIKL NKWroXIKN. 7S 1 

o-icS. Derivees normales d'un potentiel de simple couche. — \^r 
poUMiliel (If simple cotichc peul t-lrc regarde comiiie un cas iiiiiile 
d'un poleuliel dc volume. Considerons le volume compris entre 
une surfnre i] el une surface parallele infiniment voisine, a iine 
dislanee £ do hi |>remiere, el supposons ce volume renipli d une 
matii re doiil la densite o esl la meme loul le lon^ d une nuiniale 
commune. Ln element de ce \olume, forme ])ar les purlions de 
normale menees en lous les polnls dun element c/-j de S a pour 
expression • t/i. Si Ion admel mainlenant (pie £ decroisse indeli- 
nimenl, et en meme temps que o augmente de telle lacon que le 
produit oz tende en cliaque point vers une limite a, le polenliel 
(ill a I'aclion du \olume precedent devient a la limite une inte- 

grale de surface / / — c/:j : ce qui justifie le nom de potentiel de 

simple couche donne a celte in.tegrale. Le. nombre 'jl est la densite 
superficielle de cette couclie. Les pro[)rieles generales de ce 
potentiel out ete etablies plus liaut; il ne nous reste qu'a etudier 
la disconlinuite des derivees quand on traverse 1,. 

Supposons que la surface S soit fermee, et soit ^lo un point 
ordinaire de cette surface. Sur la normale en Mq prenons deux 
points infiniment voisins P^, 1^^, de part et daulre de My. Les 
derivees du potentiel en ces deux points, prises suivant la direc- 
tion inl('ri(Mire de la normale en ^ly. tendenl respecti\ement vers 

I I • • , d\ i dV,. , , 

des liinites. (lue nous representerons par -j — et — — . lorsque les 
' '■ ' arii diii T 

points \^i et IV se rapprochent indefiniment de Mo ('). Prenons 
pour origine des coordonnees le point Mo, la direction de la nor- 
male interieure pour la direction positive tie Taxe des z. et deux 

,.^■.• -If . J . f''^', , ■ ■ ■ V(Pj— V(.M„) 

(' ) U aprt-s la foriiiule de la nioycniie, -j— esl la limile uu rappoil 

lorsque le point 1\ se rappruche tin point M„ en restanl sur la normale interieure, 

. A- <^'^'.- I 1- J V(M„)— V(PJ , 

laiidis que —r-^ esL la Imiile du rapport — — r ^, lorsque 1^ sc rajiproche 

de .M(, en restanl sur la nurinalc exterieure. D'une facon generale. lorsqu'un 

point P de coordonnees a. b. c se rapproclie de M„, les derivees — > —r tendent 

oa Ob 

vers des limitcs qui sont les incmes, que le point P soit interieur ou exterieur 
a -: seule la derivce — a deux liinites dilTerenles, si Ton a pris laxedcs z paral- 
lele a la normale en M„ {voir PoiNc.\UK. Le jioteiiliel newtonien). 



■}.S?. niAl'ITRK WVIll. — KONCTIONS 11 \ KMOMylKS HI-: TROIS VARIAllI.ES. 

droilrs orlhogonales dii plan lanijcnl jioiir axes des x el des j'; 
nous adiiiellrons (|iie la |>()rlion de 1\ Noisine de M„, est repre- 
sentee, en coordonnecs scnil-polaires, par line equation de la 
forme z ^ z^'^^f{^o, to), a elanl posilif el la fonction / elant con- 
tinue, ainsi (lue ses d^rivees narlielles -^j -^ dans le voisinaiic de 
' ' op Oo) ^ 

Toriyine. Ces conditions sonl ceitainement verlfiees, lorsque :; 
adinel des derivees secondes continues dans le voisinage de lori- 
gine. Les fonnules du changemenl de variables (I, p. i4^) 
niontrent imnK-diatenient que les d('ri\ees p el q sonl de la 
forme o*/((o, io),y, elant continue j)our o = o. 

La derivee -ri en un point quelconque Pde I'axe des 5, inlerieur 
ou exlerieui- a 1\ a pour expression 



(id) 



clz J ^/v 1- 



t!/, elant Tangle de la diieolion P:; avec la direction PM, allanl 
de P a un point quelconque M de 2. Si le point P coincide avec le 
point Mo lui-meine, cetle inlegrale dexient 



(3o) 






/•(i ('tant la distance de .Mo a un point quelconque M de 2, el 6 
Tangle de la normale interieure en Mo avec la direction MoM. 
Pour s assurer c|ue celte intt'-grale a une valenr finie, il suffit de 
considerer une petite portion 1! de 2 enlouranl Torigine, el se 
projelant sur le j)Ian des xy a Tinterieur d'une courbe fermee y. 
Un element de Tintegrale (5o), etendue a 2' s'ecrit, en prenanl 

es coordonnees polaires, — '■ -^ , la lonction "(0, to) elant 

. -,..-. r •• n • ' . ' ^V . 

bornee dans le domaine de 1 origine. II n en resulte pas que -77 ail 

|)Our liniite A ,', lorsque le point I* tend ^ers le point Mq, car rien 
ne prouve la continuile de cetle inlegrale dans le domaine du 
point Mq. Nous allons montrer, au contraire, qu'elle est discon- 
tinue en ce point comme un potenliel de double couche. I'oui- 
cela, considerons Tinlegrale auxiliaire 



(5;; 



1 C C i ^^'^'\\ . coscp\ . 



II. — POTENTIEL M:\VT0.\1K.\. 58'i 

o etant I'angle de la direction intcrieure de la iiormale eii M 
avec MP; employanl un raisonnement lout a fail analogue a celiii 
des n°* oOo, o!27, nous allons prouver tout d'ahord que celte intc- 
grale est continue pour le point Mq. Pour cela, considerons le 
triedre ayant pour soinmet un point quelconque M de S et pour 
aretes la direction MP, la direction interieure MN de la normale 
en M et la parallele M;' a I'axe des z. Langle de AlP a\ec M^' 
est - — <h^, Tangle de MP et de MX est cs ; appelons h Tangle de MJN 
et de M^', et Q I'angle diedre du triedre qui a pour arete MiN ; on a, 
d'apres la formule fondamentale de la trigonometric splierique, 

c.os{t. — '-1^1 ) = COS 6 coscp -r- sin6 sino cosO, 

€t I'integrale I pent s'ecrire 

/- ^ I r r / A cose , r r ■ ,, s\nOda' 
{01) 1 = — / / (;jLCOs() — [Jtoj T" "^ — / / usiiiocost> — ♦ 

La premiere integrale double du second niembre est continue 
au point M(, ; si Ton considere, en efl'et, le potentiel de double 

1 r C') cos '^ dj , r, • ' I 1 1 1 5 . 

couche / / '■ , ouv = acosT, celte inleiirale double n est 

autre que — / / (v — Vq) " "^ f/j, el Ion a demonlre plus haul 

que celte integrale etait continue au point Mo (n'" oOo, o27). 

Pour jirouver qu'il en est de meme de la seconde integrale, il 

suffit de prouver que cette integrale est uniformemenl conver- 

gente dans le domaine du point M^, (n" 504), ou que Finle- 

, r r s'ln^ d:;' , , , . • ,• ■ . .-. v 1 v 

gjrale / / — > etendue a une poihon inlininienl pelile 1 del, 

entouranl lorigine, est elle-meme infininienl petite. Or, si I'on 
passe aux coordonnees polaires, un element de cette inlegrale est 
de la forme o^~' "^(s, ^) <^2 <:/oj, la fonetion 7:( p, to) reslanl bornee. 
L'inlegrale etendue a un domaine inliniiuenl pelit est done 
elle-meme infiniment petite. 

Ce point etant acquis, supposons dabord (jue le |)0int P de 
i'axe des z soil un point inlerieur P/; la liiuite de I'integrale I 

lorsque ce point P/ lend vers I'origine est evidemment -1-^ -f- 4~;-'-(i; 

au contraire, si le point P elait un point exterieur V,., '^ limile 

serail ——■' Enlin, si le point P est au point iilo lui-meme, I est 



•jiSj »ii\iMriii: wviii. 



[•ONCTIONS IIAUMOMOI l> I'l-: THOIS \AUI\ltl.l> 



«''i;al i"i \ ,, ~ ■>. —'JL,,. lin t''y;alanl ccs liois noinl)r('s. on ohtuiil [o.s 
\al<'nrs cliciclit'es 



( VJ ) 



•».-;;i„ -r- I <x — (H: 



d\. 
dnt 



CCS relalions (^ ' ) pciiNeiU encore secriro, on siippriiiiaiil 1 iudice 
<lc /•„. 



(54) 









On a, pour les dcrivees normales d'un potentiel logarithmique de 
simple couclie, A z= j ulog- ds^ en un point Mq dc la conrhe G 

(n" 503), des forninles loutes pareilles, (pii setablissent de la 
uienie facon, 

I -, — = — ~;Jo + / \x <is, 



f - — = -;io -i- / [J- as, 



r elan! la ili?lance de M^ a un point variable M de C, el ■} I'angle 
de Mo-M avcc la direction inlerieure de la normale en Mq. 

o39. Potentiel newtonien de double couche. — .Nous montrerons 
encore comment la ibeorie du magnc'tisme conduit aux intcgrales 
de surface (juon ap|)elle potenliels de double couclie (n°oi27). Ima- 
gmons una couclie de densite positive [x etalee sur une surface i], 
et une couclie de densite negative — u' etalee sur une surface 
parallele -', a une distance inliniment petite s de la premiere. Les 
normales ii Xiiienc'es parle contour dun element c/o-de S decoupent 
sur la surface 1" un element de surface di' ; nous supposerons qu'on 
a choisi <j.' de telle facon quoii ail conslaminent u-di = [j.' c/t'. La 
somme des potenliels de ces deux coucbes sur un point exterieur P 



(') La seconde des relations (5'() a ele elablic par .M. IMcmelj en 1904 {Mo- 
natslie/te fiir Mathemutik unci Pliysih). 



COMPLKMENTS ET ICXERCICES. JlSj 

esl eeale a llnlem-ale de surface 



.o:-K^-;^)' 



/• el /•' etanl les distances du point I' aux ('lemcnls d-s et d's' . Si 
la distance s tend vers zero, el si en niemc lemps la densile y. au^- 
mente de telle facon que le produil as reste egal a a,, cellc inl<'- 
grale a pour liniite Fintegrale double 



lU^'- 



la derivce -y- elant prise suivant la direction de la normale qui va 

de 2i^ vers ^'. On retrouve I'expression que nous avions prise pour 
definition d'un potentiel de double rouchc. 

La derivee normale de ce potentiel se comporle lout aulrement quecelle 

d'un potentiel de simple couclie, quand on traverse la surfaces. Soient M« 

un point de S; P, P', deu\ points voisins sur la noiiiiale en Mo, de part et 

d'autre de ce point et a la meme distance h de ce point. Les deri- 

. idys\ /d\\\ . . ,. . ,, ..... 

vees -— — ) —. — 1 prises suivant une direction (letermince choisie 
\ dn /i> \ (in I y 

sur la normale en Mq, ne tendent pas forcement vers une limite lorsque // 

tend vers zero, mais on a demontre que leur difference tend vers zero 

avec li. 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 

1. Deduire de la forinule qui donne la soliuinn du prubleme de Diriclilet 
pour la s|jliere, la valeur de lintcgrale ile surface 

dz 



ir^ 



r rlesignant la dislam-i; d'un [loint fixe V. intciieur on cxteiieur a la 
sphere S, a un point variable M de la sphere. 



i. Deniiinlier, par une inversion, que la foriiiuli' ( iij i pent s'ecrire 

d:! 

U' 

'(S) 



"'"■^-^'^A/I"^'^ 



■xm 



COMPLEMENTS ET EXEnCirKS. 



L" ctant la \aleiir donneo <lr U au point .M' de ia sphorc ou la droitc MP 
ronconlic do nouveaii la spin-re (cf. Exercice 4, p. 237). 

;?. Elant di>niu'' 1111 oylindio hniiid^cno dc densile [Ji, do rayon R et de 
liaulcur A, calcnier le polciiliol de volume pour un jjoinl de I'axe ct la 
derivee do 00 poteiuiel suivant la direction de I'axe. Kn deduire la discon- 
tinuito i\i^ la derivee d'un potenliel de simple couche dfl a une couclie cir- 
oulairc hoinogono, en faisanl tendre // vers zero ct croitre ;jl de facon que \ih 
ait une liniite tx'. 

t. Lcmme dc Poincarv. — Soient S une sphere de rayon R el de 
centre 0, A un |ioinl cxtcrieur et P un point interieur. Le point A etant 

suppose fixe, — ^ est une fonction liarmonique des coordonnees du point P 

a rintcricur de S ct par suite, on a, d'apres la formule (19) (p. ajg). 



(I) 






La nieuie foiinule (rt)), ou Ton suppose U = i, nous donne la relation 



(^) 



' ' ^-1* I'M 



',-R.I'.M 



Eniin, considerons le point F^ coninie fixe et le point A comme variable; 
la dirTf'renre A devient nulle en tout point de S, d'apres la continuile du 
potenliel de simple couche. Cette difference A est harmonique a I'interieur 
de S, sauf au point P ou elle est egale a -f- oo. Etant nulle sur la sphere, 
elle est done positive en tuut point inlerieur. En reunissant tons ces resul- 
lals, on ohtienl la proposition suivanie sur laquelle est fondee la uiethode 
du balavai;e de F^oincare : 

Etant donnee une masse egale a, I' unite placee en un point V de 
I'interieur d'une sphere, si Von repartit cette masse sur toute la 
surface de la sphere^ de maniere cjue la densite en un point quel- 
conque y\ de celle-ci soit inversement proportionnelle au cube de MF*, 
la couche xplifhique ainsi obtenue aura meine potentiel que la masse 
primitive en tout point extt'riciii' et un potentiel plus petit en tout point 
interieur. 



CHAPITKE XXIX. 

finUATION D1-: LA CHALEUR. 



Les equations lineaires da type parabollque ont ete moins bien 
eludiees jusqu'a present que les equations des deux autres types. 
Je me bornerai, dans ce Chapitre, a exposer les principales pro- 
prieles de I'equation de la propagation de la chaleur, donl il a ete 
deja question a plusleurs reprises (') (n"' 471, ^SS, 487, 488). 

540. Generalites. Integrales particulieres. — L'equatlon aux 
derivees partielles 

^ , , d- u Oil 

est, parml les equations a deux variables dn type parabolique, 
lanalogue de I'equation de Laplace parmi les equations du type 
ellipricjue. Nous representons, dansce Chapitre, par u(x, y) toute 
inlegrale de cette equation; v(x,y) representera de meine une 
integrate de I'equation adjointe (n" 497) qui est ici 

„ . d^v dv 
^ ^ ''^ -^ Ox- cly 

Ces deux equations admettent une seule famille de caracteris- 

(') Depuis Fourier, celte equation a fait I'objcl d'un assez grand nomi)re de 
Memoires : 

PoissoN, Theorie mathematique de la chaleur. Chap. \I, Paris; i83j. 

ScHLAEFLi, Journal de Crelle, t. LXXII. 

Betti, Meniorie delle Soc. italiana delle Scienze, 3* serie, t. I. 

Appell, Journal de Liouville, y serie, t. ^ III. 

V'OLTERR.\, Lerons professees d Slochholni. ( Upsal ; 1906.) 

Les principaux prohlemes aux limites ont etc resolus dans divers Iravaux, dus 
principalement a M.M. Holmgren et E.-E. Levi. Les derniers paragraplies de ce 
Chapitre ( n°' 5i4, o'lO, o'lT) sonl extraits presque complelcment pour le font! des 
Iravaux de M. Holmgren. 



■'SS CIUPITRK \XI\. — KOfAimN UK I.V CIUI.IM R. 

li<]iies, (|ui se cninpose dcs paralK'les a raxe().r. Nous ilirons 
(|iriino(le cfs roiiclions ulx, y) on i'{.i\y) osl rr^^itlirrr dans uii 
tloinaiiir I). SI «'ll(* rsl conliniie, aiii-i i\\\{' sc-^ dciivt'cs pailicllcs dii 
premier oi-div, dans ce dnniaiiu'. II snllirail mriin' ilf dire »pic la 

iliriMM- |i.ir rapporl a i' esl C(»nlinue; car si — ^ j>ai- cxemplc, esl 

line fonrtKtn conlinue, I't'-ipiatioii ( i ^ pioiivr (piil eii est do mrinc 

, </*// , oil 

<le — - el par siiilc de 

itx- ' Ox 

L'cqiiation ( i ), etanl a eoeflieiouls cunslanls, adiiiel des intc- 
j;ralps parliculieres de la forme c"-^'^^y (n" 4^83); la relation entre a 
el h esl, dans ee cas, b =^ a- ('). De Tinlegrale ainsi ohlenue e"'"^"'* 
on peul en d»'duire line infinite d'aulres en prenant ses derivees 
siicressi\es |>ar rapport an jiaramelre r(, ou, ce qui revienl an 
meme, en prenant les coefficients snccessifs dn developpement de 
celle inlt'-grale. suivanl les puissances de (t. Eri-ivons ce develop- 
pement sous la forme 

( 3 ) e«.. •+,/!.> = I _,_ V !Z_ \,^(x,y); 

n I 

\,i(x, y) est nn |)olvnome de dei^re n en x^ y, liomogene en a; 
et \/y, 

. \„(x^ y)^x'^-r-inn — I )x"--y -4-. . . 
( i rn n — \ ) . . . i a — •>. /> -^ r ) 

/ -^ — y. "'-"'^" - • • ' 

n 

<[ui se termine par nn lerme en y- si // est pair et par un term*' 

n-\ 

en .rr ^ , si n esl impair. Ces |)olviionies V„ sonl des integrales de 
lerjualion ( i ). d'apres lenr definition menie. On le vc-rifie aisemenl 
en reinarcjnanl que I'equalion (3j, diflerenliee |)ar rap[)ort a x el 
a >', donne les relations 

, . 'J\„ ()\„ 

^ ox 'fy 'Hi. 

d'ou Ion d<''diiil immediatemenl quo \„ ^atisf;iil a I <''qnation (\). 



(' ) Kn remplaranl a par at, on letrouve les integrales e-*V cosaa:, e— *V' sin ax 
(n° 487). 



riiAi'iTiii-; \\i\. — KQivrioN di; i.a <;iiai.i;iu. 9,89 

I'oiil |»nlvn(iim; U„ dc degre /i en x,y, verifianl celle e(|ualioii (i), 
rst line conihinnisun lineaire a coefficients constants des po- 

(vno/nes \\= 1, \ 1 \„. Eneffet, lout polvnonie qui salisfaita 

requalion ( 1 ) csl c(juiplrleuient delenniiK' si Ton couuail Ics corl- 
ficienls des lermes independants de y, |)uis([u an moveii de ('equa- 
tion (1) et de celles qu'on en deduit par des derivations, on pent 
exprimer toutes les derivees d'line intcf;rale au moyen des seules 
derivees prises |)ar rapport a x. Si done Ton (dioisit les eoefli- 
cients C„, C|. . . ., C/,, de faeon que le polvnome 



^-•0 » -<- Gi > J 



.--c„v„ 



ait les memes lermes independants de y que L,,, ces polvnomes 
sonl forcemenl idenliques. 



Les \)o\\ nomes \n( cr. y) s'e\priinent aisement an moyen des polvnomes 
P„(3j de M. Herniite, definis par lei^aliti' 



./" 



dz 



— (e-^')=e-^'l>„( 



Kciivons, en ell'et. l;i fminule qui doime \r. di'vi'lopjicinriil de g— '=-+-''*■, en 
divisant les deux nn'nd)res par e~'\ 



-ihz-lr-. 



h" 



2^""'-^ 



pour ideniiliei" le iniMiiier nienihre avec le pieinior niemhre de la foi- 



mule ("]). il suflU lii' leniplnci.T /i |)ar ay — )' et, :; par • En 

■A s/—y 

ecrivanl que les seconds nieinbnjs des deux fiunniles sont, idenliques apres 
cette transfoimalion. on cd)iienl lexpression suivante de V„(a7, y) 



\ ,^x, y) = (—ry'- P„ 



^- 



Le iheoreme de Rolle piouve facilemenl que I'equation l',i(z) = o a ses 
n lacines ri-elles et di'^linctes, deux a deux egales en valeur absolue. II 

s'ensuii que 1 I'liiuition \,i(.T,y)^=o represente — paraboles si n eslpaii'. 
/I — I 



paraboles el laxe des ^ si n csl inipaii- 



II est evident que I'equalion (1) ne change pas de forme par le 
chanj^ement de variables .r'= A\r -+- a, t' := /.-t -u ^3, quelles que 
G., III. 19 



■igo riiM'nni: wix. — kqiation i»k i.a ciialkir. 

sciienl les conslanles X", a, [j. Si u{x, y) osl iint- inl('-|4rale, il en est 
ilonc de ineiuc de n (Ax -\- a.. A- v -+- |i). 11 exisloaussi |)oiir r(''(|iia- 
lion ^i) uno transforinalioii auali^yiie a rinversion, qui csl dcliaie 
par les fonmilcs 



y = 



U — — 



v/j 



en fai>aiil le caliiil, on IroiiNc (|iic I e(jiiali()n (i) osl rfinplacoe 

par uno equalion i\t' lutinc loiine (') — -, ^ — ;• I ar suile, 
•1 ^ ' Ox- dy ' 

si «(.r, )■) est une iulcgrale dc r<'(jiiaiion ( i ), il en est do nir-me 

(!<• la fonction 



i/7 ^y yJ 



oil. Integrales analytiques. — Nous allons d'abord coniplelcr 
ce qui a ele dil dcjii (n" 171 i des ini<'i;rales aualyliques de I'equa- 
lion ( I ), en nous bornanl daillenrs an domaine reel. Soil u{x, y) 
line integrale analvliquc li()loni>r|)lir dans le domains d nil poinl 
( /'o, y^)^ se rtkluisanl pour x = x^ ;i hul- f'oiiclion holotuorplic '-fiy), 

cl dont la derivee — est ejrale a 'j\ V), pour- la nienic \alcnr de x. 
or " 1.1 

Le developpenienl de u(x, y) suivant les puissances de x — Xo 
est, coninie on la deja \u, 



(6) 



/ . i.r — .r„) (.r — x^)^ 
u(x,j')='^{y)-\ ; Vl^.n-r ;— ^ o (j) 






I .V. 
{ X Xfs )2 

( 2 /I ) ! 



?'"'(r) 



( ■).ii — \)\ 



<Y"Hy)- 



Pour Iransfornier celLe sene ((J) en unc serie cnliere a double 
entree T, il suffira de remplacer cp( i') et '\{y) el leurs derivecs 
par leurs developpemenls sui\ ani les puissances de y — v„. Soil 11 



(') M. Appell a demontre que Ionics les transforin.ilioiis de la forme 

x'=-f(j7, y), y' -•l/^x.y), u-\{x. y)u', 

par lesquelles I'equalion (i) se change en ellc-meinc, se ranrienenl a des coml)i- 
naisons des transfurmalions simples precedenlcs {Journal de Matliematique.s, 
4* serie, l. Mil, 1892, p. 187). 



CIIAPITUK X\IX. — KQIATION DK [.A CIIAMUR. 29I 

le ravon dii cercle dc convergence dcs deux series enlieres en 
y — yg, qui est le jdus pelil; /■ etant un nombre posilif quelconque 
inferieur a H, les series o(y) et 'i«(jK) admellent pour fonclion 

majoranle unc exj)ressioii '■ Si done on remplace dans 



la seric (6) '^(y) et '\i{y) par celle fonction, ia serie a double 
entree T' ainsi oblenue sera cerlainenient majoranle pour la serie 
a double entrc-e T deduite de (6) sans aucune modification. 

Le Tableau auxiliairc T' est absolunient convergent pourvu ([ue 
la valeur absolue de r — yo soil inferieure a /". En elFet, rempla- 
cons .X — Xo et y — y^ par leurs valeurs absolues, et groupons 
ensemble les lermes de menie degre en \x — J7o|; i' est clair fpie 
les coefficients de \x — -to]'" et de \x — .eo|-""''' seront respec- 
tivement 



Mn 



Mn 



(■>. 



n)\\i- 



\.y—.Yo\ 



(9,n-t-i): I — ^-^ — ^^-^ /•« 



et par suite ce Tableau est absolunient convergent quel que 
soil X si I'on a \y — yo| << /■. Le nombre /• pouvant etre pris aussi 
voisin de R qu'on le voudra, on en conclut (jue la setie dotd^Ie 



(7 



uix, jk)= 'LanAx — x^Yiy — Vq)'':, 



qui represente la fonction id x, >') dans le domnine du point (xo,jKo) 

est absolument convergente dans la bande B du plan des xy limilee 

par les deux caracteristiquesy ^j)'o+ R, y =yo — Pi- Elle ne pent 

etre convergente dans line band(; jjlus etendue, puisque I'une au 

nioins des series entieres qui representenl '^(y) et 'i'(y) est diver- 

gente en dehors de I'intervalle (yo — Pi, j'o+R)- Soil Xi une 

1 1 1 IP • / . du(xi, y) 
valeur (|uelc<mque de x; les tonclions n[Xt, y), -=^— |)euvent 

^tre developpees en series enlieres en i' — yo, qui sont cerlainenient 
convergentes dans I'interNalle (yo — 11, yo~l- R)j on les obtienl en 

eflet en lemplacant x par x, dans u(x,y) et — • Elles ne pcu\ent 

etre convergentes toutes les deux dans un intervalle plus grand, 
car, en raisonnant dans I'ordre inverse, on en deduirait (|ue les 
series '-^(y) et '!^{y) sont elles-inemes convergentes dans un inter- 



aga imaimthk \xix. - KOt'.VTioN dk l\ ciiai.ki h. 

vallc plus t'lendii. II ri'Siilu* ilo ccllc remnrque qtn", dans i"(''liulr 
(In prolongonuMil analvli(|uc <lc la fond ion ?/(.r. y) dt'linic par la 
s^rie {']), on |)(Mil doniH'i ;i la variahic .r nnc \al(nir conslanic 
quelconcpio el considerer // com me fonclion de la seulo variable j'. 
Supposons t|iic les deti\ fonclions '-5(j)') et ^{y) puissent etre pro- 
longees analyliqnemeul dans un intcrvallo (a, |3), comprcnant lo 
premier (j>'„ — ^ R, )„ +R), en donnanl ky des valeurs reelles ; 
alors I'integralo ui.r, y\ est analvliqne et reguliere dans la baode 
limilee par les caracleristiques y = a, j)' ^ jB, mais elle ne pent elrc 
prolongee analvliquemenl en dehors dc eelle bandc, dn moins si 
Ton excliil les valeurs complexes pour la variable )'. II pent d'ail- 
leurs arriver que I'un des nombres a, ^j, on les deux a la lois, soienl 
infinis; dans ce dernier cas, I'inlegrale est lu)lomoi'[)lie dans lout le 
plan. C'esl ce qui aiirait lien, par exemple, en prenant 

L elude des inlegrales anal_^liqncs soulevc une aulrc qneslion. 
Une integrale de celte nature est determinee si Ton se donne .la 
fonction F(^) a laquelle elle se reduit pour une valeur dounee de y, 
pour '»'=:o par exemple. Celte fonction F(.2?) est necessairement 
une fonclion enliere de x, mais ce n'est pas une fonclion enliere 
(pielconqne. Pmir Ironver nne propriete caracleristique, ccrivons 
sou developpenienl snivanl les puissances de x 

F(x }= o(o)-^ x'li(o)-^ - — 9'(ojH 'Y {o)-h . . . 

(8) '• ' ' '■'■',, '■^" 

o'"Ho) — ■ •!y;"'Co)-r-. . ., 



I ( Vi // ) I ' ' f 2 /I -r- I ) 

'-^(y) et •]'(.v) designanl loujonrs les fonclions aux([uelles se 

reduisenl u el— pour x^=o. Les leltres M el /• ayant la memo 

signification que tout a I'heure, F(x) admel |)our fonction majo- 
rante la serie 

F,(a7)=Mri- 
Celle nouvelle serie a ses lermes respeclivemenl inferieurs a ceux 



1 .i. r 
n I 


I 

T-" 


.1. 


\ . r 
n I 




,,.2/;h-1 


( i- n } 1 


( A/l -T- 


1 1! 


/•" 



CIIAIMIUK \XI\. — ICQl.VTION DK l.A CIIAMCUH. 'ii) J 

(le la serie L(^i -|- .r^r"^'', poiirvii que les deux uouihres 1^ et K 



verilienl les inegalites 



'^ (7,/i)!(K/-)«' 



donl le secoutl luenibie esl le terine i;eii('ial duae serie conver- 
j;enle si Ton a ciioisi K. de faeon que 4^'' »<^it superieur a i . La 
lonclion r\.r ) admet douc elle-meine pour fonclion majorante une 
expicssion de la forme L(i +^)fi'^*', L el K elauL deux nombres 
posilifs. 

Ueeipioqueiuent,' si une serie entiere F(x) salisfaita cette cou- 
dilion, I'equaUon (i) admet une integrale holomorphe dans le 
domaine de I'origine se reduisant a F(^) pcjur j':=o. Si eette 

soiulion existe, on a pour ii(o^y), ( — ) 1<'S developpeuients siii- 
vant les puissances de r (n" 171) 

, , „, , F"(o) ¥^-^"Uo) 
^(j)=F'(o)-4-F"'(o)j-4-...^— -, h'"----^ 



et il suffil de montrer que ces deux series entieres ont un rayon de 
convergence different de zero. Or la premiere, par exemple, a pour 
(onction majorante la serie 

Ad {III y^ ^ 

(|iii est convergenle si Ton a | \ Kj'| -< • , et il en esl de meme de la 
seconde. En resume, pom- que C equation (i) adniette une inte- 
'^rale holomorphe dans le domaine de i'origine^ se reduisant^ 
pour y^=o^ d, une fonction entiere F(x), il faut et il suj/it 
que F(jt;) admette une fonction maj orante de la forme 

L( i-+-a7jeK.r=, 

L et K etant deux nombres positifs. 

Cetle condition |)eut elre remplacec par une autre ou ninler- 
vient que I'ordre de grandeur des coefficienis de la serie F(a7) 
(voir Exercice 1). 

Remarquons aussi que, si les deux fonctions o{y), <|>(y) sont 



294 CIIAI'lllli: \\l\. KQl ATION l)K I. A CllAl.i:i U. 

Ii(il(>in(>r|)lifs (l:ins 1 intciN all«' rc'-el (a, ^3). la st'i'ie (()) reprosonio 
1 inlci;:rale clans loiilr la hande liiiiiU'o par les droiles ^^ = ol, y = p. 
All oontrairc. la sriic (-) n'osl en i^c'iieral ronverj;ento ipie (ians 
line handf jiliis liroilc coinpiisc dans la |)rcniirre. 

51-. Solution fondamentale. — Lcs Iransrornialions tiefniics a 
la lin du n" olO pornicUenl dc d^duire de Tinteijrale u[x^ y) =^ i 
line intcgralc dependant do deux |)araiiii'lrcs aibitraircs ;, y,, 



;/( .7-, y) = -^3=; e *'-y-''i< 

qui joue vis-a-vis de I'equalion ( i ) un role analogue a celui de 
log/- dans la tlieorie des fonclions harmoni(pies. On |)eul aussi la 
deduire de rinlegrale jjarticuliere e"*''-'"'"' cosa(.r — ;), qui depend 
de trois paranielres a, c, r, , par uno quadrature (cf. n" 486). Celle 
function n'a une valeur reelle que silon aj'>> t,; mais il est eoui- 
niode pour la suite de faire la convenlion suivante. Nous designc- 
rons par \J{x,y; c, /, ) la fonction definie par les egaliles 



(9) j \^y--r, 

\ U(x,y: ;, rj) = o, pour y'^r,. 

La fonction ainsi definie est une integrale de I'equation (i) qui 
est reguliere pour tous les systemes de valeurs reellesde x et de r, 
sauf au point (x = ?,)' = 7) ); en ellet, loute derivee partielle de 
la fonction u(x,y) est une somine de terines de la. forme 



- e 4'.v-0', 



( X — r, / 



\*{x) elanl un polvnome, el celte expression lend vers zero en 
meme temps que r — r, ])our\u (|iie -r — z ne lende |)as aussi vers 
zero. 

Consideree conime fonction de (;, y, ), U(.r, y; c, yj ) est de 
meme une integrale de I'equation adjoinle, reguliere dans lout le 
plan sauf au point c =^, y; =y, el idenliquement nulle pourvj =y- 
En dillerenliant un nombre quelconque de fois U par rapport 
a X, y, ;, y,, on obtient de nouvelles fonclions lj^'^{x, y\ ^, rj) 



ciiviMTiii: x\i\. — E(ji ATio.v i)i: I. A ciiAi,i:i H. 295 

(Jill loiiisspiil tics iiu'iiH's pri)|)n('l<''s (]iic la fonction L. Cliaciine 
(Je ces fonclions, consideree coinme fonclion »lii couple de 
variables (jt, y), est une soliilioii de requalioii (1), regulicre 
dans lout le |)lan sauf au point r = Zy r = r^; consideree comnie 
fonclion de (;,r,), c'est iitie solution de leqiialion adjointe 

(J-- Or, ~ ' 

admettant dans tout Ic plan le seul point singulier q = x, r^ =y. 
Toutes ces lonctions sont identiquement nulles si I'on a r^^y. 

De la solution fonclamenlale L (x, y; c, ■/)) on pent aussi deduire 
par des quadralures de nouvelles integrales analogues au polenliel 
logaritlinii([ue de simple couclie. Soient P(H, 7^), Q(;, ■^) deux 
fonclions continues (juelconques des coordonnees (;, t]) d'un 
point M le long d'un arc de couidje C silue a distance finie. 
fjintegrale curviligne 

(10) u(x,y)= fi^ix.y: lr.i[P(lr,)dl-~qa,r,)dr,] 

represente une inlegrale de requatiou (1) qui est reguliere, ainsi 
que toutes ses derivees parliellcs, dans tout domaine D n'ajant 
aucun point coininun avec lacourbeCJ; on pent, eneflet, appliquer 
les forinules liabituelles de dilTerenliation un noinbre quelconque 
de fois si le point (j;, y) resle dans le domaine D. Remarquons 
que, d'apres la definition de L (x, }'; ;, y, ), on ne doit prendre 
pourlecalcul de «(.r, j^) que la |)ortion de I'arc G silue au-dessous 
de la caraclerisliquc |iassanl par le point (x, y). II en resulle 
qu'au-dessous de la caracleristiqiie j)assant par le point de C 
d ordonnee miniimim, //(.r, r) est iiul; il en est de meme en 
tons les points de cette caracterisliqiie (|ui n apparliennenl pas 
a G. Au-dessus d'une caracteristique )-=j^o, laissant Tare G tout 
entier au-dessous, m(^, y) est une fonction analytique holomorphe 
des deux variables x, y. En effet, regardons pour un moment x 
ely comine des variables complexes ; ;, r, designanl les coordonnees 
d'un |)oinl (pielconfjue de Tare C, [J{x,y; c, r,) est une fonclion 
liolomoiplie des variables x cl y ([iiel que soil le domaine 011 se 
meut la variable complexe x^ pourvu que la partie reeile de y soil 
superieure ayo (on prend poiir\/)' — t, la determination positive 



■n}iy III AiMriiK \\i\. — ixumion i»i; i.\ ciiai.ixh. 

I(>rs(ju(> )• ('«i| if't'l). II >\Misiiii (|iir /t[.r,y) represenle line fonc- 
lion lioloinoi'itlie ilos dciix \ iiriiililcs .r. T ;iii-(lossiis dr l;i caracW'-. 
rislicnic 1 = l'„ ( ' V 

Pour i'-lii(licr ct- (|in' (lr\ifiil if[.r,y) Inrxjiic Ic poiiil (.r,j)') se 
riippniclii" (liiu poiiil M dii coiilour C, il csl lu'-ccssaire de falrc 
dcs hvpolhcses sur la lonne de ee conloiir. 

iiVA. Formule de Poisson. — Nous »''liidior()iis d'ahord le cas 
(Ml la coiirhe C esl iin sei;iuenl d(; caraclerislicjue. L'inlegrale 
d«''finie 

• " \0' — ^' 

oil 'j(c) est line foiiclioa rouliimc dans rintt'rvalJe (a, b) repre- 
senle, d'apres les jiroprieles deja elablies, line inlegrale de I'eqiia- 
lion (i), tpii esl re<;ulieix' en lout point du plan non situe sur le 
segmenl VB de la caracterisliqiie y:=.h^ liiniU' par les deux 
points A et 13, d'ahscisses a cL b. ISous supposons, pour (ix<r les 
idees, a<ib. Cette lonclion ui^x, y) esl nulle en tout point 
au-dessous de la caraclerislique y =: /<, el en lout point de celle 
earacterislique en deliors du segmenl VH. i3aiis la |)ortion du 
plan situee au-dessus, elle est une lonclion liolomorphe des 
variables x, y. 11 nous reste a rechercher quelle est la limile 
de m(j7, y) lorsque le point (;r, j'), suppose au-dessus de AB, 
tend vers un |)oint de ce segment. Nous nous appiiierons pour 
cela sur quelques lemines d'un usage frequent dans cetle theorie. 
Soil F(m) une (onclion continue, ou tout aii nioins hornee el 
inlegrable, el nayanl (jue des discontiniiitcs de premiere espece 
dans un inlervalle (a, b). I*r()|)osons-noiis de trouvcr la limile de 
I integral e 

(i2) I = / — ■=-■ e \' du 



I 



lorsque le nomhru posilif y lend vers zero. 



(') II suf/il (le rejtrcndre le raisonneinenl du ii" 3J3 (II), en observant que 
I'hypothese que K esl analylique par rapporl a la variable d'integralion iic joue 
aucun role dans la dcrnonslialion. 



CIIAIMTIU; XXIX. — i:yLATI(»N l»K l.\ Cll AI.IM l«. ii)' 

Premier eas. — Supposons d'alxtrd (jiic a d l> soieiU Ions les 
deux posilifs, on luiis les denx negatifs, par exeiwple o<^a<^h. 
Si AI est line llmile siiperieure de |F(«)|, dans rintervalle (a, b), 
on a (jvidenimenl 

^J , -^ 

\l\<--=.(b — a)e ^v, 

vy 

et cette expression tend \ers zero avec )'. On a done linil = <). 

Deuxieme cas. — Supposons qu'une des liniites soil nulle, par 
exemple « = o, 6 >> o. Soit !j iin nombre positif inferieur a h 
tel que |F( w) — F(-l- o)| soit inferieur ;"i iin nombre donne Tj dans 
rintervalle (o, ,3); on pent choisir |j assez petit pour que le 
nombre yj soit lui-meme plus petit que tout nombre donne a 
lavance. Nous pouvons ecrire 



F(^o) f e 



da 



^0 \'Y J. V >' 



ou encore, en posant k = 2 \lyt dans les deux premieres integrales, 

■''V(u) 



Jo Jh \'y 



dii. 



D'apres la facon dont on a clioisi le nombre [i, la valeur absulue 
de la seconde inteyrale est inlc'rieure a 

/•"*"* _ 

2f, / e~''dt = y~'f,- 
' 

Supposons |j piis de telle facon qu'on ail r, \/7t<;£. t I'-lanl iin 
nombre positif donne a I'avance; ce nombi-e Jj ('-lanl ainsi fixe, 
faisons diminuer y iudefinimenl : la premiere inlegraie a pour 
limite y/-F(+o), et la derniere a zero pour limite. II est done 



•;!98 rnvi'iTiu: \\i\. — kqiation hi: i.\ ciiM.iau. 

possil)!*' «lc Iroiivcr iiii nonilnc positil // Icl (|ii on ;iiL 
|l-V zF(-r-o)|<e, 

liti-Mltron a ^•^/l cl. par snilc. I a |>(»iir limllc \/77F(-i- o). On 
\rirail tic iiK'iiie (|ii»'. Ii»is(|iit' d esl mil cl A -< •>. la llniilc de i 
t'si — \'-F(— o). 

Troisiemc ens. — Supposons a cl h i\v sii;ncs diflcrciils, par 
e\ciiiple. a <; o. h >> »•• ( )ii a 

F( U ) -— , / V (n) -7- 






'^«: 



Ics deux iulcgrales du secoinl membie onl respcclivcnicnl pour 
liinites \/-F(-h o), — v'~F( — o). La llmite de I est done 

^/-[F(^-o) + F(-o)]. 

I'^n particidicr. si la lonclior) F(/f) esl continue pour m = o, la 

iimlte de I est a y/riF^o). 

Cela pose, cherclions la limitc de I'integrale (ii) lorsque le 
point (or, y), au-desstis ile AB, se rapproche d'un point de coor- 
donnt-es (xq, h) de ce segment («<;aro<C^)- Nous supposerons 
d'abord cpie le point (x,y) se deplace sur la j)arallcle a Oy. Nous 
avons a clierclier la liinile <lc linlf'grale 



e '"y-^'*du 



lorsfpu; }' — h lend vers zero. La liniile a — Xq est negative, 
laulre A — x„ csL positive; si '■p(q) est continue au point Xo, la 
liniile c>t. Mnn> \cnoiis dc Ic voir, 2 y/— csf .Tq). Vux extremites A 
et B du segment, la liinile serait yjr.zi^a) ou ^7zo(b). 

Supposons niaiuienanl (pic le |)oint (x, y) tende d'une facon 
qiielconrjue vers un point inlerieur [xq, Ii) du segment AB. f^'in- 
tegrale dont on clierciie la liniile |)eul s ecrire 



r 



e • y-i' du 



^Jy-h 



I Jv — I, 



J sfy 

"■ II— X ' -^ 



■X 



^pf.r -^ II } — ^( .T„ ) 

s/y — h 



e '"y-i'^du; 



(IIAI'lTUi: \\l\. — KQl VTION DK I.V ClIAI.Etlt. 9.f)9 

la |)rcmler(' inlogiale dii second iiienihre se mot sous la forme 

/.-.»■ 
^t3) 2 f -'■''' o (To) e-''-dt 

el a pour limile ^ \^~'^(xo) lorsque x tend vers Ic noml)re Xo 
compris cntre a et b el quey lend vers li. 

(^)iiant a la seconde iiilegrale, il est facile de prouver qiTelle 
tend vers zero en la decomposaiit comme il suit 



C-Lrf 



t etanl un nombre posilif tres petit. Soil ■i\ une limile superieure 
de j',p(j:-i-«) — cp(xo)|, lorsque x varie de a:,, — ^ a Xq-^-z et a 
de — £ a H- £ ; la valeur ahsolue de la seconde integrale est infe- 
rieure a 2r| \Jt: et, par suite, pent etre rendue plus petite (|ue tout 
nombre positif doniie en prenant t assez petit. Ce nombre t ajant 
ele choisi de cette facon, on demontre, comme plus haut, que la 
|)remiere et la troisieme inlejirale tendent vers zero, lorsque jk — /' 
tend vers ^ero et r vers Xq. 

II est a remarquer ({ue la demonstration ne s'applique plus 
lorsque le point i^x, r) lend vers I'une des extremites du seg- 
ment AB, car I'integrale (i3) est indeterminee lorsque x tend 
vers a el y vers h] la limile de cette integrale depend de la facon 
donl le point (^, y) se rapprochc du point A (voir Exercice 2). 

Ell resume, la valeur de rinlt'gialc definie 

. .„ /r — /' 

tend vers '-^(^Co) lorsque le point {x^ y) se rapprochc d'une facon 
quelconque du point (Xq, h) interieur au segment AB de caracte- 
rislique, en restant au-dessus de ce segment. 

L'integrale (i4) conserve un sens lorsque I'une des limites 
devient infinic pourvu que la fonction o{\) satisfasse a cerlaines 
conditions. Sil existe un nombre positif K tel (|ue le produit 

soil borne pour toutes Ics valeurs de c, de a a -^ x, l'integrale 



3i>i> 
dt'liino 

(i5) 



ciivi'iriu: wix. 



K(Jl ATION I)i; I, A CIIAI.KLK. 



-I- 






a nil sens lors(nie le |hiiiiI {.r. r) reste chins iin doniaiiie boiiir D 

I — H 



4K 



siliie cnlrt> les deux cariiclerisliqucs >• = // 4- £, y=h 
II «'lanl nil noml)io posilif inferieur ;"i tin. 

Ln ('Irnienl (|nelconqne tie I'ink'-gralc est, en cfTel, pins petit en 
valenr al)solne qne I'eleinent ci^rrespondant de liiitcgrale 



(if)) 



TkJ" 



M 



ffz. 



M L'lant line liniilc superieiire de | 'j(c)^'~'*''|. Or I'integrale iinxi- 
liaire ( 1 (i ) esl iinifonneineni convergente dans le doinaine 1); 
il en esl done de meme de Tintegrale (i5), qni rcprescnle par 
suite une solution de I'equation (1) regnliere an-dcssous de la 

droite J' = // H tt"' ^^^uf snr la portion de la droite )' = // qui 

s'etend du point (a. A) a Tinfini dans le sens positif. Cette (onction 
est nnllo an-dcssons dc celte caractt'iistiqne et snr la portion a 
ganclie du point (a, li). Au-dessus de la caracteristique, ellc est 
lioloiiK^rphe en x et y (II, n" 353). Lorsque le point (.r, y) tend 
vers nn point de coordonnees (a?o, /*), ou Xo^a, la limite de 
rintegrale (i5) est egale a '>p(r„), car on pent parlager I'integrale 
en denx, Fnne prise de a jusqn'a nn nonihre > J^o? I'antre prise 
de b k -\-oc. La premiere, nous xenons de le voir, a pour limite '■s(xo), 
tandis que la seconde lend vers zero. En conservant les memes 
hvpollu'ses snr la fonetion '-5(c), les conelnsions s'etendent evi- 

deinment a Tinlegrale / . el par snilc a linlegrale (') 



('7) 



■2 \/t. . / 



?'0 



/7 



e * r-") dz : 



'i(^;) etant une fonetion continue telle que C5(c)e "*'' reste borne; 
I'integrale delinie ( \y) represente une solution de I'equation (i) 



(') On op^rcrait de la mdme facoii pour dcmonlier rigoureusement que la for- 
inulc (->8) du n° 486 (p. 108) represente I'integrale cherchee lorsque la fone- 
tion /(x,;>', 3) reste bornee. 



cHVPiTiii: \\i\. — Koi.vriox dk i, v cii\li;uii. 3oi 

qui est holomorplie dans la haiide limitee par les (•aracteri.sticjiies 

y = h, jK = //--7^. 

et qui tend vers '^{jCq) lorsqiie le point (.r, y) dc cette l)andc tend 
vers le point (:ro, li) de la caracteristique ; le nombre H pent, en 
eflet, etre suppose aussi petit qu'on le vent. 

Si le prodiiit 'j(;)e~'^'' est borne quelle que soil la coiistantc 
positive K, la fonction n(x^ y) est holomorphe dans loute la 
region situee au-dessns de la caracteristique i' ^ li. II en est ainsi 
en particulier SI la fonction '^(q) est elle-meme bornee. On pourrait 
etendre ces proprietes au cas oii c(c) admet des discontinuites de 
premiere espece, niais, en un point de discontinuite Xq, u(x, y) 
ne tend pas forceinent vers '^(a"„) lorsque le point (x, y) tend 
vers le point (j:„i /'); i' loud loujoiirs vers cette liinite lorsque le 
point (j", )-) lend vers le point de discontinuite en se deplacant 
sur la parallcle a Or. 

La toiinide (17) doiine la soliiliou genet-ale d'un problenie dr 
la theorie de la cbaleur dont nous a\ons deja traite un cas parti- 
culier (n" 487). Etant donne un til houiogene indefini dans les 
deux sens, de tres faible section, supjiosons que Ton connaisse au 
temps li la temperature '-^(j: ) de la tranche d'abscisse x, et qu'on 
demande la tempt^rature d une trancbe quelconque a une epoquc 
consecutive. La lettre y represenlant le temps, la temperature 
demandee est uuc tonctioa if{x, y) des varialjles x et )' qui, avec 
un choix convenable d'unites, satisfait a I'equation (1); cette fonc- 
tion doit etre reguliere dans loute la portion du plan {x,y) situee 
au-dessus de la droite r=/i, et se reduire a cp(x) pour r = //. 
D'apres sa signification physique, la I'onction '^(xiest evidemnient 
bornee, et par suite la fonction u(x^ y) representee par la for- 
mule (17) satisfait a toutes les conditions de Tenonce. On verra 
plus loin (n" oio) que c est la seide. Ceci perniet de generaliser 
la remarque faite plus haiit (n" 187) dans le cas particulier ou la 
fonction cp est periodique; la fonction u{x, ), ) qui exprime la 
temperature de la tranche d'abscisse x a une epoque Vi consecu- 
tive a IV-pocjue li est une (onction entiere de x (pii ne pent etre 
prise arbilraireinent. 

Hemarqui . — Nous avons etajjli plus haul (page :»2), inovennant 



3o2 



ciivnrni: \\i\. — i:oi ation di: i„\ ciiai.kih. 



corlaincs livpollicses siii- l;i function F(.r ), imc fonniilf qui reprt'scnlc une 
inU'ijralc de I'oquation ( i ) se rediiisant pour •>' = // a la fonclion F(.r). 
Poisson a niontii' que celle formule el la fortnule ( 17) pouvaieul se cK'duiie 
I'une »ie I'autre. Supposons, pour simplilit-r, /t = o: la formule ( 17) devicnt, 
en pedant ^ = x -h 1 /»• /, 

Uemplafons ^ ( j- -+-.>, y// / ) p;>r son develop|)emenl suivant les puis- 
sances do ■?. ^y t ; le terme i^oneral do rinlo^rale a pour expression 



2" y'^ (5^"'( .r ) 



/ (" C 



''■(it. 



Si n est impair, ce termc est nnl; n eiant suppose |)aii', remplacons n 
par in. Kn tenant compte dune fonmil(> anierieure (I, n" IIS), ce terme 

se reduit a ■ — ; » et nous trouvons la formule de la pa<re 5}. oil Ton 

aurait rcmplace ¥ par o, et^o par zero. 

Mal;;re tout lintrret de cette transformation, le raisounemenl est evi- 
demment depourvu de rigueur. D'ailleurs, les deux formules sent bien 
loin d'etre equivalenles. La premiere suppose que F(x) est une fonction 
entiere d'une certaine espece et nous donnc la valeur de u de part ct 
d'autre de la cararteristique y = y^. Au conlraire. la formule ( \~) ne 
suppose nullement la fonclion o{x) analvtique, mais elle n'est applicable 
qu'au-dessus de la droitej' = h. 

544. Integrales analogues au potentiel. — Prenons mainlenant 
pour cliemin dinlegralion un arc AB representc par ['equation 

la fonction '/(}') elanl continue dans Tintervalle («, Z>), 011 o <i b. 
La fonclion '^{v) etant continue dans le memc inlervalle, on a vu 
que I'inlegrale definie 

fi8) <P(x,y)= / / ' c '^y-''' dr^, 

■I, ^y--'> 

represente une solution de I'equation (i) qui est reguliere, ainsi 
que toutes ses derivees partielles d'ordre quelconque dans toutc 
region du plan n'ayant aucun point commun avec I'arc AB. Celte 
fonclion est encore continue lorsque le point (x, y) vienl siir 
Tare AB, car I'integrale (18) rcste uniforinenient convcrgente 
dans le voisinage dun point quelconque de cet arc (n" oOi). 



niU'lTUE XXIX. — KQIATION UK I. A Cll ALKl It . 3o'3 

En eHet, cettc integralc prise Ic long- (run arr CD iiiflniiiicnl 
petit est elle-monie infinlment petite, quelle que soil la position du 
point voisin (.r, )); en dcsignant |)ar H une limite siipt'Tieure 
de |cp(r,)|, on a evidemment [)our iiniilc snperieure de la valeiir 
absolue de linte^rale le long de cet arc une expression de la forme 



H r^^ 

./ i/r — r 



qui est infiniment petite avec la difltTence j^ — a. On verra un 
pen plus loin que — est discontinue lorsr|uc le point (x, r) tra- 
verse Tare AB. 

Les caracteristiques y = rt, y = />, passant par 1<; point le plus 
Ijas et le plus haut de Tare AB, divisent le plan en plusieurs regions. 
Au-dessous dela droite A' A et sur cette droitc elle-meme (Jii:'. <)7 ), 




on a ^(x., y)^ o ', au-dessus de B'B, *\>(x, y) est une fonclion 
analytique holomorphe des deux variables x ely(n" 5i2). II nous 
reste a etudier la nature de cette fonction dans la hande comprise 
entre ces deux caracterisliques, a droite ou a gauche de Tare AB. 
Siipposons que le point (x, y) se deplacc sur la parallcle A'B' a 
I'axe Oy, comprise entre les deux caracteristicpies, et n'ayant 
aucun point commun (') avec AB. Soil Xq Tabscisse de A'; 



(' ) Cette liypolhese ne diminue pas la gcneraliU';. Soit en elTcl A, I!, un scgrnrnl 
de parallele a Oy, compris entre les caracteiisliqucs 

r = a> r=? (a<a<?<6), 

et n'ayant aucun point commun avec I'arc Al>. L"inlegrale (iS) Ic long dc AB se 
decompose en trois parties : I'inlegrale de a a a, qui represente une fonction 
liolomorphe de ^ le long de A, 13,, rintegrale de |i a qui est nullc pour lout 
point de ce segment, et enlin I'inlegrale de a a 'i, cludicc dans le textc. 



'io\ (IIVPITIU: \\I\. — KQL'ATION 111; 1. \ CIIALKIU. 

<^(.ro,;)*) est nne lonclioa continue de)', ainsi (juc tonics sesderi- 
vees partielles, dans rinler\alle (a, />), niais cr nest pas en 
i^rneral uno fonction analytiqiie dc r, si 'f (tj) est uiic fonction 
coiitiniic <|iiil(v»n(|ii('. Va\ cllcl, la valciir i\Q cette foactioii en un 
poinl P (le V IV nc dc'pend i|iie des valeurs de 'f(T|) le lonj; de 
Tare VM. Si done on rem|)lace '^("/j) par une autre fonclion con- 
tinue 'fi(vi) qui coincide avec cp("/j) le longde AM, mais qui en 
difl'ere le loni;- de NfB, la nouvelle integraie <P( {xq^ y) coincidera 
avec <t(xn. y) le loui; de A' P, mais sera diirerenle de <^(~foj y) le 
long- de PB'. Le point P ('lanl un point quelconque de A'B', il 
s'ensuil (pie <I>(:ro, .)) ue pcul eirc une toiiction liolomorphe de y 
le longde V B'. ni nieine le long dune portion (pielcouque de A'B', 
si la fonction 'j;^^/, ) esl une fonclion conlinue quelcor)(pie. Gepen- 
dant les derivees de cetle fonction <^(.rn, v) verinenl cerlaines 
inegaliles analogues a celles cpii caraclerisent les fonclions ana- 
Ivliques ( ') (I, n" 197; II, n" 343, notes). 

Nous allons d'ahord demontrer tpie, qnand on donne a y une 
valfiir li\e, coinpiise enlre a et b. <I>(j7, jk) esl une fonclion liolo- 
morphe de la variable complexe r = .r'-f-/.r dans le doinaine de 
la \aleur .r --:= .r,,. Xoiis avons 

[x' - iu- — /I r, ) J^ = |.r'— y^{i;)\- — t"--\- ■iix"[x' — //r, )]; 

soil io le ininiinuin de ]'/('/■, i — ^o | lorsque r, varie de a a b. Si 
Ion a |.r' — ■Va\<, p, |j: |<;p, la parlie reelle de [j- — '/(''i)]' 6st 
positive et par suite le module du ("actour exponenliel dans I'inte- 
grale (i8) est inferieur a I'unile. Le module d'un eleuKMil quel- 
cftnque de cette inlegrale est done inferieur a I'elemenl correspon- 
dant de Tinteiirale 



J,, sy-r, 



dr^. 



II ctant une limite siiperieure de |'^(r,)|. II s'ensuil (pie, si Ton 
donne a x des valenrs complexes telles que \.r — Xo\x\e depasse 
pas le nombre p, rint(jj^rale (i8) esl unifornKMiient convergente et 
re|)resenle j)ar consiMpient une fonclion liolomorphe de x dans ce 



( ' ) E. HoLMGRKX, Complex rendus, 3o decembre 1907 et 9 Janvier 190S; Arhiv 
frir Maleniatih, Band I\ , n" I'l et 18. 



r,ll \PITI\I': WIX. — KOUATION \)K LV CIIALKI'R. 



3o5 



domalne. Lo inodulc do celte fonclioii est infcneur a i\\\Jy — a 
et par consequent a all y//> — a. Mn resume, (juandon altribue ix y 
line valour qiielconqiie enlre a el A, tl»(./", y) est vine fonclion 
holomorphe de x dans un cercle de rayon p decrit dii point x^ 
|)()iir centre, dont le module reste inferieiir a un nombre positif M, 
lorsqu'on a \x — Xo\'^ p^ les deux nombres M ct p etanl indepen- 
dants de la valeur atlribiiee ay. 

En un point ([uelconqiie de V'B', de coordonnees (^o? J')? on 
a done 



('9) 



r}'«i> 



M n ! 



mals, d'apres I'equalion (i j et celles qci'on endeduit par des deri- 
vations successives, iine integrale quelconque de cetle equation 

satisfait aussi a la relation - — = — — • Par suile, en posaiil r)our 

abreg"ery(j)') ^ <I>(.ro, jk)i et/'^p-, la fonclion y(j)/) satisfait aux 
conditions suivantes 

i" Elle est continue, ainsi que loutes ses deiivees partielles, dans 
rinlervalle («, 6) ; 

2" En un point quelconque de eel intervalle, les derivees suc- 
cessives salisfont aux conditions 



^ ' K) ) 



/"'(JK)< 



m{-in)\ 



M el /■ elan I deux nombres posilifs independants de y. 

Nous dirons pour abreger qu'une fonclion f{y) satisfaisant a 
ces conditions est de !a classe 2 dans rinlervalle («, 6), la classe \ 
(Hant formee par les fonctions liolomorphes. 11 est clair d'ailleurs 
que ces dernieres sonl comprises parmi les fonctions de la classe 2. 
On voit aisementque la somme d'un nombre quelconque de Ibnc- 
lions de la classe 2 est aussi une fonclion de cetle classe ; en parti- 
culier la somme d'une fonclion de la classe 2 el d'une fonclion 
liolomorplic est une fonclion de meme espece. 

La derivee par rapport a x de I'integrale (i8) a pour expres- 

.sion — - ^*(,^, /), en posant 

(2o) »r(:r, r)^ / cf (rj ^ e ^'J-'O- dr, = - 2 / cp( 



iy-rj' 






G., III. 



3oO 



ciiaimthk \\i\. — i:oi ATioN i»i: i.\ ciiai.kur. 



La fonclioii M'ur. y) osl encore iiue iiilrgrale de r»''(|iialion (i), 
rt'guliere dans loiile la bande comprise enlre Ics droitesy^n, 
y = />, sauf snr Tare dlnleiii^rahon V. On |)cul elendre la definilion 
a lout le plan en convenanl de prendre 0(7;) = o jiour r, >> ^. 
Celle li)nclion est au^si nne fonclion an;dvlii|iie de ./■. (piiiiid <»ii 
donne a >■ iine valenr conslanle; d apres la iacon duni on la dedinl 
de la fonclion ^^{X, }'), elle satisfail a des inegaliles de menu; 
forme que les inej^aliles (19), en loul poinl d un seiinieni V'iJ' el, 
par suite, e'est une fonclion de )(ie (dasse^le loni; de ce seynienl. 

I/integraie (20) est I'analogue du polentiol ilc double couche (') cl pre- 
senle le long de F une disconlinuile donl I'etude a ele faite par M. Ilolm- 
f;ren. Nous supposerons que la fonclion y{y) admel une dcrivce con- 
tinue y'(y) dans rinlervalle («, b). 

Suivant la niemc marrhe qu'au n" TiO.S, nous eludieruns d'abord le cas 
simple oil o(t, ) = i. L'inlcgrale 



(21) 



■{x,y)= I ^e ^-v-r, 



[.r--/ir,i!' 
^' dri 



n'a plu<, rommc dans le cas de I'intoiiiale de Gauss, une signification goo- 
metrique simple qui rende intuitive la disconlinuite; une etude directe est 
done necessaire. L'integrale (ai) conserve un sens quand le poinl M(x,y) 
coincide avec un |>oint V de coordonnees (X, Y) de Tare F, 



(22) 



F(X, Y) = 



,/:: 



, , iX-7(r,ii« 



i^-r,y 



mais F(x,j-) tend vers des limitcs dilTercntes loisque le poinl (x,y) lend 
vers le point (X, Y), suivant que le point (x. y ) est a dioiie ou a gauche 
de I'arr F. Pour le rlemontrer, considerons Tintegrale auxiliaire 



(23) 



^i(^, y) 






■^e-"^ 



dr,, 



qui est continue sur Tare F, car elle est dc la forme de celles qui onl etc 
eludiees au debut de ce paragraphe. On a, comme le prouve un calcul 
elementaire, 



(•M> 



F(a:, ^)-^- Fi(r, j; = 4 ^ e-"'du, 



('; Les directions caracteristiques etanl confondues, la caracterislique issue d'un 
fioint quelconque de F peul litre consideree comme conjuguce de la tangente par 
rapport a rensemble de ces deux directions. 



CHVPITRE XXIX. — KQUATIOX DK L\ CUVLEUR. 3o7 

X — "/ ( in ) . . 

ou u = - — les liiniles a et [i elaiil deteriniiices d'apres la position 

'->- vy — r, 
du point {x, y). Supposons d'abord ce point a droite de T, ou a: > y{y)\ 

^ '/( (X\ 

loisque 7) varie de « a y, u varie de — a -t- co. Si le point (x, y) 

2 \/y — a 

etait a gauche de T, la iimite ^ serait — ao. On a done, lorsque le 

point (x, y) n'est pas sur T, 

F(x,y}-^Fi(x,y) = fi f e-'^'du, 

J.r—-Hn) 

2/r— « 
relation qui devient, en faisant tendre le point (x, y) vers le point (X, Y). 



(25) lini F(x, y) -4- limFifar, y) = 4 / g-"' 

7x --/(«! 



du. 



le signe ■+• correspondant au cas ou le point {x, y) est a droite de F, et le 
signe — au cas contraire. 

Si Ton a a- = X, y = Y. les limites pour a sont ^^ ^- et zero; la 

' ^y/Y-a 

formuie (24) donne 

(26) F(X, Yj + F,(X, Y) = 4 / e-"'du 



X, Y) + F,(X, Y) = 4 f e-"\ 



En retranchant membre a membre les relations (23) et (26), et observant 
(pie Fi(x, y) est continue au point (X, Y), il vient 

(27) liinF(^, jK) = F(X, Y)-+-4 r e-"'-du = F(X, \)z^2\/r.. 

On doit prendre dans cette formuie le signe -f- ou ie signe — . suivant que 
le point (x, y) est a droite ou a gauche de V. 

Considerons niainlenant une integrale quelconque de la forme (20), 
qu'on peut ecrire 



] "" (r--o)2 



^ X — "/(•in) — ; — - — , 

Si la fonrtion o(^) satisfait a la condition de Lipschitz dans I'inter- 
valle (a, b), la valeur absolue d'un element quelconque de la premiere 
integrale est inferieure a I'element correspondant d'une integrale 

r-' \\ dr, 

J \'y — h 



3oS ciiMMini: \\i\. — kquation di: i.a cii\i.i:t n. 

Par suite, celle intof:;rale est uniformemenl convergenle dans le domainc 
(I'lin point quelronque (X, Y) de T et repiesenle une fonclion continue 
dans le voisinage dc T. La discontinuite de U"(j-, y) loisque le poinl(ar, y) 
tend vers un point (X, \) se deduil ininu'dialenient de la di«continuilc de 
la <iCCondc inlegrale qui vicnl delie eludiee et Ton a, en definitive, la foi- 
mule generale 

.Y V ../„, ;S-X'-n>i' 



(•28) limvrij-, J') = rhay/TTorY)-^ j o(t,) 



X-y/-n) 

3 

(V— T.)2 



(//,, 



le si^^ne devant elie pris comme on la dit plus haul. 

Dans le cas parliculier oil Tare V est un segment de droite x = Xq, V\n- 
legrale qui figure dans le second inembre est idontiqucment iiulic. On en 
conclut que /'/ limilc de Vintegrale 






T Xn 



(.r-.»-„i- 



(.r--i)"- 



- e i'r-'ii d-t\ 



est egale d ± 'f(Y) lorsquc le point (x, y) tend vers un point ( x^. \ ) 
de cetle droite. 



oiii. Extension de la formule de Green. Applications. — Con- 
siderons deiix roiictioiis (|uc](()nf|iies c5(j-, y)^ 'i{^-> .Y) ^^^ ^*'~ 
riables jr, r, admcltant des derivres jusqu'au second ordre; on a 
identlf|iiement, J( ) el ()'( ) ayant l;i nieinc signification que 
|)lus haul (n°o40), 



I . . . ,. X . Ox \ Ox 



0'\f 
Ox 



^y 



('fi')- 



Si les fonclions 'z> el 'l sont continues, ainsi que les derivees 
partlelles de res fonclions qui figurenl dans la formule prec('- 
denle, a Tinterieur d'un doniaine hornc' 1) limile par un contour C, 
on deduil de cetle formule (29) la relation suivante, qui estl'equi- 
valente de la formule de Green (n" 0O6), 

{■io)JJ[-^ru'.,-'^qi'b)]dxdy=£o'ldx^(^l'^^-o'^yy, 

I'integrale curviligne elanl prise dans le sens direct. On en lire 
facilemenl une serie de consequences loules pareilles a celles qui 
ont ele developpees pour I'equalion de Laplace. En remplacant '^ 
par I'unite et '^ par une integrale u de 1 equation (1) regulierc 



CI1\I>ITI<E WIK. — KQUATIOX I)E LA ClIALKLU. SoQ 

dans 1), on ohlienl l;i noiivpllc reliilion 

( 3l ) la dx H — — dv = o, 

J^. dx -^ 

qui est evidemment equlvalente a I'equation (i) elle-meme, d'apres 
la premiere forinule de Green. De meme, en remplacant '1/ par 
I unile el o par le carre ir d'une inlegrale reguliere dans D, il 
vienl 

( 32 ) ?- / / I — I dx dy = I a- dx -+- lu — '■ dy. 

De celte forniule, analogue a la fortnule (12*'^) du n" 506, on 
deduit une consequence importante. Soil u(a:, y) une integrale 
reguliere a I'interieur d'un contour ABFE tel que celui de la 
figure 98, forme de deux segments AB, EF de caracteristiques, 

Fig. 98. 






et de deux arcs AE, BF, dont cliacun ne peut etre rencontre 
qu'en un point par une caracterislique; le segment EF est aii- 
dessus de AB, et Tun ou Taiitre de ces segments, ou meme les 
deux, peuvent se reduire a un point. Si cette integrale est nulle 
le lonij^ des deux area AE, BF et da segment \B, eile est nulle 
da/is tout cc domaine. 

Soit en effet M un point quelconque de cc domaine, PQ le 
segment de caracleristique passant par M et com[)ris entre les 
arcs AE et BF. La relation (82) appliquee au domaine D' limile 
par le contour AliQPA donne 

2 / / ( — I dx dv -i- / u-dx = o, 
j)uisquc a est iiul |)ar livj)olliese le long de PABQ.'Tous les ele- 



J)10 (lIM'ITUi: \\l\. — KQt'ATION UK I. V CIIALKIH. 

luonls do COS Aciix mtcijrales etant j>osihrs on mils, il faiil done 
(ju on ail // = o toiil \c Ion:; do P(), el jiar stiile // esl mil dans loul 
lo doniaino I), puiscjuc M esl iin poinl (jueleoncjue de ce doinaine. 
On concliit Ar la (|u"il ne peiil exister deux inlegrales regulieres 
dans le doniaine I) el prenant des valeurs donnecs le long de AH, 
de AE et de BF. Le proMeme qui consisle a determiner celle 
integrale est {'analogue dn problenie de Dirichlet pour Tequation 
de Laplace. L(> raisonnemcnl (|ui precede prouve (pi'il ne petit 
adniellre plus dune S(dulion, mais ne denionlre pas qu'il exisle 
ane solution. 

Pour obtenir une relation analogue a la fonnule fondamen- 
tale (i3) du n"o07, il suffil d'ap|)liquer la meme melhode en rem- 
j)lacant la fonction log/- par la solution fondamentale \J(x,y', i, r\). 
Soient M un point de coordonnees (■X'oj JKo) dans le domaine. pre- 
cedent, M' un point voisin du meme domaine, de cordonn^es x^, 
y'o-\- h, h etant un nombre posilif. Appliquons la formule gene- 
rale (3o), en remj)lacanl les lellres x el J'|>ar les Ictlres q, Yj res- 
j)ecliveinenl, en prenant pour 'j une integrale ?/( ;, t\) de I'equa- 
lion (i), reguliere dans D el pour 'h la fonclion 

Uo!= U(^o, j'o-i- /'; c, -fj 

qui est une solution de Fequation adjointe rt'-guliere dans le meme 
domaine. Cette formule nous donne la relation 

en represenlant par C le contour ABQP A, ce qu'on pent encore ecri re 



(33) 



I I' 



«<;,JKo)« 



41 






On a vu plus haut (n" 513) que le premier membre de cetle 
egalite a pour limite lyTHii^x^, j'o) lorsque le nombre posilif li 
tend vers zero, puisque x^ est compris entre les abscisses des 
points 1* et Q. La limite du second membre s oblienl immedialc- 

ment, puisque U(.ro, j'o -^ A ; c, '/,) et — ^ sont des fonctions conli- 
nues de h le long du contour PABQ. En supprimant les indices 



I 



CIIAPITRi: \\l\. — KOIATION I)E LA CIIALELII. 3ll 

flos letlres ./•„, y^-^ nous obtenons done la relation 

qui est lanalogue cle la relation ( lo ) clii n" ,j07. I'^lle » ecrit encore, 
en remplarant U par son expression, 

I u(x, V) = n / — ^^=z » ( ;, ■r,)d--\ dr 

' -"'^■'.)~:V/''']"'- 

La iorniule (35) ne donnc pas la solution du probleme aux 
Imules donl il a ele (juestion tout a Iheure, car le second memhre 

ne pent etre calcule que si Ion connait les valeurs de —z le lonir 

des arcs AC et BF. On pent cependant eliminer la valeur de —r sur 

. . \ . 

toute portion du contour couiposi- dun segment de droile (voir 

Excrcice 3 ). 

La formule de Poissou du n° o4-3 se deduit conime cas limite 

de la formule generate (35 ). Supposons que, dans la portion de la 

bande limitee par les deux caracteristiques d'ordonnees h el h~-r, 

passant jjar A et E, situee a droile de I'arc AE, I'integrale u{x^ y) 

soil regtdiere et de plus qu il existe un nombre positif K tel que 

les produits 

-^ ' or 

soient bornes dans ce domaine. Nous allons cherclier ce fjue 
donne la formule (35) (juand on prend pour BF un segment de la 
droite x' = R., 11 etant un nombre |)ositif quon fera croitre inde- 
finiment. La portion de 1 integral<! cur\iligne provenant de B(2 
est egale a 

(') Toute inlt'grale <Ie I rqiialion J ( w ) = f(x.y)^ rcsulifMC clans D, vcrifie une 
relation qui ne clilRre <le la relation ( )5 ) que par I'addition an second niembre 
du ifrmc 



n-J.',, \y-'. 



3rji nivpiTm: \\i\. - i;(.>rvTi(i\ i>i; i.v cii \i.i:i it. 

iSous alio MS tlt'in()nli(M- i\\ic crllc iiiir'-c.ilc ii-iii vci-; /.I'-io lorsqur \\ 
auginente indrliiiiiiii'iil . pmirsii ^xw \r> ii')iiil>i("> K i-t o vrnlienl 
line cerlainc comiilion. l'r(Mit)as la |)i('iiiiii<' |>,irlif; |>;ir Inpollu'sc 

le prodiiil ( — r ) f^ *^^ es| ixnin-. d |>.ii >iiilc la valtMii' ahsoliio do 

crltc inlt'ui'alf »'-l mh'Ticiiro a 






M elanl iin nomhro fixe cl 3 ua noinhre posilif aihilrairr. Lo far- 
leiir e~-"' tonrlanl \ers zi-ro loixpic 11 ani;iiionte iad(Hiniiiient, il 
siiffira (\f nionlrer ipic la \alciir altsolnc dc I iMt<''i;iale 



(3;) 



/ 



4(K->-£ilv r.ill'- 



\6' — ^1 



conserve iine valenr finie. Or. !<■ nnnK-raloiir de lexposanl csl 
phis petit que 4(1^ + ^)^R" — ( -^ — liV", el ee numerateur seia 
ne;^atif poiii" des vaJeiirs Ires i;randcs de Ii >i Ir foefficient (!<• R'-, 
c est-a-dire \{^ -f- sjo — i est n('i;ali( : la \al<Mir ahsolue de linte- 

grale (3~) est alors infi'-rietire a / '- — (pii a iine \aleiir linie. 

La premiere parliedc 1 integrale (3(); lend dune vers zeio lorsqiieI> 
croit inaeiiti line lit nomv ii iiiie o mmI inlcMicur a - — ; et. coin me s 

' ' i i K — £ ) 

est nn nombre positif arbitraire. cetle condition sera verifiee si 
Jes nombres K. et o verifient la relation -jKo «< i . On demonlrera 
de la meme faeon que la seconde partie de linlej^rale (3()) tend 
aussi vers zrvo lorsqiie R aui;menle indefininient el. dans la for- 
mule (35 J, le contour dintf-i^ralion f*AB(^) doil ♦'•tie remplace par 
le seicmenl 1*.\ et le se|:^inenl de caraclf'-rislique s etcndant du 
point A a I infini vers la droite. 

Si lintegrale u(x. y) est reguliere dans toute la bande limilee 
par les deux caracteristiques ,1'= A. r = // -^ o, et si dans cette 

Jjande les i>rodiiits ue~^''\ — e~^'' restenl bornes. les deux nombres 

' ' Ox 

positifs K et o v«iririant la relation 4 1^ ^ < '• 0'> pent prendre de 
meme pour la courbe AE un segment de la droite x = — R, 



niAPITIU: XXIX. — liylATION UF. I. A CIIAI.KIR. 3 1 1 

R claiU uu noinhiv posilil ([n'on liiii croilro indcfmiment. On 
verifie conime lout ;"i I'lieure que la portion de Fintegrale curvi- 
ligne (35) provenant de l*\ tend \ers zero, el la formnle (35) 
devient a la limile 



(■58) i>(x,y)^^ / , ?(;)^/l 

'i(./) etant la \aleur de 1 inle^rale ii\J-^ h) le long de la caracleris- 
lique )'= A; nous retrouvons la formule (17) de Poisson (n" oi3). 

Si Ics prodiills '/(.c, y)e'~^^'\ — e^^^' resleni bornes dans la partie 

dii plan situee au-dessus de la caracteristique y^^li, anssi petit 
(pie soil le nonibre posiiif K.^ le nombre pent etre pris aussi 
grand qn'on le vent, et par suite la formule (38) est applicable 
dans toute cette partie du plan. 

510. Proprietes des integrales. — La formule (35) permet de 
dcnionlrer qiieicjnes proprirles imporlantes des integrales de 
IcHpiation ( I ). Soil u(^x^ y) nne integrale reguliere dans un 
doniainc D. I'renons a I'interieur de I) nn domaine partiel limiu- 
comme celui du nuinero precedent, par exemple un rectangle I\ 
limile par deux segments de caracleristiques AB, EF, et deux 
paralleles AE, h¥ a I'axe O^'. En appliqnant la formule (35) a nn 
|ioint quelconque M de ce rectangle, de coordonnees x^ j', la fonc- 
lion ;/(.r, y) est exprimee par une somme d'integrales curvilignes 
j)rises le long de Ali, AP, BQ respeclivemenl. L'integrale le long 
de AB est une fonclion analjtique des deux variables x^ y dans le 
reclangle B (n" o43) ; chacune des integrales prises le long des seg- 
ments AP, BQ, est la somme dune fonclion ^(x, y) et d'une 
function W (x, y) (n"oii). L'inlegrale if ( x, y) '\oii\l done dans b; 
reclangle R des memes proprieties epic ces fonctions elles-memes : 
loules ses derivces parlielles sont regulieres dans ce rectangle; si 
Ton donne nne \aleiir conslanle r„ a r, «(x,j'o) est nne fonctiun 
bolomorpbe de x, tandis que, si Ton donne a x une valeur con- 
•slante Xq, u (xq, y) est une fonclion de y de classe 2. 

Tout segment de droite parallele a Tun des axes, et sitnr lout 
enlirr dans le domaine D, ponvanl etre renferme a I'interieur d'un 
re«i;ingl«' icl que le |)recedenl conipris Ini-meme dans D, nous 



Jlj CllM'ITRK \XI\. — lUlATION III: I.A CM M.KUR. 

pouvons done rnoncer les proposilions suivantes : Si unc inti'- 
irralr n{^.v,y) est reguliere dans un domainc D, i" toutes scs 
dcrii'ces particllcs sonl regulii'res d<ins Ic mrnie domaine ; 3° le 
long (/'an segment de caractcristitjae {ntciieiir a 1), M(^.r, y) 
est line /onction Iwloniorplte de x; .i" fe long dun segment de 
d/oite parallele d Oy interieur d D, u{x^ y) est iine J onction 
de y de classe 2. 

Ccs proprielt'S appartiennenl aussi aux. derlvees parllolles de 
ii{x, y)^ piiisqu'ellcs sent clk's-inenies des inleg^'ales de I'eqiia- 

tion ( I I. Kn narlioulicr, — esl uno fonriion de y de classe 2 le 

loDi^ de lout segment parallele a O^' silue dans riiilerieur dun 
domaine ou //(.r, y) est reguliere. Inversement, elant donnees 
deux fonclions de classe 2 dans un intervalle (rt, b), ''f(y)j '^(y)-) '' 
existe une integrale salisfai>ant au\ cnnditif)ns de Caiieln^ pour 

/du 



u(xo, y)= 'f(jK, 



'^^(Jh 



ct reguliere dans le rectangle limile par les dro\lefi y = a, y = 0, 
.r =: Xo^ r, r elant un nombre positif convenable. En efi'et, les 
derivees parlielles des fonelions ^(r), •{>(}') verifient par hjpolhese 
les ineiraliles 



(39) 



|'f"''(7)|< 



Mi'in)] 



V"'(J)|< 



Mfa/i): 



pour loule viileur de r de rHitervaile [a, b); .M et z sonl «i<'iix 
nombres positifs quon peul evidenimenl prendre les menies pour 
les deux lonctions. La serie (()), consideree au n"oil, ainsi que 
celles quon en deduil en derivant deux fois par rapport a x ou 
une fois par rapport ay, sont uniformement convergentes, d'apres 
les relations (3q), quelle (pie soil la valeiir de y dans Tinler- 

valle ( rt, 6), pourvu qu'on ait (x — :r„j<< p*. La somnie de celle 
serie represente done une integrale de I'equation (i) satisfaisant 
aux conditions de Caucliy. C'est d ailleurs la seule inlegrale veii- 
(iiinl ces conditions qui soil reguliere dans un domaine D renfer- 
iiiant d I interieur le segment de droile eonsiflert'-. En efFet, s'il en 
existait deux, leur dillerenee serail une integiale reguliere dans O, 
et nullc ainsi rjue sa derivee par rapport a x lout le long de ce 



CIIAl'ITRIi XXIX. — KylATION DK LA CIIALKIK. :> 1 5 

segment de droite. Toules les derivees jDarlielles dc celtc inlegrale 
seraient done nulles, le long da meme segment ct, comme celtc 
integrale est une fonction analylique de x, il s'ensuit qii'elle est 
identiquement nulie ('). 

On a generalise les proprieles precedentes en considerant, au lieu dun 
segment de droite parallele a Oy, un arc de courbe AB, represcnle par une 
equation x = y(y), yiy) etant une fonction holomorphe (\e y dans lin- 
tervalle (a, b). Si une integrale ii{x, y) est reguliere dans un dnmaine D 
renferniant I'arc AB a I'interieur, la fonction ii-['/ iy)-, y\ a laqueile eile 
est egale le long de cet arc est de classe 2. Inversement, etant donnees deux 
fonclions o(y)^ ^(^)> <^c classe 2 dans un intervalle (a, b), il existe 
une integrale et une seule de I'equation (i), regulii-re dans un domaine 
renferniant I'arc AB et limite par les droites y = a, jk = 6> et les deux 
courbes a; = / ( y ) ih r (oil rest un nouibre positif). satisfaisant aux con- 
ditions de Cauchy le long de I'arc AB 

(4o) uCr. _K) = u(_x), — =(i/(j). pour x = -/(y). 

Nous renverrons pour les demonstrations aux Iravaux de M. Holmgren. 
Le iheoreme de Schwarz sur le prolongement analytique d"une fonction 
liartnonique a egalement ete ctendu par M. Holmgren aux inlegrales dc 
I'equation (i). Soit u(x,y) une integrale reguliere dans un domaine D; 
on ditqu'elle pent etre prolongee dans un domaine D' contigu au premier 
sil existe une integrale l](x,y), reguliere dans le domaine D -h D', qui 
coincide avec u(cc, y) dans D. Si le domaine D est limite en partie |)ar 
un arc AB, qui n'est rencontre qu'en un point par une caracteristique, le 
prolongement de u{x,y) a travers cet arc AB ne peut etre possible que 
d'une seule maniere puisque, le longd'une caracteristique, u{a:,y) est une 
fcjnction holomorphe de x. On a observe plus haut qu'il n'en elait plus dc 
memc a travers un segment de caracteristique ( n" .'iii i. Cela pose, suppo- 
sons que I'arc AB soit reprcsente par ['equation x = '/ (y), la fonction x(j') 
etant holomorphe pour tonte vaicnr de y comprise entre a et b, et 
que u{x, Y) soit une integrale reguliere dun cote de cet arc, a droite par 
exemple, et prenant sur AB une suite de valeurs donnee f(y). Pour que 



( ' ) Si les fonclions '-^(y) el 'y(j>') verifient les inc};alilt'S 



oil a est un nombre posilif inferieur a i, pour loule valeur de _>' dans linter- 
valle (a, 6), la formiile (6) reprcsente une integrale satisfaisant aux conditions 
de Cauchy, qui est reguliere dans la bande comprise entre ies caracterisliques 
y = a, y = b. 



3 16 



nivi'iTiu: \\i\. — i:oi ATioN ni: i,.v cii.vi.r.UR. 



rclle iiUep;rale u{x, y) puisse lUre prolongee a gaticho a travcis Tare AB, 
1 1 /till/ ft il suffif que, dans un intervallc ijuelronquc (a, [i), compris 
duns I'inlervalle {a. />) . hi fonetion f{y) soil de classe 2 ( ' ). 

.)i/. Problemes aux limites. — vSoii I) un <loinaiii<; liinilc coinine 
an 11" i'Jlo par Joiix sej^meiils AH, \\F de caiaclerisiiques d'orclon- 
nees // cl / (/'^ /i), v\ (Kmix arcs de cotirhc AE, BF, cotnpris tMiIre 
res caraclerisliqiios, drliiiis rcspeclivotiieiil par les deiix t''(jua- 
lions .r = y , ( >'). .r = y... ( r ) ; les Conclioiis y,, y-,, y,, /!, sonl 
suijposccs coiiliiiiio dans rinlcivalle (//, /) oL y, <;yj- Nous 
iioMS |)ro|)OS()ns do dcinonlror (pi'il cxislc mie iiiU^grale et une 
senle, regnlii-re dans le doniaiiit; D, se rcdtiisant siir cliaciin dcs 
arcs AE, BF, a une fonciiun conliiiue donneey((j') on f-i{y)i 
el sur AB a une auire fonetion eonlinue^(^) qui Concorde avec 
les premieres aux points A el B. On pent snpposer, sans diminuer 
la generalile, <^(3") = o; on a vu, en ellcl (n" oi3), coniinenl on 
pent former, d'une inlinile de nianirics, une inlegrale reguliere 
au-dessus de Tare AB el prenanL les valeurs donnees sur AB. 
Soil W|(a*,j') une de ces inlegrales; en posanl a — ^^, = 3, la 
nouvelle fonetion inconnue z[x,y) doil sc leduire a zero le long 
de Tare AB et a des fonclions continues donnees de j' ic long des 
arcs AE. BF. Nous supposerons done qu'on a fail tout d'ahord 
cette transformation el par suite qu'on a g{^x)^= u. 

l)'a|iies ee qui a eli'' dil au n" o45, ce probleme ne j)eul admeltre 
plus d'une solution. l?our deiuontrer (pie cette solution exisle, 
il suflil tlemplojer une metlioile analogue a celle de Neumann 



(') Od cli;Jiiil de ceLlfi proposition iinc consequence analogue a celle qui a etc 
iiidiqucc ( note de la page nj'i) relativcment au probliine de Caucliy generalise. 
Soil a determiner une integralc iii x.y), salisfaisant aux conditions de Cauchy (^o) 
el definic d'un cole seulement de I'arc analylique .\B qui porle les donnees. Ce 
prohlciiie est en general iinpossiblc si les fonclions '-^iy) et '^{y) sonl des fonc- 
lions coiilinucs quelconques. Soil en eflfel u^{x,y) une inlegrale reguliere du 
mi-mc cole de Tare AH et salisfaisant k la prcnnicre condition de Cauchy {voir 
n" -ViT); la difTtirence u(x,y) — u^ix.v) (-lanl nullc \t- long de AB peul etre 
prolongee de I'autre cole el par consequent 

t)ii i)ii, _ _, , Ouj 

Or Ox ■ (Jx 

doit <Hre une fonetion de y de classe 2 le long de lout segment dc Tare AB ne 
rcnfermanl pas les exlreniites. 



ClUPIIRi; \\l\. — lioiATION 1)E I.A CIIAI.ia R. 3l7 

(n°513), en essavanl (Ic repiesenU'r riiil(''i;rale clierchee par uiio 
somnie de foiictions W(t. y) (n" oii). I^osons |)oiir cela 



(4i 



ii{x.y)==. / .ai(r, ) '-- ,- ">-'■' d 






- e ' ■•"•> -•^'' dr^, 



'X, et a-, etant des fonclions continues a deleniuner dans I'lnler- 
valle (/i, /). D'apres ce qu'on a demonlre plus haul, u{x, y) est 
une integrale reguliere dans D, nulla le long de AB. Loisque le 
point {jc-, y) se lapproche d'un point (X, Y) de I'arc AE, en restant 
a droite de cet are, u[x, y) doil lendre vers /"i (Y), ce qui exige 
qu'on ait (forniulc 28) 



(4'^) 






De meme, en ecrivant que u(.T^y) tend vers /2(^) lorsque le 
point (x,jk) tend vers tin point d'ordonnee Y de Tare BF, en les- 
tant a gauche de cet arc, on obrient une relation toute pareille 



/.••!' Y ) — Yjir,) 



(43) 



i -I. 



i ^-01 dr^ 



^.Y-r.)^ 
/' (Y--ri)^ 



Les i\en\ r«dalions (4'^) et (iJ) fornicnl un systeme d'equatlons 



integrales de la forme 



(44) 



' jjL,(rjK,( Y. r,)dr, -^ / |a., (rj K,( Y, rjdr, = F,(Y), 



K,, I\_,. II,, 11.,, F(, Fo etanl des fonclions donnees, et U(, [i.^ les 



runclions iiu-onniii's. ( )ii di'inoiilriMa ;m Clinpilro siiiv;uil (jiie ce 
>vsl('m(' ;ulinel iiiie soliilion el iiiio S(MiIr, sous cerlnines coiulilions 
(Mil siMil \ t'n(i<'"rs ui . 

All lifii (Ic >(• (IdiiinT I.I \;il('iir de l;i fonclioii inconnue en 

(liaqiic point (Irs iiro \|-., WV . <>\\ pctil x' (lonncr l;i valour dc — 

oil, plus j;(''nt"r;tl('in(Mil . supposcr (juo sur cliacuu de ces arcs, on 
connail la valeur de it(x,y), on (|ue eelle lonclion veride une 
relation de la forme 



(i5) 



du 
Ox 



My)u =/{y), 



).(■)') €l /(y) elanl des fonclions connues de y. On arrive encore 
a un svslcme de deux (''(piations integrales de la forme (44) en 
clierchaul a represenler la fonclion inconnue par la somme d'une 
fonclion <I>(:r, y) et d'une fonction W(x, y), ou par la somme de 
deux fonclions ^{t, y) ( n" 544). II suffit de remplacer dans la 
forimile (4i) une fonclion ^(:r, i) par une fonclion ^{x, y), 
iN'linie par une inleorale prise le long de ceini des arcs pour lequel 
la fonclion inconnue \(''ritie une relation de la forme (4^)? et 

dohserver que — esl une fonclion U^'(j:, y). L'applicalion de la 

relation (28) conduit encore a un sjsteme de deux equations inte- 
urales. Nous a\ons resolu directement un problcme de ce genre au 
n" 488, car Tequation (35) (p. i 12) ne dillere que par les nota- 
tions de lequation ( i). La solution obtenue etant une fonclion 
impaire de /•, les donnees du problcme font connailre la valeur de 
la fonction inconnue i' dans linlervalle ( — R, H-R) pour < = o 

et 1 on a, de plus, une relation lineaire entre — et p pourr= dr K. 

(^onsiderons le domaine (0 formtj par la portion de la bande 
comprise enlre deux caracteristiques, situee a droile ou a gauche 
dun arc F, dediii jjar une equation x = y (y). En su[)posanl que 
Tun des arcs AE, 13F de la figure 98 s'eloigne indefiniment, on est 
conduit comme cas limite au probleme suivant : Determiner une 
inlegrale reguliere dans (t), niille le long de la portion de 
caracteristique qui limite inferieurcment ce domaine^ con- 
naissant la valeur de cette integrate en chaque point de F, ou 



CIUPITKK \XI\. — KOU.VTION DK \.\ ciialkih. Sig 

sachdul (/ii<\ Ic lonu: de F, a et — ■ vi'vilienl line relation dc la 

/()/■/>(<> (4^). 

On cherchera encore a represenler, siiivant les cas, la fonclion 
inconniie u(x, y) par une fonclion ^{x, y) ou par iine fonc- 
lion U*(j:, t), ce qui conduira a nne eqiialion inlegrale pour 

(h'lernimer rinconniic aiixiliaire (jui (ii^ure sous le signe / . Pre- 
nons, parcxeniple, le premier cas et posons 

la Ictnclion y-(v|) est deterniinee par Tequation inlegrale 

(46) er -2 /^ lUy) -f- / ,u(r, ) ^••^' ^-y ' e *>r-Oi dr, =f{y). 

Celtc equation se resoul immediatement si la courbe T se reduit a 
un seguient de la droite x =.ro, car on a alors y(j') = y( r,) et 
Ton en lire rb :> yr: [jl( )') =y"(j^). Ce resullat a deja ele signale a 
la fin du n" o^i. 

La resolution de ces difTerents problemes se ramene aussi a la 
determination dune inlegrale de I'equalion adjoinle jouant le 
menie role que la fonclion de Green. Nous nous bornerons, pour 
fixer les idees, au premier de ces problemes, celui ou Ton se 
donne les valeurs de u le long du contour EA.BF {fig. 98), cetle 
inlegrale elanl nulle le long de AB. Si Ton connaissait aussi les 

valeurs de — le lonej des arcs AE, Bl'\ la valeur de u en un 

Ox ^ ' 

point (\r, 1') du domaine D serait donnee par la formule (35) (pii 
devient ici 

Soil g{x^y; ;, r.) une inlegrale de I'equalion adjoinle 
d^g dg 

dcjjendanl des deux paramelres (j:,y), reguliere a linterieur du 



320 



COMI'KEMKNTS ET E\EHCICES. 



conlour PAI>(^, jM-euiinl la valenr /('to en chaque poinl du scg- 
nuiil l'(^> c{ les memos valrms (|ne f *'^~^' le long dc l*.\ 

v^r — ^ 

cl do H(^. Les doux fonctlons u {I, Tj), i,'^{j^, )-; ^, r,) elaiil roi,Mi- 
lieres a rinlorieur du contour AH()I^\, la formule gthiorale (•»o) 
donno, j>uisque it = o Ic long do AB ol 4'' = o le long do PQ, 

(48 ) o = —-= / ..-( .r, r : t, TTJ — - »( I, /; ) — r/r, -- «^c?^ 

Kn rclranchant membre a membre les deux egallles prece- 
dentes ( i") el (4^), -r disparait. d'apn's 1 hypothese relative aux 
valours de s" le lon{r dos arcs AP. BO et il reste 

= / "I :. 0) —T dr. 



on posant 



E,» 



|.r->;r 



VT - r, 



On remarquera I'analogie de la formule (49) iivec la formule (3") 
(n° ol8j qui donne la solution du |)robleme de iJirichlet. 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 



1. Les conrlilions obtenues au n" oil pour les coefficients <lc P(x) 
, ^ M 7?! , , M n' 

/■" ( V. ft ) I ' ' /"M -2 ft -r- I ) ! 

peuveni elre transformecs comnie il suit. La prennieie, i)ar exemple, peut 
s'ecrire 



nr. 1 'v M "'/ ft! 



COMPLEMENTS ET EXEEICICES. 3v.l 

et, en remplacanl nl el (m)! par leuis expressions asymptoliques (t. I, 
p. 291), on arrive a une im'galite de la forme 

^'\/|«2«|< -p=' 

/an 

L etant independante de n. On a une inegalite toute pareille pour le 
radical " v^lao/i+il et, par suite, le produit \/n '^\an\ reste borne (Le 
Roix, Bulletin des Sciences mathematiques, t. XIX, 2* serie, 1895, 
p. 127). 

2. Pour avoir la liiiiitf de i'inlegrale (n" 543) 



i = f ^ e ■'•> d'z, a> o, 
"^0 






lorsque :r et j' tendent vers zero, on I'ecrit, en posant ; = a? -f- 2 \/_y t, 

a — .«■ /I — X 

1 = 2 f ^''^ e-'= dt ^-i. f e-'"- dt-^i f -'^ e-t' 



dt. 

2v/J 



Lorsque x &l y tendent vers zero, la seconde integrale tend vers v/tt, mais 
la premiere n'a de limite que si -— tend vers une limite 2 A, et cette limite 

est 2 / e~'' dt. On passe aisement de ce cas particulier au cas general 
oil Ton aurait sous le signe / une fonction '^(;j en facteur. 



3. Lorsque dans la figure 98 la courbe AE est une portion de droite, on 
peut faire disparaitre la portion d'integrale curviligne le long de AP, qui 

ritt 

depend de -7- > dans la formule (35). 

Soient ( Xx. y) les coordonnees d'un point Mj exterieur au domaine D, 
ayant meme ordonnee que le point M(a7, /); la fonction \i{xx,y\ \, r^) 
etant reguliere dans ce domaine, on a, d'apres la formule generale (3o), 



I 



Pour pouvoir combiner les deux relations (35) et (35'), de fa^on a 
G., III. 21 



3-22 



ro.MPi.KMKNTS i;t i:\ERriCES. 



olimiiuT les \aleurs de — - Ic loni; tie AK, il -"uffil do pouvoir choisir les 
oi • * 

deux nombifs ./', el K de fagon qu on ait, lout le long de AE, la rela- 
tion 

{T-%y-(x^-i_)^^- 4KO'-r.). 

Or, si Ion considere (c, y, ) conime des coordonnees couranlcs, cette 
equation iepre«ente une ligne droile. Pour que le segment AE appar- 
tienne a celie droite, il suffira de choisir sur le prolongement de PQ le 
point M\( Xi. Y^ symelrique de M par rapport au point P et de determiner 
ensuite la constanle K en egalant, par exeinple, les coefficients angulaires. 

4. Si u{x. y) est une integrale de I'l^qnation (i), il en est de meme de 
la fonction 



"1 (•2^, j')= I " ^-^ ~ ^ '^y 



Les valeurs de — — sur les arcs AE, BF ( /?^. q8) sont egales aux valeurs 
ax 

de u sur ces arcs. 

o. Lorsque. dans la figure 98, Tare AE est un segment de la droite x = Xq, 
el que I'arc BF est rejete a I'infini vers la droite, la fonction de Green 
i^(x, y; ^, rj pour un point (x, y) situe a droite de AE, dans la bande 
comprise entre les deux caracteristiques passant par les points A et E, 
a pour expression 

I 



v6' 



^ 4'y-"';i 



En deduire le resullat etabli a la fin du n' o44. 



Note biblioghaphiole. — Les equations generales du type parabolique 
cm etc etudiees dans d'importants Memoires par E. Levi (Annali di Ma- 
temalica. 1908 ^ H. Block {Arlciv de Stockholm^ Bd. V), M. Gevrev 
\ Journal de Matheinaliques^ '9' 3). 



CHAPITKE XXX. 

RESOLUTION DES EQUATIONS INTfiGRALES PAR APPROXIMATIONS 

SUCCESSIVES. 



II a ete deja question, a plusieurs reprises, d'equations integrales 
dans le courant de cet Ouvrage (I, n° 137; II, n°389; III, ii"^513, 
o33, oil). Cette nouvelle ])raiiche de I'Analjse a pris lies ra|)ide- 
nient une importance considerable, depuis les travaux de Volterra 
et de Fredholm. M. Volterra s'est siirtoiit attache a I'etude des 
equations a limites variables, en considerant une equation de celte 
espece comme un cas limite d'un sysleme d'equations algebriques, 
ou le nomljre des inconnues augniente indefiniment, et cette idee 
a ete reprise ensuite avec le plus grand succes par M. Fredholm 
pour les equations a limites fixes. Dans ce Chapitre, nous mon- 
trons d'abord comment les resultats de M. Volterra s'obtiennent 
tres facilemetit au mojen de la melhode des approximations suc- 
cessives. La meme methode, appliquee a une equation a limites 
fixes, ne donne pas en general la solution complete, mais elle con- 
duit a d'importanles proprietes de la resolvante. Les difficultes que 
semblait presenter la determination de la nature analytique de cette 
resolvante permettront d'apprecier limporlance du progres decisil 
du a M. Fredholm ('). 



(') l^our I'liistoiiijuc el la hiljliogiHphie. je renverrai le lecLeur anx Ouvrages 
de M. Lai.esco {Introduction d la theorie des equations integrales, Hermann 
1912) et de MM. IIf.ywood el FniccirET {Lequalion de Fredholm et ses applica- 
tions d la Physique nialheniatique, Hermann, 1912). I^cs renvois a ces deux 
Ouvrages seronl indiques par les noms des auteurs. 

On pouri-a consulter aussi un arlicle de M. Hans Hahn, Bericht fiber die Theorie 
der linearen Integralgleichungen (Hand. 20 des Jahresberichts der deutschen 
Mathematiher-Vereintgung, 191 1), et les exposilions gcnerales de M. Kneser, 
Die Integralgleichungen und Hire Anivendungen in der Math. Pliysik, 191 1, 
el de M. Buchkr, Introduction to the study of integral equations, 1909. 



3i4 



r.iiAi'iriiE \xx. 



I. — KQliATIOiNS IMKGirXLl.S LIM:AI1U:s \ LIMITI S VARIABLES. 



oiS. Equation de Volterra. — J/c'qualion de \ oltcrra de 
seconde espcce s'ecrit, en inlroduisant iin paramelre A, 



<U 



(p(j-)=:X / \\(x,S)o(s)ds-\-f{X), 



K ol / t'MaiU cUs fonctions donnees el C2(.r) la fonclion Inconnue. 
x\oiis supposerons dabord (jue la fonclion K.(^, y), a|)pelee Ic 
noyau, est conllnue a rinlt-rieur el sur les coles dii Irianyle lirnile 
par les droilesy = ^/, x = b^ y = .r(h'^ a). On verra plus tard 
(n" 006 el suiv.) quon pen I faire des hypollieses beaiicoiip plus 
generales. (hianl a f{Jr), nous siipposerons qu'elle n'a qii'un 
nombre linl de disconlinuiles dans linlervalle (a, ^), et, si cetle 

fonclion n'esl pas bornec, que / \J(s)\ds a une valcur liiiie. La 

fonclion inconnue '-^{x) doit elre delerminee pour loule valeur 
de X de I'intervalle («, b). 

Suivanl la melhode deja employee plusieurs fois, cherchons a 
snUsfa\ie foimellement a I'eqiialion (i) ^n prenant pour o(^) une 
serie entiere en ). 



(2) 



o( x) = Oo( x) -h}.<ti( X ) -i-. . .-r-l"<o„(x) 



ainsi quon la observe a propos des equalions du lype hjperbo- 
liqne (n" 4-9-4), cela revienl a resoudre I'equation (1) par approxi- 
nialions successives en prenaniy(:r) |ioiir premiere valeur appro- 
chee de '^(.r); la n"'"'" valeur approchee est precisemenl la somme 
des n premiers termes de la serie (2) obtenue par ce procede. 

En subslituant celte serie (2) dans les deux membres de i"e(|ua- 
tion (1) et en egalant les coefficients des memes puissances de A, 
on obtient les relations 

Ci) 'io{-r) = f(x), Oi(x)=zK['j,Jx)], ..., ci„(':r) = K['i„ jia-vl, ..., 

en posant, dime maniere generale, 

(4) K\f(x)\=f K(x, s)/(s)ds; 



I 



I. — EQUATIONS lNTl':(;nALES LINEAIRES A MMITES VARIABLES. 32> 

K.[y(j:)] indiqiie line operation qui, appii(|urc a une ioncUon f( x) 
satisfaisant aux condilions enoncees, conduit a (me autre fonction 
continue dans I'intervalle {a, b) [voir n" 556). Les relations (3) 
deterininent de proche en proche les fonctions '^n{x) qui sont 
loutes continues a partir de 'j, ( x). La serie (y) ainsi ohteniic est 
nnifonnemcnl com'ergenle dans cet intenalle, quel que soil A. 
Supposons d'abord que/(cr) soil bornee. Si Ion remplace K(a7, y) 
etf{x) par deux fonctions K,(.r, y) elfi(x) qui soient respecti- 
vement dominantes pour K(x, y) et f{x), la meme metliode de 
resolution appliquec a lequation auxiliaire 

(i)' ^(x) = 't.j Kiix, s)^{s) ds ^fi(x) 

conduira a une serie entiere en X dont les coefficients seront evi- 
demment dominants pour les coefficients de meme rang de la 
serie (2). Soient M et N deux iiombres positifs superieurs respec- 
tivement a |K(\r, y)\ et a \/(x)\. On pent prendre pour equation 
auxiliaire lequation simple 

(5) <P(x) = '/. f M*(5)^*-hN, 

dont la solution est I'integrale de fequatlon lineaire 

*'(:r) = XM4>(j7) 

qui se reduit a N pour x = cr. c"est-a-dire ]Xg'-*'''-«i, On en deduit 
immediatement que le coefficient 'j.„[x) de la serie (2) satisfait a 

la condition 

. . , ^. M"(a; — a)" 
((3) [9„(a';|<N -, , 

ce quil serait facile detablir directement (c/. II, n" 389). 

La s(''ric (2) etant uniformement convergenle, on peut integrer 
lerme a terme le pioduit K(^^, 5)'j(5) et, d'apres la facon meme 
dont on a obtenu les coefficients, la somme de cette serie (2) satis- 
fait bien a lequation (i). C'est la seiile solution. En effet, s'il 
en cxistait deux, leur difterence '}(j?) verifierait I'equation inte- 
grale homogene 

(7) 'l(x) = l I K{x, s)'l(s)ds, 

'J a 



3.(> 



(lunruK \\\. 



el rcUe ('(jiiallon ne peul atlincUre <raulie solulioii que •}(^) =0. 
Soil, oil ellel, ^i iin nomltre posilif su|K'Ti(Mir a |'!/(7.')|; d'aprrs la 
n-liiliou ( () I. la loiulinn •!>„(.») ([nOn dtMliiil de '{'(■'■) an nioyeii 
do roperalion )>K(^ ) applitpice // lois de siiile lend vers zeio 
l(>iS(]ne // aiii;nienlo indeHnimenl. Or", si 'l>(.r) \eri(ie Tecpia- 
lion (-). lollies les lonclions 'l^, ■!/... . . ., •!/„ cpron en dediiit par 

rojx'ralion aK( ) sont idcniicpies a •}(.r). On a done •i>(.r 1 = 0. 
Si la loiiclion f{Jr) nesl pas bornee dans riiilervalle (a, />), 
les eoerficionls de la serie (■>-) sonl conliniis a parlir dii seeond. 
Pour dcinnnlier la convergence, il sufliia de parlir de I'ecpialion 
Integra le 

'!> {X ) = K j K I X, s ) <I> ( 5 ) ds -r- / 1\ ( .r , .s- )J\ s ) ds 

• tt *^ il ' 

oblenuc cii reiii|ila(anl '^(^.r) par /( .r ) + Atl>( x) dans I'f'cpia- 
lion (II. I)"iinc lacoii gt'iK'rale, la soliilion o(.r) presenle les 
lurines disconlinuiles quey"(j") dans I'inlerxalle (^/, h). 

Les gt-neialisalions s'ofrrent d'clles-meraes. Par exemple, an lieu d'une 
seule equation a line fonciion inconnue, on peut resoudre tout aussi faci- 
lement un sysleme de n equations lineaires a n fonclions inconnues 

o/(x) = A 2V / \<i,,{x, $)<:>, ,{s)ds -\-fiix) (i = J, 2, . .., n); 

on prouve de la ineme facon que les series obtenues par lapplication de 
la nieihode des approximations successives sont uniformenient conver- 
gentes. si les noyaux K,p(x, y) sont rontinus, et si les fonclions //(sr) 
salisfonl aux meines conditions que fix). Laissant de cote ces generali- 
sations et d'autres encore sur lesquelles on reviendra, nous alions etudier 
de plus pres la solution qu'on vient d'obtenir dans le cas siin])le de I'equa- 
tioii {\). 

^Jiy. Noyau resolvant. — Les premiers coelficients Oi (j?) et 
C52(,r) de la serie (2 ) onl |)oiir expressions 

ci,C,/')= / \\<. X. a \J'\ s) ds. 'i2(x;= / Kf"./-, .9 I'^ifi) r/5; 



remplacons dans la pieniirre foriniile x el .s par les lellres 5 el ^ 
respeclivenieolj el portons la valeiir oblcniie j)onr '-pii-^) dans la 



I. — KQIATIONS IMKGRALES L1NEA1HES A LIMITES VARIABLES. Sv.; 

secondc foinuile: cllc devient 

o.,(x) = I ds I K(.r-. s)K(s, l)/(t)f//. 

D'aprrs line formule generale de Dirichlet (1, p. joq), f(iii vn 
jouer iin role inipoilanl dans la suite, on a 

(8) / ds f r(.v, s, f )dt = I dt I ¥(x, s, t)ds; 

celtc fonnidc montre que l'ex[)ression de '■^.^[x) pent s'ecrire 

( 9 ) o.2(x) = I K'-^'ix, ( )/( / ) dt 

en posaiit 

(10) \sJ'\x,y)= I \i{x, s)\\{s, y) ds. 

En Iransforniant de meme les expressions de cp3(x), '^/, (a:), ..., 
on est amene a inlrodiiireune siiile indefiniede fonctions K'-'(a7,y), 
¥J^''{x^y), ,.., K'" (.r,j'), ... definies de proche en proche par 
la relation de recurrence 



(11) 



K'"'(.r,7)= / Kix. s)\\^"'^Hs, y)ds\ 



ce sont les noyaiix iteres successifs de K(^,jk) = K."^(x, j'); ils 
sonl tons conlinus dans le meme domaine que K(^, y). 

[^'expression generale de '^„(x) au moyen du /i"'""' noyau ilere 
est 

(i2) o^(x) = I K^"'(x, s)/{s) ds: 

'-a 

on le v^i'ifie iinniediatemenl par voie de recurrence au moyen de 
la formule de Dirichlet. La formule ('^.), f|ui represente la solution 
de 1 equation (i), pent dor)c secrire fornielleiuent 

(i3) o(x)=f(x) — l I l^(x, s: }.)f{s)ds, 

en posant 

( i4) T(x, y; X) = K(x, y) -h iK- ( ./•, y ) -\- ■ ■ .-+- X"- ' K " i ■'■■ J') + 



3.8 



CHAPITHK X\\. 



I'our justifier l.i foiimile ( i 3), il siiflil <!•■ iiionlitM- (|ii(> la serie (i4 ) 
esl iiniformomcul ronvcri^enle ; or, si INI t'sl uno liinile sii|)('iieure 
<io |K.(^^", ^)|, on verilie dc proclie en pro<"lie (]iie la valeur absolue 



de K^'''(x, y) esl inferieure a M 



|.r — r|"-' 



On a done le droit 



( /J — I ) ! 

<rinlt^<;rer terme a ternic la serin ( ' ) (jiii rej)resenle le pro- 
iltiil I'l.r, s; \)/[s). La tonrlion Tix, y\ ).) est tine fonetion 
enliere du parametre A, qui depend Mni(|uement du novau lv(j7, y) ; 
on Tappelle le noyau rcsoha/U on la irsohanle relative an 
novau K(x, y). La formule (i3) donne une veritable solution 
explieite de I't^qnalion (i) pour toutes les formes possibles de/'(^), 
et la resolution de I'equation de Volterra est ramen«'-e a la forma- 
tion de la resolvante. Remarquons que cette resolvante nesl 
definie, comme le noyau K(^, y) lui-nieme, (|u"en supposant 
X compris entre a et ^, el y <; x. Pour la generalite des formules, 
on pose K[x^ y) = o^ Y[x^y;\) = o \iO\.\r y ';> x {cf . n" 557). 
D'apres I'expression ineme dn nojau resolvant r(^, r; a), ce 
nojau satisfait a 1 equation fonrlionnelle 

(ij) Y(x. y:\) = ]\{x, y) -^l I Kix, s)T(s, y\l)ds, 

qui suffirait a le definir, car, si Ton suppose V{x. y\ A) ordonne 
suivant les puissances de A, cette relntion permet de determiner 
de proche en proche les coefficients des diverses puissances de A, 
et Ton retrouve les formules (i i). On demontrera un pen plus 
loin (n" 559) que ce noyau satisfait aussi a I'equation fonctionnelle 

(i6) V(x, y\'t.} = K{x, y) ^ \ j K(s, y)V(x, s: '/.) ds, 

qui suffit egalement a le determiner. Remarquons que les noyaiix 
iteres, et jjar suite la resolvante. ne dependent pas de la limite 
inferieure a. 



^') ^' f{^) est bornee, la propriele esl cvidcnle. Si /{x) n'esl pas bornee, 
soil r, une liniilc superieure de la valeur absolue du reste r\^{x, y; a) de la serie (i4) 

compte a parlir du termc en a". On a / r\^{x, s;\)f{s) ds < t, / \f{s)\ds. 

I --^ II •-' It 

d'oii Ton deduil qu'on a encore le droil d'inlegrer lerrne a lerrne, puisque t, lend 
vers zero lorsque n croft indennimcnl. 



I. — EQIATIONS INrE(.HVLi;S I.INE.VI ItKs A I.IMITKS \.VKI\BLES. 829 

Rcmarqui' . — On |jeut regarder, dans I'tMjiialioii (i.^), '-i(^) 
coinine donnee el fix) comme I'inconnue; la solution de celle 
e'(|iiation integrale est alors donnee par Pequation (r) elle-meme. 
Siipposons, pour fixer les idees, A^i- le noyau de la nouvelle 
(•quation integrale est alors — Yi^x^y; i), el I'equation (i) montre 
que la resolvante correspondante a pour expression — K(x, y) 
|)our la menie valeur du paramelre (^cf. n" 560). 



ri'JO. Determination de quelques noyaux resolvants. — Supposons 
que K{x,y) soil iiii polynuiue do tlegrc ri — i en y, qu'un pent toujours 
nicUre sous la forme 



(171 )\(x, y) = aaix) -^- ax(x){x — y) 






(jr—y)"-t. 



les coefficients aiix) etant continus dans rintervalle {a, b). Pour deter- 
miner la resolvante V{x, y: X), nous clierclierons la fonction auxiliaire 



u{x,y;'K)= ^ — — I V(/, y; l}(x — t)"-i dt 



(x — y)"~ 



qui est nulle ainsi que ses (n — 2) premieres deiivees par rapport a x 

pour :r = K, tandis que la derivee d'ordre n — i est egale a I'unite 

(I'l II . 
pour xz=y. De plus, on a ^ ='/.!'( x, y ; K). L'equation fonction- 

iielle (i5) devient done 

d"u(x, y\ A) r' ,, / . d"u(s,y, ).) , 
^-f— = .Ki-.y)-^^l^ li(-r,s) ^j;h-d^^ 

ou, en appliquant a I'integrale du second memhre la formule dintegration 
par parties, 



<-/" u( X. y; ). ) 
dx" 



= '/.K( X, y )■+- X 



'^[k(^, 



d"-Ut 



d\k.{x, s) rf''-2// 



ds 



ds"--^ 



r>'-l K 






En tenant compte de I'expression de K(t, y) et des conditions auxquelles 
satisfait la fonction auxiliaire u(T,y; X). cette relation se reduit a 



d", 



c?"-' u 



La fonction u( x, y\).) est done I'integrale de !'('quaiion lineaire D(m) = o 
qui satisfait aux conditions de Caucliv HI, n" 401 1. En designant 



Ho 



r.iivniru: \\\. 



par .?■( .r, >;X)ctMle iiili'j;rak', on a pdiir cxprossioii dii noyau rcsolvant 
rheiilu" 



do) 



r. ./ , ( : >, ) = - 



(/" fi-(x. y. ). ) 



Supposon> en second lion que Kit, v) soil nn pnlynoine en x 



(20) K( J-, >')= />„(.>■)— bxi }■){ y — .1- )■ 



O' — •^)"-'. 



Ics roenicienl* l>n y . olaiil conlinn* dans i'inli'ivaile iK, h ). Ecrivnns 

la ri'solvante sons la forme — - — ; — » la fonclion auxiliaire ii(x, y\ X) 

A ily" -^ 

elant nnile ainsi qne ses n — » premieres derivees jiar ra|)port \\ y pour j^ := a", 

(In— \ II 
tandis fine la di-rivee — : est ejiale a I'unite pour )■ = x. Leinjalion 

fonctionnelle (iG) deNient alors 



(21) 






r' ,. d'uix, s: a; - 

/ Ki s. y I ^-^^ as — a K ' x. y ), 



lis" 



appliquons encore la lurmnle d inlei;ialion par inulies. en tenant compte 
tie la forme de K(.r, v) el des conditions auxquelles satisfait iiix^y; X), 
il re>te 

d' u . r , </'-' // , / 1 

< -^^^ r*'' «) =~jy'~'\ '''^^'^ ~dy^^ -^. . .- ft„-,(.r i»J = o. 

I. a fonction aii\iliaiic wx. y: /. j nest done autre chose que I'inte- 
grale .?\^y. -r; A; de I'equation l)i(u) = o, salisfaisant aux condition^ de 
Gaucliv. el le no\an ie'«idvant dierche a pour expression 



I 2>; 



I'l ./-. r; /. I = 






i/V 



On voit par la commenl linlegralion d'une equation dilTerenlielle lineaire 
d'ordre n, dependant dun parametre X comme les equations (18) et (ta), 
perniettra de former le noyau resolvant ponr deux types d'equations de 
Vol terra. 

351. Application aux equations diff^rentielles lineaires. — fnverse- 
menl la solution du prol<l> me de <laucliy pom unc equation differenlielle 
lineaire se ramene a la resolution dune equation de N'olterra. Supposons, 
en effet, qu'on vcuille determiner lintegrale de I'equation lineaire 






Oi-T) 



cl"-^ z 



a„-i(x 



/( .r ), 



jui est nulle. ainsi que ses (n — \} premieres derivees, pour x = j^-q ( p!0- 



I. — KQUATIONS IM tr.RAI.KS I.INKAIRKS A LIMITES VARIABLES. 3)1 

bleme aiiquel on pent tonjours ramener le probleme yt-neral ile Cauchy ). Si 

,. , . .. . , (l"Z 

I on prend pour inconnue la <leiivee —. — =^ '■;( J"), on a 

I -= : / {X — s)"-^-z( S \ ds, 

I -, = ; / (X'~ S)"-/'-^Z,iS)aS I p = I, 2, .... 71 — I), 

' (Iff (/<—/»— I ll / • ' 

et la fonction o(t) est determinee par une equation de Volterra, dont le 
noyau Ki x, y) a precisenient la forme (17), <»u X = i. II est aise d'en 
deduiie le rt'sultat du paragraphe precedent. En effet, on salt que la solu- 
ti<in du |)roljlenie de Cauchv est donnee par la formule 

- = / fis)g(x, s)ds, 

g(3',s) etant la fonction de Cauchy pour Icquation lineaire D(cj = o; 
par suite, on a. dapre? les proprieles de cette fonction g{x, s), 

d"z r'' d" f:{x. s) ., . ,, 

'?(:r^= — =J^^ —-^--—f(s)ds-f,x)^ 

ce qui est bien d accord avec le resiiltat obtenu direclement. Lorsque 
lequation D(;;) = o admet une equation adjointe, on pent aussi trouver 
1 integrale z{x) elle-nicme au nioven dune cqualioii de \ olterra (voir Exer- 
cice 1). 

(»n voir par la que la resolution de I'equation integrale (i) se presente 
comme une fren«>ralisalion etendue du problerne de Cauchy pour une equa- 
tion diderenlielle lineaire. Supposons le noyau \^(x. y) developpable sui- 
vant les puissance* de ./• — y. I^s coefficients etant des fonctions de x 

K( X. y) = ai)( X )^- aii X ){x — y )-^ ■ • ■— ; — (-^ ~ 7 )"' -*-•••', 

en limitanl la serie a ses n premieis leimes, on pent faire correspondre a 
ce noyau particulier une equation diflerentielle lineaire dordre n, D,j(2) = o, 
et la resolution du problerne de Cauchy pour cette equation diiVerentielle 
lineaire conduit tout naturellen)ent, lorsqu'on fait croitre n indefiniment. 
a lequation integrale de Volterra. 

Hemnrqite. — I/artifice par lequel on a ramene une equation dilTeren- 
lielle lineaire a une equation integrale s'applique a lequation plus generale 



d"z d"-iz 

(16) ■ 



— a„{ X \ — — . . .^ Un \( x)z 

Ix" f/./"-' ' 



I /.„ (X. s)z(s) ds —...■- I; J, Cr, s) ^ ds -^f(x) 






33a 



ciiuinu: \\\. 



en supposant p^n. Pour determiner I'iiitegrale de celte equation integro- 
different it' He qui est nulle. aiiisi que se? in — i) premieres derivees 

pourj* = .rQ, prenons encore pour inconnue la denvee -y-j- = ©(a*). 

I.'emploi des formules (•.>-5), combine nvec la relation de I>iriclilel 

/ h(r,s)ds I {s — t)i'a(t) df = I o(t)dt j /i( x, s){s — t)i' ds, 

donne immediatement una equation integrale de la forme (i) pour deter- 
miner o(t ). Si Ton avait p > n, en prenant de meme pour inconnue auxi- 

liaire la derivee n''"'« . " , on serait conduit a une equation integrale de 

premiere espece (voir n" 534). 

532. Extension aux fonctions de plusieurs variables. — La me- 
ihode siiivie pour resoudre I'equallon (i) s elend imrnedlaleiiienl 
a requation integrale siiivanle, oil la fonction inconnue '^{oc^ j') 
depend de deux variables x^ y^ 

(ly) o{T,y)=^\ I I K{x,, y\^,-r,)^(\,r,)d\dr,^f(x,y), 

el aussi a Tequalion un pen plus generale 



f^(x,y}= A 



(■28) 



f f K(x,y;^,,r,)o{lr,)dldr, 

H- f K,{x,y- i)^{ly)d\ 
»- 

^ / ^^i{^,y\-n)'^{^.-r>)d-t\\^f(x.y)\ 



K, K.,, Ko, / sonl des fonctions donnces, continues tians Ic do- 
maine D defini par les inegaliles 

oiy = b, n< J < -r n< V < 






o^ ; i ar, 



■or- 



On pent toujours. comnie dans le cas de I'equation (i), trouver 
line solution fornieile dt; lefjualion (28), representee par une 
serie entiere en ) dont tons les coefficients sont des fonctions 
continues des variables (x,, y) se calculant par voie de recurrence 
au mojen de cettc equation elle-meme. Pour demontrer que la 
serie ainsi ohlenue est uniforinemenl convergenle, designons 
par M une liniile superieure des valeurs absolues de Ky K,, K2 
dans le domaine D, par N une limite superieure de |/(-2^;JK)|5 6t 



I. — EQUATIONS INTKGIIVLES LINEAIRES A LIMITES VARIABLES. 333 

considerons I'equalion auxiliaire 



(29) 



\ '-0 •- J 



En formant de inenie la solution foiinelle de I'equalion (29), 
representee par une serie enlicre en A, il est clair que le coeffi- 
cient dune puissance qtielconque de A, dans celle nouvelle serie, 
sera une fonction doniinanle j)our le coeflicient correspondant de 
la premiere serie. II nous suffira done de prouver que ['equation 
inlegrale (29) admel une solution qui est representee par une serie 
entiere en X, uniformenient convergenle lorsque le point (.r, y'}, 
resle dans le domaine considere. Or. si I'on pose 



■(^, JK) = j I 'M?i ■r\)d'!id-ri. 



I'equation integrale (29) est remplacee par I'equation aux derivees 
partielles 

(3o) = XM — + — -^« +N; 

Ox Oy \ox Oy I 

on a demontre deja (n" 494) que I'iutegrale u(^x^y\ }.) de I'equa- 
lion (3o), (pii est nulle pour ^ = o, quel que soit jk, el poury = o, 
quel que soil jc, est representee par une serie entiere en X unifor- 

du du , , . , 

mement convergenle, ainsi que — . —, lorsque le point [x, y) 

reste dans le domaine D. 

II en est done de memo, d'apres I'equation (00), de , c'est- 

' ' ^ ' dx Oy 

a-dire de la fonction cliercliee <lj[x^y). 

On pent aller plus loin el oblenir, pour la solution, une formule 
explicitc, analogue a la formule (i3). 11 suffil, en effel, d'une 
application repetee de la fornmle de Dirichlet pour verifier de 
proclie en proche que le coefficient de A" dans la serie qui repic- 
senle la solution est de la forme (voir Excrcicc 2) 

{ f Gn(x,y; lr,)/(l ■r,)d\dr, 
•-"o •- 

^/ Sn{x,y\\)f{\,y)d\-\-\ g'n{x,y\r,)f{x,ri)dr„ 



334 nivi'iTin: \\\. 

G„, i;„, g\i uc ilcpcndiiiii (|iie ile K, K.,, K^. I.a fonclioii Z){.r. ^^^ 
a done |)(>iir expression 



(f ^.7-, J- 1 =y"(.r. V I — >. 



(3i) 



|1 • 

-+- / ri(./'. r: ^ A)/i;, J')*/? 

» 

-I- / r.:( .r. )•; t,, X\/', .r, r, ) <//, ; 
' J 



les Irols fonclions F. I",. To. (|iii >oiil enlioies par rapport an jtara- 
melre A, jouenl le nieme role que le nojau resolvanl. Reinarquons 
seulemenl que. si K) el K^ sonl mils, il en est de nieme de F, el 
de 1\,. 

On e>l cnndiiil a uiie cqualioii iiilt^grale dc la forme (281 en cherchant 
une integrale de reqiiation aux deiivees partielles 



dxdy L ^-^ "X 



<■( X. y 



—/(^f,y) 



s'annulant sue le* deux caracteiistiques ,r = o. r = o. Si lOn |)iend en 

effet pour inconnue aiixiliaire la derivee seconde o(:r, v) = - — -— de I'in- 
' 'ox ay 

tegrale chercliee. celte fonction 0(37, y) salisfait a leqiialion integrale 

'j{x,y) = l f I c(x,y)o(lr,)di^dr, 

^1 b(x,y)'f(';,y)d'r^ I a(x,y)'^(x.r,)drA-i-f(x,y), 

qui est un cas paiticulier de lequation (iS). 

Loi:«que les coefficienls a(x, y), b{x, y) admeltent des derivees par- 

... . Oa ()b . . . . , . 

tielles continues — > — j on peut aussi determiner la lonclion z(x, y) par 

une equation de la nieme forme. II est clair, en elfet, qu'on peut rem- 
placer I'cquation Cii) par I'equation integro-dilTerentielle ( n" /i94) 

z{x,y) ^'t. I / U( I r,)z(/r, rj -+- a( ^ rj ^ - 6( :, Tj ^ d; dr, 
• • I- ' ' ^^i \ 

^ I I /';) fjd-dr^ 



I. — KOLATIOXS l\Ti;uiUl.i:S I.INKAIKKS A MMITKS VAUtAIJI.KS. 335 

qu'on lamene a la forme (tS) an moyen de fleiix integrations par parties, 

+ r a(x,ri)z{T,ri)dr,^ f bi^, y)z{l y) d^, 
+ r f /(lr,)d^rdr,. 

oo3. Inversion des integrales definies. — On appelle equation 
cic Volterra de premiere espece I'equalion 

(33) / K{x, s }'.:^(s) ds =f(x), 

• 

R (cT, y) el fix) etant des tonctions donnees el '•^{x) la fonction 
inconnue; nous prenons zero pour limite inferieure de I'integrale, 
au lieu d'une constanle qnelconque, uniquenienl pour fixer les 
idees. T;indis que, |)Our resoudre une equation de seconde espece, 
on a suppose seulement que les fonctions K(.r,y) elf{x) etaienl 
continues (ians un iulervalle [a, b)^ nous aurons hesoin de faire 
d'aulrcs hv|)0llieses dans I'elude de Tequahon (33). Pourse rendre 
coniple do leur necessite, il suflit de considerer Tequalion la plus 
sinqile du ce type, obtenue en I'aisant K(.r, y) ■= i, 

(3.i; / oisjds =f(x). 

Si la fonction inconnue co(^) est supposee seulement bornee et 
integrable, le probleme n'est pas determine, car on pent changer 
arbitrairement la valeur de o{x) en un nombre fini qnelconque 
de points dans 1 intervalle d integration el menie en une infinite 
de points, pour\u (pi on puisse les renfermer dans un nombre fini 
d'inlervalles dont la soninie soil plus petite que tout nombre 
donne e, sans changer la valeur de linlegrale (1, n" 74). D'autre 
part, fix) ne pent pas etre une fonction continue qnelconque, 
mais elle doit satisfaire a certaines conditions ou figurent les 
nombres derives. Pour preciser le probleme, nous supposerons 
toujours dans ce qui va suivre, a moins de mention expresse. que 
la fonction cherchee '^{x) doit etre continue dans I'intervaile ou 



33G ciiAPiTnK x\x. 

lOn \oiil hi tk'lormincr. INuir inic rriinalion (34) adiiulte niie 
solution clans linlervalle (o, a), il (aul alors que /{jf) soil nul 
nour .r = o el aclmclle une deriv^e continue clans le meme inter- 
valle, el la solution chercliee est (o{x) =/'(x'). Prenons encore 
lequalion plus <;»'ncr;ile 

|>oui' (jue celte c^f|ualion adnietle une solution continue ^(^), il 
faul que /(x") admelte des derivces continues f\x\ f"{x)^ • • • ■> 
/^"^(x) et que la foiiction el ses (n — i) premieres derivees soient 
nulles pour .?•:=(). Si ces conditions sont satisfaites, Tequa- 
tion (.>;")) a une solution continue 'z>(x) = J'^"' {x). 

o5i. Equation de premiere espece. — Keprenons I'eq nation 
generale tic preniit-rc espece (33); nous supposerons, dans ce para- 
graphe, (pie le novau K(.r, j') et loutes les derivces parlielies. qui 
figurent dans le calcul, sont continues. 11 est evident tout d'abord 
cpie la condition f{o) = o est necessaire pour que lequalion (33) 
admelte une solution continue <o(x).De plus, si le noyau K.[x,y) 
adniet une derivee continue K'j.(x, y), le premier membra de 
celte ecpiation (33) admel aussi une derivee continue; il faul done 
cpi'il en soil de meme def^x). Si celle condition est satisfaite, en 
egalanl les derivees des deux membres, on oblieiil la nouvelle 
equation 

(36) K(x, x)'i(x)-i- I K'j.{x, s)^{s)ds =f'{x)\ 

inversemenl loule solution de celle equation (36) verifie aussi 
I'equation (33), puisque les deux membres sont nuls pour .r = o, 
el que leurs derivees sonl identicjues. L'equalion (36) est une 
eauation de Vollerra de seconde espece, a laquelle on peul appli- 
quer la methode generale du n°ol8 pourvu que K.(o, o) ne soil pas 
nul. Si K(^, X ) ne sannule pas dans un inlervalle (o, A), compris 
dans linlervalle (o, a), on a vu cjue I't^quation (36) admellail une 
solution continue et une seule dans eel inlervalle (o, A), ce qui 
conduit au iheoreme suivanl : 

Si Ion a K( o, o) ^ o, /(o) = o, et si les J'onclions /(x). 



I. — EQUATIONS INTEGR.VLKS UNEAIRES A LIMITES VAIUABLES. 337 

K{x, y), ddmettent des derivees f'{x), K.'j.(a7, y)^ continues 
dans an inlcrvallc (o, A), compris dans LintevKalle (o, a), a 
V inLerieur diiqnel K(j7, x) ne s'a/inale pas^ V equation (33) 
adniet une solution continue et une seule dans cet inter- 
vaUe{o, h) ('). 

Si Iv( o, o) = o, on ne [)eiil |)lus ap|ili(]uer a ['equation (36) le 
ix'sullal dn n" 548. Mais si K(vr, x) est nnl idenliquemcnt. Teqiia- 
tion (3(5) est encore line equation de premiere espece, qu'on 
peul trailer comme la pren)iere, pourvu que ¥^[x,y) admelte une 
derivee seconde continue K^.i(a7, j"). Pour (pie celte equation (36) 
ait une solution continue, il faudra quey'(o) = o, et en outre, que 
f'{x) ait une derivee continue /"(jc). Si ces conditions sont satis- 
failes, on pourra aussi remplacer I'equation (36) par I'equation 
olitenue en dillerenliant les deux inemlires 

(3;) K'j.{x, x)^{x)-^- I lCa(ar, s)cp(5) f/5 =/"(a?), 

(pii est line equation de seconde espece pourvii que K^(o,o) ne 
soil pas nul. Si K'^.(^, x) est identiquement nul, on recommencera 
la meme operation, et ainsi de suite. On est done conduit a former 
la suite des derivees successives par rapport a :r du noyau K(.r, y) 
jusqu'a ce qu'on arrive a une derivee K'^"'^(x, y) qui ne soil 
pas idcnlifpieinent nulie pour x=^y. Pour que I'equation (33) 
admelte une solution continue, il faudra (jiie f{x) admelte des 
derivees continues /'(;r), f''(x), . . ., f'P~^^(x) qui soient toutes 
nulles pour x = o. S'il en est ainsi, les (p — i) premieres equa- 
tions obtenues en derivant les deux membres de (33) sont verifiees 

pour J7 = o. Si la derivee - — j est aussi continue, f^P^{x) doit aussi 

elre conliniie el, en diHerentianl une fois de plus, on est conduit 
a lequation 

i ''—l—>o(s)ds=f^i>'(x), 

(jui est une equation de seconde es|)ece, [)0iir\ u <pie R'^~"(o,o) ne 
soil pas nul. Celte ('qiuition (38) admet une solution continue et une 

(' ) Ce iheoremc a etc etabli pour la premiere fois par Le Holx, These de doc- 
Loral {Annates de I'L'cole normale, 189'i, p. 19-22). 

G.. III. 22 



338 



ciiAi'iriu: \x\. 



soulc : en romoiilanl tic |)roclic cii pioclic, on elaljliia (luCllf xerifie 
Ionics los C(|niili(tns inlcriiKMliairos c\ riMjnalion (.i.)) ell<'-in«'nic. 

Eremple. — Supposons que le noyau K(.r, s) soil la function de 
Oaucliy g{j-, s) relative a une equation lineaire D(5) = o, c'est-ii-dire 
I'integrale de celte equation qui est nulle, ainsi que ses n — i premieres 
derivecs par rapport a .r, pour x = s. (H dont la derivee d'onlre n — i est 
egale a iin pour .r = 5. 

Pour que lequation 



(39) 



/ .^(a:, s ) cp ( s ) (is =fi X ) 



admette une solution continue, il faudra, d'apres ce qui precede, que la 
fonclion /(.r) el ses n — i premieres derivees soienl nuiles pour x = a, el 
quey "'( J"l soil continue; la fonclion inconnue o{x) est alors donnee par 
I'equation de seconde espece obtenue en dilTereniiant n fois 



Soil 






d" z r d" - ' 5 "I 



le premier membrc de I'equation lineaire proposee; on a vu plus haul 

Ct " ^ { X 9 ) 
( n" 330) que — ^ ' ' etait le noyau resolvant de I'equation de seconde 
dx'^ 

espece oii le noyau est 



Ki .r, s) = ao(x)-{- Oi(x ) 



a„.i(x) 



(x — *)«- 

(«-!)'• 



pour la valeurX = i du paranietre. Inversement, d'apres la remaique de 

la page 829, — K(j:, s) est le noyau resolvant pour I'l-quation de seconde 

d" "^ 
espece de noyau -7-^ > en supposant toujours /. = 1. La solution de 

I'equation (40) a done pour expression 

'ii x)=f'" (x)— I \a(,(x)-^ ai(x)(x — s)^. . . 

-^a,,-,(x)'-jj^-2-^y'Hs)ds, 

c'esl-a-dire z(x)= D[fix)] (cf. II, n"^OI). 

Lorsque K(o, 0)= o, sans que K(x, x) soil identiqnemcnt niil, 
la melhode precedente nest plus applicable. Un cas assez elendu 



I. — EQUATIONS IXTKGR.VLES LIXEAIRES A LIMITES VARIABLES. 339 

a etc Iraili- par MM. Volterra et Holmgren, puis par M. Lilesco, 
au luojen dun mecanisme d'approximalions successives. Je ren- 
verrai le lecleiir au Memoire de M. Lalesco. 

On peul encore ramener lequation (33; a une equation de seconde 
espece au moyen d'une integration par parties. Representons la fonction 

cherchee •■i(x) par -j-j el prenons k(o)=o. De ['equation (33) on deduit, 

en integrant par parties. 

(40 K(x,x)u{x) — / K'Jx,s)u{s)ds=:f(cc); 

c'est encore une equation de seconde espece pourvu que K(o, o) ne soil 

pas nul. Si Ic noyau K(x,s) est identiqiienient nul ainsi que ses n — i pre- 

.. J, . . " . I .- ■ . 0"-'K . 

mieres derivees par rapport a s pour s = x. sans que la derivee ^^_^ soit 

nulle pour x ^= s = o, on ramenera encore lequation (33) a une equation 
de seconde espece en representant o(x) par la derivee n"'"" d'une fonc- 
tion auxiliaire u(x), sannulant, ainsi que ses n — i premieres derivees, 
pour X = o. On peut aussi employer la methode des approximations suc- 
cessives ( E. PicARD, Coniptes rendus, t. 139, p. 242; •904)- 

000. Equation d'Abel generalisee. — Dans le paragraphe prece- 
dent, on a employe une ou plusieurs dilT'erentlalions pour passer 
de I'equation de premiere espece (33) a I'equation (36) ou(38). 
Vojons quel serait lefTet de I'operation inverse appliquee a la 
meme equation (33). D une facon generale, pour inlegrer n fois 
successivement entre les limiies o et x, il suffit de remplacer dans 

les deux luembres x par f, de multiplier par 



(x — ty^-^ 



et d'inte- 



{n — i)\ 

grer ensuile par rapport a t entre les limites o et j? (II, n" 380); 
on obtient la nouvelle equation 

/ (x — t)"-^ df f Ki /, sj'^i s)ds= I /(()(x— t)"-^ dt, 

Jo J,} ' Jo 

qu'on peut ecrire. en a[)pliquant la formule de Diriclilel, 
(42) I o(s)ds i li{t,s){x — t)"-^dt\z= I f{t)(x — i)''-^dl. 
C'est encore une equation de premiere espi'-ce donl le noyau est 

Ki(x,s)= I (.v — t)"-'l\(t,s)d(; 



34o ciiAi'iruE \\\. 

cr novaii osl mil. ainsi (ine S(\s (U'tIvocs pailielles, par raji|)ort 
!i ./•, iusqua la [n — i)'*""', jiour *■ = .r. Pour resoiulrc celte i''(|iia- 
lion (4-^) p;n' rapport a '■s(x), il faudrail, conformemcnl a la mc- 
ihode generale, diflerenlier les deux membres au moins n -i- i fois. 
L'arlillce u'esl douc d'aucunc ulilile loi'sque le nojau }L(x^y) est 
conlinu. C'esl au contraire eel artifice, ronvenaljlement inodlfi^, 
tpii perniet de resoudre Tequation dAbel griierallsec (I, n" i37) 



(43) 



G(.r. s 



I r:,i s) ds = f(.r), 



G(j:', s) elanl une fouclion coiiliuuc cpii iiCst pas ideiillquement 
nulle |»our .s" = .r, et a iiii nonihre posilil inferieur ;i runile. La 
Iransforinalioii precedenle n'exigeanl pas que n soil un nombre 
entier posilif, appliquons-la a Tequation (43) en prenant /j = a ; 
autrement dit, rempiarons dans celte equation x par /, niuUi- 
plions les deux membres par (\r — ^)°'~' et inle<;i"ons enlre les 
liniiles o et x. Nous sommes conduits a la nouvelle equation 

dt 



/^i-a' 



(44i / ■:.{s)ds\ I ; — = / <t)- 

c'esl encore une equation de premiere espcce dont le noyau est 

/••'■ G(t,s)df 

KiiT, S) = I ; 

Ce nojau ne devient plus infini pour x = s, car si Ion pose 

f = S -i-( X — s)z, 



on a aussi 



Kj ( .r, s ) 



-f 



G[s -^(x — s)z, x]dz 



il n'est j»as nul non j)lus identiquemcnl pour jc = 5. On pent done 
lui appliquer la metliode geneiale j)Ourvu que G( o, o) ne soil pas 
nul et que la fouclion G soil derivable par rapport a x. En difle- 
reniianl les deux membres de I'equation (44) par rapport a x, on 
oblient Trquation de [jremiere espece 



.uj; 



Y {T-jY (\ — 'X )(j{ X, x)'-j(x) 

r'oK,(.r,s) 

— / '■:,{ s ) ds = 

.L ox ■ ' 



iy^^)Ty^^^ 



I. — EQIATIONS INTEiiliAI.ES LINKAIRES A I.I.MITES VAIUABLES. 



:)|I 



Inversemcnl. toule solution '■-'{x) de celle e(|iiation (4^) satisfalt 
aussi a l"c([iiali(jii ( 'jS), car la diflerence 

satisfail a requalioii 

r'' h{t)dt 



(46) 



O'-* 



d'aprcs la facon nieme dont on a dednit la relalion (44) de la rela- 
tion (4>>)- Appliquons a celte equation le meme precede, c'est- 
a-dire multi|>lions par (5 — x)~"*, et integrons de o a5;un nouveau 

changement dans lordre des integrations donne / hit) dt =zo, 

et par suite, /i = o. 

Dans le cas particulier de lequation d'Ahel, on a G= i, et par 

suite, K, = r(a)r(i — a) = . '" _ ; Tequation (44) ^st done 



/*"',, sina- /'' 

(4:) / ois)ds= — — / /(, 



dt 



(X — <)i-a 



(48) 



< )n en lire imniediatement 
sin a— 



^M) 



dx 



f\f(f) 



dt 



(X — t)^-^ 



la derivec sc calcule facilement par una transformation dont on 
s'est deja servi dans le cas particulier ou a ^ - (I, n"* 100 et 137), 
et Ion Irouve 

<49) .(.)^_iL-r4^-^ r^Afi^i, 

Pour unc etude plus complete des equations integrates a une 
ou plusieurs limites variables, je lenverrai le lecteur a I'Ouvrage 
recent de M. Volterra, Lecons sur les equations integrales et les 
equations integro-differentielles^ '91 3- 0° pourra consulter 
aussi le Livre de ^J. Lalesco et la These recente de M. Browne ('). 
Nous n'etudierons dans la suite qu'une equation a limiles fixes, 
parlicuiierement importante a cause de ses nombreuses applica- 
tions a 1 Analvse et a la Phvsique mathematique. 



(' ) Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse, ii)i3. 



34a (HMMTUK \\\. 

II. — EQl ATIONS INTKGHALES LINEAIRES A LIMITES FIXES. 

ooO. Hypotheses sur le noyau. — Nous sii|)|)Oserons lout (rabord 
que le novau K ( ./'. i) osl borne clans le doniaine D liniite par les 
droites jr = a, xz=b,y^^a, y^b {a<cb), el c|ue tons les 
points de disconlinuile, s'il en exisle, sent dislribues sur un nombre 
/ini de lignes, qui peuvent elre de deux series. Les unes, dites 
Ugnes de discontinuite de la premiere sorte, ne sonl rencon- 
irees qu'en un nombre fini de points par une parallele a I'un des 
axes. Les lii^nes de la deuxieme sorte sonl des seffmenls de droiles 
]>aralleles a 1 un des axes. L n noyau est de la ))reniicre sorte ou 
continu presrjite pd/touf ( '), s'il nadincl que des lignes de dis- 
continuite de la premiere sorte; il est de la deuxieme sorle sil 
admet des lignes de disconlinuile de la deuxieme sorle. II esl clair 
qu'un noyau qui n'a qu'un nombre fini de points de discontinuite 
est de la premiere sorte. 

Soil X = Xq une ligne de disconlinuile de la deuxieme sorle; 
nous supposerons que K{xo-r- 1, y) a des limiles K{xo± o, y) 
lorsque |£| tend vers zero; ces deux fonclions sonl inlegrables 
jniisque R(a:o+-» }') est bornee et inlegrable. Nous suppose- 
rons de plus que K(j:'o, y) est aussi inlegrable, et nous ferons 
les memes bypolheses sur les lignes de disconlinuile paralleles 
a Ox. II est clair qu'un noyau \L(x,y) satisfaisant aux conditions 
precedentes est inlegrable, soil par rapport a Tensemble des deux 
variables, soil par rapport a chacune delles prise separement. 

Considerons d'abord un noyau K{x,y) de la premiere sorte, et 
soil /'(\r) une fonclion inlegrable dans Tintervalle («, b), bornee 

ou non. mais telle que / \/(s)\ds ail une valeur finie. La fonc- 
lion 

F(j-)= / K(x,s)f(s)ds 
^ It 

est continue dans / interKCille (a. b). Nous supposerons, pour 
simplifier, que le noyau Kfa?, y) a un seul point de disconlinuiteyo 

(') HeYWOOD et l-RIXHET, p. 'i. 



II. — EQUATIONS INTEGRALES LINEAIRES A I.IMITES FIXES. 343 

sur la droite x = jto : nous pou\ons ecrire 

F(ar) — F(ro)= f''[KiT,s)~K(xo, s)]fis)ds-i- f ' -^ C , 

yi et >'o etant compris entre a el y^^ y^ et respeclivement. 
Soil M line limite superieure de 'K|; on a d'abord 



iX': 



K(x, s)— K{xo, s)[f(s) ds 



<2 






I 5)1 ds. 



Clioisissons yt et y-, assez voisins de y^ pour que le second 

membre soil inferieur k^; yi el y2 etant choisis de cette facon, on 

peut troiiver un nombre r, tel que |K.(a7, y) — R(.ro, y) \ soil infe- 
rieur a un nombre positif arbitraire, pourvu que |x — aro| soit -<*/l, 
quel que soil y dans les intervalles (a, J'«), (j>'25 ^) (' )? et ion en 
deduil facilement que la fonclion F(jr) est continue. On demon- 

Irera lout pareillement que / \s.{s^ y)f[s) ds est une fonclion 

continue de v dans I'intervalle (a, b). 

Soient Ys.(x,y) et K,(.r, >) deux noyaux de la premiere sorte. 
La fane t ion 

(5o) ¥(x,y)= I )\{x, s)]s.i( s, y) ds 

est une fonction continue des variables x^y. dans le domaineT). 
Prenons, en effet, deux points voisins {Xi^^ jKo)? '-^^i? jKi ) dans ce 
domaine; on peut ecrire 



F(a",, y, I— F(a?o.>'o;= j K(ari, s)[K,(5, j, ) — K,(5, jko)] 



ds 



f 



Ki(s, ro)tK(x,, 5) — K(a:o, s)] ds. 



et Ion demonlrera, comme tout a 1 heure, que le second membre 
lend vers zero lorsque x^ — ^o et r< — yo tendent vers zero. 

Les resultats sont un peu (lifFerenls avec un noyau de la deuxieme sorte. 



( ' ) Pour la demonstration rigoiireuse. voir Exercice 3. 



34 i cuM'irni; \x\. 

Si K(.r, )■) adniet comme ligncs de (lisconliiuiite certains segments do 
paialleles a O^', la fonction 

F(.r)= / K(.r. s)/(s)iis 

est encore continue |>our.r = .ry, si le noyau n'admel qu'un nombre fini <lc 
points de discont inuile snr la droile .r = x^. Mais, si cetle droile est une 
ligne de discnniinuiti', on ;i 

F{Xo^i)—F(Xo)= I [K{Xo-^t, s}—K(xo, s)]fis)ds; 
* ti 

par suite, en faisatU lendre c vers zero, il vient 

F(>-o-t- o )— l^.ro I = / [K{xo — o.s)—K(xo,s)]/(s)ds; 

la fonction F( j-) adniet done, en goneral, le point x^ pour point dediscon- 
tinuite de premiere e«pece. 

Solent de meme ii.(x, y), Ki(.r, y) deux noyaux dent I'un au moins 
admel des lignes de discontinuite de la deuxieme sorte. La fonction F{x,y) 
representee par la foimule (5o) est encore continue en tout point (^O)^o) 
qui nappartient a aucune des lignes de discontinuite de cette espece des 
deux noyaux. Supposons ensuite que la ligne x = Xq soil une ligne de 
discontinuite pour le noyau K(x, y) par exemple; nous avons 

F(xo-r-i, y )--F(xo,y)= / Ki(s, y)]K(xo + i, s)~K{xo, s)[ ds 

'J n 



el le second membre a pour limile 

K,(s, j)JK(5ro-l-o. 5) — K(a-o, s)\ ds. 



f 



c'esl-a-dire une foncli(jn de^qui n'a qu'un nombre fini de discontinuites 
dans I'iniervalle (a, b) d'apres Tetude qui vient d'etre faile. En resume, la 
fonction F(x, y) ne peut avoir comme lignes de discontinuite, dans le 
domaine D, que les lignes de discontinuite de la deuxieme sorte de I'un 
des noyaux K(x,y), Ki(x,y). 

557. Resolution par approximations successives. — La melhode 
d'approxiinaliuns successives eni[)loyee jjour resondre I'equation 
de \\>llerra ( i) s'etend immediatcment a requation de Fredliolm 

- r' 

(5i) o(x)=-K I K( X, s)z(s ) ds -h/(x), 

'^11 

ou le noyau Kix.j) el la (ancUon fix) salisfonl aux condilions 



II. — EQ(.VTION.S IMKliRAI.ES I.INK.VIKKS A LIMITES FIXES. 3j5 

qui viennenl d'etre expliqiiees. Mais, au lieu dune serie toujours 
(■onvergente, on est conduit en general a une serie enliere en A 
a\ant un rayon de convergence /m/. Nous etiidierons en detail, 
dans le Cliapitre suivant, les |)ro|>ri(''tcs de la fuiiclion analytique 
du parainelre A qui s'inlroduit ualiirellement dans ce calcul. Pour 
lo moment, nous sup[)oserons que la valeur al)soIue de A est infe- 
rieure au rayon de convergence de la serie. 

11 y a un grand interet pour les a|)plications a ne pas se limiter 
au cas ou le noyau K(a;, y) el la fonction /(.r) sont conlinus. 
C'esl pour cela que nous avons pris tout de suite des hypotheses 
un pen |)lus generales, (pie nous serons encore obliges d'elargir 
par la suite. L equation de V olterra (i) est un cas particulier de 
I'equation (5i)qu'on obtient en suj:)posant que le noyau K(x^y) 
est nul pour j' > jr. Tons les resultals qui ont ete etablis pour 
I'equation fi) ne sont que des cas particuiiers des resultats plus 
generaux qui vont suivre, et tous les theoremes qu'on va demon- 
trer s'a[)pliqiient a I'equation de Volterra, en tenant compte, bien 
entendu, de la forme particuliere du noyau. 

On pent encore obtenir une solution formelle de I'equation (5i) 
representee par une serie entiere en a, 

(52) ':f(x) — cpo(.r) -^- A-f; , f a- ) -^ . . . -f- A« 'f„ (' a: ) -^. . . 

dont les coefhcienls sont determines de proche en proche par la 
relation de recurrence 

(53) 'j^(x)= / K(x, s)c,n-i(s)ds (n>o) 

avec ■^^( x) =/( x). Toules ces fonctions '-iwlJc) sont bornees et 
integrables a partir de o,{x), et meme continues, si }L(x^y) n'a 
que des lignes de discontinuite de la premiere sorle. Ces coeffi- 
cients c2n(T) admettent respectivement pour fonctions dominantes 
les coefficients (l>„{x) de la serie 

(52)' <P(x) = *o(3:") -^ A^iC-r) -H. . .-+- }."<Pn(^) -I-. . . 

qu'on obtient en cherchant une solution formelle de Tequation 
auxiliaire 

(5i/ «l>(ar) = >. / yi'P( s) ds -hF(x), 



3J6 



CIIAI'ITHK \\X. 



ou M est line liinitc suprrieurc de |lv(:r, y)\, et F(.r) uiie fonc- 
lion integrable el dominanlo |)Our /(.t"), par exemple |/(a:)|. 
Tonle solution de celle equalion atixiliaire est evidommenl de la 
foiine F(a:) -t- C, el la constanle C se delermlnc par snbslitulion 
dircclc. On Irouve ainsi epic Toqualion (5i)' adniel la sohitioii 



*(>)= F(t) 



XM f F(s)ds 
I — A M ib — a) 



<pii esl developpable en serie de la furine (02)', pourvu (pie la 
valeur ile a verifie la eondilion 



04) 



\M< 



Mi it — a ) 



La serie (Si) sera done elle-meme uniformement convergente si 
le paranielre ), satisfait a eelle eondilion el. par suite, la somme ••:>(x) 
est bien une soiulion de I'equation |)roposee. On demonlrera 
eomme an n" 5-48 que cest la seule solution, si A satisfait a la con- 
dition (54). Si le noyau est continu presque parlout, la fone- 
lion o{x) presente les meines discontinuites quey(a:) dans I'inter- 
valle (a, b). 

008. Noyaux iteres. — Des formules qui donnent z>i(x)elzi2{x) 
.1, ^b 

(5,{t)= / Vl{X, s)f{,s)ds, C.,(X)=: I K{x , t) o^{t) dt , 

«• (I '-■ It 

on tire, en remplarant x par / dans la premiere, porlanl la valeur 
obtenue pour »i(<) dans la seconde, et intervertissant I'ordre des 
integrations ('), une nouvelle expression de 'o^i^x), 



en posant 



cp2(.r)= j K<2 (:r, s)/(s)ds, 
K'2'(a7, s)= / h.{T, t)K( t, s)dt. 



(') II est clair que celte operation est legitime avec les hypotheses qui ont et<5 
faites sur le noyau, mais elle peut I'etre avec des hypotheses plus elenducs, et 
toutes les consequences qu'on en deduit s'appliquenl encore. 



II. — EQUATIONS INTEGRALES LINEAIHES A LIMITES FIXES. 347 

On verra de nieinc (jue '^3{-v) a pour expression 

.03{x)= I K^-^>{t, s)/(s)ds 
en posant 

Nous somnies ainsi conduils [voir n'' oi9) a introdulre une suite 
indefinie de noyaux 

qui se deduisent tous du premier au inoyen de la forinule de recur- 
rence 

(55) K(«)0,7)= j K(x, t)K^"-^'it,j)df, 

ce sont les noyaux iteres successifs de K(^, y\ lis sent tous 
bornes dans le domaine D, et continus dans ce domaine si K(a7, y') 
est presque partout conlinu. D'une facon generale, ils sont con- 
tinus en tout point non situe sur une ligne de disconlinuite de la 
deuxierae sorte de R(^, y). De la definition de ces noyaux on 
deduit aisement un certain nombre de proprietes qui seront utiles 
dans la suite. Ainsi, on voit de proche en proclie que K^"^(.27,y) 
pent s'ecrire 

'-' II '-It '-■ II 

el Ton en deduil, par un simple changement dans I'ordre des inte- 
grations, qu'on a, quels que soient les entiers positifs a et v, 






(56) K'!^+v)(a;, 7)= / K'V-^{x, l)K(^Ht,y)dt, 

'J It 

et il serai t facile de generaliser encore celte derniere formule. Par 
exemple, K(-!^^(.r, y), K'3S^'(j:, }), . . , se deduisent par des ite- 
rations successives de K^l^^(jc, y) ('). 



( ' ) Dans le cas pailiculier de I'equation de Vollerra, oil K {x,y) = o pour y>x, 
il est clair que tous les noyaux ileres successifs sont nuls aussi, pour y^ x, c\. la 
relation de recurrence (55 ) se reduit a la relation (ii). La resolvante T{x, y;\) 
est nulle clle-memc pour y > ar, et les equations fonctionnelles etablies plus 
bas (6o) et (fji) se reduisent aux equations (i5) el (iG) du n" 5i9. 



34>> niMMTui; \\x. 

,')oO. Noyau r^solvant. — On \t'ri(ie aisenienl de proche en 

pniche qui' 1<^ ((M^nicionl ^^(^r) tie A" clans la scrie (oa) a pour 
expression 

r" 

(37) 9„(r)=/ K""(.r, 5)/(s)rf5; 

''■II 

en elVel. la fortnule elant supposoe exacte pour cp,j(j:), on a, 
d'apr«"s la relation de recurrence (5.^), 

cp,,^,^.7i= / Ki'.r. /)'^„( / i<// = / / K{.r, t)K"Ut, s)f{s)dsdt, 

>- II «^ rl «- (I 

c'esl-a-dire 

'i„+,(r)= ^ /(5)K"'+"(r. sW5. 

Cela etant, considerons la serie 

(58) r(T, r\ ).)= K(.r. rl-i-).K'2'(J-, r)-+-.. .-!->>"-' K «'(>, jk)-+- 

D'aprrs la loi de tornialion des coeflicienls, si M est une limite 
superieurede |K(j?, jk)|, |K "'(a?, y)\ sera < M"{b — a)""' en lout 
point de D: la serie (58) esl done iiniformement convergenle ( ') 

(') M. E. Schmidt a fait connaitre une limite inferieure du rayon de conver- 
gence de la serie (58). qui esl plus grande que la limite (54). La nielhode de 
M. Schmidt est fondee sur linegalite de Schwarz (I, p. 2^3), 

(A) f f(x)i(a:)cia:\ a f p(a:)dxx f f-{x)dx, 

qu'on oblienl en ecrivaut que la forme ((uadratique en a. 'i, 

f [a/(x)^?-f(.r)]V/x 

"a 

est une forme definie et qui s'etend evidemment aux integrales multiples, pourvu 
que le champ d'integration soit le m6me dans les trois integrales. Appliquons 
lioegalite de Schwarz a la formule qui donne le n'*"' noyau itere K(")(a?, y); on 
en dtl-duit 



K " f /■, V r- f [K'"-''(<. >')]=rf/x j [K(x, O]- 



rft 



et. par suit' 



f r'[K"(x. y)ydx dyi f" f ' [^ ""' ( ^ .^ ) V^r ^^ 

X I I [W{x. t)Ydxdl. 

•-It "- II 



II. — KQIATIONS INTtGRALES LIXKAIRES A LIMITES FIXES. 3 JQ 

dans ce doinaine, si le paranielre ), satisfail a la condition (54)- 
Par suite, on peul inlegrer terme a lenne (n" oAd) la serie qui 
donne le developpenient du pi'oduil r^x, s; '/.)f(s), et la for- 
mule (52) qui donne la solulion de Tequation integiale prend la 
forme 

(59) o(ar)=f(x)-h\ I r(x, s; l)f(s) ds. 

La lonction 1 (.2^, y, X) s'appelle encore la resohante ou le 
noyau vesolvant pour I'equation (5i), et la Ibrmule (Sp) donne 
une veritable solution explicite de Fequalion intrgrale an nioyen de 
la resolvante. Mais celte formule (^9) nest etablie que pour des 
valeurs du parametre dont le module est infeiieur a une certaine 
limile, car la serie (58) n'esl plus en general une fonction entiere 

L'applicaliun repelee ile cetle dernierc furiniile conduit a I'iiiegaliLc 
(B) f f [K>Hx,y)Y-dxclyi^ f f [li{x, y)y dx c/yi . 



ti "- (I 



On a, d'aulre part, d'apres la formule (56) ct les relations analogues. 

^b pb 
K'") {X. y) = I I K{x, s) K "-= ( .t, t)K{ t, y ) ds dt 
• (I '- (I 

et, par suite, en appliiiuaiiL I'inegalite de Schwarz aux integrales doubles, 

rxb pb pb pb 

(C) \\v"'){x,y)Yk f I [Kf'"--'(s,i)Vdsdt>c f j {K(x,s)K{t, y)Y-dsdt. 

En rapprocliant les int-gaiites (B) et (C), il vient cnlin 

[K"){x,y)f1,\ f f \K{x.y)Vdxdy\ 
.A, ^b 

•- a ^ It 

ce qu'on peut encore ecrire 

n—i 

|K(")(a;,j-)|SL^~v'N, 



en posant 

. // ^b 



pll pU pU pi) 

L= I I [W{x, y )]-dx dy, N = / [ K ( x, * )]■ ds x j [ K ( /, y )]■ 



dt. 



La serie (58) est done unil'ormemenl convergcntc dans tout le domaine D, 

pourvu que la valeur absolue de A soit inferieure a -^• 

S J' 



35o 



CllAPITRK \XX. 



de X, coinme dans le cas de I'^qualion de Volterra. Elle admel, an 
roiilraire. un ravon de convergence llni, si le noyau K(.r, y) est 
(jucKonque. de sorle (jue la lonnnle (op) ne resoul (|iie parlielle- 
inenl le jn'ohlcnie. La soliilioii lOMiplt'le sera exj)osee dans le Gha- 
pitre suivanl. II existe cepcndanL des nojaux, aulies que celui de 
Volierra, pour lesqiiels la forniule (5()) donne la solution de I'equa- 
lion integrale quelle que soil la valeur deX. Tel esl le cas d'un nojau 
orthogonal a li/i-meme, c'esi-a-dlio tel que le noyau ]ii''^^(x, y) 
soil idenliquemenl nul. Tons les autres nojaux ileres sonl nuls 
aussi, el le novau lesolvanl se reduil a K(x, i) ('). 

Supposons que A verifie la relation (54), oii. |)lus generalemenl, 
que la serie (58) soil uniforrncmenl convergente dans D pour la 
valeur allribuee a ce parametre. La fonclion r(^, y, X) satisfail 
aux deux equations fonctionnelles 



(60) 



(61) 



r(-r, j; A) = K{x,y)^l 



r(ar, j^-; A) = K(:r, 7)-+- A / K(t, yjYix, t: I) dt 



> f K(:r, 



t}V{t,y,\)dt, 



La premiere, par exemple, se denioulre en remplacant x par t 
dans la formule (58), puis en multiplianl les deux membres 
par K(:c, t) ol integrant ternie a terme enlre les limites n el b; la 
seconde s'etablil de la menie fagon. Ges relations j)ermellenl aise- 
menl de verifier que la fonction '^{x), representee par la for- 
mule (09), satisfail a I'equation integrale (5i), el de plus, que c'est 
la seule solution, en supposanl toujours que la serie (58) est con- 
vergente pour la valeur de X consideree. Le calcul se faisant de la 
meme facon dans les deux cas, nous deniontrerons seulement la 
seconde partie. 

(') Si les liinilcs a et b sont o ct ~, Ic noyau 

-I- 00 
K {x^ y) r=z 2^<2„ sinnx cosny, 



la serie S|a,J etant convergente, est orthogonal k lui-mdme. Pour le noyau 

K(x, 7) = a, sinj: sin 27 -;- a, sin 2 x siniy -{-...-- a ^ sin px sin {p + i)y, 
la r^solvante r{x, y: a) esl un polynome de degre /> — i en a. 



II. — EQUATIONS INriioilVLI-S MNEAIRKS A LIMITES FIXES. 35 1 

Soil Zfi^x) line solution tie rc(|nalion (5i). On deduit de celte 
etjiialion 

r'' r'' 

I Vt X. s; 'k)'i(s) ds = I Yi X, s :'/,)/( s ) ds 

-;-)./ / K(s, t)V(x, s; '/.)-^i' t) dt ds. 

Oil, en tciuuil coinple de la forniiile (6i), 

I Vix, s; '/.)-i{s ) ds = I V(x, s\ '/.)f{s) ds 



■I 



o(7 )[rf.r, t; '/.) — K(x, f )] dt, 



c"esl-a-dire 

/ r{x, s; '/.)f(s) ds = I K(x, f)'^(t)dt. 

En comblnant celte egalile avec leqiialion (5i) elle-meme, on 
relrouve bien la formula (09) et nous verifions ainsi ce resultat 
deja obtenu d'une autre facon : pourvu que la valeur absolue 
de Ksoit assez petite^ V equation (5i) adinel une solution et une 
seule, qui est donnee par la foiniule (og). 

En perinuiant les variables x el y dans le novau Kfj;, y\ on 
oblient uii iiouveau novau K( i', x)^ en general distinct du premier. 
L'equation de Fredholm correspondante 

(62) <l(a:) = ). / K{s, X )-l(S} ds -\- gix) 

est dite associee a 1 equation (oi). On voil aussittjt que les noyaux 
deduits de K(y, x) par iteration se deduisent aussi des novaux. 
iteres de meme rang R'"^(.r, )) en permutant x ely^ de sorte que 
la resolvante relative a l'equation (62) est precisement r(y, x\ \). 
La conclusion est la meme que pour l'equation (5i); si la valeur 
absolue de a est assez petite, l'equation (62) adniet une solution 
et une seule qui est representee par la forniule 



(63) 



i]j(^x } = g{x ) ~^K I V(s, x; X),g-(s) ds. 



35 



CllAlMTRi: \X\. 



Dans Ic cas parliciilier d'line equation do \olterin. le novau K(^, a-) est 
nul |iour )' <; T, et I'oqiiation associee esl line autre ('(jiiation de \'olteri a 

<ii(x) = fi'(x) -h ). I K[s, x)<ii{s) c/s. 



oOO. Proprietes des noyaux resolvants. — On dt-veloppc- 
nient (58) du noAaii it'sol\ant on (Kdiiil encore d'aulres pro- 
jirietes ini|iortaiilcs cle cclte fonclion. La denionslralion suppose 
que Ic module de A esl inferienr an rayon de convergence, mais 
ces propiit'tes, d'aprt'S leiir nature nieme, subsislenL dans loul le 
domaine d'exislence de la fonclion analvtique V(x,y, A) du para- 
nielre A. Soil Y„(x, y: a) le nojau resolvanl pour Tequalion de 
Fredholin ou Ton aurail pris Iv"'^(.r, y) conime novau; d'apres 
une remarque anlerieure, on a 

r„(x. )-:>>)= k "'{X, j-)-^\K'-^"'(x, r)'+-. . .— li'-^K^P"Ucr, j) -f- 

Celle fonclion r„(^, y; A) s'exprime Ires simplemenl au moyen 
de r(^, }•; ").). Multiplions, en elTet, les deux inembres de la for- 

mule (58) par), el reni[)lacon.s-v successivenienl A par (o"a, to-) ^ 

to"~'X, to designanl une racine priniilive de recjualion to" = i. 

En ajoutant niembre a nienibre les relalions ainsi oblenues, il 
resle, toules reduclions faites, 

nl"Ynia-,y; X") = \[r{x,y: X)-i- ior{x, y: toX) -h. . . 

-^ to"- ' r ( r , 7 ; to" - ' A j ]^ 
1 
et par suite, en reniplagant ). par A", 

, Vn(T, y; X) 

(64) < ri^. .r; X"/ + wry a-, r; ojX") — . . .— (o"-' r( r, >•; (o"->x«/ 



Inversenient, on peul deduire r(x,y, a) de V„(jCj y; A). Nous 
avons, en effet, 

.0 

K<''(ar, s)r„(s,y; l)ds= K^"-^' (x, y) -hlK^-''->-'>(x, y) 



£ 



et, par consequent, on pent encore ecrire la formule (58), en 



II. — EQUATIONS INTEGRALES LI.NEAIRES A LIMITES FIXES. 

groiipant les tennes de n en n a parlir dn /j'""""^ 

r(.r, j; X) = K(^, j)-i- XK'2'(.r, y) -\- . ..^-X«-2K<"- "(a?, ^) 

-KX"-ir„(.r, J-; X")-T-X« \ K(.r, 5;r„(5, ^; X«)rfs 

-H X2"-2 1 K "-''(^, 5)r„(5, J'; X" ) f/s, 
«- (/ 

ou encore 

I r(x, 7; X)= Il(a:, jk; X)-^X«-'r„(a^, jk; X") 

-f- X" / H ( x, s ; A ) r„ ( 5, jK ; X") a'5, 



353 



(65) 



en posant 

(66) H(x, jk; X) = K(:r, jK) + XK'2'(37, jKj+...-t-X"-2Kt«-"(a7,j'). 

Voici line autre propriele importanle dont la demonstration est 
bien facile. Considerons la fonclion Y{^x^y\ A) comme iin nojau, 
el appli(|uons-lui le meme procede d'iteration; nous obtenons une 
suite de fonclions, dont la premiere r^''(.r, y\ a) = r(.r, y\ A), 
el que nous designerons par une notation analogue 

r'2)(a7, j^; X), V^'^\x,y\\), ..., r^"^x, y; I), ...; 

ces fonctions se calculent de proche en proche par la relation de 
recurrence 

r'' 

r"''(ar, 7; X) = / r(a7, 5; X)r("-i'(5, jk; X)rf5. 



On verifie aisement de proche en proche, d'apres cette loi de 
recurrence el les expressions des nojaux ileres successifs, qu'on a 



et, dune /aeon generale, 



I^""(^, 7; '^) 



d'^-^r 



{n — i)\ c^X''-i 



Le developpemenl de la fonclion V (x, y; AH- [j.) suivanl les puis- 
sances de X par la formule de Tajlor a done la forme suivanle 



(67) 



\ T(x,y; X+ ja) = V(x,y; ^) ^aV'^(x, y; ;^)-i-... 
I -f-X«-ir("'(ar, j; |jl) -+-...; 

G , III. 23 



354 



nivPiTni: \\\. 



par consequent. \/ /"<>/? ronsidere r(x, y; u) coninie Ic noyrui 
d' une equation de F/ed/iolm, a ayant une valeur detrrminee, 
le noyau resofvant correspondanl est precisement Y{x. v; a + a). 
Ceci pennet de generalise!- les relations fonclionnelles (60) et (61) 
(jiii no -M^ni (|ue ilcs cas |(artirnlieis ile la relation yenerale 



r'' 

C681 Yi.r, r; ). H- 'x) = r(.r, 7-; a) -H >■ / r(^. t ; 'i 



\Y{ t, y\ A -f- \i.) dt: 



en snpposanl u =: o. on relroii\e la forniule (60). En renipla- 
canl A par — A et ijl par A, on oblienl la forniule (61). Gette for- 
mule (68) peul encore s'ecrire, June facon plus svmelri(|ue, en 
remplacaut u par A et A par /.' — A, 



. Y\'t^')—T(x, y\ '/.) — {): —'k) I l'(.r. (; '/.)V(t, j; '/.')de, 



(69) r(x 



et il siiffit de faire lendie a' \ers a pour ohtenir une relation 
intoijro-diflerentielle 



(70; 



dViT, r: A) 



-f" 



r(.r, t\ 'i.)\'(t, y\ '/.)df 



qui. joinle a la condition V{x, y; o) = ls.(x, y), caraclerise le 
novau resolvant, car, si Ton cherche a developper T siiivant les 
puissances de ). en tenant comple de ces deux relations, on relrouve 
precisement le developpement (58). 

Uemarcjue I. — Les forinules (oi) el (5g) peuvent elrc consi- 
derees conime inverses I'une de rauire. En effet, regardons dans la 
relation (09), 'f(^) conime donnee el f{x) comine linconnue, et 
ecrivons-la sous une forme uu |)eu plus generalc, 

(71J /(x) = <»Cx)-H [i. / V(x, s; '/.)fi s)ds. 

C est une equation de F'redholm doiit le noyau est I (x, j)'; a). 
La resolvanle est, comme on vient de le demonlrer, V[x^y\ A + \x) 
et pour la valeur a := — A du |)arametre, cetle resolvante se reduit 
a r(j7, y; o) = Fv(j;, y). La formule qui donne la solution de 
requatioD (09) est done identique a I'equalion (5i). 

Bemarqup II. — Lrs fotniules (68) et (69) ne sont demontrees 



II. — EQUATIONS inte(;rali:s limcaiuks a limites fixes. 355 

par ce qui precede que si ies modules de A, /.', 'x sonl assez petits. 
Mais le.s deux membres etant des fonclions aiialjti(pie5 de ces 
pjiramelres, il est clair que I'egalile suhsisle dans tout le domaine 
d'e\i>«lence de la resolvanle. Ohseivous encore que ces relations 
sont inde|)endanles du novau priniitil K.(j?, y). Toute fonc- 
tion r(Xj >', a) satisfaisant a ces relations permettra d'ecrire 
explicilement la solulioii diini" iiilinile d'eqiialions integrales. II 
sutfira de donner au paiainelre une valeiir particuliere Aq telle que 
T(x,y, A) soit holomorphe dans le voisinage, et de prendre pour 
noyau r{x,r; Aq). La resolvanle correspondante esir(.r,y; AoH-).). 

361. Noyaux non bornes. — Dans Ies applications Ies plus 
imporlanles, on est conduit a des equations integrales oil le nojau 
ne resle pas borne, lout en clant inlegral)le. Si le procede d'approxi- 
nialions successives employe plus liant(n"o57) conduit a des fonc- 
lions '^^(.r) ajant une valenr finie, Ies lormnles (Sa) el (09) nous 
donnent encore une solution formelle de Tequation integrale. Cetle 
solution formelle est acceptable dans le cas Ires etendu on Ies 
noyaiix dediiits de K(.r, y") par des iterations successives reslent 
bornes a partirde rund'enx, lv'"^(.r, >') par exeinple. La serie(58) 
presenle alors au debut un certain nombre de lermes qui peuvent 
devenir infinis, mais a partir du lerme en A""' lous Ies coeflicients 
reslent bornes. La serie forniee par ces termes est encore unifor- 
mement convergenle pourvu que |a| soit inlerieur a une certaine 
limile. Soit, en elFet, M une limite superieure de |K("^(.2:, jk)| ; on 
voit immediatement que la serie formee par Ies lermes pris de n 
en fi a |)arlir de A" ' K^'"(;r, y) est unlformement convergenle 
pourvu qu(! \1(6 — a)|A"| soit inlerieur a Tunite, el il en est de 
meme des dilTerentes series obtenues en |)renant Ies lermes de n 
en nsL partir de A" K'"+'^ (j7,jk), • • •, A-"~-K.*-""'^(j7, jk)- Les raison- 
nemenls des numeros precedents s'appliquent done encore et la 
formule (5g) donne la solulioii de I'equalion inlegrale pourvu 
que |"a| soil assez petit. Toiiles les proprietes du nojau resolvant 
qui decoulent du dt'veloppemenl en serie (58) s'a|»p]iqiienl encore 
dans le cas plus etendu d un noyau non borne, poui\u que celle 
serie ail un rayon de convergence difterent de zero; c'esL ce qui a 
lieu, nous venons de le voir, lorsqne lous les novaux iteres sont 
bornes a parlir d'un certain rang. 



3 5G 



CIIAIMTUI-. \\X. 



On peiU |>ron\ or dircclemenl (|ii(' la resolution dc I'lujuallon i^o i ) 
se raniene a la rrxdnlion dune t(|ualion do inenn> espece donl le 
noyan esl K'"\jr,j-). De la relation (5i) on lire, en ellel, 

)./• / K /'(J-, 5)0(5) f/s= X/'^' / K'/'+<'(r, A-)(f(s)</5 

-f- )v/' / K'/''(:f, s)/(.v) </s, 

/) elanl nn noniljre enticr posilif. Ajoulons a I't'cpialion (oi) toules 
les relations obtenues en faisant /j =1 i , 2, . . . , /? — i ; il resle 

r'' 

-H /(_a-)-i-X / K(x,s)f(s)ds-^...-\-'k"-i K^"-^>{x,s)f{s)ds', 



de sorle que 'f(:r) est nne solution de la nouvelle equation (ji)'- 
Inversemenl, soit 'f(a) une solution de I'equalion (5i)'; cetle 
fonetion '-^{^x) salisfait aussi a I'equation 

o(a:)— A ^ K(x, s)'^(s) ds—f{x)=l" I K^"U x, s)[o{s)— f(s)] ds 
•- 1 1 '^11 

— X"+i C K("+''(,r, 5)0(5) rfs, 

qui sen deduil par une conibinaison facile, et qiron pent ecriie 

4'(^)= A" / K'" (x, s)<li(s)ds, 

en designant par '^■j{oc) le premier niemhre de la relation prece- 
dente. Or, celte derniere equation nadmet pas d'autre solution 
que 'l[x)^o, pourvu que |a| soit assez petit; la fonetion o(x) 
solution de Tequation (5i)' satisfait done aussi a i'equation (5c). 
Le lecteur verifiera aisement I'idenlitedes solutions des deux equa- 
tions (5i) et (5ij' donnees par les forniules generales, en tenant 
comple de la relation (65j entre les resolvantcs r(x, y^ A) 

Le cas le plus interessant pour les applications est celui d'un 

G(x. V) 1 , , I - > 17 

noyau -. =^j dont le numerateur reste borne et ou I exposant a 



II. — EQUATIONS I.Nrii(jR\Li;S LINKAIRES A LIMITES FIXES. Sjy 

esl posit if et ////<?/7'e///- <> un, de facon que lintegiale 



/ K( ^, s)f[s) ds 



ail line valeiir finie en general; le nombre a est dit V exposanl de 
ce noyau. Etanl donnes deux novanx de celle espece, \ — 

et ; — ' — -7T . dexposanls a et 3 resnecliveineiit, le novau 

|.r — y\? ' ' ' • ' •' 

(72) F a-, r)= / ; f—, ^ a A- 

est un noyau d'exposant a + 3 — i au plus. Supposons, pour 
fixer les idees, x <iy, et soient M et M, deux limites superieures 
de |G| el |G,| respectivement. En posant s =^ x -\- t{y — :r), il 
est clair fju'on a 

el I'integrale du second meaihre a une valeiir fmie, pourvu 
que a + ^ — i soil posilif. Si Ion avail a + ^ ■< 1 , on voit aisemenl 
que F(.r, y) est borne, en partageant I'inlegrale en trois aulres 
ajant pour limites ( «, ^), ( J7, y) et (jv", b). Si a + ^ = i , F(ar, y) 
devient, en general, inlinie poury = x, comme log|.r — y\. 

Si les fonclions G(x, y), Gi(ar, y) sonl continues en dehors de la bissec- 
tricejK ^=x^ le noyau V{x,y) est lui-meme continu dans le voisinage de 
tout point (a^o, J'o) non situe sur la bissectrice. L'integrale (7'.?), consideree 
comme fonction des deux variables (\r, j'jest, en effet, uniformement con- 
vergente dans le voisinage du systeme de valeurs x = Xq-, y = j>'o (n" oO-i). 
Plus goneralement. si G(a7, ^'), Gi(a7, y') sont conlinus presque partout, 
les raisonnemenis du n" 536 montrent sans peine que F(:r, y) est con- 
tinu en lout point non situe sur la bissectrice. Si lune des fonctions G, 
Gi admel pourlignede discontinuites un segment de droite parallele a I'un 
des axes, F(ar, y) admettra aussi eii general celte ligne de discontinuites. 

Soil R(.r, j^) un noyau de la forme precedenle el d'expo- 
sant a << i ; les noyaiix i teres success ifs K<-) (j;, j'), K<^'(j::, y), ..., 
K'/''(x, y) sonl, d apres eel a, dexposanls aux plus egaux a '^a — i , 
3a — 2, . . . , /?a — { p — i), l*our que R Z'+'^i^jj;, y) soil un noyau 

borne, il suflil cpidn ail (^/> + i)a<</>, ou /> >> Parmi les 



I 



358 (HAITI in: x\\. 

novaiix (Ii'hIiiiIs dii Udvau ildimc piir dcs ilcial ions. // /I'y <i done 
t/if'(f/i iionihre /ini dr noynti.v /ion liornrs. I) iiuc laron plus 

, ■ , . . . , 5t 

precise : SI nt est Ic firrniwr /lontO/c cnlicr sn/ic/icnr ct , 

' ' ' I — a 

/(' ni'''""' noyau iter*' /i'cs( /iliis in fini pour .r =_>'. 

Remanjucs. — i'" Si un noyau K(.r, )-) dovienl inlini pour x=y 
comme logja* — y\, Ic luoduil \x — y\^K(.T, y ) est bonie quel que soit le 

nombre posilif a. En prciiant a = -> par exeniple, on voii que le premier 

noyau itere reste fini pour >■ = x. 

"x" On peul aussi avoir a eludier des equations de Volteira donl le 
noyau devicnt infini pour ^' = x: cc noyau esl de la forme 

... G(.r. V) 
K(x, y ) = r^ 

pour T < .r, el mil pour y > x. Les resultats precedents sonl appUcables, 
mais les novaux ileres successifs sonl encore nuls poury^x; on arrivera 
done au bout d'un nombre fini d'ileralions a un noyau de Vollerra borne. 
Supposons, par exemple, que le premier noyau itere K'2'(a\ ^) soit borne. 
L'equation de Volteria 

(73) o(j-) = A / ^ ^' ^ ^ 'z,(s)ds ^ fix) 

'It 

se ramene a une equation a noyau borne 

^(x) = l'^ f K'-^^(x, s)<B(s)ds-^f{x)-^\ I K{x, s)/(s)ds, 

'^'11 '- a 

donl la solution verifie aussi l'equation (78). car l'equation 

i,(x) = '/.- I K-{x,s)'l(s)ds 
• II 

n'adiiiet pas d'auli e solution que 'i< = o ( n° 5-48). 

3" La solution de l'equation (5i), exposce dan-^ les paragraphes prece- 
dents, s'applique aussi a des noyaux non bornes dont il est impossible de 
deduire un noyau borne par un nombre fini diterations. Prenons, par 

11^7-, V) 
exemple, le novau Kix. y)= -, -r-' le numeraleur U(x, y) elant 

' ' -^ ' \x — c|* \ ' ./ / 

borne et a elant un exposanl positif inferieiir a I' unite; c est compris 
dans rintervalle (a, b). II est clair que tons les noyaux ileres successifs 
de Kix^ y) sent infinis pour :r = c. Cependant la solution formelle des 
n"' o37-358 conserve un sens et s'applique sans modifications. Consideroiis, 
en effel. la suite des fonclions W'"Hx^ y) deduites de \{{x, y) au moyen 



II. — EOIATIONS INTKGRAI.ES LINEAIUES A LIMITES FIXES. 359 

(le la ftdiiuilo (ie locurrence 

Toutcs ces fonclions sont bornees et Ton verifie de proche en proche que 
Ton a ]H"' j < .M"/i"-', en designanl par h Ie nombre 



et par M iine liinite superieure de |ll(^:r,^j|. F'osons 

T{x,y:l)= ' JH(.r.j')-^AH(2 (^,j/)-f-...^-X«-iH(«)(r.jK)4-...|, 

\x c I 

la serie qui forme le numerateur du second membre est uniformement 

converirenle pourvu que |a| soit inferieur a -rrry et Ton verifie encore que 
^ ^ ' ' mh 

T{x, y\ /) satisfait aux relations fonctionnelles (Go) et (6i) du noyau 

resolvant. La fonction V(x. y; X) permettra done de resoudre Ics deux 

equations associees 

^ , ^ r'' H(j;, 5) , , , 
<f(x)=f(x)-^ A I ,^_^ ,^ o(s)ds, 

/^ \i( s x) 

pourvu que |). | soit sufflsamment petit. Par exemple, si Ton a 

K(x,y)=i/^ (a = o, b = i), 

tous les noyaux iteres successifs sont egaux au premier et la resolvante 

/Y I 
r- • Dans ce cas particulier, la formule (Sg) donne la 

solution de Icquation integrale correspondante pourvu que A soit diffe- 
rent de I'unite. II est clair que le resultat serait le meme pour un noyau 

K(x, J) 



\x — c, «. .. . \X — C„\^v 



lorsque tons les exposants aj, a^, ..., -Xfj sont inferieurs a Tunilc. le nu- 
merateur U( X, y) etant borne. 

."162. Systemes d'equations int^grales. — On pourrait developper une 
nielhode d'approximations tout a fait pareille pour un systeme d'equations 



36o 
int«*£;raIos 



CIIVIMTHK x\\. 



(74) o,(jr) = X / ^K,/,{.r,s)'i,,(s),h-hfi{x) ( / = i , '. n) 



oil Ion suppose, pour fixer les idties, a = o, b = i. Mais M. Fredholm a 
raiuene, d'une facon ties elegante, la resolution rle ee sysieme a la resolu- 
tion d'une equation unique, dont le noyau presente des lignes de disconli- 
nuile parailcles aux axes de coordonnees, ce qui justifie la consideration 
de noyaux de celle espece dans les numcros precedents. II introduit a cet 
elTet un noyau H(\r, ^') defini pour les valeurs de xely, comprises entre o 
el n, par les n^ conditions 



(■-'}) H t r. y) = K,/,( T — i ^ I , r 



/ i — \ <T < i 
' // — I <y</t 



i et /( elant des nombres entiers qui varienl de i ;i n, et une autre fonc- 
lion Fix) definie dans lintervalle (o, n) par les n conditions 



(76) 



F(.r)=/i{T ^ i -t- I) 



poui 



' — • < J" < t ; 



il est clair que les droites x = i, 1, ...,/« — i , y = 1 , ■>., . . . . n — 1 sont, 
en general, des lignes de disconlinuite |jour li(x,y). Solent (fi(a'), ..., 
»„(jr) un systeme de solutions des equations ("4); a I'aide de ces n fonc- 
tions, on pent definir une fonction auxiliaire ^(x) dans I'inlervalle ( n, n) 
par les n conditions 

(77) ^{x) = '-Siix — t'-f-i) pour / — I < ^ < I. 

Des equations (71) on tire, en supposant .r coni|)ris entre i — i et /, 

rf,(x — i -h I) =^X ^ / K,7, {x — ' -f- I , ."; — /' -{- i)o/i{s — /i -h \) ds 

-T-/i( X — i -hi). 
ce qu'on pent encore ecrire. d'apres les formuies (76) et (77), 

(78) ^(x)=). I U(x, s)<iy[s) ds -hF(x). 

Inversement, connaissant une solution de I'equation (78;, les rela- 
tions (76) el (^77) pernietlent d'en deduire un systeme de solutions des 
equations ( yi ). 

563. Extension aux fonctions de plusieurs variables. — L'exlen- 
sion de la llit'orie precedenle aux equalions iiilegrales de la forme 

(79^ o{x,y)=''J j ^(^,r;'z-r,)-f(-,r.)d'^dr,-i- /(x,y) 



II. — KQIATIONS INTEGHALES LINEAIRES A MMITES FIXES. 36 1 

est immediate; le nojau K(x, y; ^, rj ) esi nne fonclion donnee 
des deux couples de variables (x, j), (;, rj) lorsqiie chacun des 
points (x, y), (^, y\) reste dans un domaine D du plan, /{x, y) 
est uiie fonclion coniuie et ^[x^y) la fonclion a determiner. Nous 
avons rencontre a propos de la methode de Neumann (n"o33) une 
equation integraie d'une forme iin peu plus generale, ou les inte- 
grations sont etendues a une surface fermee. Soit, en general, F(M) 
une fonction qui a une valeur determinee pour toute position du 
point M snr une surface 2, fermee ou non; nous dirons que F(M) 
est une fonction du point M definie sur S. On dira de meme 
quune fonction F(M,, Mo, . . ., M^) qui a une valeur determinee 

pour toutes les positions des points M,, Mo M^, sur S, est 

une fonction de ces p points deiinie sur S. Toute integrate mul- 
tiple (') 

f F( Ml, M., y^pjd-!, d7, . . . drs,„ 

ou di deslgne Telement de surface, et oii les points M/ decrivent -, 
a une valeur finie, si la fonction F est integrable par rapport a 
chaque couple de variables. 

Cela pose, soit K(M, ^V ) une fonction donnee des points M 
et M' sur i;, y"(M) une fonction connue de M, y'(M) une fonction 
inconnue. On peut encore trouver une solution formelle de I'equa- 
tion inlegralc 

(80) o(M) = X f K(M, iM')cp(M')<ia'+/(M), 

representee par une serie entiere ordonnee suivant les puissances 
de A 

(81) «)(M)=/fM)-t-X f r(M, M'; X)/(M')«?t', 

oh I'on a pose 

(8-2) r(M,M';Xj= K(M, M'j-^ X K'2'( M, M')^-. . .-+- X«-i K'«'(M, M')-+-. . . . 

Les coefficients K('^(M, M') se deduisentdu premier K "(M, M'), 
qu"on prend egal a K(M, M'), au moyen de la formulc de recur- 

(') (.)n Ocrit pour abreg(M- un seui signe / , le noiubre des inUgralions aelTec- 
luer etant indique par le nombre des facteurs rftr,. 



3f»7. tMAl'ITHK \\\. 

rence 

(83) K("'(M, >!')=/ KM. M,)K<"-i (M,, M')r/cr,; 

on W's ii|»|>flle encore Ics noyait.r itvn's si/ccfsst/s dii noyau 
lv(M, M'). et hi foiiclion r(M, M'; a) s\i|)|»c1I<' la rcsohutnte. Si 
le noyan KiM, VI') esl home, l;i serie (S'^) esl convergenle pourvn 
(]iie|A| soil assez pelil et reqnalion (Ho) admet line solution et 
une seule qui esl representee p.if la lormiile (8i). Les aiilres pro- 
prieles tie la resolvanle selendenl aussi a la fonelion F. II en est 
(le nienie pour nn noyan non home pourvn que les noyaux qu'on 
en tleduil par des iterations snccessives soienl homes a |)arlir dun 
certain rang. 

Le cas le plus inleressanl pour les applications est <;elui ou le 

noyan K(M, M') esl de la lornic - ^ ' g ' » G(M, M') elant une 

MM' 
fonclioii hornee siir -. el a nn expo^aiil posilif inferiein- a 2, de 
faron que les inlegrales qui ligiireul dans la solution piecedente 
aient des valeurs fiuies lorsque f{ M) esl hornee. D'uuc faeon gene- 
rale, soienl ^ el !— deux noyaux de celle espexe appartenant 

MM ^^' 

aux exposauis a el |ii respecliveuieni . Nons allons niontrer que le 
novau 

(8^) F,M.M',= rO(>'^)G^^>n^^. 

. 'v, MM,^M,M' 

esl un noyau de inruie espece appartenant a I'exposanl a -f- [ii — 2, 

a-(-^— 2 

c'esl-a-dire que le produil F(iM, M')MiVr resle home, lorscpie 

la distance MM' esl infinimenl petiie ( ' ). 

Supposons d'ahord que la surface I soil plane; en designant 
par s, p' les distances d'un point variahle P aux deux points 

fixes M. M', lout revient a demonlrer (lue rinl('<:rale / est 

iidinie coniine I -^-^, | lorsque M' lend vers M. SoitC le cercle 

de rayon 2 MM' decrit du point M |)(>ur eenire; il parlage i) en 



(') Cette meliiode est due a M. Iliidamard ' to//- lleywood ct I'reclict, \ole I). 



II. — KQUATIONS INTEGRAI.ES LINEAIRES A LIMITES FIXES. 363 

deiix portions, une parlie interieure S' el iine jjartie exlerieiire S". 
L'integrale eleiidiie a 1' osl comparable a / — —■> car le rap- 

[)ort — resle compris enlre - el - lorsqne P decril -', oti a Tinle- 

"Tale simple / j — en desi^nanl par K un nombre posllif 

assez grand pour rpie le cercle de ravon Pi el de cenlre M ren- 

lerme S\ Elle devienl done indnie coninie ( vfTfT ) ' lorsque 

MM' lend vers zero, si a -!- |j > 2 el coinme log(MM'), si a+ ^3 ^ 2. 
Quanl a rinlegi-ale elendue a Z', nne transformalion homolhetique, 
qui Iransforme le cercle C en un cercle Ci de rayon un, ayant 
pour cenlre le poini M, la ramene ei une inlegrale de meme forme 

/ J ■■ a— 3-2 

etendue a ce cercle C| multipliee par ( tttt; ) ' el la nouvelle 

inlegrale a une valeur finie independanle de MM'. 

La demonslralion s'elend immediatement a nne surface quel- 
conque S, si Ton peul lui faire correspondre point par point une 

surface plane I, de telle facon que le rapport yrrr, des distances de 

deux points correspondauts de li et de S resle compris entre deux 
limites positives^ ainsi que le rapport des elements correspondauts 
des deux surfaces. C'est ce qui a lieu pour une portion de surface 
reguliere si Ton peut la projeler sur le plan tangent en un de ses 
|)oints, de facon qu'en prenant ce plan tangent pour plan des xy, 
elle soil rej)resenlee par une equation de la forme z =:J(x, y), la 
fouction /{x, y) etant continue el admellant des derivees conti- 
nues du premier ordre. 

Considerons inaintenaul une surface quelconcpie S reguliere et 
un point M de cette surface. Decomposons S en deux parties S', S", 
la portion S' entourant le |)oinl M et satisfaisant a la condition pre- 
cedenle; M' etant un point inliniment voisin de M, nous pouvons 
le sujjposer a Tinlerieur dune courbe C entourant le point M, 
situee dans la region S', et n'ayant aucun point commun avec la 
frontiere de S'. II est clair que l'integrale (84) etendue a S' a une 
valeur finie et nou,s venons de voir que l'integrale etendue a S' est 

infinie comme \ rrm\ lors(iue la distance MM' est infiiiiment 

\M1M7 ' 

petite. 



3()'| CHAPITRF \\\. 

(Ida pose, si It' novaii K.(M, M') est infini comme ( tttt, ) 

lorsque M el M' sout ronlondiis (a<<2\ lo premier noyau 

ilere K -'(M, M) reslc lini pour MM'^o, si a csl inf(''riciir a iin 
el est (Tordre ix — x si a > i . (!)n voil coinine plus liaul ( ii" 561 ) 
(pi oil arrivera a iiii novaii home an hoiil iliiii noinhre (ini d'ilera- 

tions. Si x = I , le premier iiovau itere est inliiii comme log (MM'} 

el le second iiovan ilere esl hornt''. car le prodiiil y MM'log(MM') 
esl mil pour M NT = (». 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 



1. /equations lineaires {cf. n" 531). — Soil z(x) linlegrale de I'equa- 
lion lineaire (94) fjui est nulle ainsi que ses n — i premieres derivees 
pour X = To. Remplacons x par x dans les deux menibres de cetle equa- 

lion, inullinlions iiar '- r— et inteffrons entre les limites x^ et x. 

I /I — III 

II vient 



z(r 



^-V^\l [-o(^v;(. -.)"-. 



f/" ' ;: 



an-s(s){x — s)"-'^z(s) ds 



~ r / f( s){x — s)"-^ds. 

in — 1)1 J ^. 



line suite d'integrati<Mis par parties permet de la lainener ii une equa- 
tion do ^'olterra dont le noyau a pour expression 



U(x, s) 



( /( — I I ! / 



-a„-^(s}(x — s)" 



ds 



(— I)' 



[an-i(s)(x — s)'>-^\ 



ds" ^ 



[a,,{s){x -$)"-'}[. 



Ge noyau est un polynonie enlier en 5 de degre n — i ct, d'apres le n^ 550, 
la resolution de celte equation integrale se ramene a I'integration dune 
equation lineaire qui est precisement Toquation adjointe de D(z) = o. 

Comparer les deux solutions. 

2. \ erifier que le coefficient de )." dans le developpcment de la solution 
de I't'quation (28) (n" 5.-)2) esl de la forme indiquee au bas de la page 333, 
les fonctions 



CO.MPLKMENTS ICT EXERCICES. 365 

se calculant par voic de recurrence au iiio\en des fonnules 

gni^^y; = / ^\(^^ y; «)^«-i(«, j", b^'", 

-+- / K(x, y: u, Ti) ^„_ i( u, t, , f ) 6?i< 

•- I 
-+- Ko(x, y; i^)Gn~iix, i>] ^,ri)dv 

3. Note de la page 843. — Soil /(a:, j') uiie fonction des deux va- 
riables X, y, definie dans un domaine D, continue en tout point d'un seg- 
ment de droite AB paralleie a Or, situe a I'interieur de D, y compris les 
extremiies (a^o, ^0) et {xQ,yx). A tout nomhre positif t^ on pent associer 
un autre nombre r, [ne dependant que de e;, et tel que I'inegalite 
\x — :ro|<Tj entraine I'inegalite \f{x, y) — /{xq, y)\<i^, y ayant 
une valeur quelconque dans I' intervalle (jko, J'l)- 

Si la fonction fix^ y) n'a pas de points de discontinuile infiniment voi- 
sins du segment AB, ii suffit de prendre iin domaine 6, renfermant AB et 
ne contenant aucun point de discontinuite, et la propriete resulte imme- 
diatement de la continuite uniforme dey(a:, y) dans 3. Mais il pent se 
faire que /(.r, y) ait des points de discontinuite infiniment voisins de AB. 

Prenons, par exemple, f(x, jK) = ^sin— pour j' =?^ o el f{x, o) = o. La 

fonction est continue en tout point de Oj', et tous les points de Ox, sauf 
I'origine, sont des points de discontinuite. 

Sans faire aucune hypothese sur les points de discontinuite de /{x,y), 
supposons que la proposition nc soit pas exacte. En procedant par subdi- 
visions successivcs de I'intervalle (^oi^i) et en raisonnant comme on la 
deja fait plusieurs fois (I, n" 8), on demontre qu'il existe un nombre c de 
cet intervalle tel que le theoreme est inexact dans lintervalle 

(c — p, c -I- p), 

aussi petit que soit ic noiubre posilif p. Or, cela est incompatible avec 



3r»6 rii.vi'uni: \\\. 

rin poiln-se que la fonction csl coniiniio ;mi point (.ro, c). K\\ eflel, on 
pourrait alors Irouver tloux noaibies t, , t,". inoindres en valeiir absoliie 
qu'un nombre posilif r,. clioisi ai bitriiirement. tels qu'on ail 

|/(.ro— r,". c-ht/)— /(xo, ch-t/)| > e. 

Or. ceUe «lilTercnce peut s'ecriie 

/(Xo-!-r,^ c-^r/) — /(.ro, r- ) — f/(.r«, r) — /(x„, c -4- 7)')] 

et la valeiir ab^nlne Ac rliacuiie <los (litloionces est infeiieure a -> si 

•2 

Ion a t/' H- T,'* < /.'-'. ). lie <le|)en(lanl que de £. 

4. Ktudier I'equalion de premiere espece (33) en supiiosanl 

(.r — s)« 
K{x, s) = au{:F)~- ai(x){x — s ) ^ . . .-i- a„(x) j 

En posant 3(jr)=^ — j^ / (x — s)"<f(s) ds, on est conduit a une equa- 
tion diiFerentielle lineaire 

ilonl il faul trnuver une inlegrale qui soil nulla, ainsi que ses /i premieres 
derivees, pour x = o. La derivee (/i-i-i)'""' donne la fonction cher- 
chee o(x). [On suppose /(o) = o, la fonction /(ar) ayant une derivee 
continue, ainsi que les coefficients a,(a").] 

5. Equation de deuxienie espece a deux limites variables. — L'equa- 

tion intt'srale 

. ^.!>..-, 
o( :r^ = /! ./-j -!- A / K( X, s)^(s) ds., 

oil <lx et /li2 sont deux fonctions continues dans I'intervalle ( — 6, 6), et 
raoindres que b en valeur absolue, peut etre consideree comme un cas 
special de I'equalion de Fredliolm, oii le noyau K(a:, ^) est nul, lorsquej' 
n'esl pas com pris dans rintervalie ( '^i, <bi). Lorsque les valeurs absolues |'!/i | 
et l^^ij ne depassent pas \x\. la rcsolvanle est une fonction entiere de A 
comme dans le cas de I'equalion de V'olterra. II suffit de comparer I'equa- 
lion a une equation auxiliaire de la forme 

'P(x)='S -hi I M^Us)ds, 

qui admet la solution N<?"-'*'l'l. 

6. Resolution de V equation de premiere espece par approximations 



COMI'LKMENTS ET EXEUCICES. 867 

successiics. — On considerc I'tMiiialioii plus geneiale 

JK{s, s)'s,( s \ c/s -\-'k I \\\( X. s) — K( s. s)]o(s) ds = f[S), 
^ u 

et Ion cherclie une solution Ojimclle 

'^(x) = Ou^r) -u Xcp, ( x)-^ . . . -h X"cp„(j")-H .... 

En supposant K(<), o) ?^ o. on Irouvc une serie convergentc qui, pour /. = i , 
est identique a la solution de Volterra. 

On peut aussi appliquei" la nithne iniHiioiie dans le cas de I'equation 
d'Abel gcneralisee ( E. F'icabd, Cornptes rendus, t. 139, 25 juillet 1904). 

7. Equation de Volterra a plusieurs variables. — La resolution de 
I'equation de seconde es|)ece (^>S) peut se ramener a la resolution succes- 
sive de deux equations de la forme (i) et d'une equation de la forme (27). 
Ecrivons I'equation (28), en supposant )> ^i, 

•- 

Via?, y) designanl lensemble des aulres termes. Si Ion considere, dans 
cette equation, y cumme un [laranietre, on en tire 

9('^. 7) = V(ar, j-)-H / ^{x,y; u)\{a, y)du. 

S(a:", ^; U) etant une fonction connue. Cette nouvelle equation est de la 
forme 

f\ et H etant des fonctions connues. En designant par \\(x,y) le second 
membre, on tire encore de cette relation 

?(^^ y) = W(a:, jK)-h / ^{x,y\ v)V^{x, v) dv, 

T etant une fonction connue. Eiifin, en rem|jlacant W par son expression, 
on aboutit a une equation de la forme (27) (Voltekka, Lecoiis sur les 
equations integrales, p. 76). 



CHAIMTUE XXXI. 

L'figUATION HE FUEDilOL.M. 



LRS TUEOKKMES DE FREDHOLM. 



o6i. Aper^u d'une methode d induction. — On a remarque, 
dans I'elude des e(|iialions differenlielles (11, n" 392), que la pre- 
miere melhode de Cauchy, celle qui consiste a regarder une equa- 
lion diflerenlielle coinnie liniite d'une equation aux dillerences, 
permellait en general de definii- I'inlegrale dans un champ plus 
elendu que les autres melliodes dintegration. Elle se manifestail 
done a cet rgard comme la plus puissanle. C est en partaiU d'une 
idee analogue, deja utilisee par M. Volterra, que INI. Fredliolm a 
pu resoudre I'equalion integrale de seconde espece pour des 
valeurs quelconques du paramelre ).. Dans son Memoire fonda- 
menlal (Acta mathematical t. XXVII, 190.], p. 3G5), il a expos^ 
d'une facon synthetique les resullals trouves par induction, en 
verifiant que les expressions obtenues donnaient hien la solution 
du probienie. Nous suivrons une nietliode niixle, en utilisant le 
developpement deja obtenu de la resoKanie. 

Pour resoudre I'equalion de seconde espece 



(O 



'i(j")=/ / K{x, s)<if{s)ds-^f(x), 



oil le noyau Y%.(x. y) est suppose borne, remplacons I'integrale du 
second niembre par la somnie 



Ii[Kix, 5 J )Oi ^- Kf.r, .^2) 92 
oil Ton a pose, pour abreger, 
b- a 



K.(j", .s„)o„], 



h = 



a -i- ih , 'f, = o( s,) (1 = 1,1, 



n). 



I.. — LES TIlKOnEMES DE FREDHOI.M. 869 

L"e(|iialion (i) est ainsi remplacce par I'equalion fonclionnelle 

(1) o(TI = /iT)— I [K(X. Si)'Ji-^. . .-^ K(X, Sn)'fu\fl, 

qui pennel de (letenniiicr- -^,, -i^, .... '^,^. Si Ion fait, on eflel, 
successivement x = Sf, x = S-2' . . .. JC = s,i dans cetle equation, 
on obtlenl n relallons linealres en '^,, 'io. . . ., '^„, 

'J-, — A //[K(5|. 5, ) 'ii-4- W(Si, S.,) -i, — .. . H- Kr^i, 5„)o„] =/,, 
'^2 - A /' [ K( 52, 5i I 'ii -r- KfSo. S2 ) '^i -h . . , -T- K( S^, *«)?«] =/2» 



(3; 



/.A[K(.?„. .'Ji r^i— Hi's,,. 52)'f2H- ... 4- K(s,t, Su)'^n] =fn- 



Les expressions de '.i,, 'io, .... i,, deduites de ces equations se 
presenlent sous forme de fractions ajant pour deiiominateur 
comniun le determinant 



(4) Dn(>-^ 



I aK(S], Si)h X K(5i, A'2j/i 

— IKiSo, Si)h I — ). K ( 52., 52 ) h 



A K ^5^, 5i ) h — A K ('5„, 52; h 



— ). K(5i, 5,j)/l 

— > Kf^52, S„)ll 

— lK(s„, s,i)h 



le nunierateur de '^/ est de nienie un determinant d'ordre n, t)^^(^) 
qu il est inutile d ecrire. Supposons inaintenanl que les deux 
nombres n et i augnienlent indt'finiment de facon que si tende 
vers un nombre x compris cntre a el b. II est possible de 
deniontrer en toule ligueur que Y^ni'k) et D'^(a) ont pour limites 
deux fonclions entieresde A('). Mais nous ne considerons ce pro- 
cede (pie coninie un mojen d'induciion, el nous allons chercher 
seuleinent ce ([ue devient le determinant D„(a) lorsque a croit 
indefininient. 



060. Les fonctions D( /. i et D ( A j . — II est commode, [)our 

simplifier lecriture, d'emplojcr la notation abregee sui\ante, due 
aussi a M. Fredholm; etant donnes deux systernes de n variables 



(Ti. .r,, 



■ , ^n) 



et 



^rir }': 



ynh 



(') Cesl ce qu'a fait M. Hilbeit dans scs premiers Tiavaux sur ce sujet (Ersle 
MiCteifung, Goltingeii JSachi iciiten. i<)o'|). 

G., III. 24 



:i7o 

on pt)S«' 



ciivpirni: \x\i 



LKyi.VTloN hK FHEDIIOI.M. 






K(.r,, J, I K(j'2, )'••) •■• K(.rj,rH) 
K(.r„,.)-, ) K(x„,}\) ... \\[.i„,y„) 



I.I \;iriiil)le X, figure dans Ions Ics •'•Icmonts dv la Z"^'""' ligiic et dans 
ceiix-la senloincnJ, el la variable y/i dans tons les elements de 
la /•"•""• colonne el dans ceux-la senienienl. 11 s'ensuit (]iie si Ton 
jx'rniiile les variables (^x,-, x^) on les variables (j'/. J'a), Ic determi- 
nant change de signe; il ne change pas si Ton permute les deux 
couples de variables (j;,, j,) el (x^, yk)- On peut done ecrire les 
n couples de variables {xi,yi) dans un ordre arbitraire sans changer 

la \aleiirdu delerminanl. En parliciiiier, la fonction K( ' ^"' " ) 

est une fonction symelric|uc do x,, x->, . . . , x„. 

(Jela pose, imai;inons cpi'on developpe D„(').) suivant les puis- 
sances de )>; on ()l)lienl tons les lermes de degreyjeuX en prenant 
tons les determinants d'ordre p deduils de D^ en supprimant les 
lignes et les colonnes qui renferment n — p elements pris arbi- 
trairement dans la diagonale principale. Le coefficient de ( — '/.)p/iP 
est done egal a une somme de determinants d'ordre yy tels que 



5,5.2 
5,52 






or, Ic piodull de ce delerminiuit par Up est un des elements d'une 
sonnnr (pii a pour limite I'integrale multiple 

''■=/'/"-/"K:^;i'::-;:)''^'-"^'" 

et cet element figure p ! fois dans cette somme, puisqne 

\ SiS^ . . . s,, j 



,5,52 



est une fonction symetriqiie de 5,, So, , . ., Sp. II en est evidem- 
ment de meme de tons les determinants analogues et, par suite, le 

coefficient de ( — \)p dans le polynome D„(a) a pour limite -7 ly? 

P ■ 

lorsque n augmente indefiniment. Nous sommes done conduits a 




I. — I.ES TIIKOREMES DE FREDIIOLM. 

considercr la serle enticre 



371 



ID(X) = i-a/" K(5,..v 



)ds. 



(— A )" 



4^ f" f'... f\('^'''---'^)ds,ds.,...ds 
p ■ .' . J \*'l*' • • • '>l>/ 

1 '' II '' a '^ It \ 1 -. /'/ 



qui est convergenle pour toute valeur de ).. En eflel, d'apres im 
llieorc-me dc M. Hadamard (I, n" 51) Ic coeftlcient de X" est infe- 



rieur en valour absolue a M"(6 — a)" —r, M etanl uiie limite supe- 

^ ' n I *■ 

rieiire de |K(x, y)\', or, la serie donL Ic lerme general est egal au 

produit dc A" par I'expression precedente est convergente, car le 

11 ' . ~ M ( h — a) ' n I ,« J 

rapport de deux termes conseculiis — ==^ A4/ ( i H tend 

* ^ sin - 1 V V «/ 

vers zero lorsque n croit indefininient. 

Nous allons maintenant verifier que le produit de la fonction 

entiere 1)(X) par la serie qui represente la resolvante (n" oo9) 



est encore uue fonction entiere de A. SoitD 



y 



\ \ la serie entiere 



en A obtenue en faisantce produit, que nous ecrirons, par analogic 
avec le developpenient dc D("a), 

-f- « 

(Gj D(^|A) = r(a:,^; A)D()0 = K(:r, j)-r-2^-:^G,,(^,jK). 

P = \ 

Le coefficient Cp (a?, y) s'exprinie Imuicdiateinf-nt au nioyen des 
nojaux K.(^,y), K<^^(a:, j>'), ... et des coefficients de la serie (5), 
mais on parvient plus facllement a I'expression definitive de ce 
coefficient en se servant de re(|uation I'onciionnelle (60) (n^ooO) a 
laquelle satisfait la resolvante. En multipliant les deux menibres 
par D(a), cette equation devient en ellet 

(7) V>i^ l) = K{x,y)D{'k)-h\ f K{x,s)d(^ l\ds, 

el en egalanl les coefficients de \P dans les deux niembres, on 
obtient une relation de recurrence enlre deux coefficients conse- 



ilifs 



(8 



) Cj,ix,y) = K{x,y)c,, — pj K( x, s)Cp-i(s, y) ds, 



37a niAI'lTUK XXM. — I.'kO« ATION OK KllKI)IIOI..M . 

Cp etanl !c rDcfliclont correspoiulanl do I)(a)' ''^" faisanl sucoes- 
sivenient/) = 1. a, ..., on verifie aisriuenl (jiie Ics pieinit'is coofn- 
cicnls C|. Cj, peiivciil si-crire 

pour verifier que la loi est generalc, il suffil tie monlrer epic les 
inlegrales multiples 

i,.^;y)= f" ["■■■ f\{"\--'f)ds,ds._...<is, 

verifient la meme relation de recurrence (jue les coefficients C^, 
puisque C, et I, sont identiques. Or, si Ton developpe le deter- 
minant R( '■" '' \ par rapport aiix elements de la |)remiere 

ligne, ce developpement peut s'ecrire, en tenant conipte des re- 
marques anterieures, 

\ysi...s,J ^ '-^^ \s,...s,,) \ys....s,J 



[SiSi 



s,. 



Kix,s,jKl^l'J^---y)...-K{x,s„)Kl -'■■■-" 



(0) 



Multiplions les deux meinhres par (I.s,(Isn . . . dsp et integrons 
entre les limiles a cl b\ en observant que la valeur de ces inle- 
grales multiples ne depend pas de la notation adoptee pour les 
variables d'inlegralion, on parvient precisementa la relation 

r' 

\,,(x,y) = K(x,y)Cp-p / K(x, s)\p.i(s, y) ds, 

toute pareille a la relation (8) qui lie Cp_t et C^,. La propriety 
cnoncee est done etablie, et la serie oblenue en faisant le produit 
de D(a) par la resolvante a pour expression 

\y / ■ •"■ ^ p. J^^ J^^ J \ysy...s,,J 

Le second menibre est une serie convergenle quel (|ue soit A, 
car la valeur absolue dti ternie general est inlerieure, d'apres le 



theoreme d'Hadamard, a 



M/'+< 



/.-I 



I 



{b — a)P {p -\- \) - \'l\p. La resol- 



I. — I.KS TIIEOREMES DK FIlKDllOl.M. 

vantc est done le quotient de deux ionelions enliercs en A 



373 



(lO) 



r{x, y; I) = 






c'est-a-dire nne (onction nirroniorp/ie (]u paranietre A; resultat ea- 
pilal, quil paraissalt difficile de pvcvo'iv a pi'iori (\'oir JE^xercice 1). 
II est niainlenant bien facile detendre a tonles les valeiirs de A 
qui n'annulent pas la fonction D(X) la solution donnee dans le 
Chapitre precedent pour I'equation de seconde espece. On jjeut, en 
edet, adjoindre a la relation (7) la relation de nieme forme 



(7)' 



r 



l^ = K(x,y)D(X)-^y^ f K(5,j^)D(^^ Ijds, 



qui s'etablit de la meme facon. En divisant ces deux relations 
par D(a), on retrouve les equations fon(;tionnelles (60) et (61) 
du n" oo9, qui caracterisent la resolvante, ou Ton aurait rem- 
place V[.v,y, a) par son expression (10). Les raisonnements de 
ce paragraplie conduisent alors au premier tlieoreme de Fredholm : 

Sit.n'estpasracinede V equation D(a) = o, V equation de 
seconde espece (1) adniel line solution et une seule qui est 
donnee par la J or mule 



(«i) 



?(^)=/( 






On demontrerail tout pareillemenl que Tequalion de seconde 
espece associee a re(|ualion (i), 

(12) •h(x) = \ I K(s, x)'li(s)ds -h g-{x) 

admet une solution et une seule representee par la formide 



(<3j 



'H^') = gior)-^'!. 



of 



D(a; 



ff{s) ds. 



Ces formiiles se deduisenl des formules (59) et (63) du n" 5d9 
en y remplacant T{x. y] a) parj— ^D(^ Aj, c'est-a-dire j)ar 



3; i CliAPITRE XXXI. — 1.E0UAT1ON DE FREDIIOLM. 

Toxprcssion analjliqiio do la rt'-solvantc (|iii est valaMo dans lout lo 
plan de la variable A ( ' ). 

o()(). Developpement de D'( X^i ; D(a). — La dorivre loi^arilli- 

niicjuo lie \)[\) a iin drveloppcment Ires simple du aiissi a 

M. Fredliidm. Pour v |)ai\einr. iemj)laeoi)s .r el )' |)ar ,v dans 

1 ideiilite [6) el inlei;rons les deviv ineinlires enlre les liniiles a 

et if. D'apres la foriniile (()), linle^iale du premier menibre esl 

precisemenl — D'(a): pour avoir riiilej;rale du second membra, 

supposons r[x, r; X) reniplacee par son developpement suivant 

les puissances de A el |a| inferieur an rayon de convergence de cette 

serie. On peul alors inlegrer terme a terme, ce qui donne 

./' 
/ r ( 5, 5 ; A ) </5 = A , -T- Aj X -t- . . . -1- A„ X"-' -t- . . . , 
•^ (I 

en posanl. dune fa(>on genei'ale, 

I A„= I I ... I K(si. .S2)K(s.y, S3)...K(s,„ .Si)d.-!,ds2.. . ds,t 

/ = I K'"Us. s)ds 

\ '-■ a 

et nous oblenons la nouvelle relation 

"-" 1)717 =-G<A) = -(A,-f- A,A^...+ A„X''-'-+-...). 

(.)n en lire, en integrant el observant que D(o) = i, 

( if) I D(aj — e ^ - « '. 

Les nombres A|, Ao, . . ., A„. . . . qui (igurenl dans ces formules 
s'appellenl les //-rtce^ successives du noyau K(^,jk). II est clair que 
les formules (i5)el(iG) ne sont applicables que si |a| est inferieur 
au plus petit des modules des racines de I'equation D(a) = o. 
Mais si Ion developpe le second membre de la formule (i6) suivant 
les puissances de A, on doit retrouver forcemenl la serie (5), et par 
suite, le roefficient de A" dans cette serie est un polynome entier 

(') Dans lout ce qui va suivre, nous supposcrons les variables reelles, mais le 
noyau peul prendre des valours complexes. II n'y a rien a changer aux raisonne- 
menls, car le itieoreme d'Hadamard s'applique aussi aux determinants a elements 
imaginaires {voir, par exemple, WinTiNctn, Bulletin des Sciences math. 1907, 
p. 175). 



I. — LES THBORKMES DE FIlEDllOLM. Sj'j 

par rapport aux traces \|, Vo, .... V^, ce (ju'on pent verifier direc- 
leinent [Exeixice 2). Le coefficient de )/' dans I) [ X] s'exprimc 
done lui-nieme ail inoyen de A,, Aa, ..., V„ et dcs noyaux K(.57,y), 

Exemples. — On a cite plus haul (n" 559) un. certain nombre d'exemples 
ou la resolvante est une fonction enliere de \. II est facile de verifier que 
I't-qualion correspondante D(X) = o n'adinet aucune racine. Ainsi, dans 
une equation de Volterra, on doit supposer K(j7, /) = o, pour y'^x\ il 
s'ensuit que toutes les traces du noyau sont nulles sauf la premiere. En 
ofTet, I'un au moins des facteiirs du prodviit K(ii, s^) . . . K(5„, ^i ) est nul, 
sauf si Ton a 5, = 59 = • • • = */{• I-a fonction de n variables soumise a ['in- 
tegration est done nulle dans tout le champ, sauf sur une multiplicite a 
une dimension de ce champ, et I'integrale est nulle. On a done D(X) = e~'^i'', 
et le resultat scrait le miMue pour un noyau orthogonal a lui-meme. 

567. Les mineurs de 13(A). — Toute racine A = c de V equa- 
tion D(a) :^ « est un pole de la tesoUante. — En effet, si m est 

I'ordre de multiplicite de cetle racine, le numerateur D( Aj ne 

pent etre divisible par (a — c)'", car il en serait de meme de D'(a), 
d apres lidentile deja signalee 

(17) D'(A)=- f ^{'h)ds. 

J „ \ 1 / 

La formule qui donne la solution de I'equaflon de seconde 
espece n'a done plus de sens lorsque \ est racine de re(|uation 
D(a) = o. Pour trailer ce cas exceptionnel, Fredholni le consi- 
dere encore comme un cas liuiite d'un systeine de n equations 
lineaires, ou le determinant des coefficients des inconnues est 
nul, lorsque le nombre n augmente indefiniment. II est ainsi 
conduit a introduire de nouvelles fonctions enlieres analogues 

a D( X), et qu'il appelle les mineurs dc D(A). Le mincur 

d'ordre n est defini par la serie convergente 

^fXiXi...X,i\^\_ ^/X\Xn...Xn\ 

\7ir2-. -j^ 1 7~" \yiy2---yn/ 



.dsp'. 



37<'> ClUlMIHi; \\\l. — LICQUATION DK IREDIIOLM. 

le tlu'oirmo (I'lladaniard proiiNc cncoie (jue le second inemhre 
est lino fonclion enlirre de A lorsqne Ir noyau est borne. Ces 
niineurs verifienl une equation fonc.lionnelle, dont la relation ('j) 
n'csl qu'un cas parliculier, et qui s'elahlit directement. En d^ve- 

lopnanl le determinant K 



)ppa 



.r, . .. .r„A-i . 



de lit j)remlere ligne, on trouve 



suivanl les elements 






,r / SlX-, . . . X„S-, . . . .1/, \ 

pour avoir le coerficlenl de K(.ri, 5,), on commence par permuler 
la premiere et la ( /i -^ iY'-'"'' colonne, ce qui change le signe du 
determinant, puis on amene le couple (f/, .V( ) a la premiere place 
dans le mineur qui correspond au premier element K(xi, 5,). 
Mnlliplions les denx memhres de I'egalite precedenle par 



(—1)'' 



c/.S| ds-, . . . ds/,. 



et integrons de a a b pour cliacunc des variables .s^: faisons ensulle 
la somme des egalites obtenues en faisant varier/? de i a + cc, el 
de i'egalite precjedente, ou Ion fail /> = o. On parvieni a la rela- 
tion demandee 



yij-i 



, x„ 
■7" 



f«9) 



i)= k...,,.,d(;;;;;-|x) 

XJl • ■ -yn I I 
I \ dl. 



J,, \yoi 



En developpanl le determinant R ( " ' ' " >' \ par rapj)orl 

aux elements de la premiere colonne, on parvient de la meme 



I. — l,i:S TIlKORIiMUS DE I'REDIIOLM. 



377 



facon a la relaliou 



a", . . . .r„ 



J'l ■■■J'n 



(20) 



K(a",, ri)D 

\ri---rn 

ir , \x\ I ''"1 ■^'•i • • • '^z' 

(-0— K(x„.^oD (■"'•■ •';"^' 

\ J 2 • • • J re 
,^/„ \ « J 2 • • • J /J / 



De la formiile (18) on lire aussi, en rem|)lagantj>', par x/, niul- 
lipliant les deux membres par dXidx> . . . dxa, et integrant entre 
les limites a et ^, la relation 



qui generalise la relation (17). 



X ) dxx . . . dxn = ± 



dl" ' 



068. Equation homogene. Fonctions fondamentales. — Lorsque 
A n'est pas racine de Tequation D(a) ^ o, si I'on suppose/(^) nul 
dans I'equation (1), cette equation n'admet pas d'autre solution 
que o(x) = o, d'apres la formule qui donne la solution unique de 
I'equation de seconde espece dans le cas general. Mais I'equation 



homogene 



(2-2) 



o{x) 



■J K(:r, 



s)^{s)ds, 



ou D(c) = o, adniet un certain nonibre de solutions difierentes de 
zero, de meme qu'un sjsteme de n equations lint'aires et homogenes 
ou le determinant est nul admet des solutions non toutes nulles. 
Soit m I'ordre de multiplicite de la racine X = c de I'equalion 
D(a)--=o; cette racine pent annuler quelques-uns des mineurs 



D 



J't 



yy y-1 



identiquemenl^ c"est-a-diie (juelles que soienl les valeurs attri- 
buees aux variables j?/, j'a, '»>ais elle nc peut annuler identique- 
nient tons les mineurs du premier ordre, du dcuxieme ordre, etc., 



37>^ niAPiTUK \x\i. — l'eqiation de kredholm. 

jiisqua celiii dordre m. En eflel, les dt-rivees D'(X), D''(a), . . ., 
D""'(X) seraieni nulies pour A = c, d'apres la relalion (21), ce qui 
est impossible. Nous pou\ons done admcllre que le mineur 
d'ordre n n'est pas idenliqucnicnt nul pour ), := c, el que tous les 
mineurs d'ordre inferieur a n sonl identiquenienl nuls pour A = c; 
le nombre n pent elre egal a un, el il est au plus egal a m. 

Ce nombre n ayant ete pris comme on vient de le dire, soil 
(c/, r^k) uii sjsteme de in valeurs numeriques telles que le mineur 



/J i 



ne soil pas nul. La relation (19) devieiit en remplacanl A par c, 
Xi^x-2, ...,^«par .r, ^o, • • -, i« et;^',, j'o. ...,.)„ par y.,, r,2, ...,r,„, 
respectivement, et en observant que, par hjpolhese, le mineur 
d'ordre n — i est identiquement nul pour ). = c. 



^f XU---U \^^ f'K(x, t)D( ^'^-••- ^" 

''■,r^2---^« / J„ \f,i'';i- ■ -'fin 



dt. 



On oblienl done une solution de Tecjuation hnmogene (22) en 
remplacanl c, |)ar^dansle mineur A, el il est clair qu'on obliendra 
aussi une solution en remplacanl c, par x^ puisqu'on pent amener 
le couple (^j, r,/) a la premiere place. Nous designerons avec Fred- 
holm par <I>/(j:) la solution obtenue en remplacanl c/ par x dans 
le mineur A, et divisanl ensuite par ce mineur A. 

Les n solutions ainsi obtenues ^i[x), . . ., ^,i{x) sont lineai- 
rement distinctes. Nous avons, en effet, d'apres la relation gene- 
rale(i9), 



c/s. 



el, par suite, lintegrale 



• / K{\i,s)^i(s)ds 



est egale a un pour i:" = i, el a zero pour / > 1 . D'ui 
rale, on elablil de la meme facon que I'inlegrale 



fac( 



^ a 



(s)ds 



1. — LES TUEOREMES DE FREDllOLM. Sjg 

est egale a I'linile si i = k\ et a zero pour i^k. Cela elant, snppo- 
sons qu'on ail enlre ^j(^), ..., ^,i{-r) unc relalion lineaire a 
coefficients conslaiits 

(•23) a,<Pi(x:) — ai^i{x) -H. . .-;- a„*,t(.r) = o: 

en nuilli|)liant le premier niemljrc par K(;/, x) et integrant de a 
a b. il vient, d'apres les relations precedentes, rt, = o. La rela- 
tion (2.3) se reduit done a line idenlile. 

Toiite solution de V equation Jioniogene (22) est une combi- 
naison lineaire d coefficients constants ^e 4>,, $27 • • i ^n- 

La demonstration de Fredholm repose sur une remarqne gene- 
rale, dont on se servira dans la suite. Toute fonclion '^{x)^ satis- 
faisant a une equation de seconde espece (i), verifie une infinite 
d'equalions de meme espece dependant d'un nojau arbitraire 
H(a7, s). De I'equation (i) on deduit, en efFet, 

f U.{x,s)':;(s)ds = l I I H(x,s)K(s,t)o(t)dsdt-h / U(x,s)f{s)ds; 

si Ton ajoute cette relation a la premiere, apres avoir multiplie les 
deux nienibres par ),, Tequation ohtenne pent s'ecrire 



(24 



) '^(x) = \l F(x,s)o(s)ds~f(x)^\ I U(x,s)f(s)ds, 



le nojau F(^, s) de la nouvelle equation integrale ajant pour 
expression 

(•i5) F(x,s) = K(x,s) — H(x,s)^l I H(x, t)K(t. s) dt. 

Toute solution de I'equation (i) est aussi solution de 1 equa- 
tion (24), quelle que soit la fonction inlegrable H(:c, 5). 

Cela pose, soit '^{x) une solution de Tequation hoinogene (22). 
Prenons, dans la relation (24j, 



(26) H (x, s) 






V^'^i •• .'Oil / 



les constantes (;,, r„) (^tant prises [de telle facon que le minenr 
d'ordre n ne soit pas mil. 



38() CHAPITRE XWI. — i/kQIATION DK FREDHOLM. 

Le noyau F(^, s) de la iioiivelle equalioii inlegrale (24) est egal, 
en avant egard a lequalion fonclioniielle (20), ou Ton aurait 
change /« en /? -h i . a 



KiJ, 



OD 



T ;2 



\<an,S)V> 



;/i -1 ^ 

■'■, /i-i 'fill 



el par suile loiile solution dc lequalion (24), oil Ion suppose 
f(^x) =z o, est bien une coinhinaison lineaire a coefficients cons- 
tants de <1>, [x), . . ., *I>„(\r). 

En resume, si a = c est une raciiie d^ordre m de C equa- 
tion Dl/.'l^o, i' equation homogene (22) admel n solutions 
lineairement distinctes (o <C n "£ ni) ; c'esl le second iheoreme de 
Fredliolm. 

On denionlre de la meme facon que Tequation homogene associee 

(27) <ii(.r) = c I K(s, .r)'li{s)ds 

admel /> solutions lineairement distinctes M", f x), W.j(x), ..., 

W„(x), la fonclion W;tx) se deduisant de D( ''''"'" c) en y 

\'^i • • • ''i'/ 1 / 
remplacant r,,- par x. 

Les nombres c, racines de lequalion delerminante D(),)^o, 

sonl appelees valeurs caracteristiques , valeurs singulieres, ou 

nombres fondamentaux ; les solutions de I'equation homogene 

correspondante sont les fonctions caracteristiques, fnnctions 

singutieres. ou fonctions fondamentales. 



o69. Etude du cas exceptionnel. 
non homogene de seconde espece 



Prenons enfin Tequation 



(28) 



^(x) 



f K(r, 



s')'s,(s ) ds -^f(x). 



OU c est une racine de D(a). La discussion de ce cas singulier 
conduit a des conclusions analogues a celles de la discussion dun 
systeme de n equations linean'es non homogenes a n inconnues, 
lorsque le determinant des coefficients des n inconnues est nul. 
D'ahord, il est evident que, si I'equation (28^ admel une solution, 
elle en admel une infinite dautres, et on les obtient toutes en 
ajoulant a la premiere une solution de I'equation homogene 
obtenue en supprimanl /(^r) dans Tequation (28). Mais la fonc- 



I. — LES THEOREMES DE KHEDIIOLM. 38 1 

lion f{x) dolt salisfaire a cerlaines conditions pour qu'il cxiste 
line solution. Soit en efl'el Wi{x) une solution quelconque de 
Teqiiation lioniogene (27). Mulliplions Ics deux nienibres de la 
formiile (u8) par^\(:c) et integrons enlre les liniites a et6; la 
formule ohtenue peul sV-crire, en inter\ertissant les leltres s el x 
dans lintegrale double, 

/ '^(x)dx Wi(x) — c I l\{s, x)Wi{s)cls\= r f(x)Wi(x)d.r. 

Le premier nieinbrc de cette relation elanl mil, il doit eii etre 
de nieme du second, et par suite la fonction y'(x) doit satisfaire 
aux fi contlitions 



(-29) / W,(x}f(x) dx — o (i=i, 



n) 



pour que IVquation (24) adiuette une solution. 

Ces conditions sont sujfisantes. En effet, toule solution de 
{'equation (28) satisfait a une infinite d'equations integrales telles 
que (24)5 pourvu qu'on y remplace A par c, quel que soitle noyau 
auxiliaire H(j7, s). Or, si I'on prend pour H(.r, 5) la meme fonc- 
tion (26) qu'au numero precedent, on voit que o[x) est egal a 
une combinaison lineaire a coefficients constants de 4>, (^), ..., 
<\>,i(x), aiigmentee de la fonction 

(3o) ^ix)=fix)^——^^—- f /(s)D('I -^'•••'" \c)ds, 

et il suffit de verifier (jue cette derniere fonction (3o) satisfait a 
1 equation (28) si les conditions (29) sont satisfaites. Si Ton sub- 
stitue cette expression de (^(x) dans {'equation (28), en tenant 
compte de la relation fonctionnelle (19), on est conduit a une 
egalite de la forme 



J f{s)^\Ci^-i{s)\ds = o, 



les coefficients C/ etant independants de s. 

Par consequent, pour que Vequalion (28), ou c est raciiie 
de D(a) := o, admetle des solutions, il j'aut et il sujffit que f{x) 



38-2 ca-vi'iTiti; xwi. — l'kqiatiox de iheduolm. 

veri/ie Ics n conditions (at)), cf la solution depend alors lineai- 
rement dc n constantes arbitraires. 

C/est le troisieme tlicorenie de Fredholni. iXous iivons suivi 
pour I'exposilion la methode svnthetique cJe I'invenleur. On re- 
trouvera j>lus loin oes resullals dans relude du noyan resohanl. 

oTO. Extension a des noyaux non bornes. — Toiile fonclion nie- 
romorphe de A pent, conime on sail, sc mellre d'une infinite de 
facons sous forme du quotient de deux I'onclions entieres en \. Le 
theorenie de Fredliohn fournit pour le numeraleur et le denomi- 
nateur de la resolvante des expressions particulierenient syme- 
triques, mais ce ne sont point les seules qu'on puisse prendre. 



). ) peuvent etre divi- 



D'une part, les deux terines D(X) et D ( 

slbles par des facteurs lineaires A — A, qu'on pent supprimer; 
d'un autre cote, en multipliant ces deux fonctions par une meme 
fonction enliere de A, on oblient une nouvelle expression de la 
resolvante. Parmi les formes en nombre infini de r(^, y; X), 
considerons eu parliculier celie qui est fournie par la theorie des 
noyaux iteres (n" 560). Soit r„(ic, y^ A) la resolvante relative au 



novau ilere 



(•}i) Yn{x,y\ X)==.\kSn\x, y)^\\k"'->^Hx,y)^ 



Ir-i K'i"'\x, y)- 



qui a aussi pour expression, d'apres le premier ibeoreme de Fred- 
holm, 

X 



(32; 

D„(a) et D^f 



Y,i{x, y; A) 






y 



D„fX) 
. ) etant les fonctions entieres de Fredholm 



Ibrmees avec le noyau K-"'(a7, y), et la scconde expression 
de r«(a^, y] A) est valable pour toute valeur de A. Cela etant, 
rempla^oiis r„(x, y] A") par son expression tiree de la relation (32) 
dans la formule (65) du n° o60, il vient 



r(a7, y; \)==n{x,y; X) + a«-i 



X" 



(33) 



^).«^H(.,,;,,)t)^ 



B«(;|>.") 



ds. 



I. — LES TIIICORKMES DE FKEDHOLM. 383 

en j)0>anl loiijours 

H(.r. y; I ) := K(.r, y) — /. K'2'(a7, y) ^. . .^ X"-- K'"-'' (or, y); 

D„( " A" j etanl iiue fonclion enliere cJe A", il est elair que le 

second membre dc la foiimile (33) est line Jonction mctomorphe 
de A doiit le denominateur est Drt(A") 

]^ors([ue le noyau K.(.r, y) est borne, comme nous i'avons sup- 
pose jusqu'ici, on passe de la forme de Fredholm a la nouvelle 
expression de la resolvaule en niultipliant Ics deux lermes par une 
fonclion entiere facile a trouver. Nous avons, en eflet, d'apres la 
foruHile (1(3), 

(3j) D„()0 ^e V ■> ,, J^ 

el par suite, conime le prou\e un calcul elementaire facile, 

nC)) D„(A") = DCX)D(wA)...D(aj"-iX}, 

oj elant une racine primitive de ['equation to" = i. On passe done 
de la forme de Fredholm (10) a la nouvelle forme (34) en mulli- 
pliant lesdeux tcrmes par la fonclion enliere D(cl))v). . .D(to"~0^). 

Pour parvenir a I'expression (33) de la resolvanle r(;r, y\ X), 
il nous a suffi de supposer que tons les noyaux iteres, a partir 
de K'"^(a;, y), etaient bornes, niais la demonstration n'exige pas 
que le noyau K(a;, y) lui-nieme soit borne. Le premier theoreme 
de Fredholm s'clend done aux nojaux de cette espece, et la resol- 
K'ante est encore une fonclion nieroniorphe du parametre X. 
Pour une valeur de A qui n'est pas un pole de la resolvante, Tequa- 
tion (i) admet une solution unique qui est representee par la 
forrnule (11), a condition d'y remplacer r(a7, y\ X) par I'expres- 
sion (34). Nous verrons plus loin que les autres theoremes de 
Fredholm s'ctendenl aussi a ce cas. 

Dans la nouvelle expression de la resolvanle, le numerateur et 
le denominateur s'expriment au moyen des noyaux iteres successifs 



384 



r.llAPITRE WXI. — I. EQl ATION DE FUKDHOI.M. 



de K(jr. y) el an moyen des traces A„, Ao/,, . . ., mais les traces A, , 
Ao A„_, n'y figui-ent pas. Jl est clair, en efTet, qu'iin 

coellicienl cjuelcoDque de D„ ( a) sexpriine an mojcn de A,,, 

Aj,,. A3„, ..., et des novaux 1v"'^(j:, j), K'-"^ (x, y). ...; I'iiilc- 

j,'rale / H(.r,5: a)D«( )/' W.v sexprimera done uniquenient an 

nioyen de A,,, A2/^ ^pm ■ • • •, el des novaux iteres a parlir 

de Kf"+'^(x, y). 

M. Poincare [Acta mafhe/natica, t. 33, 1910 ) a inclique une autre forme 
lie la resolvante, qui s'applique a un noyau non borne pourvu que tous les 
novaux iteres a partir d'un certain rang soient finis. Supposons d'abord 
que K(T,y) soil un noyau borne; la resolvante etant mise sous la forme 
habituelle (10), en niullipliant les deux ternies de la fraction par la fonc- 
tion entiere 

A, /-(-... -I-A„_, 



on obtient une nouvelle expression de la resolvante 



(On 



(37) 

en posant 



r{x,y; l) = 



y 



(fe)„(A; 



(38j 



(E) 



tE)„(X) = e " '" 



= D(X)e 



A,/,- 



U.( 



X 

.y 



y 



, A, /.+ ... + -=-1 

We «-• 



9' 



,j( A I et (jb)« ( A j sont deux nouvelles fonclions entieres de /> qui peuvent 

\y \ I 

se deduire Ires simplemenl de D(A) et de D( X). II est clair, en efl'et, 

\y\ I 

que 6D„('/) s'exprime uniquement au moyen des traces A„, A„+i, ...; on 
obtiendra done (Jt)„(X) en supprimant dans les coefficients de D(X) tous 
les terntes qui dependent de A|, A2, ..., A„_i, ce qui revient a rem- 
placer Ai. ..., A„_i par zero dans la premiere des idenlites (38). D'autre 
part, I'idenlite 

(38)- (JD„(X);K(.r,^)-+-AK(2'(:r, j)^...| =C0„(^ xV 

prouve que les coefficients de (5)/, ( X 1 s'expriment uniquement au nioyen 



I. — i.KS thkohk.mks |)i; kkkdiioi.m. 38j 

des traces A„, A^^-j, ... et des iiovaux K(./-, j'), \\-(j-^ y)^ .... On 

deduira done aii«si (D„ | " |Xj tin ilt'veloppemeiit do D( X) (mi su|)|iii- 

mant dans les coefficients tons les teiines qui dependent de A], A), . . . , A„- ]. 
V expression {T>- ) de la resolvante est encore valable si le noyau 
'^(^i y) ^st In full pour y ^ x^ pourvu que tous les noyaux Iteres 
restent homes a partlr de K"'(a7, y). Toiiies les traces a partir de A„ 
ont alors des valeurs finies, et lidentite (38/ est toiijoiirs cxncte an point 
de vue formel puisqu'elle est sijsceplil>le d'une verificatioti directe, II nous 
suffit done de montrer que lO„(X) est uue fouclion euliere de X admettant 
comme zero tout pole de la resolvante a un ordre de muitiplicite an moins 
egal a I'ordre de ce pole. S'il en est ainsi. le produit (0„ ( A jr(j7, jk: a), 

\j.sera bien aussi uiie fonctioii enlieie de X. Or, nous 



c'est-a-dire (0„ 



avons, pour les valeurs de X de module assez petit, 

I(D' (Xl r'' r'' 

-^^=~\"'^\ K"'>{s,s)ds — 1" K'>'-^i'(s, s)ds-. 

] r'' 

/ = — / r'(5, s\ l)ds 



(39) 



en posarit 

r{x,y: X) = T{x,y; X) — K( ^, y) 



X«-2K"'-i'(ar, y)\ 



Y'{x,y\ X) est une fouclion merouiorpiie de X, n'adnietlanl cotume poles 
que ceu\ de la resolvante r{x, y\ Xj et dont la partie principale, pour 
chacun d'eux, est identique a la partie princi|)ale de la resolvante. On 
verifiera plus loin (n"o79) que lout pule X, de la resulvaule e-^t un pule 

simple de — / F {s. s; A) ds. doiit ir residii est uii uotnbre entier egal 

• It 
ou superieur a I'ordre du pole. La fonction (0„(X) est done bien une 
fonction entiere de X. satisfaisant au\ roudil ion- enoneees, ce qui demontre 
la proposition de iNI. Poincare. 

Remarque. — Dans le eas particulier ou les noyaux iteres restent linis 
pour y = x a partir de K'2'(j7, y)^ ce qui arrivera si K(jr, y) est 

d'oi'dre a< - , on peui prendre n = 2. c'est-a-diro suppriuier A, dans les 

developpenients de D(X) et D / ' Xj. Or, tous les ternies renfermant A, 

dans ces developpenients proviennent uniquement des elements de la dia- 
gonale [trincipale dans les determinants de Fredliolm. On peut done eon- 

seiver les expressions de Fredhohn pour D(X) et D( X], a condition 

de remplacer par des zeros tous les elements de la diagonalc principale 
G.. III. 25 



380 



IMIAIMTUK XXXI. 



I. EQl ATION UK IKKDHOLM. 



dans les tletci niinanls qui tigurenl dans ce<; expressions. Getle elegante 
reniarque est due a M. Hilbert ( ' ). 

l\)iif certains iioyaux iioii Ijornes, la suliilioii menie de Fred- 

1 1 ( 37 V 1 

liolm est applicable. Tel est. par exemple, le cas dii novau ^ li' 

\x c\ 

lorsque H(a7, y) est borne, a etant iin exposant positif inferieur 
a un (n° 561). On v^rifie encore ([uc la serie (5) est une fonction 
enliere de A, au moven de I'ine'ralite d'Hadaaiard. Ouanl an deve- 
loppement (9), il est de meine egal an quotient d une fonction 

entiere de ). par 



i^- 



el legalite 



D(^|xj = D(X)r(^, y: X 



ou r(j7, j>'; a) est le developpenienl dn n" 06I, s'etablit de la 
meme facon que plus haul. 

571. Etude des noyaux 1 X,V,. — On est encore conduit a ia solution 
de Fredholm par un autre procede d'induclion fonde sur I'etude d'un cas 
parliculier oil la resolution de I'equation inlegrale de seconde espece ne 
presente aucune difficulte; cest le cas 011 le noyau K(:r, j ) est de la 

forme \^X/Y/. les X, el les Y,- ne dependant lespectivement que de la 

/ = 1 
\ariable x et de la variable y. On peut supposer que les n fonclions Xj 
sont lineairemenl distinctes, ainsi que les fonclions Y,; sil en etait autre- 
ment, il est clair que ie noyau pourrait se mettre sous une forme analogue, 
avec moins de n fonctions de x. L'equation integrale prend la forme 

(40) o(x)=/(x)-^'/. I [Xi(x)Yi(s)^...^X,t(x)\n(s)]o(s)ds; 

*- il 

il est evident que toute solution o(x) est de la forme 



(U) 



q(x ) = /( X ) — HiXi(x) + . . . ^ HnXnix), 



H]. H2, ..., H„ etant des coefficients constants. Pour calculer ces coeffi- 
cients, nous n'avons qua remplacer <s{x) et <f{s) par leurs expressions 
correspondantes dans les deux membres de l'equation (4o), et a ecrire que 
les coefficients de X.,{x ) sont les memes de part et d'autre. On obtient 



(') Gfillingen .\aclirichlen, 1904, p. 81. 



(42) 



I. — m:s thkoremes dk fredholm. iSj 

ainsi les n equations lim'aires, 

(i — Xa,,)H, — Xa2,Hj— ...— /a,MH„ = X j \i(s)f(s)ds, 
— Xa,jll,-^f I — ).a2.2)H, — ...— Xa„.,H„ = X / \i(s)/(s)ds, 

* ft 
} 

— X«,„H, —\ai„H.2 —■ ..H-(i — Xa„„)H„ = >^ / \n{s)f(s)ds, 

'''a 

oil Ton a pose a,/. = / X,(s) Ya(s) rfs. En resolvanl ces equations lineaires, 

• a 

on obtient pour II,, H.,, ..., II„ et, par suite, pour cpfa:") une fonction 
rationnelle de X qu'on peut ccrire, on le voit aisement, 

(43) cp(:r)=/(;r)+-^-^y D,^^ | x)/^0 ^*, 

D„(X)el D,,/' 



X) etant les detix determinants 



(44) 



[>„(X) 



— Xai2 I — Xrt23 



— Aa„i 

— Xa„2 



— >>«!« 



Xa2« ••• I — Xa„„ 



(45) D„(^ ^) = ~ 



o Xi(37) Xofj-) ... X„(a-; 

Y,(\y) I — Xrtii — Xrt.i ••• —'i^an\ 
¥5(5) — Xai-j I — Xrt22 ■•• — Xa„2 



^n{s) 



/.oi; — Ka-m 



I — X a,i „ 



F*ar quelques transformations assez simples de determinants ('), on 

demontre que les determinants D„(X) et D„ ( Xl sont identiques aux 

\ * 1 / 
fonctions de Fredliolin formees avec le noyau SX,Y,, ce qui conduit par 
induction a la solution generale de I'equation (i) pour un noyau de forme 
arbitraire. Nous verifierons seulement I'identite du determinant D„(X) 
avec la fonction determinanle de Fredholm. Remarquons d'abord que le 
noyau K{x, y ) peul semettresous la forme S X,Y, d'une infinite de facons, 
car on peut remplacer les fonctions X/ par n combinaisons lineaires dis- 
tinctes a coefficients constants de ces fonctions; les n fonctions Y, doivent 



(') GounsAT. Bulletin de la Sociele mnlUemotifjue, t. 35, nj07. p. if)3. — 
Lebesguk, Ibid. l. 36. if)oS. p. 3. 



388 



t.ilAlMTUi: \\\1. 



I. EQUATION 1)K KnEDllOI.M. 



eii mome leiiips etre remplacees par n combinaisons liiieaires de oes i'onc- 
tious (lont les coeflicienl? depeiulent ties premiers. II est clair que le deter- 
ininiint D„(X) est indcpendant dii choix particulier des fonctions X/ qu'on 
;i fait pour mettre le noyau sous la forme SX, Y,, et que ce determinant ne 
depend quo du noyau K(.r. j') lui-meme. Nous allons niontrer comment 
on pent profiler de I'indelermination des fonctions X, pour reduire D„(X) 
an produit des elements de sa diagonale principale. 

Le noyau K{x^ y) elant donne sous la forme SX/Y/, dune fa9on quel- 
conque, imaginons qu'on cherche unc combinaison litieaire a coefficients 
cunstanls X =: Sa,X,- telle quHn ait 



(46) 



f K ( ./■. .« 



.s- l\( s ) f/5 = r\( x), 



c etant un facte ur constant. Les fonctions X, etant lineairemont distinctes 
par bypotliese. les n coefficients a,- doivent verifier n equations lineaires 
el homogencs donl le determinant egale a zero fournit une equation en c 
de degro n. qui se dediiirait precisement de I'equation D,i(l)^= o, en y 

remplacant X par -• A cliaque racine de celte equation correspond au 

moins une fonction X(.r) salisfaisant a une relation de la forme (46), la 
conslante c pouvant d'ailleurs etre nulle. Si Ton a pris Tune de ces fonc- 
tions pour X|, il est clair que la relation ( \6) ne pourra etre veiifiee que 
si Ton a a,i = . . .= aut= o. 

Avant clu»isi Xi de celte facon, on pent ensuite recommencer les memes 
raisonnements et les memes operations sur le noyau Xo Y., -)-. . .-f- X„ Y,j, 
et ainsi de suite. On arrivera ainsi a metlre le noyau donne sous une forme 
telle quon ait «//,•= o pour c < k; nous dirons pour abreger que le noyau 
est mis sous une forme reduite. Le determinant D„(X) se reduit alors au 
produit (1 — «i|X)...(i — a„„l). II reste a exprimer les sommes des puis- 
sances semblables 5/^= Xc/f, au moyen du noyau K(T,y). Des relations 



I Xi( s)\i(s)ds = a,-,, 



on lire immediatement 

S, = rt,i-H 

et dune facon generale 



/ X, ( 5 ) Y/, (s)ds = u a < k) 
II 

a,,,,= I K(a',, xx)dxi 



r'' /•'' r 

{4;^S,,= / j ... j \\i xi,T.2tK(x2,X3) . . .K(x,j.Xi)dx,dx2. . .dx,,. 

^ n * ti 'It 

En effel, un terme queiconquc de I'intt'grale multiple est un produit de p 
facteurs a,/. Si tons les indices ne sonl pas egaux, il y a au moins un de 
ces facteurs qui est nul, et par suite I'integrale est egale a 2«f/. On voit 



I. — LKS TiiH:oui;.Mi;s dk iiu;i)ii()i,.m. 389 

que Ics somines S,, soul precisenienl les liaces successives du noyau K(.r, ^). 
J^e developpemenl de la derivee logaiitlimiqiie de D,i(X) est done iden- 
lique au developpenient de la derivee logarillimiqiie do la delerminante 
de Frcdiiolin (n"3G()), ol, coinine D^Co) — Dfo ) = 1 . les deux foncliotis 
sent idctiliques. 

lieinanjiic. — Le uuyuu elanl mis sous une loiine leduilc, D„(X) est 
un polyiioinc de degie n si aucun des- iiombres an, a22i •••! ««« n'esi 

egal ii zero, landis (|uc i)„ ( X) csl au plus du drgre n — i. Supposons 

au conlrairc que quelques-uns des nouibrcs na soient nuls, par exernple 
an. o-ii, ■.., <^/)/" '^^ autires etant dilTerents de zero, D„(X) est du degre 

// — p tandis que l)„( X| ue peut t'tic de dcgrc' inforieur, car le coef- 
ficient de Xi(:r)^i(5j par exernple est hien du degre /i — p. II s'ensuit 
que la resolvante est uue fonction ratiounelle de X qui est nulle pour X 
infini si aucun des nornbres a,, n'est egal a zero, el dans ce cas seule- 
menl. Or le noyau K(ar, r) etant mis d'une facon quelcouque sous la 
forme XX,Y,, les nombres a,-,- qui figurent dans la forme reduile sont 

les racines de lequalion c'*D„ | — j =: o. Pour que la resohante soit nulle 

pour X infini, il foul done et il suffil que le determinant D,i{l) soit de 
degre n . 

572. Autre methode d'induction. — La solution de Fredholm etant 
supposee etablie pour un rioyau de la forme speciale SX/Yj, on peut 
passer directement de ce cas elementaire au cas d'un noyau continu quel- 
conque par un passage a la limile ('). Soieut, d'une facon generale, 



Ki(:r, j). Kjfj-, J), 



■, K«(.r,jK), 



une suite de noyaux bornes (auxquels s'applique la methode de Fred- 
holm ), qui con\eigent uniformement vers un autre noyau K(r, y)'i desi- 

gnons |)ar I)„(X;, D,,/' XJ, DfX). D/ Xj les fonctions entieres de 

Fredholm I'oriuees avec K„(.r, j) et K(.r, >') respectivement. II est aise de 

voir que It^fX) a poui' liuiile D(X). et que D„ [ ' X ) lend uniformement 

versDj Xj lorsquc n croit indefiuiment. Pour demontrer le premier 

point, par exernple, on n'a qu'a observer epic I)„(X) et D(X) sont deux 
series entieres en X, loujours convergentes, dont les termes sont nioindres 
en valeui- absolue (n" .'>()")) que les termes de meme rang d'une serie con- 
vergenle a lernies posilifs independants de «, et que chaque terme de 



(') K. Goi'itsAT, loc. oil., p. 17. 



H)0 



DMAPITIIK \X\1. — I. EQUATION l)E FREOHOLM. 



D„(X) a pour liniile le lenne ooriespondanl de D(X). La seconde partie 
s'elablit de la mcme facon. II en resulle que si X n'esl pas racine de I'equa- 
lion D(X) = o, la fonclion 

tend uniformtMuenl vers la fonction ^(x) qui a pour expression 

D'aulre pari, I'equalioii 
pent s'ocrire 



l(p„(a7; = X / \^ix^s')^is)ds-\-\ I [Kn(^,s) — K(x, s)]<fn(s) ds 

J '-It Jn 

+ X / \':^n(s)—^{s)\K{x,s)ds-\-f{x)\ 



(49) 



si n croil indefiniment. les deux dernieres integrales du second membre 
tendent vers zero, et ii resle a la limite 



(5o) 



'l>(a7)=X f K{x, s)^{s}ds^f(x), 



ce qui monlre que la solution de Fredholm est applicable a I'equation 
integrale de noyau K{x, y). On en deduit que la solution de Fredholm 
s'applique a un noyau continu quelconque, puisqii'on peut Irouver une suite 
de polynonies ^ni^r, y) convergeant uniformenient vers ce noyau (n°531), 
et tout polynome est bieii de la forme SX,Y,. 

M. Lebesgue (loc. cit.^ p. 1 1 et suiv.) a beaucoup generalise cette me- 
thode, et montre que la solution de Fredholm etait applicable dans des 
cas etendus a des noyaux non bornes. On verifie d'ailleurs ce resultat 
en observant que, dans le cas d'un noyau de la forme SXjY/, la methode 
du n° 371 ne suppose pas que les fonctions X, et Y/ soient bornees, mais 
seulement que les produits X/(s)Yx(5), /(s)\,(s) sont integrables. Tel 



le cas du noyau t/ — (n" 561), dont on ne peut deduire par d 



es Itera- 



tions un noyau borne. La plupart des questions qu'on peut se proposer 
pour une equation integrale de seconde espece se resolvent de meme aise- 
ment pour un noyau de la forme SX/Y/, et la solution peut fournir d'utiles 
indications pour le cas general. 



KTIDK lU NOVAl RKPOI.VANT. jgi 



ETUDK l>U .N()V\L I'.KS* )l.\ ANT 



o73. Systemes orthogonaux et biorthogonaux. — Dans ce para- 
graphe cl les suivanls. nous (•()n.sid(''roiis ties lonclioDs qui peuvent 
avoir ties flisconlimiiles en nombre qnelconque dans I'inler- 
valle (a, b), mais (pii sonL inlrgialjles ainsi que leurs carn'-s dans 
eel intervalle; on exclul seiiletnent les fonclions (liscontinuesy(^) 

r'' ■ 

lelles ({u'on ail / J'-( x) tlx :^= i> [voir le Chapitre suivant). 

Soienl // t'\ r deux fonclions fpielr()nf|iies de <:elle espece; nous 
poserons, pour abreger, 

r'' 

(uv')= j i((r\v(r\dx\ 

d'apres l'inei;aliu'' de Schwarz, eelte inlegrale a une valeur finie 

piiisijiie les inlegrales / ii-dx. j v- dx onl des valeurs finies. 

Si lor) a (?<(')= o, les deux lonclions /i el v soul diles o/l/iof^o- 
nalen. I ne suite de fonctious, en nombre fini on infiiii. 

(5r) 'fi(^), 'ii{^), •••• 'f«'^;, •••, 

forme un sysleme orlliogonal ^\ Ton a (c5/'^/^)=o, lorsque les 
indices i el k sonl dilb-renls. II esl clair que lonl gi'oupe de fonc- 
lions, prises dans un sjslenie orlhogonal, esl aussi un systeme 
orlhogonal. Si n fonclions ,p,, .... ':informent un systeme ortho- 
gonal, elles sont lineairement distinctes. En elFel, s'il exislail 
enlre elles une relalion lineaire el botnogene a coefficienls con- 
slanls, en midtipbaiit le premier meinlne par 'i/( .r) el inl»}grant 
enlre les limiles a el Z>, on en dedmiail (pie le coefficienl de 'i,(.r) 
dans celle relalion doil elre nul. 

Le svsteme orthogonal (5i ) esl dil norma/, si I on a (c5/'i,)= i , 
quel que soil lindice i. Pour Iransformer un systeme orthogonal 
qnelconque en un svsleme normal, il suffit evidemment de diviser 

chaque fonclion '^i{x) de ce svsleme par y/(cp,o/j. 

Etanl donne un systeme de n fonclions lineairement distinctes 

on peul former n combinaisons lineaires a coeflicienls constants 



Sg-i CHMMTRE XXXI. — i.'eqiation de fuediiolm. 

de ces fonclions, formanl uii sjsleme orthogonal. Prenons, par 
oxemple, ^,(.x)= <2,{x), et cletermlnons la conslanle c/(/^i) 
(le facon que les deux fonclions cc,(x) et 7:/(j;) = o/(.r) — C/cp,(j?) 
soieul orlliogonalos ; dans la noinelle suite de fonclions <I>,(j"), 
'!Z2{x), .... t:„{x), la premiere fonction O, (x) est orlhogoiiaie a 
loutes les suivantes, et par suite a loutes leurs coniliinaisons 
lineaires. Dailleurs ces // — i fonclions Ti/fj") sonl encore lineai- 
renicut distinctes. el ion pent operer sur la nouvelle suite comme 
siir la |)rcMiirre. Au hout de n transformations de ce genre, il est 
claii' tpi'on arriveia a tin systeme orthogonal de n fonclions <I>,, 
4>2, . . •, <!>«, quon pourra ramener a un systeme normal par le 
precede indique lout a I'heure. 

Le systeme orthogonal qu'on pent deduire des n fonclions CS) , 
ci^, • • •, '^11 n'cst pas unicpie; il est clair, en eirei, que tout sys- 
teme orthogonal de n fonclions donne naissance a un nouveau 
systeme orthogonal quand on eflectuc sur les fonclions de ce sys- 
teme, considerees comme des variahles independantes, une substi- 
tution orlhogonale quelconque. 

De meme, on dit que deux suites de fonclions, en uombrc fini 
oil infini, se correspondant une a une, 



(-;■*) 






'^n: 



foiiuent un systeme biort/iogonal, si Ton a (cc/'|i;c)^= o? pour i^ k. 
Les fonclions C2/ el 'l/i de meme indice sonl dites associees. Si Ton 
a ('i/']>/)^o, quel que soil «', on pent supposer ('^/'ii/)=i, car il 
sufiit de diviser 'Si(x) par (ci/'i//) pour que la condition soil verifiee. 
Le systeme (02) est dil alors systeme normal. L n nombre quel- 
conque de fonclions apparlenant a I'une des suites d'un systeme 
biorlhogonal, pour lequel on a (cs/'J/j)^^^ o quel (jue soil /, sont 
lineairement distinctes. En effet, s'il exislait une relation lineaire 
entre les ii fonclions o,, 'Jo, • • -, '^n |)ar exemple, en multipliant 
le premier membre de cette relation par '^a(x) {k^n), el inte- 
grant de a a 6, on en deduirait que le coefficient de '-s/i^x) dans 
cette relation est nul. 

Soient (cp,, Oo, . . ., 'fp) el('li,, -io, . . ., 'Ip) deux groupes de p 
fonclions tels qu'il n'existe aucune combinaison lineaii^e des :p/ a 
coefficients constants (Pun au moins n'elanl pas nul) qui soil 



ir. — ETUDK nu NOVAL' HKSOt-VANT. -ipS 

ortliogoniile a lous les -i/, el iiiveiscment; on pciil dediiire de cos 
deux groupes de fonctions deux groiipes foinianl uii svslenie 
biorlhogonal. Remarqiions d'abord ([u'il n'snlle des lijpotlieses 
cpie les p fonctions cp, sont lineaii-emenl independantes, ainsi que 
les p fonctions •}, ; en efret, s'il exislait une conibinaison lincaire 
des Oi qui fut ideiitiquenionl iiulle, cette conibinaison lineaire 
serait orlhogonale a tons les -ii,. Cela etant, prenons (t, {x)^= cpi (.ri, 
et soil W, ix) une conibinaison lineaire des <h telle (jue (<I>, *I^i) ne 
soil pas nul. Choisissons ensuite les ip — 2 coefficients Co, C3, . . . , 
c^, c!, , .... c de facon qu'on ail 

(*,, '\i— cvU-,)= o, (»r,, o, — f/l', ) = o {i = ?., ...,/?) 

ce qui est possible, |)ui^.(pie ( 4>, ^', ) nest |)as nul. Les/? — 1 fonc- 
tions (-0, . . . , -p) ou -, = 'Oi — c/<^, , sont linealicnient dislincles 
et orthogonales a *P\ ; de meme, les p — 1 fonctions (y^, • • •, 7,^)? 
on 7/='|/ — c^^F,, sont lineairement dislincles el orthogonales 
a <I>(. II est claii- d'ailleurs qu'aucune combinaison lineaire des t:/ 
ne sera orlliogonale a toules les fonctions y/ et inversement. En 
recoiumencant la meme operation snr les deux groupes de fonc- 
tions (tTj, -3, . . . , T.p) et (y.,, . . . , -/p). et ainsi de suite, on arri- 
vera ('•videmnient a deu\ groupes de /> fonction> ($1, $2? • ■ • 1 ^p) 
et (^1, U*2, ..., ^ p) fornianl un svslenie biorlhogonal, qu'on 
pourra rendre normal par le procede indiqne plus haul. 

Remai que. — Nous avons suppose implicilenienl (|ue la 
variable el les fonctions elaienl reelles. II n'y a rien a changer 
aux raisonnements en ce qui concerne les syslemes biorthogonaux 
lorsque, la variable x etant toujours reelle, les fonctions '^/ el '}/ 
prennent desvaleurs complexes, car I'liypolbese de la realite n in- 
tervient pas dans les raisonnements. II n'en est pas de meme pour 
un sjsleme orthogonal, el il y a lieu de generaliser la definition, 
lorsque les fonctions peuvent prendre des valeurs complexes. Nous 
dirons que le sysleme des fonctions cp, est un systeme orthogonal 
si, en faisant coirespotulre a chacune de ces fonctions la fonclion 
conjuguee, on oblienl un svslenie biorlhogonal. II est alors aise de 
deinonlrer que n fonctions formant un svsteine orthogonal sont 
lineairement dislincles et que, inversement, etant donnees n fonc- 
tions lineairemenl dislincles, on pent en deduire n combinaisons 
lint'aires a coefficients constants formant un systeme orthogonal. 



394 cnAPiTRE xwi. — l'equation de fredholm. 

574. Noyaux orthogonaux et semi-orthogonaux. — Deux 
noyaux lv,(.r, r) et K2(^./',j'j, bornes on non, sont dits ortho- 
gonoitx s'ils verifienl les deux conditions 



o 



r'' r'' 



quelles que soient les valeurs des variables x^ y; ils sont semi- 
ort/iogonaux si line seule de ces contlitions est verifiee ('). 

Theoreme a. — Etant donnes deux noyaux orthogonaux 

Ri(:c, J'), ¥^2{^i y)i Ic- resohante r(x,y; a) relative au noyau 
S{x, y) = K, (a:, y) 4- ^0(0:, y) est egale d la sotnme des resol- 
I'antes F, (a:, y\ A), To^x, y; A), relatives a ces deux noyaux. 

II siiffit d'observer que, si K, et K^ sont orthogonaux, deux 
nojaux deduils de K) el de Ko par un norabre qnelconque d'itera- 
tions sont aussi ortliogonaux. On a, par exeniple, 

K<,"'(^, JK)= f K,(:r, s)K',"-''('s, r)rf*, 

»' (I 

et I'on pent ecrire 

\ "J a 

(54) / = / r / Kj/'-'MV: MjKsCi/, s)Ki(s, f)KV'-> (p, jK)rfsc?«rff 

j Kf-^ (x, u)K'i"-^^(v,y)dudv I lUj u, s)Ki(s, v) ds = o; 



1 



on prouverail de meme qu'on a 

,h 

K',">(:r, s)K/Us.y)ds = 



/ 



en ^crivant autrement les noyaux iteres. II resulte inunediatement 

(') E. GoL'RSAT, Coinptes rendus, t. 145, p. 667 et 752, 1907; Annates de la 
Faculte des Sciences de Toulouse, 1' serie, l. X, 1908. — B. Heywood, Camples 
rendus, t. 145, p. 908; Journal de Matheniatiques, 1908. J'avais aussi demonlre 
les th^oremes A et B, en m'appuyant sur la structure des determinants de 
Fredholm. 



II. — KTlDi: DU NOYAU RESOI-VANT. BgS 

ties relations (54) que le noyau S'-^(x, y) deduil de K, + ^2 pa'" 
une premiere ileralion est precisement K',"'(a:, y) + Ki," (j:*, y), 
et Ton verifie ensuite de proche en proche que le n'""" nojau 
itere S^"^{x^y) est egal a K'l'^x, y) + K'f{x, y). En ajoulant 
les deux developpemenls des resolvanlcs r,(.z', y; a), Y.,{x,y; A) 
(n" oo9), on parvlenl a la rorniuJe (|u"il s'agissalt d'elablir 

(55) rix, r; I) = \\(x. y; \) -~ 1\{t, y: Xj- 

II est evident quiin noyau orthogonal a plusieurs aulres est 
aussi orthogonal a leur somine, ce (|ui permet d'etendre le theo- 
reme a un nombre quelconque de noyatix : Si n noyaux K,, 
K2, . . . , K.„ soul orthogonaux deAix a deux, la resolvanle rela- 
tive a leu?'sommeS{x,y) = K, -^ ...-]- is.,i est egale a la somme 
des resohantes relatives a chacun des noyaux. 

I^a demonstration prouve <pie, de tout couple de noyaux ortho- 
gonaux K,, Ro, on peut en dediiire une infinite d'aiilres. En ellet, 
la soinme dun nouibre (juelconque de noyaux deduits de K| (^, y) 
par ileralion est orthogonale a tout autre noyau deduil de Ys.<x{x,y ) 
de la ineme facon. Les noyaux resolvants eux-uienies \\ {x, y; a), 
r2(x, y; <j.) sont aussi oithogonaux, (|uels que soient A el |j.. 

Soienl ©i(x) et '^^{x) deux solutions des deux equalions iute- 
grales 

02(ar) = A / K.i(x, s)'-i2(s) ds -i-f(x), 

ou K, et K2 sont deux noyaux orthogonaux. Si A n'esl pas une 
\aleur singuliere pour Tun des noyaux, -^i (j;) -j- cpo(.r) — f{^) 
sera solution de Tequation integralc 

d'apr«"-s le iheoreme general qui precede sur les rrsolvantes. 

11 est facile de verifier directenient celte |)i<t|)iiete, car la rela- 
tion a veriher se reduit a 

j K,(r, s)['i2(s)— /U)]^/.S -f- j K.J.r. s)\-^x(s)—f(s)]ds =0, 
'-'11 ' <i 



SgO CHAPiTRE xwi. — i/kqiation OE I-IU:D11()I.M. 

et les deux inlegrales sonl nulles, en verlu de rorthogonalite des 
iioyaux et des eqiialioiis inlegrales ellos-inemes. Remarquons que 
cetle demonslration s'applique aussi au cas ou A serait une valcur 
singuliere pour Inn des novaux, et cpie la propriety s'elend a iin 
noinbre quelconque de uoyaux oilhogouaux deux a deux. 

Cousiderons inainteiiant deux novaux seuii-orlhogonaux el 
supposons, par exeuiplo. que ces novaux \erifienL la seconde 
des relations (53). JNous dirons pour abreger que K.2(x, y) esl 
orthogonal d droite a K,(:c,y), tandis que K., (a?, ^') tst ortho- 
gonal a gauche a K2(.r, r). Les novaux K!/"(:c, _)^) el YJ^"\x^y) 
deduils des premiers [)ar uu nombre quelconque d'ilerations sont 
dans la uit'ine relation, e'est-a-dire (pie tout noyau decluit de 
Kol^^, y) par iteration est ortliogonal a droile a tous les 
noyaux iteres de R,(x, y). La proposiliou est demontree par 
la forinule (54), dont le second meuibre sannule en verlu de la 
seconde des relations (53). Cela elanl, si les uoyaux K) (a?, y) 
el \s.2{x^ y) sont borries, ou, dune facon plus generale, si la 
solution de Fredholm esl applicable pour cliacun deux, on a le 
tbeoreme snivant. 

Theoreme B. — Soient K,(a^, y) et K.2(.r, y) deux noyaux 
orthogonaux ou semi-orthogonaux, D,()v), D2()v) les fonctions 
deterniinantes de Fredholm pour ces noyaux; la deternii- 
nante (0(a) de Fredholm pour le noyau S(x, j'-) = K,4-K2 
est egale au produit D, (a) Do (a). 

Ou venfie de proche en proclie, en tenant couiple des relations 
precedenles, que le novau S'" (.r,y) esl de la forme 

S'''(a-. jj = K\"'(.r, jK)-f- K," fa-. j-j-f-SGp,,/ f K,^'(a:, s)K^f{s,y)ds, 

Cy, q elanl un nombre entier. On a done 

/^i> pi> pi) 

I S'"Us,s)ds=l K\"^(s, s)ds-^ K,'"(s, s)rf.v 

-^SC,,,, f f K\f'Ht, s)K'.^'(s, t)dsdt: 

le dernier lerme esl nul, comine on le voil en integrant d'abord 



II. — ETlltK DU NOVAU RKSOIAANT. 897 

par rappoii ;'i la variable /, et Ton en deduit que la n""°^ trace dii 
novaii S(j:', y) est egale a la somine des traces de meme rang 
de K, et de Ko. On a done (n" 066) 

^^ (^>( A) ~ D,a) L)2(X)' 

el par siiile a^(A) = D, (a)Do(A). 

Remarque. — Si les deux noyaiix sont orlhogonaiix, la rela- 
tion (o6) se deduit lout de suite de la formule (55), combinee 
avec la relation (i5) qui douiie la derivee logarillinii(|ue de D().). 
Dans ce cas, le theorenie s etend a la somme dun nombre quel-r 
eonque de noyaux, orlhogonaux deux a deux, auxquels s applique 
la solution de Fredholm. 

o7o. Application aux fonctions fondamentales. — Toute fonc- 
lion '-oix), nun ideiilnpieinenl iiiille, salisfaisaiit a une relation 

(57) cp(>-) — c / K(a", 5)cp(s) 



ds 



est une Ibnclioa foiidainenlale du noyau }s.[x^y). D'apres la for- 
mule generale qui doiine la solution de I'equalion de seconde 
espece, le noinbre c doit elre un pole de la resolvante pour que 
celte equation admette une solution aon nulle. Reciproquement, 
a tout pole de la resolvante correspond an nioins une fonction 
fondanienlale. 

La proposition a deja ele elablie pour un noyau borne ( n" 068). 
La demonslralion siiivanle, qui repose sur I'equalion fonclionnelle 
de la resolvante, est generale. Soil A = c un pole d'ordre n du 
novau resoKanI, cl soil 

1 ( X, K ; A ) — -^ h --; : -I- . . . 

+ ''^'^-J' -+- Ao(j^, j)+ A,(:f,7)(X — c)-4-... 

le developpement de ce noyau dans le domaine du pole. Po- 
sons \ = c -\- h, el reniplacons T^x^ y; c -\- h) par son develop- 
pement dans les deux membres de I'equalion fonclionnelle (60) 



39>^ CllVI'ITIlE \X\1. — LKQl ATION OK FREDHOLM. 

du n" 5oO; il vi(M)t 



B„(j-..v) V,„^t(.r.y) B,(x, )) 



(58) 



h" 



/,f,-i 



Ao(^,^)-+-A,(.r,j)// 



= K(j-, j)-i-(c 



,oj\i.,n[^-^^...]^>. 



En egalanl les coelTirienls do /i " dans les deux inembres, on 
oliiient lii relation 



(59) 



^n{-r,y)=c I [\(x, t)B„it, y)c/t, 



qui inoiilie que B„(x, y,) esl une function foudamentale du noyau 
corres|)oiidanl a la valeur siiiguliere c, quelle que soit la valeur 
constanlej', altribuee ay. On verrait de ineine, en se servant de 
la seconde equation fonctionnelle (6i) que B„[Xi, y) est une 
solution de I'equalion liomogene associee 

4>(7)= c I K{t.y)^(t)dt, 

quaiid on attribuc a Xf une valeur conslanle (juelconque. 

On a vu plus haul (n" 568) qu'a un pole c de la resolvante iie 
correspondent (urtin nonibre /i/u' de fonctions fondamentales 
lineairement distincles, si le nojau est borne. (Jelle piopriete se 
deduil aussi facilement du tbeoreme B. Soit, en eftel, \^c une 
racine dordre m de multi|dicile de D(a)^o, et soient 0|, 
'jjo, ..., 'ip des fonctions fondamentales lineairement distinctes 
('Oii'espondant a (-e pole; nous allons monlrer qu'on ne pent 
avoir p ^ m. Soit t:, (x) une function telle qu'on ait c(o, ti, )== i . 
Posons K(x, y)^ o, {^)^^^ (y)H-K, ; les deux noyaux (p, (x)7r, (y) 
et Kt(x,y) sont semi-orthogonaux, d'apres la condition a laquelle 
salisfait la fonction t.,. Or, la fonction determinante relative au 

noyau ci, (.r)::, (j') est i ^ (n" 571); il s'ensuit que I'equalion 

determinante D,(a)=o relative au noyau Kf(x, y) admet la 
racine A = c a I'ordre /n — i de mulliplicite. Or, il est facile de 
former/? — i fonctions fondamentales lineairement distinctes pour 
ce noyau K,(x,y). En effet, si Ton pose 6/.(:r)= cpr(ar)+ c,-», (.r), 
on a, en tenant compte de ce que 'j, et cp^ sunt des fonctions fon- 



II. — ETL'DE 1)1 NOVAU RKSOLVANT. 3g9 

damenlales pour K(x,y), 

C I '\l,.(-'<)i^l{^, S)ds = <\lr(x} tfi{x)\c I T.i{s)Or(-'!) ds -\- Cr\; 

•it L " « 1 

en choisissaul Cr tic faroii (jue le coelTicienl de C5,(x) soil mil, el 
faisanl successivemenl /-^a, 3, ..., />, on obtiendra h'len p — i 
fonctions fondamen tales dislincles pour le noyau K,(a;, y)- ^^ 
continuant de la sorte, on arriverail a un noyau |)onr lerpiel c ne 
serail pas une valeiir sinyulirre, et qui adniettrail cependant une 
fonction fondanientHle corresj)ondanl a c, si Ton avail/; > m. 

Le theoretne s'elend a lout noyiiu non borne pourvu qu'on 
puisse en deduire, par un nonibre fini d'iterations, un noyau 
auquel la solution de Fredholm est applicable. Soil c une valeur 
singuiiere pour le noyau K.(j:, y) et '-^{x) une fonclion fondatnen- 
tale correspondante. De la relation 

(p(5)= c / K(5, l)'^it)dt 
on tire, en inuiliplianl les deux, inenibres par cK(.r ,s ) el integrant, 

r' 

(^[x)—c I K(.r, s)'.s(s) ds 

'■ a 

= 0-1 I K{x, s)K(s, t)^(t)ds dt = c^- j K'2'(a7, /) tp(/) c?/. 
et Ion verifieaisemeQt par voie de recurrence qu'on a, quel quesoityw, 

9(a7)=c/' / K'-i'Ux, s)f{s)ds. 
^,t 

Done, toiite fonction fondamentale pour un noyau Iv(.r, y)^ 
correspondant a un pole c de la lesolvanle, est aussi une fonc- 
tion fondamentale pour le noyau )sSp^[x, y) et le pole corres- 
pondant de la nouvelle resolvante est cP(* ). 

(') La reciproquc n'csl pas loiijoiirs exaclc. Soil '^{x) une solulion de 
I'equalion 

(E) '^(x) = cv j KW{x, s)']^(_s)ds; 

posons 

Tt,^(ar) = i|<(a;) + CGj" / K (j:. s)'|(5) rfs +. . .+ c/*-' w"'(P ') / Iv /' ')(j;', .<t)'^(s)rfs, 



',oO ClIVPITHE \\\l. — KEOIATION Di: KRKDIIOI.M. 

Si la soliuioii (le Fredliolm est applicable an noyau ilere 
K^P' [x, y), il n'v a done qii'un nonibrc fiiii de fonclions fouda- 
iiientales correspondanl a nn pole c du nojau resolvanl. 

Elanl donnes pliisifMirs no\an\ K.,(j",y), ..., K^(x,v), ortlio- 
"ionaux deux a deux, la souiiiie 



Six, y) = Kl(x,y)■ 



K,Jx, y) 



sera appelee le noyau resultant, el R|, K2, . . ., K^, seront dits 
les noyaux coniposanls. Tout pole c de la resolvanle du noyau 
resultant est un pole pour Tune au moins des resolvantes des 
noyaux coniposants. Reciproquernent, tout pole de la resolvanle 
(Tun des novaux romposants est aussi un pole pour la resolvanle 
du noyau resultant. D une facou ^enerale, nous dirons qu'w/ie 
fonction o{x) est ovthogonale a droile a un noyau K(j?, jf), si 

Ion a, quel que soit j?, / K(j;, .s)cp(,? ) ^5 = o. Si deux noyaux 

K,(x, y), K2(^, y) sonl orthogonaux, toule lonclion 






est orthogonale a dioite au noyau Ko( x, j'). Nous j)ou\ons ecrire, 
en efiet, 

I Koix, s)Ki['^(s)]d.s = / / K-iix. s)Ki{s, t) '^{ t ) ds dt, 

t' It '■ (I • It 

ct le second meinbre est nul, dapies roriliogunalite des noyaux. 



V elaiiL I'un des nombres 0,1 p — 1, cl w elanl une racine primitive de I'cqua- 

tion ijif = t . On verifie aisemenl que ~Jx) est une solution de I'equation 



(«v) 



r'' 

~.Jx)=ci^'' I K ( X, s)-.Js) its. 



O'ailleui's les fonclions — „, -,. ..., — , ne peuvent etre toutes nullcs, car leur 
son) me -r„-4- -,-f-. . .+ t , est egale a /)^j/(a;). Toute solution de Tequalion (E ) 
fournit done une solution de I'une au moins des equations (e.j, mais ne doune 
pas forcement une solution de I'equation (gj,) {voir plus loin, n° 579). 

Cependant, si I'on a choisi le nombre entier p de facon qu'aucun des nombres cw, 
CM-, ..., cwP~' ne soit un pole de la resolvanle relative au nojau K{x, y) (ce 
qui est toujours possible dune infinite de manieres), les equations (e„), oil 
V = I. >. ..., p — I, nadmettent pas d'aulre solution que ■!:.,= o; ■!:^{x) est done 
identique a/>'^(ar), et les equations (E) et (Cj) admettent les memes solutions. 



II. — ETUDE DU NOYAU RESOLVANT. 4o' 

II en resiille en parllciilier que, si deux noyaux K, et K2 sont 
orthogonaux. toiile fonction fondamenlale pour Van des 
noyaux est orthogonale a I'auLre noyau. En effel, soil 'o{x) 
une fonclion londanjentalc du noyau K,(a:, jk); celte fonclion est 
de la forme cK.,('i) et, par suite, elle est orlhogonalc a Ko(.r, j^), 
d'apres la remarque precodenle. 

Cela elanl, soient K,, Kj, ..., K^^ des noyaux orthogonaux 
deux a deux, S{x.y) leur soninie, c une valeur singuliere pour le 
nojau K,(a7, ^) par exeinple, '^(.r) une fonclion fondamenlale 
correspondante; '^{x) est orthogonale aux aulres noyaux K.2, 
K;,. . . ., K^ et, par suite, on a 

J. 

d ou resulte la proposition <iiivanle : 

Tout pole de la vesoUante relative a un des noyaux compo- 
sants est aussi un pole pour la resolvante du noyau resultant, 
et toule fonction fondamenlale d^ un des noyaux composants 
est une fonction fondamenlale j)Our le noyau resultant . 

Pour examiner si la reciprofjue est vraie, supposons p =: 2. 
Soil 'i(./ ) une fonction fondamenlale pour le noyau 

S ( .r, jK .) = K, ( a-, J ) -h K.2 ( J-, _7 ), 

correspondant a un pole c- On a par hypotheae, 

» ( J7 ) = «p, ( 37 ) -+- tp2 { ^ ), 

en designant par '^i(x) el '^^{x) les deux expressions cK,('9), 
cK2('f ): mais les deux noyaux K, et Ko elanl orthogonaux, '■pi(^) 
est orthogonale au noyau Ko(t, j') el cpo(j:') au noyau K,(.a?, j/-), ce 
qui permel deciire les relations precedenles, en remplacant 'Z){x) 
par '^, + 02: 

L'une aumoinsdes fonclions 'j,, '^o n'etant pas nulle, il s'ensiiil 

que c est un pole pour l'une au moins des resolvanles des noyaux K, 

et Ko. Si c n'esl un pole (pie pour l'une d'elles, pour la premi«jre 

par example, on a 'fa^ t». ci = -i, et '^{x) est une fonclion londa- 

G., IH. 26 



4o> CHAPITRE XXXI. — L KylATION DE KREDHOLM. 

inontale poor lv,(:r, }'). Si r est iin j)ole pour les resolvantes des 
deux novaux, o{x) est la somme de deux fonctions fondamentales. 
I^e raisonnement s'elend sans peine a un nombre quelconque de 
noyaux orlliogonaiix deux a deux, el en resume toute fonction 
fonda men tale du noyau resultant est une fonction fondamen- 
tale pour un des noyau.r composanis ou s'obtient en ajoutant 
les fonctions fondamentales des noyaux composants (jui cor- 
respondent a un pole commun de leurs resolvantes. 

En particulier, si les resolvantes des nojaux composants pris 
deux a deux n'ont pas de pole commun, on obtient toutes les fonc- 
tions fondamentales du noyau resultant en prenant I'ensemble des 
fonctions fondamentales des noyaux composants. 

576. Noyaux principaux ( ' ). — On a deja remarque I'impor- 
tance de ['equation fonclionnelle (n" 560) 



(Go) \:{T,y\ A)_r(.r,jK: ,a) = (X-(x) 



/ r(>. t\ A 



)Y{t,y: ij.)d( 



qui caracterise les noyaux resolvants. Nous allons I'appliquer a 
I'etude dela resolvante dans le domaine d'un pole A == c. Le deve- 
loppemenl de la resolvante dans le domaine de ce pole etant ecrit 
comme plus haul (n° 575), Tequalion (6o) devient 

iB.-(.,.)K^J-(^e)l 

^^ Ap( r, y)](l — c)''-( [J. — c )!'[ 

L' = i /'=o J 

L«=i ' /'=o J 



(6j ) 



:(X-;.., 



X 



(') Dans mon Memoire des Annates de Toulouse, 1908, j'avais fait i'etude des 
noyaux principaux en m'appuyant presque uniquement sur les llieorcmes A et B. 
On abrege beaucoup I'exposition, comme I'a deja fait M. Lalesco, en se servant 
da vantage de requalion fonclionnelle du noyau resolvant. La meihode que je suis 
est un peu differente de celle dc M. Lalesco, et ne suppose pas connue la theorie 
des diviseurs elementaires. 



II. — ETUDE DU NOVAU RESOLVANT. 1^03 

ce qii'on pent ccrire cii posaiil A — c = /i, u. ~~ c = /: ct divisant 
par // — A 



I 
TTTT 



(6 1 bis) 



^ Bi(x,y) \ 1 i_ i_ 

I A 

//> r~ fi 4-00 

^ln,(x,t) + ^A,,(a:, t)hi> 
.. - 1 



A/'-i I 



■ V A/, (x, y) ] /t/'-i -}- /i/'-- /.■ -h 

.1 J 



La relation precedenle doit etre verifiee quels que soient li et /.•. 

Ur, le premier membre ne renterine aucun terme en -rr ou-t-j 

yo elant nul on posilif ; il faut done que lous ces termes aient des 
coefficients nuls dans Ic second membre, ce qui exige qu'on ait 



(62) 



f Bi(T, f)\i,{t,j-)dt = o, j Bi(t,y)Xj,(a;,()dt = o 



/> = O, I, '2, 
i =1,2, . . 



En designant par v(x-, y; A) la partie principale du noyau 
resolvant et par H(j", j^; A) la partie reguliere, les relations (62) 
prouvent quon a, quels que soient A et a. 



(63) 



/ ^{{x,t\\)\{{t,y\\i.)dt = o, I n{x, t; ix)-i(t, y\\)dt = o, 

■- a '-'a 



pourvu toutefois que le developpement de 11(^7,^; a) suivant les 
puissances de \). — c soil convergent. Mais la fonction 

H(^, J-; ;A) = r(.r, jk; \j:) — ^{{x,y; [x) 

est une fonction meromorphe de ij., el par suite, les relations (63) 
subsistent pour toutes les valeurs de A el de u, et en particulier 
pour A =: ti. = o. Posons pour abreger k{x^ y) = y(^, y\ o) et 
H(a7, y) = K^( X, )') — /i'(^, y)\ le noyau K(.r, y) est ainsi decom- 
pose en deux noyaux ortliogonaux /v(x, y) el H(x, y')^ dont le 
premier A" (.r, j) s'oblienl en faisant A = o dans la partie princi- 
pale de la resolvante relative au pole a = c. 

Pour acliever Tidentification des deux membres de la for- 
mule (61 his)^ il faut egaler d'une part les coefficients des diverses 

puissances de - et de j-, qui proviennent uniquement de la partie 



4o4 CHAPITRE XWI. — L KQIATION DE FREDHOLM. 

prlncipale, craulre pari, les coefficienls ties puissances positives 
de Ji el de k\ qui proviennent unlquemenl de la partie regullere. 
On pourrait oblenir ces deux groupes de formules independam- 
iiient les unes des autres, en supposant que la partie reguliere est 
luille. ou au conlraire, en ne lenanl pas coniple de la partie prin- 
cipale. 11 est clair que ces deux groupes de formules peuvent etre 
condensees en deux formules uniques 

(64) y(j:, J'; >0 — 7(*^5 j; \^) = 0^—[>.) j -((x, (■.'/.)•( (t, y; [x.) dt, 

(65) H(a7, jk; ).)— iU:r.y: u) = ( a — a) T H ( x. ( ; l)H(t. y : ix) dt, 

dont la premiere exprime que la resolvanle relative au no3au 
/c(x,y) est precisement la parlie principaley(^, y ; X) de la resol- 
vante T(x,y, X) dans le domaine du pole c. La seconde exprime, 
au contraire, que la resolvante du nojau Yl(x, j') est idenlique a 
la partie reguliere de la resohanle r(x, y: A ) dans le domaine de 
ce pole. Le noyau k(x, y) est appele le noyau principal re\Ali( 
au pole c; il suffit de connaitre ce nojau principal pour deter- 
miner les fonctions fondamentales correspondanl a la valeur c, 
puisque c n'est pas une valeur singuliere pour le noyau H, 

A cliaque pole de la resolvante correspond ainsi un noyau prin- 
cipal. Deux noyaux principaux correspondanl a deux poles 
differents sont orlhogonaux. Soient k^(x, y) et k2{x^ y) les 
noyaux principaux pour les deux poles c, et c^ ; k\{x^ y) est 
orthogonal au noyau H, [x. y) = R(.r, y) — k, (r, y). La resol- 
vante *') (a:, y; a) etant reguliere dans le domaine du point A = Co, 
il est clair que k-2{x^ y) est idenlique au noyau principal qu'on 
deduirail du noyau H, . Posons H, (x, y) = Ho -r /.'o, el soient 

Voix^y: A), '[iix.y; K) 

les resolvanles pour ces deux novaux; k^(x, y) est orthogonal a 
la resolvante T.2{x, y: a) -\-''2{x, y; a) du noyau H,(.r, j^) et 
I'on a 

j ki(T, t) \\\{t. y: a;-^72< ^ J'; >>); dt = o. 
Or, 1 integrale / /.|(x, t) ^^'-.{t, y, /~)dt est une fonclion 



U. — KTl or-: DL \OVAl HESOLVANT. .\o'> 

ralionnelle de /. adinellanl Ic sen! jxMe ). ^ Cj el niille ;"i linfini, 

landis que rinl(''grale j /. , ( J", /)V^(f,y, "z.) dl esl une fonclion 

liolomorphe de "a dans le domaine do )> = r.^. II faiit done que ces 
deux inlej^rales soient nulles I'uneet laulre, de sorte que A, (j", j^) 
est orlliogonal aux deux novaux kj el IL. 

577. Structure dun noyau principal. — Pour qu'une fonc- 
tlon K.(j?, v) soil un noyau ()rinei|)al, il faut que la resolvanle 
relative a cenojau soil une fonclion ralionnelle de A ayant un seul 
pole etnullea Vinfini. Cherclions d'al)ord dans quels cas la resol- 
vanle aura un seul pole du premier ordre. Elle devra elre de la 
forme 

1 ^ ' 

c 

ce qui exige qu'on ait dime facon generale (n° oo9) 

c/'-«K/''(:r, ^) = K(.r, J') (/> = 2, J, ...)• 

Ces conditions, on le voil aisement, se reduisent a la j)remiere 

(66) KO,7)=c / V^(x. s)\\{s, y)ch^ 

qui exprime que R(^, j'o) est une fonclion fondamenlale du 
noyau K(a7, j), relative au pole c, quelle que soil la valeur con- 
stante j^,, allribuee a y. Puisqu'il n'existe qu'un nombre fini de 
fonctions fondamentales dislincles, il sensuit queK(:r, y) est une 
combinaison llneaire de /> fonctions lineairement dislincles '■:>(( x)^ 
dont les coefficients dependent de_^ 

(67) K{x, v) = cp,(:r )■!>,(_>') -^. . .-^ '^,,( x)-lf,(y), 

les fonctions 'i>, (y), . . ., 'J;^(j') etanl aussi lin<'airemenl dislincles. 
Si Ton remplace K(\z, }) par Texpression (67) dans la rela- 
tion (66), on voit que les fonctions (S/, •l/^ doivenl verifier les rela- 
tions 

(tp/'i//,) = |)Our i 9^ /<', c(o,'i//) = I (/ = i,2, ...,p) 

de sorle que les fonctions f'^,, o.,, ..., Op)('ii,, 'I/o, ..., '}^) 
forment un sjsleme biorlhogonal. Inversement, de tout systeme 



4o6 CHAPITRE XXXI. — l' EQUATION DE FREDIIOLM. 

hlorthogonal on pent dediiire un novaii K(.r', y) repondanl a la 
(juestion. Reiiiarquons que 'i^i, 'b^, ..., <i'yj sont les /? solulious de 
requation lioniogcne associee 

el que la fonctlon dcterniinanle D(a) = ( 1 — -\ (n"o71). 

Avant de trailer le cas general, nous deniontrerons un lemme. 

[.KMAfK. — Toule solution de V equation integrate 

r'' ^ 

(68) .^(x,y)-c \i{x,s)o{s,y)cls = y\i{x)\i{y) 

est de la nienie forme (jiie le second membre. 

Eneftet, soil '^{x^y) une solulion quelconque de cetle equation. 
Les n fonctions Y/(j^) etant supposees lineairemenl dislinctes, 
donnons l\ y n valeurs parliculieres y,, j^o? •••> Yn telles que le 
delerminanl forme avee les elements ^/(jKa) i^6 soil pas nul. Des 
n equalions obtenues on peui tirer X,, . . ., X„; on en lire, par 
exemple, 

Xi(a:) = *i(a7) — c \ ¥.{x , sy^ ^(s) ds , 

'J a 
n 

Oi (j?) elanl de la forme ^ a/'i(:r, jv), les a, etanl des coefficients 

constants. De la fonction cc(.r, y) on deduirait de meme une solu- 
lion 'l>,(jp) de I'equalion 

^i(x) — c I K(x, s)<t^i(s)ds = Xi(x), 

ei par suile une solution «I> (a:-, j>^) = 2<J>/(jc)\,(jk) de lequation (68), 
qui est bien de la forme voulue. Toule autre solulion esl de la 
i'ovme ^{t, y ) + 'l^x, y), '\i{x^y) elanl une solution de I'equa- 
lion liomogene 

•H^,r) = cl K{x, s)-lis,y)ds. 
Mais loutes les solutions de cetle equation, considerees comma 



II. — KTUDE DU NOYAU RESOLVANT. 4o7 

fonclions de x, sonl des combinaisons lineaires dun nomhre Jini 
(poiivanl etre nul) de fonclions de jc; loulc solution de lequa- 
tion (68) est done bien de la forme annoncee. 

Gela pose, reprenons le oalcul d'identification dti n" o7o. Nous 
vojons d'abord que B„(x,y), qui est ej^al a une fonction fonda- 
inentale du noyauK(x, y), quand on attribue k y une valeur oon- 
stante quelconque, est de la forme 

(69) B„(t. y\ = '^i(x)-li(y) -^-...-^Or{x)-lr(y), 

puisqu il n V a quun nombre liui de fonclions fondamenlales cor- 
respondant au nombre c. En egalant les coefficients de A'~" dans 
les deux membres de lidenlite (58), on irouve la lelation 

Bn-,(x, Y) = c I Ki X, t)Bn-.i(t, y)d( -r- / K(x, t)Bu( t, y)dt: 

B,j(\r, ^) etant de la forme (^6<)), il rtisullo dn lemme prcccdenl 
que B/,_,(:c, jKj est de la menie forme. Dune facon generale, on a 
la relation de recurrence 

\in-i(x. y} — c I K(x, t)Bn-,( (, yuit ^ I K(x, t}B,i-i+^(t.j)dt: 

dou I on deduit de proche en proche que tous les coefficienis de 
la partie principale sonl de la meme forme et par suite le noyau 
principal lui-meme est de celte forme .p, •]/, + C52'}2H- • • • + 'fw'j'/zn 
les m fonclions c;,(j^), 'io(^), ,.., 'ji,„(a:) pouvant etre sup- 
posees lineairemenl dislinctes, ainsi que les m fonclions 'i'i(j^), 
'T'2(y)' • • • 5 '7^'«(j')- ^" ^ ^^' plus haul (n"o71 ) que le noyau resol- 
vant correspondanl n esl nul pour ). infini que s'il n'existe aucune 
combinaison lineaire des 'i/ qui soil ortliogonale a lous les 'Ia. 

La fonction determinante D(a), deduite de ce noyau, est alors 
un polynome de degre /??, donl toutes les racines sonl des poles 
de la resolvanle (n" 060). Pour que celte resolvante n'admelte 

(jue le pole /. = c, il faut done rpi On ail J3()>) = ( 1 ) • Celte 

condition esl d ailleurs suflisaiile, car la resolvaute esl alors le 
quotient d'un polynome de degre ni — i en A par D(a) (n° 371). 
Toule combinaison lineaire a coefficients constants des m fonc- 
lions C5,, 'io. .... 'ji,„ esl une fonction princi/jale du noyau K(jc,j^), 
relalivement au pole c de la resolvanle. 



40^ CHAPITRK XKXI. — I.KQl ATION l»E FREDHOLM. 

Toul groupe de ni fonclioiis prliicipalen llneairemenl distincles 
est un groupe principal. Les fonctions -!/, , 'l-^, .. .,•!/„,, et celles qu'on 
oblienl par des combinaisons liueaircs a coetficienls constants, sont 
\es fonctions principales associees. Le noyau principal etant mis 
sous la forme t^^{x)^^{y) + o^{x)'\.i{y) + . . .->rO,n{x)'\m{y), on 
dira que les deux oroupes de fonclions (cs, , . . ., '^„,) et (•!>,, .... -]>„«) 
sont deux groupes j>rincij>(fux associes. 

11 y a evidemment une infinite de systenies de groupes princi- 
paux associes, puisque le novau princi|)al pent elre mis d'une infi- 
nite de facons sous la forme precedente. Tout sjsteme de m com- 
binaisons lineaires distinctes des m fonctions Oi{x) peut elre pris 
pour groupe principal, et le groupe principal associe est deter- 
mine par ce choix (n" 571). On va profiter de cette indetermina- 
tion pour mettre le noyau principal sous une forme qui met en 
evidence les proprietes de ce noyau. 

578. Reduction a une forme canonique. — En resume, tout 
noyau principal /i[x,y), relatif a un pole c de la resolvante est de 
la forme 



(70) k{T,y) ^^i(x)<^i{y)^Oi{T)^i{y) 



■j,,„{x)'l,n{y), 



o,(.r), ..., u^m[x) etant m fonctions de x lineairemenl distinctes, 
'^*{y)^ •••' '^m{y) etant m fonctions dey lineairement distinctes; 
de plus, ces fonctions- doivent etre telles que le determinant 



(7U ^hnO~) 



I — an A — a 12/. 






an,— I '^i{xy)ju{x)dj 

soit idcntique a (i — -1 • ()r, on est conduit a une equation 

equivalente a I'equation D^(a) = o dans Tetude de la question 
suivanle. D'apres la signification des coefficients «/^, on a 

(7a) k['^i{x)\ = ailtilix) -^. . .-^ ai,„^,n{x) (i = i, 7., . . . , m)\ 

si done on se propose de determiner une combinaison lineaire a 
coefficients constants ^{x) ^ y.,z^,{x) + . . .-i- y.m'fm{x), telle 
qu'on ait 

(73) /^[1'ix)] = s<l>(x), 



f 



II. — ETiDK i>i Novvt iu;soLVA\r. 409 

.V ('•tanl line conslaiite, reqiialioii a la([iifllf on e>l conduit pour 
detenniuer le faclfeur 5 n'esl autre, on le voil alsenienl, (|iie 

( 7l ) F ( 5 ) = (- 1 )'" s'" D„, ( i j = (^ J - s) '" = ... 

Les equations (72) definissenl done une subslilulion lineaire donf 

["equation caracterislique esi (- — s) =0, el nous pouvons 

appliquer a celle subslilulion les resultals connus sur la reduclion 
dune subslilulion lineaire a une forme canonique ( il, n°* 409-410). 
On a vu qu'il existail m conibinaisons lineaires distincles des fonc- 
tions cp< qui subissenl uue subslilulion lineaire de forme cano- 
nique quand on leur a[)plique Toperation /. ( ). Pour ne pas 
mulliplier les notations, nous supposerons qu'on a pris pour '^,. 

C3.J 'Z>„i ces fonctions principales elles-memes. Elles se par- 

lai^ent alors en un certain nombre de groupes; les fonctions cp,, 
c5o, . . ■■, Op formant un de ces groupes satisfont aux relations 

(75) cA-(<pi) = Oi, c/,(9.>) = 'fi-+- 'f^, •••, f'<^('-?/') = ?/'-i-^?/': 

el Ton a des formules analogues pour cbacun des groupes. Nous 

dirons que les m fonctions cp,, cpo, 'i,„ forment un systemc 

canonique de fonctions principales, et que le noyau A (.r, y) est 
mis sous forme canonique. Les fonctions .i,. cio, ..., Op dun 
ineme groupe forment un gioupe canonique. et les fonctions y,. 
•l/o. . • ., 'i*/j nil groupe canonique associe. 

Supposons, par exemple, qu'il y ait deux groupes cano- 
niques, contenant respectivement /? et q fonctions ip -f- // = ni):, 

soient (cp,, cpa, ..., 'f;,) et ('^',, cp'^, cp'^) ces deux groupes de 

fonctions. Le noyau eiant mis sous la forme 

les fonctions o'i{x^, 'i'j(.l') veriflenl des relations louies pareilles 
aux precedentes 

(75/ cA-(o',) = 9',. cA(cp2) = cf', ^o; cA-(c:,) = o'y_,-f-o;/. 

Les relations (^S) el (70)' exigent que les fonctions cp, soient 
ortliogonales aux fonctions '!(' et que les fonctions 'It soient ortho- 



.(lO CHAPlTRi; XXXI. — L EQUATION DE IREDllOLM. 

i;onales aux fonclions 'j , tie sorte que les deux noyaux 

kx{x,y) = Oi(x)'li{y) +...-;- <£,>{x)'\>,,{y), 

^•■2{-i-, 7) = 'f ; (.^)'>i (7)^-- . •+ ?;/('^-)'^;/(jk) 

sonl orlhogonaux. Cliacun de ces noyaux esl dit un noyau cano- 
nique. La methode est generale et, par suite, tout noyau prin- 
cipal est la somme dhin certain nonibre de noyaux canoniques 
orlhogonaux deux d deux. Chacun de ces nojaux canoniques 
est forme a\ec les fonclions principales dun des yroupes cano- 
niques. 

Dans les relations (73 V on peul remplacer le novau k(x, y) par 
le nojau A'i(x, y), puisque C2,, '^05 •••■> '^p sont orthogonales a 
lous les autres novaux canoniques dont se compose /r(ic, y). En 
remplacant /Ci[x, y) par son expression, on voit que les rela- 
tions (70) ne peuvent etre verifiees que lorsque les conditions 
suivantes sonl remplies : 'fi(-c) doit etre orthogonal a toutes les 
fonclions 'L,-, sauf a 'i/,, 'jo esl orthogonal a tons les -l/, sauf a 'I, et 
a 'i/^, . . ., enfin 'z>p est orthogonal aux -i//, sauf a '}/j_i et 'lp\ de 
plus, on a les relations 



0(t5, •!/,) = I, C(C2'I/,) = I, f(9,'!-2) = I: 



CiOn'h 



fP'fp-'i 



ha fonclion delerminante f/i(A) correspondant au nojau /,i(x,y) 

esl, d'apres la formule (71), ( i ) . et ce noyau possede une 

seule fonclion fondamentale '^t(x)', •lp(x) est en meme temps une 
fonclion fondamentale pour le noyau associe. II y a done aulant 
de fonclions fondamentales dishncles que le noyau principal ren- 
ferme de noyaux canoniques. Lorsquun noyau canonique se re- 
duit a un seul terme '.:>, (x)<li, (y), '^, et 6, sont deux fonclions 
fondamentales associees. Dans le cas ou \ = c est un pole simple 
de la resolvante, le novau principal se decompose en m noyaux 
canoniques de cette espece (n'^ 577). Si A = c est un pole mul- 
tiple, il y a au moins un des noyaux canoniques qui renferme 
plusieurs fonclions principales. Dans ce cas, el dans ce cas seule- 
menl, la fonclion fondamentale '^(.r) provenant de ce noyau est 
orthogonale a toutes les fonclions fondamentales de lequalion 



II. — KTUDE DU NOYAU RESOLVANT. i I I 

associee correspondanl a ce pole. Done, pour qii un pole de la 
resohanle soit simple, il faiit et il siijjit qn'd toute fonctioti 
fondamentale ^{x) correspondant d ce pole, on pidsse faire 
correspondre line solution fondamentale '^' [x) de V equation 
associee qui ne soit pas orthogonale d ^[x). 

579. Resolvante canonique. — Pour Irouver la partie pririei- 
pale de la resohanle dans le doniaine d'un pole c, il siiffit de faire 
la soiume des resolvanles relatives aux differents nojaux cano- 
niqiies qui composenl le nojau principal. Pour former la resol- 
vante relative an no>au canonique 

l<ix,y) = cp,(a7)'l^,(jK) -+-... -+-o,,(a7)0^(7), 

nous devons former les nojaux iteres successifs. D'apres les va- 
leurs des integrales ('j/'I^y), on voil inimediatenient qu'on a 

et Ton etablit ensuite par recurrence qu'on a 

c'^hn+v(^x, y) = ^i{x) ) '>,(jK) -+- G,V^2(7) + G,V}3(jk; --• • • j +• • • 

-r- <fiia;) ; <5^i{y) + C,\<^,+, (y) + C% 'li^,(y)^.. .{+... 

en posant V^,J= —_ — —. Un s arrele dans Je coelti- 

cienl de 'Oi[x) lorsqu'on est conduit a ecrire des fonctions '}/+a(jk) 
d'indice superieur a p. En portant ces expressions des noyaux 
iteres dans le developpement du nojau resolvant suivant les puis- 
sances de \ le coefficient de 'j>i{^')'\>i+/i(y){h >> o) sera done 



c"esl-a-dire 



(^r 



W" 

^111 



I — 
c . 



La resolvante *'(.r, y; A)du nojau canonique /\{x, y) a done [)Oiir 



4 12 




CH 


ex| 

1 


iression 




I — 


c 





CH.VPITRE \XXI. — I, EQUATION DE IRKDIIOI-M . 



?/'?/') 



V-c) 



I ,. ,1 
/(-I 
1 



c^r 






el c est un jxjie d'ordre p |>our cette resolvante. Si I on ecril ce 
developpement sous la forme liabituelle en posant Az=:c + o, le 

coefficient de i-\ est, a un facteur constant pres, 'fi (^)'|'/j(jk) 

(cf. n° 573). On deduit de cette expression de la lesohante un 
certain nombre de consequences. 

Pour un pole c de la resolvante d'un novau quelconque R(j?, r), 
il y a lieu de distlnguer le rang?-, c'est-a-dire le nombre des fonc- 
tions fondamentales distinctes correspondantes, Vordre p de ce 
|)ole et enfin le degre m de multiplicite de la racine A = c de 
lequation D(a) = o, lorsque la solution de Fredholm est appli- 
cable a ce nojau. Le r.mg /■ est egal au nombre des noyaiix cano- 
niques qui composent le noyau principal corres])ondant a ce 
pole; si ces noyaux canoniques comprennent respectivement a?,, 
/«2, • • ., Tir fonctions principales, I'ordreyo du pole est egal an plus 
grand de ces nond)res, et le degre in est egal a la somme de ces 
nombres n^-^ n,^ . . . -f- n,-. Entre ces trois nombres /•, m. p, on 
a done les inegalites suivantes qui resultent de leurs relations 
mutuelles 

p -r- r — I _ /?! S rp. 

Si p = 1, on a /n = r; s il y a un seul noyau canoniqiie, /■ = i , 
p = m. Dans tout autre cas, on a /> -t- /■ — i <; /"/>. 

Reinarques. — i" Le residii de la resolvante canonique ecrite 
plus haul est egal a 

les deux groupes de fonctions principales qui y figurcnt formenl 



II. — KTLDK ni NOVAL UESOLVANT. 4'3 

un systeme biorlhogonal. Toiil nojau principal elant iine somme 
de noyaiix canoniqiies, le residu relatlf a un pole c d'ordre quel- 
conque de la resoKanle est done compose avec des fonclions prin- 
cipales loniiant iin svsteine biorlhogonal. Si Jc pole esL simple, 
ces fonclions [)rincipales se confondent avec les fonclions fonda- 
menlales (n° 577 ). 

2" L'expression oblenne plus liaiit jjoiir la rcsolvanle v(j7,_^;},) 
d'un noyau canonique A(a", y\ jointe aux valeurs des inle- 
grales (cs/'^a) monlre immedialemenl quon a 



f 



b 

'[ ( .?, s ; X ) ds = 



ce qui complete la demonstralion dun tlieoreme de M. Poincare 
enonce anterieurement (n° 570). 

3" L'expression du /j'^""" noyau itcre k'"^{x, y) d'un noyau 
canonique k{x, y) montre que les fonclions principales de ce 
noyau ilere s'expriment an moyen des fonclions principales 
de k{x,y) el inversement. 

D'autre part, la determinanle D„(X) du novau A «'(a~, y) est egale 

a ( I j\ [ n" 370. foimule ( 36)], tanrlis que la resolvante admet c" pour 

pole d'ordre /y (n" oGO). On a done dans le cas acluel m —p et, par suile, 
/• = I. Le n'""*' noyau itere dun noyau canonique ne conlient done lui-meme 
qu'un noyau canonique, et la fonrtion fondamentale est la meme pour les 
deux noyaux. Cela pose, soit c un pole de la resolvante de K(j7, y); s'il 
n'existe aucun autre pole Cj tel que c'/ = c", le noyau principal de K*"^(.r, y ) 
relalif au pole c" est identique au n''""" noyau itere du noyau principal 
de K(a:-, y) relatif au pole c, el les fonctions fondamentales sont les memes 
pour les deux noyaux. Au contraire, supposons que la resolvante de Kfa7, y) 
admette plusieurs poles, deux par exemple, tels que €'{=€■"; le noyau 
principal relatif au pole c"^ de K'«'(a7, y) est alors egal a la somme 
des /t'""" noyaux ittres des noyaux principaux de K(j:, y) relatifs aux 
deux poles c et Cj. Les fonctions fondamentales de K'"''(^, y) correspon- 
dant a c'* sont des combinaisons lineaires des fonctions fondamentales 
de K(x.y) relatives aux deux poles c et Cj (voir n" olo). 

580. Fonctions principales. — Soienl '.5,, -^o- •• •• '^/wungroupe 
de m fonctions principales dislinctes du noyau |)rincipal k{x^y) 
relatif a un pole c. Si Ion pose H(.r, ^) = K(.r, y) — k(x,y), 
les deux noyaux k{x, y) et U(x, y) sont orthogonaux, ce qui 



4i4 



CHAPITRE WXl. — L EQUATION DE KREnilOI.M. 



•xige qn'on ait / H(^, 5)'^,(x) cA = o, el par sulle les m Tone- 

* a 

'o,„ salisfonl a ni rclalions 



lions 'J I . c. , 



(76) / KO. 5)0,(5) rf5= a,, o,(.r) -+-. 



,(^), 



Ic detenninanl caracterislique de celle substitution lineaire etant 
egal a ^^i — cs)"^. Inversement, s'il existe m fonclions lineaire- 
ment distinctes o,{x), ..., Om{x)i verifianl m relalions de la 
forme (-6) pour lesquelles le determinant caracteristique de 
la substitution soit (i — c^)"', c est un pole de la resoU^ante^ 
et Oi, C32, • • •• '^m font partic des fonctions principales relatives 
a. ce pole. 

En effet, en reduisant la substitution lineaire definie par les 
formules (76) a iine forme canonique, nous pouvons remplacer 
les m fonctions '^/(^) pai' m conibinaisons lineaires distinctes, se 
partageant en un certain nombre de groupes de telle facon que 
les /5 fonctions d un meme groupe verifient les relations 

I C I K(X, 5)<I>i('5) rfs = *i(a7), 

' 77 ) < " ,, 

j C I K( T, S)^2(s)dx — 'Pi{x)-T-^2(^), •••• 

La premiere de ces relations prouve que c est un pole de la 
resolvante et ^\{x) une fonction fondamentale. Soit k{x^ y) le 
noyau principal correspondant el lA{x^ y) = K(^, y) — A'(.r, y) ; 
les novaux k(x, y) el H{x, y) elant orthogonaux, *)(;r) qui 
est une fonction fondamentale pour A(x, y) est orthogonale 
a ¥L{x,y). II en est de meme de <I>o(:r); en elFet, la seconde des 
relations (77) pent secrire 

r'' 

*2( 5 i-+-1>i(5)= c / [li(s, t)+k(s, i)]^.2(t)dl, 

^ a 

et, en mullipiiant par H(x, 5) el integrant, il vicnt 

(78; r H(x, s)'p2<s)d.s z= c i I }i(x, s)U(s, t)^.2(f)dt ds. 

Puisque c nest [)as une valeur singuliere pour le nojau H(j?, v), 



II. — KTI DR I)i; NOVAi: RESOI.VAXT. 



r'' 

1 ('•([iialion c I H(^, s)'l(s) els = 'li x) n'adinel pas daiitre solu- 
«- <( 

lion ([lie 'i;(j7)=z:o, ce (|iii monlre que le premier inembre tie la 
relalion (78) est nui. On demontrerait ensuite de proche en 
prorhe que 'D.^, ..., ^hp sonl urlliogonales a H(.r, j) et, par suite, 
on pent reinplacer K(x, 5) par /.(j?, s) dans les relations (77), ce 
qui iiiontre (jue <I>^, <!>;(, ... sexpriuient au luoven des fonetions 
principalcs du noyau /.(x, )). 

D'uiie faeon |)lus generale, soient '.2i, cio? • • • ■> '■^m-, fn lonelions 
satisfaisant aux relations (76), oules coefficients y.i/t sont des con- 
stantes quelconques, dont le determinant est different de zero. En 
reduisant encore a nne forme canonique la substitution lineaire de- 
finie parces formules, nous en dedu irons /?^ combinaisons lineaires 
dislinctes se parlageant en un certain noinbre de groupes tels que les 
fonetions dun meme groupe verifient des relations (77), le nombre c 
iietant pas forcement le meme pour tons ces groupes. Toutes ies 
fonetions c5/(jc) sont done des combinaisons lineaires des fonetions 
principales du noyau relatives a quelques-uns des poles de la resol- 
\ante; nous dirons, pour abreger, que ces fonetions sont des fone- 
tions |)rincipales du noyau K(a7, y). Le raisonneinenl employe 
j)lus baut (u" 575) pour les fonetions fondamenlales setend aux 
fonetions principales, ce qui permet d enoncer la proposition sui- 
vante : toutes les fonetions principales (V un noyau K.(x, y) 
sont orthogonales a tout noyau orthogonal au premier. 

Soient A", (.r, 1) et koi^i .)') deux noyaux principaux correspon- 
dant aux deux poles C( et Cj de la resolvante; soient ('^,, 'jo, •••, 'f«) 
et ('iy,, 'i^, • •• J '^-^n) deux groupes principaux associes pour le 
noyau kt et (cc, , cpl, .... 'i,„), ('V, . ..., '}',„) deux groupes principaux 
associes de Ico- Les noyaux kf{x, y) et /x.,{x, y) etant ortbogo- 
naux (n"576), deux fonetions quelconques o/ et -L'- sont ortbogo- 
nales, ainsi que deux fonetions cp' et <]>/. En particulier, toufe 
fonction fondanientale o(x) correspondant a une valeur sin- 
guliere Ci est orthogonale a toute solution fondamentale de 
V equation associee correspondant a une autre valeur singu- 
liere c^ differente de la premiere. On le demonlie directement 
au nioyen des deux equations 

o(.r)=r, / Ki a", .v;o(s) <fs, '^(a:) = C2 / V>.\ s^ .v)'\f(s) ds^ 

da da 



jiti rnAPiTRE \x\i. 

ildii I on lire 



L EQUATION DE FREDHOLM. 



/ <f(x)^(x) dx = fi / . / K(:r, *)'j>(5)4'(.y) dx ds 

::= C'i I I K{S^ T)Q(x)<i^(s) ds dx. 

Coninie on |)eiil echanger Ics lellres x el s dans la derniere inle- 
legrale double, une telle egalile ne peul avoir lieu si C| el c^, sont 
diflferents que si cette integrale esl nulle, ce qui enlraine I'orlho- 
gonalite. 

Un novaii principal pent lui-menie elre decompose en un cer- 
tain nonibre de noyaux canoniques orlhogonaux deux a deux. De 
loul noyau K(x, jvO? on peul done deduire une suite de noyaux 
canoniques orlhogonaux deux a deux 



<:9) 



A-i(.r, J'), k^J,x,y), 



^i{oC; y). 



(le lelle facon que chaque fonclion fondamenlale de K.(a:, y) 
apparlienne a un de ces noyaux canoniques el a un seul. Si la 
resolvante n'admet quun nombre fini de poles, la suite (-9) est elle- 
ineme limilee. S'il y a une infinite de poles pour la resolvante, la 
suite ('J9)est illimilee. Nous avonsvu plus haul (11° 579) comment 
des deux groupes de fonclions principales du noyau A\(x, 7) on 
puuvait deduire un systeme biorlhogonal, en prenant le residu 
relatif au pole correspondanl c/. 

L'ensemble de ces syslemes biorthogonaux deduits de lous les 
noyaux canoniques forme un systeme biorlhogonal 



(80) 



«>2, 



qui sera liniile ou illimite suivanl que la resolvante admet un 
nombre lini ou uue infinite de poles. Chacune des inlegiales ('-s/'}/) 
est dillerenle de zero, de sorte que le systeme (80) peul elre trans- 
forme en un systeme normal. L ne meme fonclion cp peul figurer a 
la fois dans les deux suites, comme nous le vcrrons dans Fetude 
des noyaux symetriques. 

En resume, de loul noyau k(\r,^) on peul deduire un syslcjne 



II. — liTLDK DV NOVAU RESOLVANT. ji; 

hiorlliogonal el noritiaJ, forme par I'ensemble des fonctions princi- 
pales du nojaii et par cesfonciions seiilement. 

Lorsqiie le |)ole c est iinat;inaire, les fonclions principales sont 
elles-meines imaginaires, el an pole conjiigiK! correspondent des 
t'onclions principales con jiigures des premieres, si le nojan K(jr, y) 
est reel. 

La determination dii nojaii principal correspondant a nn pole 
connu de la resolvante n'exige que des developpements en serie. 
En ellet, la resolvante elant lecpiolient de deux fonclions enlieres 
de A, si Ton connail une racine d'ordre m, ).^c, du denomina- 
leur, le prodiiii de la lesolvanle par (A — c)'" n'admel plus le 
pole A = c. En ordonnanl le nnineraleur et le d^nominaleur sui- 
vant les puissances de A — c, une simple division algebiif|ue 
donnera la partie principale dans le domaine du pole X = c, el 
par suite le novau principal. Si ce pole est du premier ordre, les 
fonclions |)rincipales se confondent avec les fonctions fondamen- 
tales, et il sufHra de remplacer dans le lesldu y ou .x |)ar une 
valeur conslanle (|uelcoiicpie, pour obtenir toules les fonclions 
foiidaineiitales des deux e<juations associees. Le cas dun pole 
d ordre quelcoiujue exige quelqnes calculs de plus ('). 

Lorsque le noyau K(.r, y) est continu, il est clair, d'apres la facon 
meme cionl on pent I'oblenir, que le no^'au principal relalif a un pole 
quelconque est aussi conlinu; les fonclions principales seront done elles- 
memes des fonclions coniinu 's des variables x et y respectivement dans 
rintervalle (a, b). II en est de menne pour un noyau discoiitinu si le< 
noyauK quNjn en deduit par iteration sont continus a partir dun certain 
rang {'-). Soil, en eflet, c un pole de la resolvante; choisissons un nombre 



(') Voir par exeinple rrion Memoire des Annates de Toulouse, p. 79 et suiv. 
Dans le cas d'un noyau bi»rn^, on a vu plus liaut que les fonclions fondameritales 
s'expriuiaient iiu inoyen des niineurs de Fredliolm. Dans un Iravuil recent {Jouriuil 
de Matkeinatirjues, 1910), M. Platricr a complete ce n-suiial. 

(-) La conclusion tie s'etend pas aux noyaux tcis qii'on ne pnisse en deduire 
ua noyau cunlinu au boutd'un nombre fini (i'ileralions. Keprenons, par exempic, 

le noyau K{ x, y) ^^i/ — ■> en supposanl a = o, b — \ ; \a resolvante aduieL nu 

seul pole A =: I, el ii y a une seulc fonction fondamenlale — — qui est discontinue 

^x 
pour X = o. Considerons encore Ic noyau \i(x,y) defini paries conditions : 

K{x, y) — o \iOuv 0^ X <. - > K{x. y) — t pour - ^ a; < 1, avec a = o, 6 — i. Le 
G., Ill 27 



4i8 



CMAPITHK \X\I. — I. KQUATION 1)E FRKDHOI.M. 



entiei n tel que K"'(:r, v- ) soil rmitinu ct qn'il n'exisle aucun autre 
pole f| verifianl la relation c" = c". !\ous avons vu que les fonctions prin- 
cipales de \\.{x, y) relatives au pole c s'expriment au iiioyen des fonctions 
principales de K'"'(.r, y) relatives au pule c" ; elles sont done continues. 
On sexplique aisement ce resuital. Supposons que tous les noyaux 
iteres a partir de K'"'(ar, y) soient continus. Tous les coefficients des 
diverses puissances de X dans le developjicment de la resolvante sont con- 
linus a parlir du z?"^'""; il est clair que si Ion supprime les n premiers 
lermes de cetle serie, la fonction moromorplie oblenue aura les inOmes 
poles avec les niemes parties principales que la resolvante. Le produit de 
ce nouveau developpement en serie par une fonction entiere de X a coef- 
ficients constants est encore une fonction entiere de A dont les coefficients 
sont des fonctions continues de x^ y, et Ton ei) conclut, conime tout 
a I'heure, que les coefficients de la partie principale dans le domaine d'un 
pole sont continus. Le noyau resolvanl presente bien des discontinuites. 
mais elles naffectent que les premiers coefficients du developpement 
de r(.r. r: ?) suivant les puissances de A. 

o81. Theoremes de Fredholm. — Le theoieme de Fredliolm 
(n° 568) sur les tonclions foiidamentales correspondant a un pole c 
de la resolvanle resulle immediatemenl de I'elude qui vient d'etre 
faite. Oil pent aussi retrouver aisement le tiieoreiiie relatif a 
I'equalion generale de seconde espece lorsque la valeur du para- 
melre est un pole c de la resolvante. 

On a deinoolre (n"o69) que Tequation n'adraet de solutions 
que s'\f{x) est orthogonale a toutes les fonctions fondamentales 



fiiimr noyau itere KC")(ar, y) est nul pour a: < - el egal a — j^ pour a: i: - • Le 

1 2 -1 

noyau resolvant r{x, y\ "/.) est nul pour x <, - el egal a r- pour x=-- 



L'equalion homogene 



2 / K.{x, s):{ 

Jo 



9 ( s ) ds = fix) 



admet la solution discontinue '-fix) = olx 



0- 



o(x) =1 pour X ^ -• 



D'une facon generale, supposons qu'on modiOe la valeur d'un noyau hi{x,y) 
Ic long d'un nombre fini de lignes, ce qui revient a ajouler a \i{x, y) un noyau 
K^{x, y) qui est nul, sauf le long dc cerlaines lignes en noinbie fini. Si K^{x, y) 
n'a que des lignes de discontinuile de la premiere sorte, il n'y a rien de change 
pour I'equalion integrale, car les noyaux iteres de K -f- K, sont identiques aux 
noyaux ileres de K{x, y). On peut remarquer encore que la valeur d'une inte- 

grale / K( x, s)» (5) rfs ne change pas quand on change K en K -t- K,. II en 

est aulrement, si Ton ajoute a K(a7, y) un noyau K,(a7, y) qui est nul sauf le 



M. — ETt[)K Dl NOYAU RESOLVANT. 4 '9 

(le I ('•(|iialli)ii associee ("orrespondanl an pole c, et la demonslraliou 
solcnd a un noyau non borne, (^es coudiilons sont siiffisantes. 
Soil, eii ellet, k[x, v) le iiovau princijtal relalif an pole c; ce 
novau principal est la soinme d'lin certain nornhre de noyaux 
canoniques ki{x^ y)^ . . ., kr{x^ r)^ et les noyaux /., (a:, r), • • . , 
Jxr{x, )'), K(j;, jk) — /' (^1 y) sont orlhogonaux deux a deux. 
D'apres utie propriete generale (n" 374), on aura une solulion de 
lequatioQ (i) ou ). = c, si I'on sail trouver une solution de clia- 
(Hine des equations 

o(>)=c I \K{x,y) — k{x,y)]o{s)ds^f{x), 



-{.r)=c I ki(x, s )T.( s)ds -h/(a:] 



( i = \, 2, . . ., /■). 

La premiere adniet une solution unique donnee par la forinule 
i^enerale de Fredliolni puisqne c n'est plus une valeur singuliere 
pour le noyau K.(x, r) — k(x, y). Dans la seconde, remplaeons 
le novau canonique A/i .r, s) par 

G,(^) 6,(5)-)-. . .^o,,(x)ii,,{s); 
elle dcvient 

-.(x)=c I \oi(x)'l),(s)-^...-^o,,{x)<bi,(s)]T.(s)c/s-h/(x). 



loiij; dun iiumbre fmi de droiles paralleles aux axes. Supposons, par exemple, 
K,^^, y) = o pour x ^ x„, K,(ar„, y) = K{y)- 
-Soil cpf.rl une solulion de I'equation 

■s{x) = \l K{x.s)-^{s)ds-hf{x); 

on ol)tirr(dr;i un«- solution <I» ( J: ) de la nouveile equation 

•l>{x) = >^ / [i<-{x, s)-h K,{x, s)]'P{s) ds -^f{x) 

'-'a 

en posanl <l>(x) = cp (a:) pour a: ?^ a7„ et <!>( j;„) = ts(a7j) -h C, la constante C 
etanl dt'-temiinee par Tequation 



C = A / K,(.r,„ s)»(s)<:/.s-. 



Le cdlcul s'appliijue encore si f{x) est nul; les valeurs sinjjulieres sont done 
les mfirues pour les deux noyaux, el les fonclions fondainentales ne dilFerent que 
pour x —- x^. 



\lO ClIM'lTRi: \\\I. — l'kQUATION DK FIlEItllOLM. 

II esl clair iiiio loiite solulioii est de la loi-mc 



/{x)^Ci'^i(j--} 



-C,rf/.(:r); 



en remplaganl ~{-i') par celie expression, et en lenanl comple des 
valeiirs des inlegrales (-j/'J^a), f>n obtieiil la relation 

C,cp,— Cj 'f>2 -f- . . . -r- C/,3/, = CiCp, -)- C5((p2-}- cpi) + . . .-i- G^('fp-+- 0/,-I ) 

pour determiner les coefficients C,, Co, .-., Cp. Puisque par 
liypolhese (•lpf)= o, celte i-elation se rediiil a 



Co, 



. . . — C,,Oj, i^ coi(x)i-lit/)-^. . . — c Op-, (r) (•!//,_, /) = o; 



les coefficients Co, C.-i, . . . , C^ sont delerniiii<'*s, tandis que C, est 
arbilraire. L'e(|uation integrale (i) adniet done dans ce cas une 
infinite de solutions, et il est chiir qii'on les obtient toutes en 
ajoutant a I'line d'elles iine fonclion fondanientale quelconque 
relative a la valeiir singuliere c. 

Bemarqite. — La solution de I'equation de Fredliolm dans le cas sin- 
gulier ne peul se deduire par un passage a la liniile de la formulefii) qui 
convient au cas general. Soil c un pole de la resolvante: supposons pour 
simplifier que le noyau principal correspondanl est Corme d'un seul noyau 
cannnique oi{x)'ifx{y) -\- o-i{x)'hi{y). La fonction de \ representee par 
la forinule fii) admel c couime pole du second ordre et la parlie princi- 
paie esl 






„ b 
+ ---, '-;—, / ?.(^)4.(0/(») 

('-or" 



ds. 



Le point K = c est un pole du second ordre a moins que f{x) ne soil 
orthogonal a 'l^^ix). Si celte condilion est satisfaite, le point c sera un pole 
du premier ordre, a moins que fix) ne soil aus«i orthogonal a J/,, et cepen- 
danl {'equation dc Fredliolni adniet loujours dans ce cas une infinite de solu- 
tion*. 

o82. Recherche des valeurs singiilieres. — La recherche des 
poles de la resolvante est iin cas pariiculicr du |)robleme general 
qui consiste a determiner les poles d'une fonction meromorphe. 



II. — KTini- I)U NOVAT UESOLVANT. 4^1 

connaissant les coefficients de son dcveloppement taylorien dans 
Ic doniainc (run |>g1iiL oii elle est reguliere. Ce prolilenie est 
resolii, totil ail moins dune facon tln'orique, dans un Memoire 
hi'en connu de M. Hadamard [Journal de Matliemaliques^ 1^92)- 
Nous nous l)ornerons a quelques remaiques d'un caraclere ties 
elementaire (|ui nous suffiront pour la suiie. 

i" Soity(X) une fonclion rationnelle de A. nulle poui- a infini, 
adniettaut un seul pole A, =5^ o, dordre p de niullipiuitp. Si i'on 
developpe cette lonction en serie entiere suiv;inl les puissances 
de A, le coefficient de a" est de la forme /.7"P(/?), l^(/t) elanl un 
polynome eiilier de degre/? — i par rapport a n. Reciproquement, 
lout dcveloppement en serie entiere de cetle e>pece represente 
une fonction rationnelle de A ajant )v, pour pole de degreyo, car 
tout polynome P(/?) de degre /> — i est une comhiuaison lineaire 
des coefficieuls de la formnle du binonie G,'^_^,, C);_j_o, •••, C,^^j,_, . 

2" Soient A(, Ao, ..., A^ les poles de module minimum d'une 
fonction meromoiphe F()v), representee, dans le domaine de 
1 originc, par le dcveloppement taylorien 

F ( X) = Ao + Ai ).+... -- A„ A" -t- . . . ; 

d'aprcs la premiere remarque, le coefficient A„ est de la forme 

A„= /.7"[^^':«>^-^/J-^>-i"P2('0^.••-^Ar"Pr^/0, 

V\. P21 • • -7 IV elant des polynomes en n dont le degre est egal a 
I'ordre du pole corrcspondant, diminuc de lunite, et tn lendant 
vers zero lorsque n cioit indefiiiinient. Cette expression du coef- 
ficient A„ (net en ('■vidence les proprietes suivantes qu il suffit 
d enoncer : 

I. Pour que le prodiiil c"A„ ait une liniile / ditJerente de zero 
lorsque a croiL indefiniment, ij faut et il suffil que c soit un pole 
simple de F(^X) et qu'il n'existe aucun autre pole dont le module 
soit = I c| ; la limite / est egale an quotient du residu par — c. 

\ . 

II. Pour que le rap|>ort ait une limite diflerenle de zero 

"-II — \ 

lorsque 11 croit indefiniment, il faut el il suffit f|ue, parmi les pules 
de module minimum, il y en ait un dont Tordre soil superieur a 



.i'2 CUAPITUE XX\1. — l'kQIATION UU FREDHOLM. 

lordre de lous les aulres poles de meme module; la llmile est 
egale a I'in verse de ce pole. 

Cela pose, soil K(a^, y) un noyau borne; on a (n" 566) 

D'(X) 



^8i) 



L)(X) 



= A,-;- Ao). 



A„>."- 



A,, Ao, ..., A„, ... etanl les traces successives dii noyau ('). Si 
la serie (8i) est divergente pour A = ),(,, on pent afilrmer que la 
resolvante admet au moins un pole de module inferieur ou au plus 
egal a |Ao|- Tons les poles do la fonction meromorphe (8i) etant 

des poles simples, pour f|ue Ic rapport " ait one liniiJc il faul 

el il suffit qu il y ail un seul pole de module niiiiiinuin. el ce pole 
est egal a I'inverse de la limile. 

De la resulle nn moven, tout au moins llieoiiqiie, de Irouver les 
poles lorsque ces piMes sonl lous de modules differenls. Soienl A,, 
X2, ..., ces poles ranges par ordre de modules croissanls. On a 

^ . . A 

d'abord A, en cherchant la limile de " pour n infini, et le residu 

An — 1 

correspoudanl /;;, en cherchant la limile de a"A„. Pour avoir 
I'affixe du second pole, on operera de la meme facon sur la serie 
enliere obtenue en relranchanl de la serie (<^i) le developpement 



de 



lUf 



■i el ainsi de suite. 



Si, en outre, tons les poles de la resolvante sonl du premier 
ordre, il sulfira pour avoir les noyaux principaux correspondants, 
et, par suite, les fonctions fondamenlalcs. de calculer les rf'sidus 
AeT{x,y; a). Pour avoir le residu relatif au premier pole A)- '' 
suffira de Irouver la limile de )//"' K'"^(x, y), car K^"'(a^,jK) est le 
coefficient de A""' dans le develojipemenl de Yix,y; A) sulvanl les 
puissances de X. Ayant obtenu le noyau principal A",(:r, y), pour 
avoir le noyau principal k^^x^y) relatif au pole Aj, on a[)pliquera 
la meme methode au developpement 



l"(>, y: l)—Ai(x,j-) . 



et ainsi de suite. 



At 



(') Pour un noyau non borne, tel que lous les noyaux ileres soient homes ;'» 
partir de K^"'>{x, y), on peul conserver la serie (81). a condition de "iupprimer 
les [n — i) premiers lermes {voir n° 570). 



!I. — liTUDR nt NOYAU RESOLVANT. 4^3 

On pcul aiissi trouver les fonctions fondiimenlalcs par line suite 
d'ilerations. Soil 

/ u{x\ A )= it»(x) — A«,(ir l-H. . .H- A" u,i{x) H-. . .. 

(82) ) r'' 

j u„= / K'^'i^x. s}Ua{s) ds 

le (leveloppemenl sui\ani lc>^ puissances de A de la solution de 
re(|ualion ( I ) ou Ton aurail rcmpjace /"(:r) par Uq[x). Consideree 
comnie fonction de A, u{x^ A) est vxnti fonetion nieromorplie qui 
ne peut avoir pour poles que les poles de la resolvante. La partie 
principale dans le domaiiie dun pole )./ de la resolvante est egale a 



/ 



';i(x, s\ X)Un{s) ds, 



"i(X, v; A) elaul le noyau resolvant pour le noyau principal ki{x, y) 
rclalit au pole A/. Cetle partie principale disparait si la fonc- 
(ion Mo(^) est ortliogonale a droile au noyau //(.r, y), de sorte que 
la fonction u{x\ \) n'admet pas foicenient tons les poles de la 
resolvante. Par example, si ao(^") est une fonction fondamenlale 
relative a la valeur singuliere c, la fonclion iii^x; X) se reduit a la 

fonclion ralionnelle //o('^)- — -y du paramelre A. Si Lifsi^x^ etait 

ortliogonale a tons les noyaux priiicipaux, </(a:; A) serait une 
fonction entierc de A. f^aissant de cote ee cas exceptionnel, 
soientAi, Ao, . . ., Ar les poles de module minimum tels que Uq(^x) 
ne soit pas ortliogonale aux noyaux principaux coirespondants ; 
u[x\ a) est une fonclion ineromorphe dont les poles de module 
minimum ^rmt ).,. Aj, . . ., A,-, et le coefficient /^„(.r) a poiirexpres- 



>ion 



Unix) ^ X," ; \\{ n. X) — e„; -~ /.^"Fof «, x) —. . .-^ l,."V,.{n, x), 

t,i tendant vers zero lorsque n crolt indefinimenl. Vi{n. x) est un 
polynome en n defini par la relalion 

^(-— j Vi(n,x)= I -lii X, s: 'k)Uo(s) ds, 

n 1=0 

*',(x,y; A) elanl defini comine lout a I'lKMire. Pour (pi'il exislc un 
nombre c tel que le [)roduit 6"//„(.r) tende vers une limite V(x) 



\?.'i cnAiMTRK \xxi. — i.'equatiox uv. irkdhol.m. 

ilifl'ercntc ilc zero lorsquc /* croil indclinimenl, iJ faul. d'aprcs la 
lomarque clii drbul. que c soil un pole simple de uix] a) ol qiiMI 
n'y ait auciin pole de module =|c|. II fatidra done qii'on ait /• = i , 
A, =r c, et de plus que P»(/i, x) soil independant de n. Or, en sc 
roporlant a I'expiession d'un noyau canoni(|ue ('n"o79j on volt ais*'-- 

^'' 
mcnl (\u(\ si rexprcssion )." / /, " ( .r, .v )//„' ^ ' (^■'> est iadependaiile 

•- It 

lie //. elle est egale a uno foncUon londaineiitalc rclati\e au pole A,. 
On peul done eiionrer la proposition suivante : 

Silepioduit c"u„(:c) tend vers itne litnile U'^X) diff'f'iente 
de zero lorsquc n croit indejinimcnt^ c est un pole de la resol- 
i ante el \^(x) une fonction fondaincntale rorrespondant d ce 
pole. 

En clioisissant (:on\ enablement la fonctiori Uo{x). on pent ohtenir 
ainsi toulcs ies fonetions fondanienlales correspondani ii ee pole c, 
inais il resulle de la demonstralioii meine que si le [)roduit c"u,i(x) 
lend vers une liniiie difFerente de zero U( J?) [sans que la fonclion 
d'ou Ton part u^ix) ait ete choisie d'une (aeon particuliere], c est 
un poledu premier ordre de la resolvanle qui nadmel aucun autre 
pole de module egal ou inferieur a \c\. 

o83. Methode de Schwarz. — On |jeut rattaelier aisemenl a ce 
<|ui precede une < iegante jneliiodc etn|)loyee par ^I. Sclivvarz pour 
certains cas particidiers imporlants dont il sera question plus loin, 
avanl qu'on ne fut en possession d une theorie generale. En mul- 
tipliant Ies deux membres de la formulc ( Sa) par une fonction 
bornee A(,r) et integrant terme a terme. il vient 

(S3) f ii(x\ '/.)A.(T)dx — ho— a,'/. -. . .~Bn'/" + . . . 

en posaul 



B„- f 



\( :r)Un(^) dr. 



Lc premier membre de cette relalion est encore une fonction 
meromorphe du |)aramelre A, dont Ies poles font partie des poles 
de u(x: "/.) et. par suite, des poles de la resolvanle. Si done, en 



II. — KTt hi: du noval hksoi-vant. 426 

clioisissant cun\eiialjlenicnl Ics fonclions t(„[.c) el A(,r), Ic liip- 
j)Orl " lend vers une litmlc / (lillV-icnlc dc Z(';ro, on peul affirmer 
(|Me liMverse c= j est nn pTile ile la lesolvaule ; de plus, si le pro- 

dml c" K,i(u:) lewd \eis nneliniile U(^) diderente de zero, U(x)est 
une fonclion londainenlale eonespoudant a ce pole. 

En particulier, si Ton penl clioi>ir i(,t(x) et A(a:j de ia^on que 
les constantes B„ soienl positives, el verilienl la eondition 

le rappoil , va en eroissant avec n; ce rapport iie penl crottre 
"11 1 

indefiniment, pulsque la serie (85) serait di\eru<'nle sani pom- 
A=:o. 11 tend done \ers une limite, donl Tinverse est un pole de 
la resohaiile. 

o84. Genre de D(X). — liappeloiis (i'nbunl la (lefuiition du genre d'uiie 
fonclion enliere G("/.); soient /i, A2, ..., )./, ... les zeros de cetle fonc- 
lion, ranfres dans un ordre lei que le module n'aille jamais on decroissant, 
chacun des zeros figuranl dans la suite autant de fois que I'exige son 
degre de mulliplicite. S'il exisle des nombrcs [jl lels que la serie 

soil convergenie, designons par Z: h- i le plus petit nombre entier satis- 
faisanl a celle condition. On a vu(II. n° 31o) comment on peul former 
une fonclion enliere admeitant les memes zeros que G(X), au meme degre 
de mnllipliciU', el la fonclion GfX) est de la forme, en supposant Oro)^ o. 

(84 ) G(). » = eff'' FT ( I — ^V).."^ 2).; "■■■"//,*, 

ff(/~) elant ,^une fonclion enliere de /.. Lorsque celle fonclion ff(l) est un 
polynomc de degre r. le plus grand des deux nombres A- el r s'appelle Ic 
ffenre de la fonclion enliere G(X): on le reprcsente par la lelire/). Remar- 
quons qu'il ne suffil pas qu'une fonclion enliere soil mise sous la forme (84 ) 

pour en conclurc le genre: si. |)ar exemple. la serie ^ k- esl convei- 

genie, on a idenliquement 



1*6 



THAPITRE XXXI 



LEQIATION DE FREnilOI.M. 



II <emblerait, dapres la forme du second niembre, que la fonction est 
(le genre iin, landis quelle est de genre zero. Pour ineltre G(X) sous la 
forme caraeleristique (84). il est done indispensable de choisirpour A -4- i 

U— soit oonvergenle. 

■— ^ I ^i\ 
S il n exisle auciin iiombro a tel oue la <erie 7 U— soit convereenle. 

ou si ^(X) n'esl pas un polvnome. on dit que G(X) est de genre injiiii. 
Le genre dune fonction entiere est lie a I'ordre de giandeur du coeffi- 
cient ttn de X" dans G(X) par des inegalites importantes dues a MM. Poin- 
care et Hadamard. Cilons seulement le resultat suivant de M. Hadamard : 
si le produit n* v/|««| ieixd vers zero pour n injini, G(a) est au plus 

du irenre -• Nous axons xu (11" o()o) quo le module du coefficient a,, 

n 

M" « -( b — a)" 

de l)(Xi relalif a un noyau borne est inferieur a ; , en sup- 

n 1 

posant |K]-;.M. On en conclut aisement, en remplacant n\ par sa valeur 
approchee (I. n° 117) que le produit n^ \/\a,i\ tend vers zero si a est infe- 
rieur a -> et par suite le genre de D(X) est au plus rgnl a deux. En 
sappu\aut unirniement sur la llieorie generale des noyaux resolvants. 
M. Scliur { Exercice 3 du (lliapitre suivant; a prouve que la serie ^^ | — [ 

est conveigente pour un noyau boine. II sensuit ijue la fonction DfX), 
etant au plus du genre deux, est de la forme 



(8)) 



D(X. 



ff!l'/.-~0'/.* 



n 



A\ ^ 

1 — — I e'i 

A » 



On ne connait, croyons-nous, aucun noyau borne |)our lequel h soit diffe- 
rent de zero, mais on connait <les novaux pour lesquels D(a) est effccti- 
vement du premier genre, par exemple, le uovau de Volterra P ). 

La fonction D(X i etant au plus du genre deux, on deduit immediate" 
ment de la relation generale ( 36) du n" .*>70 



- \ 
I 



^86) D,.( a) = OVX/'joVwA/'j . . . UWo/'-'X'' 

que D,! A ) est au |)lus Aw jiremier genre et que D3(A), I)i(A). ... sont ilu 



(') Lorsque le noyau K{x,y) salisl'aiL a une eonclitioii de la forme 

\K{x.y) — K{x, z)\ < Alr-^jf. 

\ et etant deux nombres positifs determines, \I. Lalesco, utilisant une remaiipio 
de Fredholm. a montre que D(>>) olait du cenre zero {Coniptes rendus. I. 1 'i.3. 
1907, p. QoO). 



II. — KTUDE 1)U >OYAr RKSOLVANT. 4'7 

genre zero. Si Df A) est dii i^Mjiire zero on iin. D.jfA). DsfXi. . . . seronl dii 



jenre zero. 



Applications. — i" Soil K(ar, y) un noyau symelrique, c'est-a-dire lei 
que K(^, x) = K(,r, y). li est clair, d'apres les formules qui donnent les 
expressions des noyaux iteres successifs (n" 558), que lous ces noyaux 
iteres soul eux-memes s\metriques. La suile de ces noyaux est illimilee, 
puisqu'on a. en general, d'apres la relation enlre K<'*^(a-, y) el K^^"Hx, y), 

K<-^"' {x, X) =z I [ K "' ( X, s I \- ds. 
• It 

Si, en prenant n assez grand, on arrivait a un noyau K2"(a^, y) iden- 
liquement nul, on en conclurail que K'-"~''(x, jk) est Ini-meme identique- 
nienl nul el, en remonlanl de proelie en proche, on voit que K(j7, y) 
devrail lui-nieme elre nul. Si, au bout d'un nombre fini d'iterations, on 
arrive a un noyau borne, au moyen de deux iterations de plus, on arrivera 
done certainement a un noyau symetrique different de zero, pour lequel 
D(A) sera de genre zero. Ceci permet de demontrer Ires simpleinent 
qu'M« noyau symetrique <t au mains une valeur singuliere. En effet, 
soil ]\.{x, y) un noyau symetrique sans valeur singuliere; au bout d'un 
nombre fini d'iterations, on en deduira uu autre noyau symetrique borne 
sans valeurs singulieres K.'i\x,y) pour lequel Df^(X) sera du genre zero. 
On aurail done D^(X) = i, ce qui est impossible puisqu'il faudrait qu'on eut 

J^ b ^b 
I K''/' (,/•] , .X2 ) K'?' ( X2. xi ) dxi dxo = o 
a '-■a 

ou, en tenant comple de la symetrie du noyau, 

^b b 

I I ]\s.'/''(Xi,x.2)\-dxidx-2=o 

'II '^11 

et, par suite, K''/'(a7, y) = o (rf. u" .187). 

•2" Soil K(x, y) un noyau borne n'admeltanl (|u'un nombre Jini de 
valeurs singulieres; D(X), elant au plus du genre deux, est de la forme 

e"'^+''''-P(A), 
P(X) elant uu noivnome. La derivee loirarilhmique . ,. , est done une 
fonclion ralioiinelle de /. donl la parlie euliere est a -+- >6a. Inversemenl, 

si ^ ,^ est une fonclion ratii)nnelle. les poles a dislance finie doivenl elre 

D(Xj ' 

des poles simples et les residus des nombres enliers posilifs, sans quoi 
D(X) aurail des points singuliers a dislance finie. Si toutes ces condilions 



i»S 



« IIAPITRi; \\\I. — I. KQl'ATION DK KUKDHOLM. 



<oiii reinplies, Icqiialion 1>(A} = o n'aiira qu'iin noinbre (ini de racines. 
r<nii exprinur que ie noyau Kt./-. y) na qu'un iu)ml)re fini do valeurs 

,,. •■ rr , ,. D'(A) . 

siiimilK'ies. il suilil done d expniner fine .^ \ — est nne lonclion lation- 

D(A) 

nello. <;onnne la parlie t'lilieie de cotte foiiction esi du premier dcgrc au 
plus i-n )., on esl conduit a la conclusion sui\anle : 

Pour que V equation 1)(/) — o n'admette qu'un nomb\-c fini de ra- 
cines, il faut et il sujjit qua partir de As, p traces conseculii'es quel- 
conques du noyau veri fient une relation de recurrence a coefficients 
constants {p etant un iiombrc cnticr indetermine) ('). 

I'^n pailiculiei, pour (|u il n y ait aucune valeur singuliere, il faut el il 
suffil que toutes les traces soient nulles a parlir de A3. 

Vt^'.'K Developpements du noyau resolvant. — Le premier theoreme de 
Fredlioim donne I'exprcssion du noyau resolvant sous forme du quotieiU 
de deux fouclions entieres. <>r. toute fonclion meromorphe peul aussi 
s'exprimer, d'une infinite de manieres, par ia somme d'une serie dont 
cijatjiie terme est une fonclion ralionnelie n'admellanl qu'un pole a dis- 
tance iinie (II, n" 319). Les proprietes etablies plus haul |)ermellcnl dans 
certains cas d'obtenir pour ia r('<olvanlc des developpements de celte 
espece. 

Soil K{x,y) un noyau borne ; supposons les poles de la resolvanle ranges 
par ordre de modules croissants 1-), el soil Ai(x,y) le noyau princi|)al 
relatif au pTjIe X/. 

Lorsque la serie l\(x,y}=^ ^ k,(.T,y) esl uniformemenl convergenle, 
on pent ecrire 

(87) K{:r:y>='^/,,(a',y)-^H,(x,y), 

i = l 

les deux noyaux 11 (.r-, y) el Hi(.r, y) elanl orliiogonaux. En efFel, le 
noyau /ii(a', y) par exemple esl oribogonal a K(j', y) — A'lCa?, y) el a 
chacun des noyaux ki(x, j'Mt>i). II esl done ortlioi:;onal a leur 
somme Wix,y) — /ii{x,y) et par suite a la difference 

K( X. y ) — \\{ X. y ) ^^ Hi(ar, y ). 

Invcr^ement, H,(a:--, y) etant ortliogonal a chacun des noyaux k^{x,y), 



(') Cf. Lalicsco, Comptes rendus. decembre 1907. 

(-) On peul supposer que cliaque pole figure une seule fois dans la suite ouun 
nf)inl»re de fois egai au rang de ce piMc. Dans cc dernier cas. l\{x, y) est un 
noyau canoniquc. 



II. — KTIDK l)L NOVAl HKSOLWM. 1^-1) 

k\{x,y), ... est oillioijonal a ll(. r.Y)- '1 s'ensuit que Ic noyau Hitr. j- ) 
ne possede aucune valeur >iiii;uli('re et par suite sa resolvaiUe est un 
polynome ou une fonclion entieie de A; nous la representerons par 
E{x,j; X). I^a seiie qui lepiesente le noyau H ( x, y) etant uniformemeut 
convergenle, nous avons remarque plus haut (n" 372) que la resolvante 
(le ce noyau s'obtient en faisant la sonjme des resolvaiites ~[i{x,y.\) 
relatives aux noyaux /{,(.r,y}. La resolvante r(.r, y; X) du noyau donne 
Ki.r, ^) est ilonc representee par le di'-veluppement 

(88) yi^,y: ^^) = ^'{i(^,y; ^Al^E(x,y; I) 

i = i 

qu'on peul encore ecriie 

(89) r(^, J-; l)=^P'^[r(a:,y. A)|^ Elx.y; X), 

1 = 1 

P'"[r(^. t; A )] reprt^sentant la partie principale de F dans le domaine du 
pole X/. En remplarant E(t,j^; X) par une somnie de poiynomes enticrs 
en X, il est clair qu'on pourra transformer la serie (89) en une serie a 
termes ralionnels, dont cliacun n'admet qu'un pole a distance finie. et cela 
dune infinite de facons ( II. n" 319;. 

Pour un noyau borne qnelconque K( .r, j' ;, on ne |)eut affiriner en general 
que la serie des noyaux principaux est uniformement convergente, ni par 
suite que la resolvante peut etre mise sous la forme (88). Mais il est facile 
de former aulant d'exemples de ce genre qu'on le voudra. Considerons, 
par exeniple, les deux noyaux orthogonaux 

H ( :r. j'j = N a/sin ( ix j iini iy), 

i = \ 

■+- 00 

II, (:r, y ) = y^bjcos(j X ) cos[(j ^ i)y], 

i -' 1 

les deux series )S|rt,|, S|6y| etant con verge ntes et les limites a et b etani o 
et -ITT, et leur somnie K = H -i- Hi. Le noyau resolvant relatif a \\(.r. y\ 
est egal a 

-t- w _ 

^ ai%\\\{ix ) sin( iy ) 

Z^ I — TT Cli X 

Quant au noyau W^ix^y), il donne naissance a un novau resolvant qui 
est une fonction entierc de X. Ln effel, si Ton prend d'abord un iioml)re 
fini de termes dans la serie Ili(a", j'), on verifie (n"i571) que la fonction 
corre«p<indanle D„(X) se reduit a I'unite, car tous les termes situes au- 
dessous de la diagonale principale dans le determinant (44) sont nuls, et 



i3o 



CHAPITIIE XXXI 



1. KgiATlON DK FnKOHOLM. 



lous les teiines de la diagonaie piincipale sonl egaux a un. On a done 
aussi D(X) = I pour le noyau Hi(x,j-). On peul remarquer que la resol- 
vanle E(ar, y\ '/.) du noyau lii(jp,y) se reduil a nn |)olync»nie si 11] nc 
contient quun noinbre fini de lernies. 

Pienons de meine un systeine biorthogonal quelconque forme de deux 
suites de fonctions 'i, el '^/, telies qu'on ait ((f,'i/y) = o pour i -^ j . An 
nioven de ces deux suites de fonctions, foimons une serie uniformemenl 
converijente 



V.(x,y) 



= ^^^i'^j^^y\i{y). 



les a, etant des consiantes. Les.termes de celte serie peuvent se partager 
en deux categories suivant que lintegrale ((f/'j'/) est diflerente de zero ou 
egale a zero. En dislinguant ces deux sories de termes par une iiolalioii 
(lifTerente, nous ecrirons le noyau precedent 

-+- oc -+-00 



avec les conditions (oi'l,) ^= — > (ciy<l/y) = o. Le noyau resolvant a pour 
expression 



et la partie entiere du noyau se reduit a un terme independaul de a. 

liemargue. — Dans ce dernier exeniple, les fonctions cp^ et 'I'j verifient 
les relations 

J' Ki X, s)-jj( s ) ds = o, I K( s^ _y)'l'ji s) ds = o. 

D une facon generaie, soit K(x, r) un noyau pou\ant etre mis sous la 
forme (S-), tel que la resolvante relative au noyau Hi(a', y) soit un poly- 
nome en X, pouvant se reduire a son premier terme. Si cette resolvante est 
un polynome de degre n — i en X, on aura, d'apres I'equalion fonctionnelle 
des noyaux resolvants (n" 339), I'identite 






= X f Hi(x, s)[l"-iH'^'^(s,y)-i-...^H,(s,y)] 

'J a 



ds 



II. — ETLDK l)U NOVAl RKSOI.VAM. 4'il 

qui iluiiiic, en e;ialanl a zrro le coefficiiMil dc ),", 



f 



I) 
11,1 ./■, .V )H'i"'f .V, y) ds = 0, 



relation qu'on aiirait pii ccriie immediatemcnt en exprimant que H "^•'est 
nnl. II s'ensuil que loule fonclion o(x) de la forme H*,'"fa", j'l) est una solu- 

lion de I'equalion / lliix, s)o(s) ds ^^ o. Conime les deux noyaux H(x,y) 

et II, "'(.r,^) sont eux-mcmes orlhogonaux, la ronciiou o{x){',sl aussi une 
>oliition de I'equatioii 

( 9OJ / K(3', s)cp(5) f/s = o, 

<|iii pout etre consideree comnie un cas limile de I'equalion homogone 
t:s(x) = c I K(.r, s)(f(s)ds, 

en snpposant la valeur singulieie c infinie. Si n >■ 1 , les fonctions 

ir,"->',:r,j.,), H["-2-(x,y,:), ..., 

oblenues en donnant a y une valeur numeiique queiconque yi, sonl de 
nieme analogues aux fonctions principales. Mais, landis qu'a un pole a 
distance finie de la resolvante ne correspondent qu'un nombre fini de fonc- 
tions fondanientales, I'exeniple precedent montre que ['equation (90) pent 
avoir une infiniti'- de solutions distinctes. 

1/liypothese qui vient d'etre examinee est la plus simple qu'on puisse 
faire surle noyau. Supposons, plus generalement, que le noyau K'/''(a:, j^j, 
deduit de K(x, j) par p — i iterations successives, verifie la condition 

voulue, c'est-a-dire que la serie ^^/c/'' (x, y) soil uniformement conver- 

gente. D'apres ce qu'on vient detablir, la resolvante Vp{x,y; X) du noyau 
K'i'Ux, y) est representee par le developpement 

(•9,1 Vrir.y- I ) =^V^i)[T „{x, y- l)]^E„{x,y- X); 

1 = 1 

c, ctant un pole de T{x^y\ X), cf est un pole de Vp{x,y; X), P*''(r/, )est 
la partie principale de Y p dans le domaine de ce pole. Quant a Epix, y\\ ), 
c'est une fonction entiere de X, qui est la resolvante pour le noyau 



K(/" 



i^^y)-^l'ri.r,y). 



[3'2 



CIIAPITUK XWI. — LKQLATION DK FIIEDHOLM. 



\ou? poiivons exprimer T au inoyen de V,,: on a, on elTel, d'apres la for- 
mulo geneiale (65) du n" 5G(), 

V{x,y; A) = H(^, 7; I) ^li"rT„(T, y; li') 

r'' 

*- it 
en posant 

U(x. y: X) = \\(x,y)-^-lK^-^'(x, y)-^...-^lp--^K^P-i>(x,y)- 

l*>n divisanl les deux niembres par X/'^' el rcmplacanl Tj,(x,y: X/') par 
son expression liree de la formiile (91). il vient 

-+■ 00 
r(x, y: X) U(x, y; X) v^ _ ..^^ , - i r- / ^ x 

{;_; = x/i ' ^2,P"^rj,(x,y; A»)]-^E„{x,y;lP) 

+ X f H{x,s;l)^S^P'''^[r,,(s,y;Ai')]-i-E,,(s,y;\P)\ds. 

-" IT ■) 

Su|)posons, pour fixer les idees, qua un pole c{' de V/tix, y; X) corres- 

r( X V X') 
ponde un seul pole c,- de r(:r, y; X). La parlie infinie de T^^ — dans 

le domaine du point X = c, ne pent provenir que de 

r'' 

P"'[r/,(a-,jK: X/')] + X I H(x, s; X) P'')f 1^,(5, j; 'kf')]ds, 

'-' a 

et par hypothese, cetle fonction de X ne devient infinie que pour X = c/. 

D'aulre part, P'''[r^(a~, y; X/')] esl une foiiclion ralionnelle de A dans 

laquelle le degre du denominateur surpasse de p unites celui du numera- 

teur. Comme XH(rr, 5; X) est du degre p — 1 en X, on volt que I'expres- 

sioa consideree est nulle pour X infiui. Elle represente done la partie 

r( X, y: A) 
nrincipale de r^-^— ^ dans le domaine du pole A =1 c,, el la formule 

precedenle pent s'ecrire 



r(.r,^;X) _Vp,,r r(.r.r;A) -| 
IP-i - Z^ [ X/'-i J 



H(ar, jk; X) 



A/'-' 



Ii:,,(.r, j;X/0 



X / \\(x. s\ l)E,,(s,y; "/J'jds; 



ou encore 



(9'^) 



-1- 30 

« = i 

r'' 

E,Jx,y;)j') + /J' / U(x,s;l)E,,(s,y;JJ>) 



U'-K 



ds. 



II. — ETUDE DU NOYAL' RESOLVANT. 433 

[Y(x y ; X ) 1 
^' • ' J corrcspondant au pule c,-, 

ne ilepend evidemmenl que du noyau principal dc K(x, y) relatif a ce 
pole. Quant a la parlie enticie du second memhre, elle depend de K, 
K<-', .... K'/' " el de VI,j(j'^ y\ X). Si la fonction E,, est nulle, cette 
parlie enliere se reduit a un polynome. C'est en particulier, ce qui arrive 
pour un noyau symctriquc (voir le Ghapitre suivant). 

II est a remarquer que si le noyau resolvant Y(2;,y, X) peut se meltre 
sous la forme (92), pour une valeur de p, il peut se meltre sous la meme 
forme dime infinite de facons, car on peut y remplacer le nombre/) par 
tout nombre enfier supihieur ii p. 

586. Noyaux singuliers. — 11 n'y a aucune difficulle speciale, a part les 
complications d'('criture. a etcndre les proprieles du noyau resolvant a 
lequation 

!p(ar,, X.2, .. .,a-„) = X j Kfa:,, . . ., x„; $,, • . . , ^«)'f (' Ji- • . •: ;,()c^;i . . . d;,, 
•■■I). 

le signe / indiquant une inlegrale multiple etendue a un domaine deter- 
mine D a /i dimensions, lorsque le noyau K est borne dans ce domaine el, 
dune facon plus generale, lorsqu'on peut en deduire un noyau borne au 
bout d'un nombre fini d'iteralions (n"^ S63, 570). 

Mais les pioprietes si simples des solutions de lequation de Fredholni 
sont profondement modifiees lorsque le noyau K(x, y) possede des singu- 
lariles essentielles ou des points d'indetermination. Ce Chapitre de la 
tlieone est encore en vole de formation, et nous indiquerons seulement 
quelques exemples simples. Dans le premier de ces exemples, une des 
limites est infinie, mais il est facile de lamener une equation integraie oil 
les limites sont o el — x, par exemple, a une autre equation inlegrale ou 
les limites sont o ct i. Si. en efl'et, dans I'equation 



on pose 



s 



X — ; J .V =: ; 1 

1 X I — V 

cette equation devient 



Jo V'— ^- I— 5/{S— Ij^ 

De meme, si les limites de I'iniegrale sont — ac et -!- x, en posanl 
d'abord a:=logj"', s= log-?', on ramenera ce cas au precedent. Inverse- 

(J., III. j8 



13', 



(IIAI'ITUK WXI. — I. KQUATION 1>E KKEDHOI.M. 



mem. line equation integiale on les limites de I'inlegralioa sont den\ 
nombres linis a el 6 pent se ramener a iino ('qiiation inlt'grale avec une 
liinito infinie pour I'integrale. 
L'equation inlegrale f) 



<93) 



o( .r 



..■,.r 



( s — .r )" 



oCs) ds -{-/(x) 



peut etre considerec comme uno equation de seconde espece oii la limile 
■iuperieure b est inlinie, tandis que la limite inferieure a est un nombre 
arbitraire inferieur a t, le noyau K(x, s) etant nul pour s<Cx, el egal 

( 5 — X)" 

;• ; pour s> X. Soil a un nombre reel et positif ou un nombre coni- 

n . ^ 

|ilexe dont la parlie reeile est positive: on verifie aisement, au moyen 
d line suite d'integrations par parlies, qu'on a 



f 



(s 



x)" 



-^'ds 



de snrle que e-*-^ est une solution de l'equation homogene 



<94) 



o{x) = \ f 



(s ~ X)"' 



'^(s)ds. 



nij A := a"-^'. Si nous conlinuons a appeler valeur caraclerisliqixe pour 
Tequation (93) loute valeur de A telle que l'equation homogene (94) ait 
une solution differente de zero, nous pouvons dire que loute valeur de /, 
telle que I'une des determinations de \li, ait sa parlie reeile positive, est 
caracteristique pour l'equation (gS). Si n > i, tout nombre reel ou com- 
plexes sauf A = o, est done une valeur caracteristique. Si n = o, lout 
nombre donl la parlie reeile esT positive est une valeur caracteristique; 
si « = i, tout nombre, sauf zero el les nombres reels et negatifs, est une 
valeur caracteristique. 

On a de meme, si la parlie reeile de a est positive, 



X'(^,0 



s^ ds 



x^ 



7.{'X 



de sorle que tout nombre A, lei que I'equalion 7.2 -t- a = /, ait une racine 
donl la parlie reeile est positive, est une valeur caracteristique pour 
l'equation 



<93; 



o{x) = lJ (^l-Ly^(s)ds+f{x). 



(') J'ai donne eel exemple dans une Note des Comptes rendus ( t. 157, m no- 
vembre igiS). Le premier exemple de ce genre {Exercice 5) e^t dCi a M. Picard 
i Annates de I'Ecole normale^ '9"> P- 3i3). 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 43"> 

II faul cl il sul'lit pour cela qu'en posant ). = ^ -i- r, /, le point ( ;. r, ; soil a 
lexterieur de la parabole ^ -+- r,^ = o. 

On veil qu'il y a une difference essentielle, au point de vue des valeurs 
caracterisliques, entre les exemples precedents et I'equation reguliere de 
Fredliolm. Cette difference n'esl pas nioins grande, si Ton etudie une solu- 
tion de I'equation (gS;, consideree comtne fonction de A, dans tout le plan 
de la variable A. Supposons que la fonction f{x) de la variable reelle x 
verifie la condition \f{X)\ < Le-'-^, L et / etant deux noinbres posilifs. 
On voit aisement, en appliquant la metbode liabituelle des approximations 
successives, que cette equation (gS) admet une solution «p(ar, X) qui est 
representee par une serie entiere en A convergente dans le cercle G de 
rayon l"-^^. Mais le prolongernent de cette fonction analytique en dehors 
du cercle C pent presenter des coupures naturelles choisies arbilrairement, 
si rt > I. Supposons, en effet, quey"(a7) soit de la forme f(^x) = S A/e~*'^, 
les parties reelies de tous les nombres oc, etant positive, et les deux series 
S|A/|, S|A,-3:"^'| etant convergenles. La solution correspondante de 
I'equation (g'i) est alors 

— LJ — ^ <'-x,^: 



-1 



I 



consideree comnie fonction de a. cette fonction est meromorplie dans 
toute region dii plan ne renfermant qu'un nombre fini de points a""*"'. Mais, 
si Ton a choisi les nombres a, de telle facon que sur toute portion, aussi 
petite qu'elle soit, dun arc de courbe F, ne passant pas par I'origine, il y 
ait une infinite de points a""*"' (ce qu'on peut toujours faire dune infinite 
de manieies, si /i > i;, la courbe F est pour la fonction 9(^7, X) une cou- 
pure naturelle (II, n" 34o ). On remarquera que, dans cet exemple comme 
pour I'equation rcguliere de Fredholm, les points singuliers de o{x, A) 
font partie des valeurs caracteristiques de \ pour Vequation integrale. 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 

1. Demonstration direcle de la for mule (10 j (n° 563). — Le develop- 
peuicnl du determinant K| ''' ") renferme comme premier terme 

\yy\---yni 

le produit K(a:, 7)K( '*"' "), et le reste du developperaent peut 

' . -^ \y\---ynJ 

s'ecrire 

v(-iy'K(r. Xi)Y.{xi. xy)...K(a7/,,7)K(^,' ■■■^''"'' ), 

\X ^ ... X i^_p I 

Xi, Xj, ..., XI, designant p quelconques de* variables x^, ..., Xa el x\^ 



43b 



CH.4.P1TRE XWl. — L EQl ATION DE FREDHOLM. 



les n — p variables restaiUe?. Linlogralc mulliple de oe 



produit est done egale a 



et ce teime figure n{n — i)...{n — p-^\) fois dans le coefficient de X'' 
de D I X j. En faisant varier/> de i a «, on en deduit facilemenl la rela- 
tion (lO). 

2. Developpenient de D'(X) : D(X)(n" 066). — Representons par (— i)" — ^ 
le coefficient de A" dans D(X), ce qui revient a poser 

U„= f f ... [' w('''''' ■■■■''") dx,...dx,. Uo=i. 

'' a '^ a '-It \ I - • n I 

Ces nombres Un s'expriment au moyen des traces A„ du noyau K(a', j^). 

/ "v k IT n or \ 
En effet, le developpemenl du determinant K| '"' "j peut s'ecrire 

\ X\ X-i . . . Xn / 

K{x,,x,)K(^---Z:')-^^{-iyK(x,,xo...K(x,,xOK(-^'^-'-^-^^ 

Xi, Xj, .... x/ designant p des variables Xi, x^. . . . , x„, el «■', , a;',. . . ., x',^_f, 
les n — p variables restantes. On en deduit en integrant la relation de 
recurrence 

U„= A,U„-i — ( n — I )A2U„_2-+-(/i — i)(n — 2)A3U„-3-+-. . . 
-hi— i)P+H n — i)(n — 2) . . . (n—p^\)\pVn-p + . ■■ 
^(_i)«+iU-i)!A„Uo, 

qui exprinae I'identite D'(A; = — D(a)G(,X), en posant 

G(X ) = A, + A., A -^ . . . -^ A„X"-' -n . . . . 

3. Methode de E. Schmidt pour un noyau quelconque (Math. Annalen ., 
t. 64, p. 161). — Soil K(x^ y) un noyau borne. INous supposerons que le 
parametre X a una valeur determinee. La niethoile de Schmidt pour 
resoudre I'equation de seconde espece ( 1 ; consiste a decomposer le 
noyau ¥i.{x. y) en deux j^arlies 

n 

V^{x,y)=\>.^{x,y)^^o.p{x)'^,,(y), 

les ?. rt fonclions a,,(ar), '<>p{y) etant choisies dc telle facon que I'integrale 
double I / [ Ki(^, ^)J2 c^3-<'fK soit inferieure a TT-j-;) ce qui est toujours 
possible, d'une infinite de manieres {voir n" 601). On ecrit ensuitc lequa- 



roMPLKMKNTS liT EXERiCICES. 4^7 

lion (i) 

(1) ^(T)=f:{.r)-^l f Ka^,s)o(s)tfs, 

'J n 

cn posanl 

/^ l> n 

(2) J^{j-) = f{x)^l I ^ai,(.T)[ip(s}o(s)ds. 

J a /'=1 

D'apres la fa(;on dont on a deleiniine Ki(a?. j^) la serie enliere qui repre- 
senle la lesolvante \:^{x,y\ \) du noyau Ivi(x,jk) est convergente pour 
la valeur de X consideree (Note de la page 348). On tire done de I'equa- 
tion (i) 

(3) '^(x)=fi(x)-i-lj \\{x,t;'k)Mt)dt, 
el en remplarant /if .r) par son expression (2), il vient 

^{x)=f{x)^\ j ^o.p(x)<^p{s)^(s)ds-^\ f \\{x, t-\)f{t)dt 

-+-}J j j Vifx. f,l)\oii,(t)'^i,(s)ro{s)ds dt, 

'-'a ^ a 

/' = » 

ce qui est encore une equation de seconde espece de la forme 

r^ n 



'j(x) = F(.r 



J a p=l 



<lont le noyau a la forme speciale du n" o71. 

On deduit aiseinentde celte methode le caractere anaiytique de la resol- 
vante, corame je I'ai montre dans an article du Bulletin de la Societe 
matheinalique, t. 37, p. 197 (1909). 

4. Noyau singulier de Weyl {Maf/i. Annalen. t. 66). — On a, d'apres 
un calcul elementaire, a elanl positif, 



/ f-"*' sin( xs) ds == 



^0 (i--^x^ 

D'autre part, en prenant rintej^rale de la fonction e'^^ <le la 

variable complexe z le long du contour de la page 112 (t. II), el en rai- 
sonnant comme dans eel exemple, on obticnt aisement, si x est un nombre 



438 CIIAPITUE XXXI. 

it'el el pusilif, la lolalion 



I. KQUATION l)E FREDHOLM. 



(2) / sill ( .rx u/a- = - e-"^. 

Des fonnules ( i ) et (2), on tire 



,'- i /-K X 

de sorte que t / — e'^t une valenr singuliere pour It'-quation integrak 

'5 ( :f ) = A / 's-mi xs)^{ a ) ds -^ f { x). 



a laquelle correspondent une infinite de fonctions fondanientales depen- 
dant d'un parametre a. 

r>. Equation singuliere de M. Picard. — I^ equation homogene 
':^{x) = K I e-\^-^\':^(s)ds 
adniet les deux solutions e=*'-^, a etant reel, pourvii (|ue X soit de la 

I -i— X- I 

forme • Toute valeur reelle de X. superieure a -5 est done une valeur 

2 ^ 1 

caracterislique. On oblient ces solutions en remarquanl que I'equation 

proposee, dilTerentiee deux lois, conduit a I'equation lineaire 



9"-h(2A — l)'J = O. 

Au moyen de ces fonctions simples, on pourra former, conime dans le 

lexte, une solution de I'equaiion avec second membre f{x), admcttant 

pour coupure naturelle un segment quelconque de I'axe reel, a droite du 

I 
point A = - . 
i 

L'equation de M. Lalesco s'obtient en lempla^ant — 00 par zero dans 

I'equation de M. Picard. I.es valeurs carateristiques sont les valeurs de X 

pour lesquellesla parlie reelle de v/i — ^X est inferieure a I'unite en valeur 

absolue. La fonction fondamentale correspondante est 



('X -i- Ije^tar _, -X — ije-^"-', 



a etant egal a y/i — 2X, 



CHAPITRK XXXII. 

LES FOXCTIONS FOND AM ENT ALES. 



587. Noyaux symetriques. — Les proprietcs des noyaux syme- 
triques oiil ele etablies d'aborcl par M. Hilbert (''), et deduilespar 
an passage a linfini des proprietes des formes quadratiques syme- 
triques. Les resultats de M. Hilberl ont ete peu apres demon tres 
par M. Schmidt (^-) ail moyen dune methode directe fort elegante. 
Ges proprietes se deduisent aisement de la iheorie generate du 
Chapitre precedent. 

Soit K(.r, y) un novau svinetrique reel; ainsi qu'on la fait 
observer (^n" o8ij, to us les no\aux qu'on en deduit par des itera- 
tions successives sent eux-memes symetriques. Nous aliens nion- 
trer que la serie 

""=* I. 

(\) u(x,K) = u{x)'i-2,f'" I ^" (■^1 s)u(s) ds 

qui represente le developpemenl, suivant les puissances de a, de 
la solution de I'equation de Fredholm ou la fonction connue 
/(x) = u{x), ne pent etre une fonction entiere de a a moins que 
ii(x) ne soit orthogonale a droile au noyau R(.r, j^). Nous suppo- 
serons, pour fixer les idees, «(a7) bornee et integrable. Admeltons, 
en elFet, que la serie (i) soit une fonction entiere de a; multiplions 
tous les termes de cette serie par u(x) et integrons ensuite entre 
les limites a et h] la serie oblenue S-U/^a". ou -1,/ a pour expression 

-Vo« = / / K" (j", s)u{x )u{s) dx ds^ 



( ' ) Grundziige einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen ( Got- 
tingen Nachrickten, hjo'i, 190.J, 190'i et 1910). 

(-) Mathenialische Annalen, Bd. (>^>, 1907, p. 433-^-0. 



44o cHAPiTRE xxxn. 

sera aussi line fonclion enllere de K. Or, on peut ('crire, d'apres 
les proprieles des nojaux ileres (n° 558), 

ao2„= / / W-^"Ux, s)u(x)(t(s)dT ds 

= I I I K^'^^ix, t)K'"U' t, s)ii( x)u(s) dxds dt 

= I dt\ f K'"'{x, t)u{x)dx . 
•^ (( L *' " 

d oil 1 1 suit que -.Ijo,, est ^o, si h~^a^ comme on le suppose. On 
a aussi 

elr,2„= iff K^"^^^{x, f)K^"-^^((, s)u(x)u(s )dx ds dt 

= I dtxl I K"~^Ux, t)u(x)dxlx : I K"-^'(x, t) u(x)dxK 
et, par suite, dapres Tinegalite de Schwarz ( n° 559). 
cl>|,i^ / dl\ I K'"+^'(x, f)u(x)dx\ 

X I dt\ I K'"-i(r, t)u(x)dx\ . 
ou, en comparant a la premiere expression de -Aoo^, 

La serie 2 JU^X" ne peut etre convergente pour toute valeur de A, 
a moins qu'on ait -.1,^:^0. En effet, si A,,, est positif, il en sera dc 

meme. d'apres I'inegalite (2), de -X^, J^h, •■•■, et le rapport ^ ^" 

ira en croissant a\ec n. La serie obtenue en prenant les termes de 
degre pair dans S-L,,)." ne peut done elro convergente pour loute 
valeur de A, si -X>^ n'esl pas nul. Pour que =^l>4 soit nul, il faut et il 
suffit que u(x) soit orthogonal au noyau K'-^(^, y). Or on peut 
ecrire, en tenant compie de I'expression de K^-^(x,y), 

I I K'^-Ux. y)u(x)u(y)dx dy = I dt\ j ¥.{x, t)u{x)dx\ , 

ce qui prouve ([ue u{x) est aussi orthogonal au noyau K(a7. y\ 



LES KONCTIONS FONDAMRNTALES. 44 • 

s'il est orthogonal au premier nojau ilere R '--(j?, y). En resume, 
si I'on prend pour u(x) une fonction non orthogonale a K(jr, ^'), 
on ne pent avoir ,A.,/, = o, et la serie (i) ne peul elre convergente 
pour loiite \aleiir do A. 7^oiU noyau synietrique possede done cm 
moins une valeur singuliere (*) (cf n" o'84). 

Les theoremes generaux sur ies fonctions fondamentales per- 
mettent aisement de completer ce resultat. 

i" Tallies les valeur s singiilieres d' iin noyau synietrique 
reel sent reelles. Supposons, en efTet, qu'il j ait une valeur 
singuliere a + |'i/( [j ^ o) ; a — fji serait aussi une valeur singuliere, 
et a ces deux valeurs singulieres correspondraient aussi deux fonc- 
tions fondamentales imaginaires conjiiguees u + iv et u — iv. Le 
noyau etant sjmetrique, ce sont aussi des fonctions fondamentales 
pour le noyau associe, et Ton devrait avoir, d'apres la relation 
generale (rortliogonalite (n" o80) 

/ ( f/ -J- iv )i u — iv I djr — j {u- -^ v-) dx = o, 

ce qui exige que ;/ et c soient mils. 

2" Les valeurs singulieres sont des poles simples de la resol- 
vanle. Soil, en effet, o{x) une fonction fondamentale corres- 
pondant au pule c; c'est aussi une fonction fondamenlale pour 
{'equation associee, et ces deux fonctions ne peuvent etre orlho- 
gonales, ce qui suffit pour prouver que c est un pole simple de la 
resolvante (n° 578). 

On peut encore raisonner comnie il suit. Supposons, ce qu'on 

peut loujours faire. qu'on ait / '^- (^x) dx ^=- \ . Les deux noyaux 

^{x)^{y) o(T)(D(y) 

• • > Klx,y)-^ '—^—=^Ki(x.y) 

c c 

(') I.e raisonnement ne s'applique pas aux noyau\ discontinus tels que 



/ 



K{x, l)u{l ) dl 



soil mil sauf pour un nonibre fini de valeurs de x. quelle que soil la fonction 
inlegrable u{x). Tels seraient les noyaux symeUiques nuls dans tout Ic domaine 
sauf sur la diagonalejK = x, eL sur un nonibre fini de paralleles aux axes, syme- 
triques deux a deux par rapport a la diagonale. De pareils noyaux seront 
loujours laisses de cote dans la suite. 



m'i 



CHAPITRE \XXI1. 



soul st'ini-tnlliogonaux (n" 575) el, comme ils sonl symetriques, 
ils sonl orlliogonaux. Si e est encore une valeur singiiliere pour 
K,(x, )'), on poiirra recommencer la ineine operation siirce noyau 
et, ail boul d'un nombre fini de transformations de cc genre, on 
pent mellre K(x,y) sous la forme 



^(.^,y) = 2 



_ V ?'^-^'yH.r> 



H(:r. yi, 



le novau symelrique H(j:, y) n "admettant [)lns la valeur singu- 
liere c. La premiere partie dii second membre est le noyau prin- 
cipal relatif ail pole c, et, d'apres la facou meme donl on a opere, 
les rn fonctions '■Oi{x) forment un systeme orthogonal et normal. 
r.,e nieme raisonnement prouve que tout noyau symetricpie ayant 
un nombre fini de valeurs singulieres est de la forme 



(3) 



K( X. r I = 



■.,{x j'ijj y) 



En effet, si Ion relianche de K(:r, y) la somme S(j^, y) 
des noyaux principaux relatifs aux valeurs singulieres, la diffe- 
rence 

K(x, y ) — *S{x, y)= Yi(x^ y) 

est un noyau symelrique orthogonal a S(jr, y). He noyau n'ad- 
mettant pas de valeur singuliere est done nul. l^our un noyau 
symelrique ayant une infinite de valeurs singulieres, on aura 



(4) 



K(x,y) = ^ 



9,-f.r)y,( y) 



pourvu que la serie du second membre soil uniformement conver- 
gente. En resume, les fonctions fondamentales dun noyau syme- 
lrique reel forment un systeme orthogonal et normal de fonc- 
tions 'J,, 'Jo- •••, 'fo •••, donl chacune correspond a un pole du 
noyau resolvant. Supposons ces poles ranges dans un ordre tel 
que le module n'aille jamais en decroissant, chacun d'eux figurant 
dans la suite autant de fois qu'il lui correspond de fonctions fon- 



I.ES FONCTIONS FON DAM K.NT ALES. 443 

damenlales 

(5. X,, X,, ..., X,-, .... 

A chaqiie lerme A^ conespoiul ime fonclion clelfrminee 'f/(x) dii 
sjsteme orthogonal. Inversement, lout sysleme orthogonal pent 
elrededuit d'lin noyau symetrique d'une infinite de facons. Si I'on 
choisit, en diet, Ics constantes A/ de lacon que la serie (4) soit 
absolunient et unifonnenient convorgente. il est olair que les fonc- 
lions c3/(^') sont preeisenient les fonriions fondameutales de ce 
noyau (•). 

Remarque I. — Si K(a?, y) est un noyau symetrique, toutes 
les valeurs singulieres du noyau itere K'-^(.r, y) sont reelles et 
positives. La foriciion meromorpheD.', (X) ; Do(a) n'a done que des 
poles simples positifs, et par suite, le plus petit de ces p«Ues est 

precisement la limite du rapport -ilizl lorsque )i croit indefini- 

ment (n°58l2). La methode de Kneser pour deuiontrer qu'un noyau 
symetrique a au moins une valeur singidiere consiste precisement 
a pi'ouver que ee rap|)ort tend vers une limite ( voir Exercice 1). 

Reman/ue II . — On a reuiarque (n" o80) que. pour uti noyau 
quelconque K(.r, j)^), loule fonction ii {x) satisfaisanl a la rela- 

r'' - 

tion / K(;r, s)u(s)ds =^ o est orthogonale a toutes les lonclions 

fondamentales '\ii{x') du noyau associe. La reciproque n'est pas 
vraie pour uii noyau quelconque (^-), mais elle Test pour un noyau 
symetrifpie. En elFet, si une fonction ^(a^) est orthogonale a loutes 
les fonctions fondamentales d'un noyau symetrique, la fonction 



(') Tous ces tlieoremcs ne s'appliqucrit qu'a un noyiiii synielriquc reel. .Si I'on 

prend, par cxeriiple, K{x, y)=:x{i^iy \'.i) -h y{i -i- ix v/^). a = — i. ^ = i, 

on verifie facilenieiK que i --ix\/o et x forment an systcinc de fonctions Prin- 
ze 
cipales correspondant a la valeur singuliere ^• 

( -) Soit K.{x, y) = sinx siny -t- sin2 vC cosy {a = o, 6 = ar ). La fonction cos j7 
est orthogonale i la fonction fondamentalc unique sin.r. ct cependant I'inle- 



lie / K{x, s) cos s ds nest pas nulle. 



444 CHAPITRE XXXII. 

u[x, X) qui represenle la solulion de I'eqiialion de Fredholm 
oil f(x) = «(\r) est une fonction enliere dii parametre A (n" 582), 
et nous venous de demonlrer (jue ceci ne peul avoir lieu que si 

r'' ■ 

1 oil a / K.{Xy s)n(s) ds = o; la serie u(x, a) se reduil alois a 
son premier lernie. 

o88. Inegalite de Bessel. — Soil S un sjsteme normal de fonc- 
lions ortliogonales C2,(.r) dans un intervalle (a, b). Si une fonc- 
tion /"(.r) est representee dans cet intervalle par une serie iniifor- 
mement convergenle de la forme 

(6) fi.r) =/,c,r.r) ^/,cp,(.r) -^ . , .^f„o„(x) -h . . . 

les coefficients fi etant des conslanles, ces coefficients peuvent 
etre determines coinme les coefficients d'une serie de Fourier. 
Multiplions, en eOet, les deux menibres de la formule (6) par 
Z)i(x)^ et integrons terme a terme le second membre; il reste, en 
tenant comple des relations d'oilhogonalite, 

(7) -^'^ f fi--^)'9ii^)dx. 

Quelle que soit la fonction integrable f{x), on dit que la 
serie Y.fi'^iix). ou le coefficient y*/ a la valeur (j), est la serie de 
Fourier de fix) relativement au sjsterae orthogonal considere S. 
Bien entendu, ce calcul ne prouve nullement que cette serie est 
convergente et quelle a pour sovcvine f{x). Nous ne traiterons que 
quelques cas particuliers qui se rattachent a la theorie des equa- 
tions integrales. Remarquons seulemenl que, si la serie de Fourier 
de f(^x) est uniforinenient convergente et a pour somnie S(x), la 
diflerence K{x) =f\x) — S(d?) est ortliogonale a chacune des 
fonctions Oi(x) ('d'apres la facon meme dont on a calcule y"/), et 
par suite a S(^). 

Lorsque le carre def(x) est integrable dans Tintervalle (a, b), 
->/■ 
c'est-a-dire lorsque / f-(x)dx a une valeur finie, les coeffi- 
cients/", verifient une inegalite iinportante due a Bessel : quel que 
soil le n ombre n, on a 



LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 445 

On Tobtienl immedialeinenl en developpant I'inegallte evidentc 



r 



<'t en tenant coniple des iorniules ( j j qui donnent les coefficientsy"/ 
et des relations qui expriment que S est iin s-vsteme orthogonal et 
normal. Si le systeme S se compose d'litie infinite de fonctious, le 
nonibre /z pent etre suppose aussi grand quoii le vent, et par suite 
la serie S/? des carves des coejficienls de Fourier d^ une fonc- 
tionf[x) de carre integrable est toujours converp;eiite. 

La somme de cette serie est au plus egale a / j-{x)dx^ mais 

'- a 

elle pent lui etre inlerieure, et la distinction des deux cas se 
rattachea une classification importante des syslemes orlhogonaux. 
Un sjsteme orthogonal S est dit coniplet on ferme s'il est impos- 
sible de trouver une autre fonction '\{x) telle qu'eu Tajoutant 
aux fonctions de S on ait un nouveau svsteme orthogonal et 
normal (') S'. Dans le cas conlraire, le sjsteme orthogonal est 
dit incomplet ou omerL. 11 est clair qu'un systeme orthogonal 
qui ne comprend qu'un nombre fiiii de fonctions ne peut etre 
ferme. Soit S un systeme incomplet; il e\iste au moins une autre 
fonction '^(^) orthogonale a toutes les fonctions 'f/(a7), pour 

laquelle / <\i'- dx ^=. i. La serie de Fourier correspondante, rela- 

live a ce systeme. est idenliquement nuile, et par suite la somme 
de la serie Y.\j\ est inferieure a un. Par consequent, pour qu'un 
systeme orthogonal soit ferme ^ il suffit que la somme de la 

serie ^fj soit loujours egale a I /'-(x)dx, quelle que soit la 

fonction f(x) de carre integrable. 

Inversement, si le systeme orthogonal S est ferme, on a pour 

(') En lie consideranl que les fonctions 'Y ( J-') telles qu on ait / 'h'^{x) dx = i. 

•-■II 

on exclut les fonctions discontinues m(x) verifiant la relation / iC-{x)dx ^o. 

<- « 
II est clair que, pour une fonction de cette espece, on a toujours (»,«) = o, 
d'apies rini'galile de Schwarz. Ces fonctions u(x) ne peuvent elre di/Terentes de 
zero qu'en tons les points d'un ensenable de mesure nulle ( Lebesgue, Z,eco/JS sur 
I' integration et la recherche des fonctions primitives). 



.j i(i rHAIMTRE WXII. 

toute fonriion f{ X ) de carre integrahle, I'egalitr (') 



<'.») 



h 



la relalioii (o) est a|)pelee poui- oelle raisoii condition do fernie- 

tiii-e dn sysleme ortliogonal. 

\p|)li([iions les definitions precedenles an sjsieine orthogonal S 

foriue |)ar les fonctions fondamentales '^i{x) d'nn noyau syrne- 

trique K(.r. ■>'). Ce noyau est d\\. ferme^ s'il n'existe aucune fonc- 

,/' 
lion 'li^x) telle qu'on ait / K(\r, s)'l{s)ds^=o identiquement, 

*- It 

en exce|)tant toujours les fonctit)ns discontinues qui sont nulles, 
sauf en tons les points d'un ensemble de mesure nulle. D'apres 
une remar(iue anterieure, le nojau K(ar, j') est ferme, si le sjs- 
trnie S est lui-menie ferme et reciproquement. 

Exemple. — Les fonctions i, ... cos«a", sinna", ... fornienl un sys- 
leme orthogonal dans I'intervalle (0,27:), MM. Liapounoff el Hurwilz 
(Annales de I'Ecnle normale, 1902) ont demontre qiie ce systeme est 
ferine. 

389. Theoreme de Hilbert-Schmidt. — M. Hilbert el, apres lui, 
M. E. Schmidt ont demontre un theoreme important, relatif au 
developpemenl de certaines fonctions en series de fonctions fonda- 
mentales. Nous supposerons dans ce paragraphe que R(:c,y) est 
un noyau symetrique continu, ou du moins qu'il ne peut devenir 
discontinu que sur la drolte y=^x^ de telle facon que le pro- 

duil \x — )'|*K (.r, r) reste borne, Texposant a etantinferieur a -> 

A oil il suit que I'integrale / [K.(.r, y)Y ^h' ^ ""^ valeur finie. 

i-,e premier nojau itere K'-^(a:, y) est alors conlinu, ainsi que les 
fonctions fondamentales C5,(a:), et toute fonclion de la forme 



r 



K( X, s)h( s) ds, 



(') I'our la demonstration, voir Lauricella {Bendiconti di Palermo, t. 29, 
1910). — Stekloff, Memoires de I'Acadeniie de Saint- Peter sbourg. vol. 30, 
1911, Voir ausbi plus loin, n° 599. 



LES FONCTIONS FONKAMENTALES. 4^17 

Oil le earn'' dt- li\x) est integrable. est aiissi une fonrlion continue 
dex (')(n":ja6). 

Toutc fonction df la forme 



(lO) 



fix)= I K(x, s)his ) ds. 



oil h{x) csl une fonction de cane inlegiable, est de^eloppahle 
en line serie absohnneni et nniformement ronvergente de fonr- 
tions fondamentales. 

Supposoas les valeurs smgulieres /., du iiojau rangees en serie, 
coninie on I'a explique au n" 587. el soil Oi(x) la fonction fonda- 
inentale correspond-ant a )./. Le coefficient de Fouriery"/de la fonc- 
tion /"(a?) relatif a '^i(x) a pour exj)ression 



/, = / I K( X. s)h( s)(Di(x } dx ch = Y f Oi(!!)h 



( s ) ds = T-^ 1 



/// f'tanl le coefficient correspondanl pour h(x). La serie ainsi 
obtenue 



(M) 



h. 









est aljsoluinent et uniformeinent convergente dans J intervalle(a, b). 
Nous avons en eHel. dapres Tidentile de Lagrange generalisee. 



Vtn?/i("^)| 



h,„-^,n(^) 



'- \ hi — . . . 






t-n 



,( X ) 



La serie I^fi'f etant convergente, on pent clioisir un nombre N 
asse/ grand pour rpTon ait /i,^ -f- . . . -h hf^ < e, quel que soit m'^ n, 
pourvu que/i soit ^N, en designant |)ar e un nombre positif arbi- 

traire. U autre part, la somme {^-^ > -^... + <-:-^ -/ reste inte- 

rieure, quels que soienl x^ ni et /i, a un nombre fini M, car la 

, • 1 I , , \ iO;/(^a7)l- Z>„(X) ^ 

serie donl le terme general est{-i-T — -} est convererenie ; -^-r est, 



(') II est facile irelenrire les raisonnenicDts k des liypottieses plus geiieiales. 
On pourruit, par cxemple, supposcr que K{x, y) a un nombre fini de lignes de 
discontinuity, paralleles aux axes, oil il pcut devenir infini de facon que son cane 
soit inlegrable. 



44^ CHAPITRE \XXII. 

en elTel. le coefficient de Fourier pour le noyau lui-meme K(jc, y) 
coDsidere comme fonction de y. On pent done prendre N assez 
grand pour que la somme des valeurs absolues d'un nombre quel- 
conqiie de termes de la serie (i i), a parlir du rV""", soit plus petite 
que tout nombre posiiif donne des qu'on a /*>N. 

La somme S{x) de la serie (i i ) est done continue dans Tinter- 
valle (<7, b). Pour pronver fpie ce/te somme est egale a f{x)^ 
oonsiderons la dilFerence R(x ) :::= /(^) . — S(x); d'apres la facon 
meme dont on a determine les coefficients /"/, R(^) est ortliogonale 
a toules les fonctions c5/(x) et, par suite, a S(:r). Etant ortlio- 
gonale a toutes les fonctions fondamentales du nojau K(a:, )), 
elle est orthogonale au novau lui-meme (n** o87) et. par suite, 
kf[x)^ puisqu'on pent ecrire 

' f{x)'R(x)dx = I / K{x, s)R{x)h(s)dxds 



/h\s\ds I K(x, s)R(x) dx = n. 



On a done aussi 



J^b ^b ^b 

' \\-(x)dx— I /(x')R{x)dx — / S(x)R{x)dx =o, 

ce qui exige que P».(ic) soit nul et, pai- suite, S(j;) =y"(ic). 

De ce tlieoreme, iVl. E. Schmidt a dediiit line solution explicite 
de I'equalion de seconde espece, oiivfigurent seulement les valeurs 
singulieres et les fo ictions fondamentales. Supposons que ), ne 
soit pas une valeur singuliere pour le nojau ; lequalion 

(12) o{x) = \ I Kix, s)Z'{s) ds -^-f{x), 

ou le carre def(x) est integrable, admet une solution unique telle 
que la difTerence '-5(^) — f{^) puisse etre developpee en une serie 
uniforrnement convergente de la lorme 

?(^)— /(^) = CiOi(x)^.. .-^ CnOn(x)-^ 

En substituaiit dans les deux memhres de Tequation (1 2), il vient 

= iyiiLo„(x)-^iy'f.'M^) 



LKS FONCTIONS FOND AMENTAI.KS. 4 19 

el. par suite, c^ = - ' ". • La solullon 'f(A') est done representee 

I'll '^ 
par la serie 

(.3; ■^(x)=J{x)~2j )"'->, ' 

et I'oii demonlrerail alseinent, en raisoniiant coninie avec la 
serie (ii), que cette serie est absolument el iiniformemenl con- 
vergenle pourvu que A ne soil pas une valeur singuliere. 

Remarque. — On peut encore appliquer la formule {I'i) au cas oil X est 
egai a une valeur singuliere A/ du noyau. Si le nombre X/ ne figure qu'une 
fois dans la suite, on sail que ['equation (12) n'adniet une solution que si 
Ion a fi=^ o, et il suffira alors de remplacer, dans la serie (i3), le coeffi- 
cient deoj(.r), qui se presente sous forme indeterminee, par une constante 
quelconque C/. On opererait de meine s'il y avait plusieurs fonctions fon- 
damentales distinctes correspondant a la valeur X; (cf. n"* 568, S7o). 

590. Classification des noyaux symetriques. — Soienl k{x) et 
g{jc) deux fonctions de carres integrables; le iheoreme de Hilbert 
permel aiseinent de calculer la valeur de I'integrale 

1= / / Kix, y )li{x)g(y) dxdy. 
'J II ^ ii 

On peat ecrire, en eflet, successivement 

^=/ Sky)d-y \ li(:r,y)h{x)dx 

puisque la serie /^ ^ '-^«(j'j ^^^ unilorineuient convergente; h,t 

et^^rt sonl les coetlicients de Fourier pour les fonctions helg. 
En particulier, si Ton iivxl g(x) =h(x), ii vient 

(I/,) 1=/ / K{x,y)h(x)h{y)dxdy =^^, 

■J, I ^ a ^^ ''"■ 

«=1 

relation tout a lait analogue a la formule qui exprinie une forme 

(juadratique par une somme de carres, et qui permet de classer 

ces novaux. Si toutes les valeurs singtdieres A< sont du meme 

G., III. .9 



4 )0 



CIIAIMTIU-; \\\ll. 



signe, |)Ositl\es par excmple, on a loiijours I^o, quelle (|ue soil 
la fonclion h{x)] le noyau est dil positif. Au conlraire, si loutes 
les valeurs singiilieres sont negatives, on a toujoui^s I^o, et le 
noyau est negatif. S'il y a des valeurs singulieres de signes diffe- 
renls, le noyau est cuiibigu; riiit<''gTale I peut etre positive ou 
negative siiivant la fonclion /i(x). Si I'on a, par exemple, )., >> o, 
Ao<<o, onaurannc valeiir |)ositive ponr I en prenant A ^^^) = C5, (a?), 
et une valeiir negative en pr<nanl /<(.r) = 'j^(^). 

l^our un novau ambign, Finlegrale I pent etre nuUe sans que 
A(:r) soit nulle. Supposons toujours A| >> o, A2<Co; si Ton prend 

h{x) = o(i cpi (.r) -+- ^2 92(3-), 



I'inlpgrale 1 correspondante a pour valeur -A -^ ^> et sera nulle 
en choisissani convenablenient le rapport— • Au conlraire, lorsque 

le noyau K(x, y) est positif, Finlegrale I ne peut etre nulle que 
s'il existe une fooction h{x) orthogonale a toutes les fonctions 
fondainentales cp„(x) et, par suite, au novau lui-ni^me. Dans le 
cas dun noydiU fer me el positif, on a done toujours I >> o ; ce 
noyau est dit defini. Ln noyau ferme et negatif est aussi un noyau 
defini. II resulle de cette definition qu'un noyau defini est neces- 
saireuient ferme, mais la reciproque n'est pas vraie; un novau 
ambigu peut etre ferme. 

Les fonctions fondamentales d'un noyau positif non defini 
forment un systeme incomplet S ; s'il est possible de leur adjoindre 
un noml)re fini de fonctions 'i*, {x\ 'h.^ix')^ . . . , 'jp{x), de facon 
a ohlenir un systeme orthogonal ferme S', le noyau K(x, }') est 
appele quasi-defini ; en ajoutani a ce noyau un noyau orthogonal 
dependant de/> constantes arbitraires, tel que 

on le transforme en un noyau fernn'. 

Supposons que quelques-unes des valeurs singulieres du noyau K(x^y) 
soieiit positives, el soil ).i la plus petite. Parmi toutes les fonctions li{x\ 

. . r'' 

salisfaisanl a la condition / h'-(x)dx = i, il y en a une qui donne a 

* ft 
I'inlegrale (i4) une valeur maximum. En effet, d'apres I'inegalite de Bessel, 
la serie Zhf est convergente et a pour somme i — a, a etant^o; linle- 



m:s konctio.ns fondvmkmales. 45i 

;iale I pout done s'eciiie 



I 



et sa valeiir ne pent etre su[)erieuie ei z— > valeiir qu'elle alteint si Ion 

prend h{x) = Zi(x }. S'il y a ties valeurs singulieres negative?, on verrait 
de meme que rinlegrale I prend une valeui- minimum negative lorsque Afar) 
est egale a la fonction fondamentale correspondant a la valeur singuliere 
negative dont la valeur absolue est la plus petite. 

Inversement, IVI. Hilbert a montie comment lexistence dun niaximum 
ou d'un minimum pour I permet de demontrer lexistence de valeurs sin- 
gnlieres |)our le novau. La demonstration ofFre beaucoup d'analogie avec 
le raisonnement de Riemann pour etablir le principe de Dirichlet ( n" oi2 ) 
et prcte aux memes objection^. Si Ion considere une fonction integrable 

/i(x) satisfaisant a la condition I A-T./- 1 <^.r = i, il est facile de demontrer 

que la valeur absolue de I est bornee, car 1 inegalite de Schwarz donne la 
relation 

1-=/ f [K(t. y)Y dx dy X I I li'^i x)h^-( y) dr dy. 

Admettons que parmi ces fonctions hix) il y en ait une pour laquelle I 
atteint sa borne superieure, et supposons par exemple que I soit maximum 
pour h{x) = 'j>( X). Soient u( x) et v(x) deux fonctions continues quel- 
conques, a et 3 deux paramctres variables lies par la relation 

/, 
4>(ot, 3) = / [-six ) ^ uu(x ) -^ ''fiv{x)]-dx = I. 
< II 

La fonction auxiliaire I( a, 3; 

I(a, 3i = / / K(x,y)]o(x)-hixu(x)-^^iv{x)[ ] c.( j)-i-a«( /i-i- 3v'(j>') J dx dy 

doil etre maximum pour 7 = 3 = o, cc qui exige, d'apres la theoi ie ele- 
mentaire (I, n" 3:2), qu'on ait 

i)\ tl'P f)l o<l^ 

— —f r: = f> 

f)7. Ot, Oi 01. 

pour X = 3 = o. Cette relation s'ecrit 

I / j \\i X, y )\'^( X )u( y ) -i- 'y ( y }U{ x )\ dx dy 

•>. I 'y(x )u{x) dx 

I I K( X, y)\'.i(x)v(y} -{- z(y )i>{x )[ dx dy 

= — p .' 

2 / o(x )i-(x )dx 



(i5) 



45^ (.llAI'lTRi: XXXII. 

et. par >uite. la valeiir commune Je ces rapports doit se reduire a une con- 
stanle C independantc de la forme des fonctions ulx) et t^(^). En tenant 
compte de la symetrie du noyau K{x, y), on voit que u{x) doit satisfaire 
a la condition 

et celte relalioii ne pent evidemment etre satisfaite, quelle que soit la 
fonction continue ii(x), que si Ion a 



f 



h 
K(x,y)'^iy)dy = C'^(x). 



L'existence d'une premiere fonction fondamentale o(x) etant etablie, 
on verrait de meme que, parmi les fonctions h(x) orthogonales a 'y(x), 

. . r'' 

el satisfaisant a la condition i li- dx = i, celle qui donne a I une valeur 
maximum fournit une uouvelle fonction fondamentale, et ainsi de suite. 

591. Developpenient des noyaux iteres. — Dans I'expres- 
sion (lo), preiions pour h{x) le noyau K(\r,y) lui-meme, jk elant 
considere comme iin paramelre; on a alorsy"(.r) = K<-^(j?, y), et 
le iheoreme de Hilberl fournit le developpement du noyau itere 
K- (x, y) suivant les fonctions fondainentales. Le coefficient hn 

est dans ce cas egal a '^^^ — , et la formule generale (6) devient 

■^" A, J 

n = l 

Le raisonnement du n" o89 prouve seulenient que, quand on 
donne a >' une valeur constante, la serie (i<J) est utiiformement 
convergente par rapport a x. Par raison de symetrie, quand on 
donne a x une valeur constante, elle est uniformenient conver- 
gente par rapport a y, niais on ae peut en conclure immediate- 
ment quelle est uniforniement convergente retativement d I'en- 
semble des deux variables. Pour etablir ce point, considerons la 
serie oblenue en faisant j' = x 

11") K-'-'i X, a-) = ■ ' '. . ' -r- • 1 . ^ -!-. . .-;- -^-^r-; 1- . . . ; 

A J A 2 A„ 

c est une serie a ternies conlinus, tons positi/s, dont la somnieest 



I.KS FONCTIONS FONDAMENTAI.ES. 4'J^ 

une fonction continue ; elle est done unifornienienl eon\ ergente ('). 
Cela etant. rinesalite 



fni^JJriiy) 



• '■fr,'3"; — '^;- 1 r) 



prouve que la serie (iG) est elle-meine aljsolunient el uniloiiue- 
nient eonvergente. De la formule ( i <) t on dediiit de proclie en 
proclie les developpeinents des novaux i teres successif's K^^(\r, j'), 
¥^^'''(x^ v). . . ., au moyende la formule de recurrence qui lie deux 
novaux consecutifs, et Ion a pour m^i 

(.8, K>.V.,^,= 2l<^^'+...+ M2J|^'_.... 

Toules ces series sonl elles-memes absolument et uniformemeni 
convergentes, comme on le voit aisemenl en les comparanl a ly 
serie (i6) (-). En remplacant j^ par x dans la serie (18) et inte- 
grant, on obtient Texpression du coefficient A,,^ pour /n^2, 



"•" ^"' = ^T7. 



(') La demonstration de ce tlieoreme, dii a Dini, revient evidemment a la 
demonstration de la proposition suivante : Soil u^{x) une fonction continue 
positive dans I'intervalle (a, b), qui tend vers zero lorsque n croit indefini- 
ment; si I'on a «„+,(^) ^u^{x), elle tend uniformemeni vers zero. 

Soil M„(a, b) le maximum de u,^{x) dans I'intervalle (a, 6); on a par liypo- 
these o<M„^, (rt, 6)£M„(a. b), et par suite, M„(a, b) tend vers une limitc 
L(a. 6)^0 lorsque n croit indeGniment. Tout revient a demontrer que cette 
limite est nulle. Supposons, en efTet, L(a, 6)>o; si Ton decompose (a, b) en 
deux inlervalles paiiiels {a, c), ( c . b), I'une au moins des limites L(a, c), 
L(c, b) serai t egale a L (a, 6). En procedant par subdivisions successives, comme 
on I'a fait plusieurs fois (I, n° 8), on prouverait qu'il existe un nombre x^ de 
I'intervalle (a. b) tel que la limite L(:c„ — A, x^-\- li) soit toujours cgale a un 
nombre positif L' independant de li, aussi petit que soit ce nombre h. Or, cette 
conclusion est incompatible avec les liypottieses. En cfTet, on peut d'abord trouver 

un nombre entier m tel que w„, (^j) soit << — > puis un nombre /« assez petit pour 

que dans rintervalle (:c„ — /i, x^+ h). la valeur absolue \u^^{x) — u^{t^)\ soit 

infcrieure a — On aura done dans tout cot inlervalle u^^{x) ' I^' el, par suite, 

u„^x)<ih'. Yiour nin . La limite L{x^ — //, ,r„-i-/One peut done elre cgalc 
a L'. 

(-) La formule (18) a d'abord ete ctablie par .M. E. Srhinidl pour m ^3, [)uis 
par M. Kowalewski pour m = 2. 



I 



4 1 I 



ciiapitrk: wmi. 



r.ii foiKiioii culirre F(^"a)= I I ( i ^ je'-. (juOii peul encore 

ccrlre sous la lonne 

no dillV're dc V)uS) (|iie j)ar lo lactpur exponentiel ^~'^'^', et Ton a 
(•20) DOv) = e-'.'TT 



11= 1 



La fonction D( A) est done au plus du premier genre, mais elle 
pent etre de genre zero, comme nous le prouverons plus l)asdans 
le cas particiilier des noyaux positifs. 

Des forniiiles c|ui tlonneni les dt'-veloppenienls des nojaux 
iteres, on peul aii.s«;i dediiire le developpemenl du noyau resolvant 

(■}.\) Y{x, y\ k) = ¥>.{x,y)-i- Xk'2'(^, y)+ .. .-+- A"-i K'"'(a?, j) -!- 

Si I'on remplace dans celle formule K'"'(j:,y) («^2) par le 
developpemenl (18), on oblienl un tableau a double entree, el si 
Ton fait la somme de ce lal)leau en groupant ensemble les termes 
en c;„(x*)c3„(y), on oblieiit la formule 

on demonlre aisement que la serie ainsi oblenue est absoluiuenl 
el uniformemenl convergente pourvu que /, ne soil pas une valeur 
singuliere du no^au en coniparant ses termes a ceuxde la serie (16); 
ce qui suffii pour justifier le mode de sommaiion adople. Mais, 
tandis que la formule (21) ne s'appliqne qu aux \aleurs de A donl 
la valeur absolue est inferieure a | A, j, la formule (sia) donne le 
d«''veloppement de la fonction meromorj)lie r(.r, y; a) dans tout 
le plan de la variable A [cf. n" 080). 

392. Noyaux positifs. — Les noyaux ?yinelriques continus positifs ont 
«ite eludies par AI. .Mercer flans nn inleressant .Memoire ('), donl nous 
indiquerons les principaux resullats. 



('; Pliilosophical Transactions. London, t. "20'JA, 1909, p. jij. 



T.ES FONCTIONS FONDA MKNTALES. i'i'i 

Pour fju'an noyau symetrique K(^-, y) soil positif, il faut et il 
sujjit que lous les determinants de Fredholni K f ' • • • ' " \ sqIqui > o 

V^l 1 • • • ) ^n/ 

pour tous les systemes de valeurs de Xi, xi. ..., x„ dans I'inter- 
ialle (a, b). 

Nous (It-moiilrerons seuleiiient I'iiicgalile \^{x, x)^o, qui sera utile un 
peu plus loin; les autres iruigalites se demontrent d'une fafou analogue. 
Supposons qu'on ait K{xq, a-o) < o i)oui- une valeur aro de I'intervalle (a, b): 
le noyau etant continu pour le systeme de valeurs x = Xq^ y = Xq, soit I 
un nombre positif assez petit pour que K(x, y) soit negalif iorsque x tl y 
sont compiis entre Xq — / et Xq-{-1. Si I'on prend pour hix) une fonc- 
tion continue nulla en dehors de I'intervalle {xq — /, Xq-^1) et positive 
dans cet intervalle, il est clair que tous les elements de I'integrale (i4j 
seront nuls ou negatifs, et I'integrale elle-meme aura une valeur negative, 
ce qui est impossible, puisque le noy;iu K.{x^y) est suppose positif. 

La reciproque est a peu pres evidente. Si tous les determinants de 
Fredholm sont positifs ou nuls, tous les coefficients des puissances paires 
de A dans D(X) seront positifs ou nuls, et les coefficients des puissances 
impaires de A seiont negatifs ou nuls. L'equation D( — X) = o ne peut done 
avoir aucune racine positive, et par suite l'equation D(a)^o ne peut 
avoir aucune lacine negative. 

(^ela pose, nous pouvons ecrire le developpeuieut du noyau resolvant 
da pres la formula {it.) an y faisantj^ = ar, 



1 v(x,x-i)- y \M^^~^ 

' « = ;« -f- 1 

III in 

I /( = 1 " =1 



■) 

(23) 



/n etant un nombre enlier positif quelconque. Quand on donne a A une 
valeur negative arbitraire, le premier membre de cetle egalile est positil. 
En efi"et. dune part, tous les termes de la serie sont negatifs puisqu'on 
a X„ > o; d'autre part, le noyau T{x, y; X) est un noyau positif Iorsque X 
a une valeur negative car les valeurs singulieres de ce noyau s'obtiennent en 
retranchant X des valeurs singulieres du noyau K(x, y) (n" 560). On peut 
encore le reconnaitre direolenient en observant que, d'apres les formules iii) 

et (t4), la valeur de iinti-grale double / / V{x,y\ l)h( x )h(y ) dx dy 

ne peut etre negative, iorsque X est negatif. On a done aussi r{x, j?; a)^o, 
dapres le resultat etabli tout a I'lieure, et par suite le second membre de 
la formule (23) a aussi une valeur positive. Ceci ayant lieu pour toute 
valeur de X <lo, observons que le terme (|ui depend de X tend vers zero, 






436 CHAPITKE XXXll. 

lorsqiio /, tend vers — x. On ti dune aiissi 



^hiiiiJl^K(T. 



X}\ 



ni elant un nombre entier quelconque. on en conclut que la serie y ■'—-. 

est convergente et que sa somnie esl inferieure ou au plus egale a K(.r, x). 
Par un raisonnement analogue a celui du n° o89, on prouve ensuite que la 
serie 



s^^.j-) = 2 






^n(x) '^n(J') 



■^ 0„( X) 'C„iJ- 



est absolunient et uniformement convergente dans rinlervalle («, b) par 
rapport a chacune des variables prise separement. 

La somme svmetrique Six. y) est done nne fonction continue de cha- 
cune des variables x, y. prise separement, et il en est de meme de la 
difference ^{x. y } = K(^, y ) — S(a", y ). 

Pour prouver que cette difference ^{x,y) est identiquement nulle, 
partons de la relation 

pi> pi> ^t> 

I K( X, s )h(s ) ds = I S(x, s)h( s ) ds -\r- I R(x, s )/t (s) ds, 

'a 'a '^ a 

oil hix) est une fonction quelconque de carre integrable. La serie S(a", s) 
etant uniformement con\ergente en a, la premiere inlegrale du second 

menibre est egale a la somme de la serie ^^~ z>i(x); c est aussi la valeur 

du premier membre, d'apres le theoreipe de Hilbert. On a done 

J> 
R(a", s)his ) ds = o. 



/ 



quelle que soil la fonction lt(x), ce qui exige evidemment que 'R{x,y) 
soit nul identiquement. 

Le noyau K(x, y) est done egal a la somme de la serie 



(^4) 



K(x. y}~ 2, ^-^ — ^ — ' 



el il suffil de repeter le raisonnement qui a ete fait sur la serie (i6) pour 
montrer que la serie (24) est absolumenl et uniformement convergente 
par rapport a I'ensemble des deux variables. 

De cette formule (24) on deduit. en faisant^ = x, et integrant terme a 
terme, 

I, 
(iS ) Ai = I K{x,x)dx= ^; — ; 



LES KONCTIONS FONDAMKNT.VI.ES. 4^7 

la fonction Df). ) est done du genre zero 

-+- X, 

(,») D(,.)=n('-)^ 

II est clair que ces flerniers resultats s'appliquent aussi aux noyaux 
negalifs, et plus generalement aux. noyaux dont toutes les valeurs singu- 
lieres ont le meme signe, a I'exception d'un nombre fini d'entre elles. 
Tout noyau de cette espece est, en efTet, la somme de deux noyaux syme- 
triques orthogonaux, dont I'un est positif ou negalif, et dont I'autre n'a 
qu'un nomi)re fini de valeurs singulieres. ^ 

o93. Noyaux de Schmidt. — M. E. Schmidt a lemarque que 
les proprietes du nojau sjmetrique s'elendenl facileirient aux 
nojaux de la foi-me A.(^)S(j7, _/)? ^ etant svmelrique et S.{x) 
gardanl un signe constant dans I'intervalle {a. b). Plus genera- 
lenient, soil R(.r, J') = A(:r)B(j)/)S(.r, y), S(x, jk) etant syme- 
trique, et le produit A(x)B(jr) etant toujours positif dans I'in- 
tervalle (rt, b)] nous supposerons de plus, |)Our preciser, que ces 
fonclions A(x), B(a?) sont bornees. On peut ecrire 



soil T, (.37, jk; a) le novau resolvant relatif au noyau symetrique 
auxiliaire S((.r, r). Ce noyau resolvant satisfait a I'equation 
fonctionneile 

On a done aussi, en posanl 






car on a evidetnmenl 



S,(x,.s)I^(.,j; A)^M^i|LZj=.K(^, 5)r(.9,^; A). 



i')S CHAPITRE X\XU. 

I.a derniore relation (39) est celle f|ui caraclerise le noyau 
rt-solvant relatif au noyau K(.r, )); et par suite le noyau resoi- 
K-ant rt'Uiiif <i K(.r, y) est ('gal ait produit 



/A( J-)B( K) 

r,(x, 1"; a) elant le noyau resohrint relalif au noyau syme- 
tn'gue Si(x, y). (Comptes rendus, l. 146, p. 327.) 

11 est essentiel de lemarquer que tous les noyaux deduits 
de S| (j7. >') par iterations successives contiennenl en facteur le 
radical \/ \{x)B{x)A{y)B{y), de sorle que Tt(x,y; a) est lui- 
nienie divisible par ce radical. La fonction Y(a\ y\ ). ) contienl 
(lone en facteur A(j:)B()-), et linlegrale qui figure dans la for- 
inule (29) a bien une valeur finie. 

Les poles de T, (j', y\ A) sonl reels et simj)les; il en est done 
de meme des poles de T{x, y] ).). Si Ton a decompose d'une 
facon quelcon(|ue S, en deux uoyaux orthogonaux li{{x, y), 
lui X, y)^ on verifle immedialenienl que les deux novaux 



"■<->n/1ili " '"'->V? 



. Hx)B{y) 



sonl eux-niemes orthogonaux. Les parlies princi pales se corres- 
pondent done dans les deux noyaux resolvanls T) (^, y\ a) 
et r(x, r; a). Soil ^i{x) une fonclion fondamentale de S((^, j)) 
correspondant a un pole A,; elle est e\idemment de la forme 

\ \.{x)^{x)ui{x). L'expression 

\/\ (x)B{ X )\{ y )V)[ y)iii(T) Uil y ) 
T, 

est un noyau canonique relalif a la valeur singuliere A,- pourvu 

fju on ail / \{x)^{x)uj{x) dx = i . \ ce novau canonique cor- 

'- It 
respond pour K(.r, y ) le noyau canonicjue 

k(x)li(y )Ui(x)ui( y) 

; — • ) 

A, 

de sorte (|ue '^i{x) = \ix)Ui{x) et '\i{x) = B(x')Ui{x) sont deux 
fonclions fondamentales associees des deux noyaux K(.r, )) 



LBS FONCTIONS FONDAMENTALKS. /pg 

el K(j^, x). Ces deux tondloiis sonl liees |)at' la relation 

ce qui perniel frenonccr la pro|)riele siiivaule : Si '■s(x) est une 

f auction fondamenlale du noyau K(j?, )'), •ii(j:)z=— ^ — -'six) 

est une J'onction fondanientale du noyau associr, pour la 
me me valeur singuliere. 

Cette propriete subsisle quel (|nc soil le slgne des fouclions A(.r), 

H(j:), el s'etahlil diieclemeiil sans peine. De la formiile 

» 

<p(j;) = A / A( j-j B(5)S(a7, s)'^(s)ds 

on lire, en ell'el, en posanl 'S'i x) = A{x)tz(x), 

T.(x) = l I B(s')X(s)S{x, s)-(s) ds; 

or, on serail conduit a la menie (';<|tiation en remplaranl '^j{x') 
[jar B(^)-(^l dans la forniule 



'b(x) = >' r 



\(5)B(^)S(a-, s)<b{s)ds. 



Celle propriele pennellrail aisenienl de demontrer que tons les 

p(jles der(d7, 1'; a) sont reels el simples, lorsque le |)roduit A(^)B(a7) 

est posilif. Supposons, en effel, que y.-h'^i el a — ^[3« soicnl deux 

|)oles irnaginaires conjugues; u -\- iv etant une fonclion fonda- 

11,/, 1 • , I B(a" ) .V 

Mienlalede ls.(.r, r ) correspondanl an premier pole, — — • [u — iv) 

A{x) 

sera une lonclion tondamenlale de I'equation associee pour le 
second pole, el la condition d'orthogonalite ne pent elre satisfaite 
lorsr|ue A el B sont du meme signe. Un pole quelconque ne pent 
elre un pole mulli|)le, puisque les deux fouclions fondamenlales 

, , I B ( X ) c; ( :p ) , , , 

associees C3(a) el o = — . , ' , — - ne peuvenl elre orlhoironales pour 

la menie raison (n" o78). A chaque proj)riete des noyaux syme- 
triques correspond de la meme facon une propriete des nojaux 
A(jr) B( )')S(ir, r), ou A{x)B(x)'^o. Par exemple, on demon- 
Irera, comme an n" 587, que si le novau A(x)\i(^')S{x, y) 
n'admet qu'un nombre lini de valeurs singulieres, ce nojau est le 
produit de A(^x)B(y) [)nr un noyau S(.Z', r) de la forme (.')), 



■i'k) CH.\PiTnE xxxii. 

<|ui ii'adinet liil-meine c|u"un uonibre llni de valeiirs singiilit'Tes. 
Considerons, en j)arliciilier. iiii uoyau de la forme S(j;, r)B( r), 
B ctanl line fonclion hovnce positive, f^es fonclions fi)iidamentales 
de ce no vail, el dii noyau associe, formenl un svsteme biortho- 
gonal de fonclions (cp/, 'i/,), qu'on pent supposer ranieue a la 
forme normale (n° 580). D'aprcs ce que nous venons de demon- 
Irer, les fonclions correspondantes o/ el 'i/ sont liees par la rela- 
tion 6i(.r) :^B(x)zi(x), et les conditions qui cx|)rimenl Tortlio- 
gonalile prennenl la forme 



3o) / B(x)zj{T)d.r ^ \, ( B{x)':^,{x)o/,(T)dx = o {i^k). 



Ltanl donnee une siiile de fonclions '^^, ..., 'J,^. ... satisfal- 
sanl a res condilions, nous dirons. pour abreger, qu'elles formenl 
un sjsu-me ovi\\o^om\ relaliveiyient a B(\r). Si une fonclion /(a:) 
est developpable en serie uniformement convergente de fonc- 
lions Oi[x) dans Tintervalle (rt, 6), le coefficient y"/ de '^i{x) dans 
cetle serie s'oblieni encore comme pour une serie de Fourier el a 
pour expression, d'apres les relations (30), 

(3i) /,= / B{x)f{x)tii{x)dx\ 

^ (t 

quelle f|ue soil la fonctiony(a?), nous dirons que les coefficienlsy/ 
donnes par cette formule sonl les coeflicienls de Fourier de /(a?) 
relalivemenl au sysleme de fonclions c;/(^). Linegalile evidente 

C B(r)[/(a^) - f,^,{ X) - . . .- fn'^jt{x)-Y dx^O 

permel d'elendre a ces coefficients Tinegalite de Bessel (') 

" I, 

Sfit f \Mx)fHx)dx. 

La sei-ie )L.fi'^i[x). deduilc dime fonclion arbilraire f{x), ne 



(') On peut reraarquer d'ailleurs que les fonclions <t,(.x) = 9,(^7) \^B(.r) 
formenl un sysleme orlhogonal lorsque les fonclions 5,(a:) satisfont aux rela- 
tions (3o), et que les coefficienls de Fourier de /{x) relatifs au sysleme de 
functions '^i{x) sont identiques aux coefficients de Fourier de f{x) \'\\{x) 
relalifs au sysleme orthogonal des <I>;(ir). 



LES FOXCTIONS FONDAMENTALES. 461 

represente pas necessaireinenl celle fonction, mais il on est ainsl 
ties fonclions de la lorine 

(3-2) /(x)= f S{x, s)B(s)h(s)ds, 

on h{s) esl ime loucliDn de carre inlegrable. Celle egalile pent 
s'ecrire, en cllel, 

s/B{x)/(x)= I S(.r, s)^B{sc)\i(s)]\/B{s)his)\ ds, 



el. par siiile, /(x)\/B{x) (11° 589) pent elre deVeloppee en serie 
nnilormement convergente ordonnee suivant les fonclions fonda- 
nieniales du noyau S(a7, jk) y B(^)B( >). Ces fonclions fondamen- 
lales, on vienl de le voir, sobliennenl en mullipliant par \/B[x) 
les fonclions fondanienlalcs du no van S(x, y)B{y). La fonc- 
tion f{x) peul done elre deveioppee en serie uniformemenl con- 
vergenle ordonnt'e suivanl les fonclions fondamenlales '^i{x) du 
noyau S{x, y)B(y). 

Pour line fonclion de la forme 

(.33) /(x)=l B(x)S(x, s)s'{s)ds, 

on aura de menie 

■ ' ' '' ' = f Six, s)JB(u-)B(s) A^IL ds 

el, par suile, ./(-c) sera developpable en une serie uniformemenl 
convergenle de la forme -y/B(x)c3/(:c) = S/}'i//(x). 

o9i. Extension de 1 inegalite de Bessel aux systemes biortho- 
gonaux. — Soienl cp,, cpa, . . ., 'j«, ... el '},, -i^o, • • •, '^«, • • • 
deux suites de fonclions reelles formant un systeme biorlhogonal 
et normal (n" 573), c'est-a-dire veribanl les relations 

(3i) / tfi(x)'li(x)dx = I, / 'f/(x)'h/,(x)d.T =z o (i^X). 

Si une fonclion f{x) esl developpable en une serie uniforme- 
menl convergenle de fonclions -^ii^x)^ on peul encore oblenir le 
coeflicienl fi fie '^i{x) dans celle serie en mullipliant les deux 



i6> CIlAI'ITRIi \\\II. 

iiKMiihres lie la lelalion 

(35) f{x) =/,o,(.r) -i-... -f- /,•«,(. r) -4-... 

par •lJi{x^ el ink'i;ranl lerme a lornie onlre les limiles a el h. On 
trouve ainsi rexpresslon 

(36) /,= f /{x)'l,(.r)d.T: 

quelle (jue soil la l"onctiony"(a:), nous dirons que la serie ^fi'Si(x), 
oil les coefficienls /", ont les valeuis (3G), est la serie de Fourier 
6e /(x) relalivemenl au sjsteine des fonclions 'Sf. 

Kemarquoiis que tout systeme biortliogonal pent elre ramene a 
une forme normale d'uiie infinite de facons, car les relations (34) 
ne changent pas quand on remplace 'fj^-a") par C/'^/(x), el '}/(^) 

par -r- 'L,(.r), quelle que soil la constanle C/. Supposons, par 

exempio, (piil cxi>le an novau svnietiiipic positif S(x, y) lei 

. . r'', ^ 
qironail, quel que soil i, I S(x,j')'-^i(y) dy ^ Ci'i)i(x), C/ etanl 

*" ft 

line constanle non nulle. Les relations (■)'j) dexiennenl 

r'' r^ 

/ / S(x, y)o,(x)a/,(y)dx dy = o 

(iV/o; 
le noyau S{x, y) etant positif, les conslantes C, sont necessaire- 
menl positives el, en reinplacant 'fi{x) par c5/(j;) y'C/, ces rela- 
tions (■)4) sont remplacees par les suivanles, oil les fonctions 'l, 
ne figurent plus explicilenienl : 



\ f f *<-. 

i f" f'^ix^ 

\ * a *- <i 



y)<^i(x)(fi(y)dxdj- = i, 



', y)'r'i^)'i/.(.r) dx dy = o 

Les forraules ( .j6j deviennent de meme 

('ifi/ /'= f fix)<li{x)dx=^ I j ^(x,y)f(x)'ii{y)dxdy. 



i.ES roxcno.xs i ondamkntales. ^6'i 

Nous dii'Oiis (|ii'iiii svsleiiie dc fonclions '■3,(x) Nerifiant les rela- 
tions (34)' esl iin svsteme orllio<;onal el normal, relatlvernenl au 
noyau S(x, i). I)e lout svsleme biorlhogonal, veridanl les rela- 
tions (34), on |)(Mit (l(''(liiir(! dune infinite de facons un sjsleme 
orthogonal relalif a un novaii svn)c'UK|ue posilil. On pent, par 
exernple, proceder coninu; \\ suil : (^lioisissous luie suite do uomhros 
pf)sitifs u,i de telle faron que la serie 



(37) 



s(x,j)=y^ 



■ijn(x)<hn( r) 



soil ahsolument el unirormiMiient convergenle, ce <pii j)eul se 
faired une infinite de facons. 11 est clair que / S(a7. v)'^„(')') c/y 

est egal a ^-^ — -. el par suite on peul ramener les relations d'ortho- 

tJ-n 

gonalite a la forme (34)' en remplaranl '^i{x) par \/u/ 'j/(a;). Orle 
noyau S(.r, y) est posilif, ear on veiifie faeilemenl que I'inte- 
grale (i4) du n° 590 est |)Osiii\e pour K( .r, j) = S(x, r) quelle 
que soit h{x). 

Soit /'(a") une fonction dc carre inU'-grable. le novau S[x^ y) 
etant posilif, on a in" 590), 



f f S(^, 



y) 



fix) 



Jrii(x) 



f(y)-^frii(r) 



dx dy^^f). 



les coeffieienls fi etant dounes par la formule (MV). En deve- 
loppant cette inegalite, el tenant com|)ie des relations (34)', elle 
prend la forme etpiixalente 



(38) 



^mf'f'Hr, 



y)fix)fiy)dTdy, 



loul a fail (inalogue a V inegalite de Bessel. Si la foru-lion /"(.r) 
est de carre inlegrable, le second memhre a une valour finie, el 
par suite la serie des carres des coefficients f) est convei-genie. 



595. Noyaux de la forme .\(ic) S(.r, y). — Les piopiiet/s si 
simples des noyaux Vf .r) S(.r, j'), on A(jc)esl posilif, ne s'elendcnl 
pas aux novaux de meme forme, lorsque A.(^) change de signe dans 



iO.i CHAPITRK WMl. 

I iiilervalle (a, Z>). Parexemple, le noyau cosx sina? sin')', oiw/ = o, 
// z= -, est orlliogoiuil a liii-incine. Cependant on peuL ctendre les 
[iroprielcs les plus iinporlaiilcs des novaux symelriques, sauf 
dans un cas singiilier, aiix novaux de celte espece on S{x,y) est 
un noyau positif [*), (piel que soit Ic sij^iie du coefficient A(.?:) 
dans Tinlervalle [a, b). 

Dapres une lemarque deja faite (n° 593), si '^{x) est une solu- 
tion de I'tMjiiation honiogene 

cp(a;) = A / \{x)'S{x^ s)o{s)ds, 

la fonction ■i(\r')= ' est une solution de renualion associee 

'^ \ix) ' 

'l{x) = \ f S{x, s)A(s)'b(s)ds. 

Cette fonction 'i'(r) est encore egale a A / S(,r, s)'.^(s)ds, et 

en suppriinant le f'acleur constant A, on pent enoncer le resultal 
comnie il suit : Si '■^^{x) est une fonction fondamenlaie du 
noyau K(j:, j) ^ A(j:)S(:f, y) pour une valeuv singuliere A, la 
fonction 



(3y) 



•ii(.r)= / S(rr, *) tp(j) rfi 



est une fonction fondamenlaie du noyau, associe pour la nienie 

valeur singuliere. 

On deduit aisenient de ce resultat les proprietes suivantes : 

i*^ Toutes les vcdeurs singulieres sont reelles. En efFel, s il 

J avait deux valeurs singulieres imaginaires conjuguees, on aiirait 

pour les deux novaux K(x, y) et K(j', x) deux fonctious fonda- 

mentales 'y (a:) = a (.r) + iK'{x) et 



•l{a-)^ f 



S>(^,y)[ii(y) — iv(y)\dy 



( ' ; La loiicti(jn \{x) est supposee bornee, rnais peut avoir un nombre fini de 
disconlinuiles enlre a et b. Les equations integrales de cette espece ont d'abord 
ete etudiees par M. Hilbcrt {Gottingen Naclii-ichten, 1906, p. 46a) qui les appelle 
equations poluirea ou de Iroisienie espece. Les demonstrations du texte ont 6te 
indiquees par M. Marty [Comptes rendus, 28 fevrier et 35 avril ujio). Voir 
aussi I'uBiNi (Annali di Matematica, 3' serie, t. 17). 



LKS KONCTIONS FO.NK.AMKNTALKS. ^6'i 

(|iii (ievraieni eirc oilhogonales, ce i|iii r\i;:rr;iil qii on <mU 

. /- ^i> 
I I S( jt. y )\u( J^ ) -^ iv( T)]\u( y) — i\>( y t]dx dy = u 

el |)ar siiile, en preiiaiil la pailie reelle. 

/ / '^^ X, y )\uAx \u{ y )^- \:{x)v{ y )\ dx dy -=0. 

Le noyau S(x, )') etaut posilit", le premier inembrc est Ja somme 
<le deux integrales posilives ou nulles. Pour que chacune d'elles 
soil nulle. il faul. dapres !a forrnule (\\) du n" o90, que u{^x^ 
• •t i(jc) solent orllioiionales a toules les fonclion? fondamentales 
i\k\ noyau et par suite au novau S(„c, >) lui-meme. On aurait done 

aussi / Rijr, .y i'i(.v) c/.s = o, ce qui csl contraire ii 1 hvpolhese. 

'>." Tons les poles de la lesolvante sont simples. — Si '^{^j est 
une fonction fondanientale pour un pole e, la fonclion 'l{x) donnee 
par la loruiule (39) est fonction fondamenlale pour le noyau 
associe, et nous \cnons de von- (|ue a(j?) et '!/(a7) ne peuvent etre 
orthogonales. ce fpii suflit a prouver que le pole c est un pole 
simple ( n" o78 1. 

On pent encore raisonner comme pour les noyaux syme- 
Iriques (n" 587). Soit '^{-T) une I'onction fondamenlale correspon- 
dant a la valeur singuliere c, telle qu'on ail 



r r^u 



y )c.( X }'C{y ) dx dy = i . 



On verifie aisemenl, dapres les proprieles precedenles, que les 
deux noyaux 

I r'' I r' 

- -^i T ) I f>l y, s )-^( s}ds, K, = Kix. y )~ - '^(x ) I S{y,s)o{s)ds 

sonl ortliogonaux. Ce nouveau noyau K.,(^, y) est encore de la 
forme A( ./• )S, (x, j>^). S'il admel encore la valeur singuliere c. on 
pent lui appliquer la meme decomposition, el ainsi de suite, 
|us(|u a ce qu'on arrive a un noyau n'admeltanl plus la valeur sin- 
guliere c. Le meme raisonnement prouve qu'on pent choisir, pour 
le noyau K(x, r), un systeme de fonctions fondamentales verifiant 
G.. III. .3.) 



166 



ciivPiTiu: \\\ii. 



les lelalions (34)', c"ost-a-tlire fOnnanl iin sysLeme orthogonal 
irlaliveraent a S(jc, y). S'il n'y a (luiin iioinbre fini de valeurs 
singuliercs, le noyau est de la forme 



^i^^y)=^ 



' A(j)X,- 



Ki(^, r)- 



le noyau K,(:r, j'j sans valenrs singuliere.s t'lanl encore egal au 
produil de A(x) par nn noyau svrnelrique. 

Fj'exemple dn novan cos^(sina; sinj') niontre cju'un noyau 
polaire n'a pas loujoiiis de valeiir singuliere. L'enonce du n" 587 
doit elre niodifie comme il suil : 

3" Si le premier noyau ilere R'-'(a7, j^) li' est pas idenlique- 
mcnt mil. le noyau polaire S.(^x)S (^x ^ y) adniet au moins une 
valciir sin^uliere. 

La demonslralion est tres analogue a ceile qui a ele donnee pour 
les novaux symetriques (n°o87). Pour le deveioppeiuenl de cetle 
demonslralion, ainsi que pour I'exlension du llieoreme d'Hilbert, 
n'ous renverrons aux Notes de M. Marty. Dans le cas particulier 
oil S(x, y) est non seulement positif, mais defini, et par suite 
ferme^ le noyau K<-'(.r, j') ne pent elre identiquement ntd. 

riOe. Noyaux symetrisables. — Les noyaux de M. Hilbeil sont des cas 
parliculiers des iiiiy;iu\ symetrisables de M. Marly {Comptes rendus, 
6juin 1910). Soient ]\.{x, y): G(x, y ) de.u\ noyaux quelconques ; on dil 
que les deux noyaux 

H,(a:,^)= f G(x, s)K(s, y)ds, \l.{x,y)= f K{x, s)G{s, y)ds, 

da da 

en general distincls, s'obliennent par la composition de \^{x,y) avec G{x,y), 
a gauche pour H|, a droile pour Hj. Si Ton peut clioisir pour (j{x, y) un 
noyau symetrique, de telle facou que H, ou U2 soit liii-meme symelrique, 
le noyau \\.{x,y) est iWl symetrisab I e a dioite ou a gauche. II est clair 
que le noyau k{x )'6{x, y) est symetrisable a gauche par composition 
avec le noyau ?>{x^y). 

Tout noyau K{x. y ), dont la resolvante n'a que des pules reels et 
simples, est symetrisable des deux cotes. 

Nous avons vu, en effet, que les fonclions fondamentales associees (o,, <^i) 
forment un systeme biortliogonal, qu'on peut supposer normal. Si Ton 



LKS KONCTIONS FONDAMHNTAI.ES. 46" 

piend ilrs consianles |jl„ chois^ies de telle facon que la serie 



S(:r,.r)=2 






soil absolumenl et unifoimement convergente, ce qu'on peut faire d'une 
infinite de tnanieres, le noyau K{x, y) donnera par composition a gauche 
avec ?>(x, y) un noyau symetrique. Nous avons en effet 



r X"^ J'/f oc) r V^ 

I S( J-. 5)K(s, j)(/.s- = > -! / 'li{s)Yi.is, y)ds = 2. 

'-a . . ' ' '^ :t 



<hi(x)'li(y) 



X,- etant la valeur singuliere conespondant a o/. II est evident qu'on pourrait 
former de meme une infinite de noyaux. symetriques dont la composition 
avec. K(:f,j^) dans I'ordre inverse donnerait un nouveau noyau symetrique. 

Si Ton prend les constantes |jl/ positives, le noyau S(x,y) sera posilif, 
et, d'apres la facon dont on le forme, il n'est orthogonal a aucune der: 
fonctions fondamentales o,- de K(x,y). 

La reciproque ne peut etre enoncee d'une facon aussi absolue, meme 
en supposant le noyau S(x, y) positif. Par example, en composant lo 
novau symetrique 'j(x)'z.(^y) avec le noyau K(x, y ) -h o(x)'^(y), oil le 

noyau K(x,y) satisfait a la condition / K(s,y)o(s)ds = o, on ohtient 

un noyau ^ymell■ique C'-i(x } o(y), et cependant le noyau K(x, y) peut 
avoir des valeurs singulieres quelconques. 

Supposons que Kl x, y) donne par composition a gauche avec un noyau 
symetrique Six^y) un nouveau noyau symetrique 



Si(^,r;=/ ^{^, s)K(s, y)ds; 



on peut etendre au noyau K(a7, y) la propriete etablie pour le noyau 
polaire : Si '^{x) est une solution de V equation honiogene 

(f\o) t^ix) = ). I K(x, s)'^(s) ds, 

r'' 

•\i(x) = I S(x, i )'j'< I ) dt esc solution de I e<juation honioi^ene associee. 
i)e la relation { ^o ) on lire eii ellel 

'h{x\= I S(x, t )'^{t ) dt 

= A / / ii{x, t)}^.{t, s)':>{s)dsdt=k ( Sx(x, s)'f(s) ds, 



4*")8 CHAPITRK \X\II. 

CO (ju'on peul encore ecrire, en vertu do la synielrie de S|, 

<li.r) = 'X I I S{s, ()K(t. jr)(f{s)dsdf =1 I K(t, t)-\>( t) dl, 

doii resulle la propriele enoncee. 

Cela elant, supposons que a-t-3t(P^o) soil une valeiir singulieie, 
u -f- ti' une fonction (ondamentale correspondante; 



'(^) = f 



S(cr, t)]u{t)— iv(t)\ dl 



sera une function foudamenlale ponr I'cqualion associee, correspondanl a 
la valour singuiiere a — ji/, el la condilion d'orthogonalile donne 

/ i ^{x, t)\u{x)-^ iv{x)\ ]u{t) — w(t)\dxdt=zo 



I I Six, t)u(x)it{t)dxdt ~ I I S(x, t)v{x)v(t)= o. 

Pour qu'on puisse affirnior qu'une telle relation est impossible, sans 
autre hypothese sur K(x,y), on <loii supposer que le noyau S(x, y) est 
de Jini; il ne sulfit plus que ce noyau soit positif comme au n" 595. 11 
pourrait se faire. en efTet, que les fonclions u et t', et par suite u -l- tV, 
soient orthogonales au noyau S(a7, j';, ce qui pent arriver pour une fonc- 
tion fondainentale du noyau Kix,y). On a done le resultat suivant : 

Si un noyau K(j", y) est syinelri-iable par composition avec un noyau 
symetrique dekini, tons les poles de la resolvante sont reels et simples. 

Ce dernier point resulte de ce que les deux fonclions fondamentales o(x) 

et (l>(\rj=: / Six. s)o(s ) ds, correspondanl a une menie valeur singuliere, 

ne peuveni elre orthogonales. 

Tout noyau K(x, y), symetrisable par composition arec un noyau 
symetrique dejini, a au nioins une valeur singuliere. 

Nous renverrons a la Note tie .M. .Marls pour la demonstration {Exer- 
cice -4). 

597. Noyaux symetriques gauches. — Si le noyau K'«'(a7, y) deduit 
de K{x,Y) par iteration esL un noyau symetrique. on pent aflirmer que 
\\(x, y ) a au moins une valeur singuliere, et que les puissances n''^"'" de 
toutes les valeurs singulieres sont des nombres reels. Considerons en par- 
liculier, un noyau symetrique gauche (Lalesco), c"est-a-dire lei que 

K(y, X }= — K (x, y). 



i.i;s KoxnioNS fond.vmkntalks. 46'.i 

Lo premier noyau itere est evidemmenl symetrique, et par suite tous les 
p6les du noyau resolvantde K{t. r)sont simples, reels ou de la forme [li, 
[x etant reel. // ne peut y avoir de pole reel. Soit, en effet, 9(37) unt' 
function fondamentale rtielio pour un pole reel c. Les relations 

cp(a7)=c / K(a-, .v)9( s ) c/a- = — c I Ki s, x)'^(s) ds 
'- II • II ' 

proMvent que — c est aussi uu pole de la resolvante et ^{t} une foiiction 
fondamentale pour I'equation associoe correspondante a ce pole. Ges deux 
fonctions devant etre ortliogonales, on aurait o(x) = o; il ne peut done y 
avoir de pole reel, et tous les poles sont de la forme \j.i. 

Soit at un pole, u{x) -\- iv{x) une fonction fondamentale correspon- 
dante; u{x)-T-iv{x) est aussi une fonction fondamentale du noyau 
associe correspondant au pole — 'j.i. et la condition d'ortliogonalitc donnc 

/ u^ fix = / c- dr. I iw dx = o. 

^a ' II ^ a 

La fonction u — iv est une fonction fondamentale de K(.r. y) pour le 
pole — \xi et de K(jk, ^) pour le pole \xi. 

Si Ion a choisi « et f de facon qii'on ail / u- dx = i on verifie aise- 

nicnt que le noyau 

, , , v{x)u{y) — u(x)v{v) 
Kix, y)= '■ — 

IX 

et le nu\au \\{x, y) — /c(x, y) = Kji a", y) sont ortliogonaux. Or, />(.r, y) 
est un noyau symetrique gauche qui admet les deux poles simples [xi 
et — [xi; Ki{x, y) est done aussi un noyau symetrique gauche. Si [xi est 
encore une valeur singuliere pour ce noyau, au bout d'un nombre fini de 
transformations de ce genre, on pourra ecrire 

in 

,' ^ v,,(x)u,,(y') — u,,(x}i',,(y) 

hi .T^ y) = > — — - — =^^-^ '■ — - — 1- 1\ 1 ( 37. y), 

Kifa?, y) etant un nouveau noyau S3'metrique !»auche qui n'admet plus le-" 
valeurs singulieres u-i el — [xi. Si K.(x, y) n'admet qu'un nombre fini de 
valeurs singulieres, il est done de la forme 



K(x,y)=^ 



vi,(x)ii„(y)— u/Jx')i'/,( y) 



li = \ 



Dans le cas ou il existe une inlinilo de valeurs singulieres, si la serie 
donl le terme geni'-ral esl forme par la somme de deux noyaux |)rincipau\ 
conjugues esl uniformcmenl convergenle. sa somme esl encore egale au 



.|70 Cini'lTHK \\\ll. 

noyau K(r, )). Le premier noyan itere K^-^{t, y) elanl negalif, on pent 
Ini appliquer le resultal de M. Mercer; s'il est continu, ce noyau est done 
egal a la sonimcde la serie uniformement convergente 



ri- 1 



Pour I'extension dii ihcdri'-me de llillicrt aiix noyaux symrtriques gauche*^, 
nous renvcrrons a lOuvrage de M. Lalesco. 

o98. Fonctions fondamentales de Schmidt. — M. Scliinidl ;i 
rattaclie a loul noyan non symetrique K.(.r, y) deux sjstemes 
orlhogonavix de fonctions qui nonl, en general, aucune relation 
simple avec les fonctions fondamentales de ce meme noyau con- 
siderees J!is(|u'a present. I'otir M. Schmidt, deux fonctions 'j(x). 
'l(x) forment un couple de fonctions fondamentales associees, si 
elles salisfont anx deux relations 

(4i)o(a-j = ). / l\(x, s \'h( s) ds. ■li(x) = }. I K(s,x)o(s) (is: 

la valeur de la conslante A. di JJ'erente de zero^ est une valeui 
singnliere dn noyau K(x, j'). 

II existe toujours des couples de fonctions fondamentales; en 
effel, I elimination de '\<x) enlre les deux equations (4') conduit 
a I'equation integrale homogene d noyau symetrique 



^-i^) '-P^^; = >■' / \k{x., s)'^( 



s ) ds 



on I on a pose 



}\ix.$\= I K{:i\ /)K(s, () 



dt. 



L'elimination de '^(x) conduit de meme a une autre equation de 
meme forme a noyau symeliique 

(43) >]^(x) = ):' I K(x. s )<h(s) ds^ 

oil Ion a pose 



K(x, s) =z I K( L x)K(t, s) 



dt. 



IKS ioM;riu.\s iM)\o\.Mi:.M.\i.i;.s. 471 

Les deux novaiix K(^, y)^ K(j", y) sonl posilifs en supposant 
loujonrs h^ a; on a, par exemple, 

r'' r'' 

/ / K( X. y )h(x)h{y) dx i/y 
~ f f f ^'^^ O^iy:' t)h(x)h(y)dxdydt 



r'' ' r'' V 

= dt I K{x. l)/i(x)dx\ >o. 



D'apres la facon dont on deduit les equati&ns (42) et (43) du 
systeme (4i ), si cc systeme admel les solutions Vi(x), '\ii{x) pour 
une valenr ).,• du parametre, Xj est une valeur singullere pour 

chacun des novaux K.(x,y), K(j;,y), ct '^,-, ■!>/ sonl des fonctions 

fondamenlales pour ces deux noyaux respeclivement. Inverse- 
ment, soil c une valeur singuliere pour Tun de ces noyaux, 

¥^{x,y) par exemple; ce nombre c est toujoiirs positif. Soit 0(57) 
une fonclion fondamentale correspondante. Si Ton pose 



r'' 

•l>{x) = \/c I K(s^ x)o(s) ds. 



on remonte aisement des deux equations 

^(xi = r I hi T, / rc,i ( t df, <)j(x) — \Jc I K(t,x)^(t)df 

aux equations '4i), ou I'on aurait A = y/r. II r(;\ienl done au 
meme de chercher tons les systAmes de solutions des ecpia- 
lions (4') O" tie chercher toutes les valeurs singiiiicres el les 

.fonctions fondamenlales de I'un des novaux syniPtriques R(a7,jj^). 
Rl'.r. VI. Toutes ces valeurs singulieres, les memes pour les deux 

nojaux, etant positives, nous les representerons par /.;[. /.■;, ..., 
en convenanl de prendre A/>>o. Gela est permis, puisque le sys- 
teme (40 "e change pas qiiand on change X en — ). a condition 
de remplacer ■:, par — -i. Cela etani, soil 'i,, 'i^,, .... '.i/. ... le 
systeme orthogonal et normal forme |iar les fonctions fondamen- 
lales du noyau K(^, y). A la fonction 'f/(x), la seconde for- 
miile (4'\ <">" Ion prenfl X = A,, fail correspondre une fonction 



.\~2 CllAPlTUI-; \\\ll. 

fondaiiu'iilalf •!/,(./■) dii iiovaii Ri r, y) relative a la iiKMiie valeiir 



>lngiiliere /.'j . Ces fonclioiis 'liiJc) torment aiissi iiii s\>l('me oillnt- 
gonal el normal. Des relations 

4/;( J" ) =\, I K(t. x^^i(f) dl. 'I,, ( .r ) = ),/. j K(.s-. x)-^^{s ) ds 

on tire, en elVel, 

/ '^i{T)<li,{x)dx = li\i, j j I Mi t. T)K( s, x)Oi(t)tf/,{s}d.r ds df 

= 1,1,,- j I [\{(,s)':^,(ty'j/As)dlds = ~ I ^i(t)o/,(t)df: 

1 inlegraic a done pour valeur zeio on nn, suivanl qn'on a /^/, 
ou i = /, . Noiib represenlerons par /', el /■ les coefficients des 
deux series de Fourier deduites dune fonction f{x), relatives a 
ces denx svstemes orthogonanx 

/'= / fi-'t:\)'ri^^)d-r, f'i= f f'r)-l>i(x)d.r. 

' ii *- (( 

Le iheoreme d<' Hilbert a eh' etendu aussi par M. Selimidt aiix 
fonclions de la forme 



(44) 



f(x)= I K(x, s)/i{s) ds, 



oil h[x) est une fonction de carre integrable, )s.(x, y) un nojan non 
sjmetrique continii, ou ne presentant pas d'autres discontinuites 
que celles qui onl ete specifiees plus haut; la fonction /(^c) 
est alors continue. Toiitp fonction de cette espece est dei'elop- 
pable en une serie iiniforniemcnl convergente de fonc- 
tions '■^i[x). 

La den)onstralion comprend encore deiix |)arlies. Le coelli- 
cienl // a |)Our e\|>ression 



/,= I I K( X. s )'^ii X ihi s \ ds dx :^ — / •liis)/i 

*- a '^ n ^i '-a 



{ s ) ds = — ; 



'^/ ( X ) 



d'aulie part. —, — est le coefficient de 'j<( >) dans la serie de 
Fourier deduite de K.(x, r). ou x est regardee eomnie une con- 



LES FONTTIONS KdXI) \MK.\TAI.ES. ij? 

slanle. cai- 



r'' I 

I Mix, y)'li( y) dy = — Oi(x). 



\a'> (ieiix series -[hi )-, > — • ('tanl convero^eutrs. on on con- 

■ ■ Adi Ki \ ^ 

cliil (voir n" o89i <^|ue la serif 

(y*) S(.r) = 2-i oi(x) 

/=i 

esl ahsoliiinent el nnirormemenl ronvergenle. La'dilTi rciice 

\'\ [ r ) ^= f i X ) — S ( :r I 

esl oilliogonale a loiilos les foiiclions 'Siix) et par suite a S(j7). 
Pour denioiilrer que R(.r ) est orthogonal a fix), j^arlons de la 
relalion 

r'' r'' r'' 

I K(x. t )/ (x) dx = I K(x, f )ii{ X ) d.f — I \\i x. t )l\(x) dx. 
f|u on |)eiit ecrire, en reniplaeani fix) par I'expression (/{I)) 
/ Kit. s)/i(s j ds- = / \\ix, ()S(x)dx ^ I K(x. t)K(x)dx. 

l.a fonclioii / K ( /. \ )/m v ) r/.v peul elre representee par une 
serie unilornieineut ci^nverj^enle de fonetions '^/( /j, ie coefficient 
de '}/(^) etant ^' \) autre pari, ou |)eiit integrei- ternie a terme Ie 
produit \^(x. ;)S(a:), ce qui donne 

I K(x, t)S{x)dx = 'S4t •i'i(f *■ 
/ = 1 ' 

On a done / K(\r, ()\\(:r) dx ^ o. et |»ar suite 

I fix tR(x)dx = I I \\t X, s)R( x)/i< s) dx ds = i>; 



on en deduil, comnie au n" 589, que R(x) esl nul, et la (onclion 
f{x') est egale a la somme S(.r) de la serie (4'0- '^^ cetle fornuile 



1/^ 



i:iiAPiTRK \\\n. 



mi (K'duit aiissi, en siipposanl (|iie /t (.r ) cl <^{x ) ^onl dnix fonc- 
tions de carres iiitegrahles 



, /' ^ /' 



( |6i 



On verrait de ineine que loiite fon(;lion de l;i forme 
fix)— I Wis, T)g'(s)ds 

' a 

\ 

esl developpahle en serie nnil'ornieinenl convergenle de fone- 

tioHS 'Jii x) 

Appliqiions en jiarlieulier la foiiniile ( io i iiii noyau symetrique 



r" 

K(x.y)= I K(T.siK(y,s) 



fh: 



il sufdt de prendre /MS) = K(r, ■'*)^ y etant rei;ard('' eomme nn 
parameire: on Irouve ainsi Icdeveloppemenl 



r48 



K(x, y) 



'z,i(x)'z,iiy) 



y ?/(a-) 



qui esl uniformemenl convergenl par rapport a cliacune des deux 
variables. Le raisonnenienl du n° 591 s'applique encore et prouve 
que la sene esl uniformemenl ("onvergenle par rapport a i'en- 

semhle des deux varial^les. car le noAau K.(x,y) est continu. On 
trouve (ie meme le developpement de K.(x. y), 



(i9> 



Ki X. r I = 



l,(x)'h,( y ) 






Remarques. — Un noyau non svmelriqne K(:r, )) esl com- 
pletemenl determine par la connaissance des nombres )./, el des 
deux series de fonctions orlliogonales co/(a^ | el 'li^x). S'il y avail, 
en ell'et. deux noyaux de celle espece, K el H. on aurait, pour 



I.ES FONCTIONS FONDAMENTALES. ^'5 

loiilo fonclion h{.T) dc carre inlegrable, 

" / = 1 

rl j)nr siiilc 

/ [ K ( X. s) — Hi X, s )]/n s ) ds = o, 

quelle que soil h{x). ce qui exige qiion ail R =i H. I^e nojaii 
K(a', r) esl (lone lepresenle par la serie 

(io) K(x. y) = 2^ ■"• i^^' -^ S 

si celle serie esl uniformement convergenle. 

On voil que les deux systemes de fonctions ortliogonales cs, 
<l <Yi sonl absolument independanls I'un de I'auire; I'un d'eux 
peul elre cuniplel sans que Faulre le soil. lis pouvent avoir des 
lonclions coiiiniunes en nombre ([uelconque, se correspondant 

n 

ou iioi). Si le noyau lv(^, y) esl de la forme \^X,\,, les deux 



noyaux K(.f, 11 el \\iyX^y) sonl de la nieme (brnie. II y a un 
nombre lini <le valeurs singulieres, et les Irois series (48), (49) 
el (5o) se r«'-(liiisenl a des sommes d'un nombre limile de lermes. 

:iy9. Theoreme de Fischer-Riesz. - Elant donne un sysleme orlliogonal 
et normal S compose dum' infinite de fonctions '^/(a-J, a chacune desquelles 
on fail correspondre un nombre /,, pour que ces nombres y", soient les 
coefficients df> Fourier dune fonclion /"(^jt) de carre inlegrable, il est neces- 

saire, d'aprrs linegalile de Bessel, que la s<''rie j fj soil convergenle. 

/ = 1 

InversPnienl. si iinc serie ^_^JJ est lonvergente. il existe une fonc- 

1 = 1 
lion fix) de carre inteffrable pour laquelle les coefficients de Fourier 
relatifs au sysleme S sonl les nombres fi. 

Nous indiquerons seulement la marche geneiale snivic pour t'-lablir cet 
important theoreme, demonlre a la fois par M. E. Fischer et M. F. Ries/. ( ' ). 

( ' ) E. FiscHEn. Comptes rendus, t. I'i4, 1907. p. 102 >. — K. Kiesz, Gottinger 
Aachriclilen. 1907 : Camples rendus, t. 144, i9<»7. p. ''i') 



iT(> 



CHAPITIU: WXII. 



II repose sur line proposition pieliininaire, imporlante par elie-meine, et 
lelalive a la convers:ence en moyennc. On dit qu'unc suite de fonctions 



( 5 1 ) 



/.(^)- U-r), 



fniT), 



converge en nioyenne vers une fonclion liniile f(x) dans un inler- 
valle (a. b), si Ton a 



(5i) 



I i ni I \f( T ) — fn ( ./• ) ] -^ dx = o. 



11 est clair que la condition (5s4) est remplie. si f„(^) tend uniforme- 
nient \ers f(.r). mais elie pent I'etre alors nieme que f,i{x ) n'a pas dr 
limite au sens habituel dii mot. II existe, pour la convergence en moyenne 
d'une suite, un ciiterium analogue au criteiium de Gaucliy (I, n° 5) pour 
la convergence ordinaire. Pour que la suite (5i) soit convergente en 
moyenne. il faut et il suffit qu'on ait 



(53) 



/ \f„^,,—.fn]-dx = o, 



lorsque lex deux nonibres n et n -+- p augmentent inde fininient. 

i" La condition est necessaire. On le deduit immediateinenl de I'ine- 

galite f \\ — nYdx'^>. f XUlx -h -i f Bidx. 

i." La condition est suj/isante. C est la le point essentiel que nous 
admettrons ('). Remarquons seulement que la fonction limite f(x) n'est 
pas entierement definie par la condition (52). Si une fonction f{x) satis- 
lait a cette condition, il en sera evidemmenl de meme de toute fonction 

obtenue en lui ajoutanl une fonction u{x) telle que I u-(x)dx = (). 

Inver>emeiil. si fleux fonctions fix) et o(x) satisfont a la condition ("52), 

r'' 

il est clair (|ue 1 inlegrale / [fiX) — '^(x)]-dx esl nulle, car elle est 

• it 
moindre que tout nombre posilif donne. On obtiendra done toutes Ics 
fonctions verifiant la condition (52) en ajoutanl a I'une d'elles une fonc- 
tion egale a zero dans I'intervalle (a, h). sauf en tons les points dun 
ensemble de mesure nullc. 

Ce point etant admis, consiili ions un systeme orlliogonal et normal S 



(') Voir a ce sujet : H. Weyl, Matheniatische Annalen, Bd. 67, 1909, p. 2:>.'->. 
— .M. Plancherel. Rendiconti di Palermo, 1910, p. 292. — F. Riesz, Comptes 
rendus, t. 150, 1910, p. i3o4. — Lalesco, p. 9«-94- La demonstration exige, siir 
la mesure des ensembles et I'integrale definie au sens de Lebesgue, des notions 
donl nous n'avons pas eu besoin jusqu'ici dans cet Ouvrage. 



Lies FUNCTIONS K ONDAMKN T AI.KS. 177 

(le ronoliuiis '^,{X) et faisons coircspondrt! a cliac iiiie ile ce< loiKlions im 

-f- X 

noiiibie /i, tcl que la seiio ^/'/ soil runvoigente. Posons 
( = I 

'l>„= h\Oy(x ) -T-. . .— /in'-i'ni-i-'); 

la suite des fouclioiis *„(^) est coiivergenle eii inoyenne. On a. en i-ffet, 
i| apres Ics relations d'orthogonalitt', 

•J n 

expression qui lend vei s zero loisquc les deux nornbres n el n -\- p croissent 
indefiniment. Soit/f^r) une fonction liiuile de celle suite de fonctions *,j(a7), 

// le coefficienl / /( :r;'j,( j^-j f/./; nous avons 

/ / " " 

( 5 i I I f /( a- ) — '!>„ ( .r )]2 ^/.r = / f'-{x) dx — 2 ^ A//, -^ ^ /' f 



= r ('' fHx)dx-^f]'\-^\h.-f,Y. 
/= 1 / = 1 

].e second niembre est une sonnme de quantites positives; le premier 
uiembre tendant vers zero lorsqiie n croil indefiniment, il faut qu'on ait. 
quels que soient 1 indice i el le uombre positif e, (/t/ — fi}'<i- ^t, par 
suite, hj^fi. Les coefficienis de la serie de Fourier deduite de f{x) sont 
done les nombres donnes k/. Toule autre fonction ayant les memes coeffi- 
cients de Fourier s'obtiendra en ajonlant a relle-la une fonction quelconque 
ortbogonale a toutes les fonctions du systenie S. Kii particulier. si ce sys- 
teme est complet, une fonction ayant les memes coefficients de Fourier 
({utflx) lie pent differer de/(a"; qu'en tons les points d'un ensemble de 
mesure nulle. 

La condition de fernieiure d'un systenie orthogonal Cm''.j88j se deduit 
aisement du theorenie sur la convergence en moyenne. Le sysleme S etant 
suppose complet, ?,o\Gnl fix) une fonction (|uelconqiie de carre integrable, 
/', les coefficients de Fourier correspondants. La suite des fonctions 



'•'« =/rfi'^) — • 



■fn'^nioc) 



converge en mo\enne vers une fonction liniite <!>(:?•) qui ne pcut differer 
de/(a") qu'en tous les points dun ensemble de mesure nulle, puisque les 
deux fonctions /' et <]} ont les nn-nie* coefficients de Fourier, ct que le 

systeme S est complet. I.'integrale / \ f{x) — '\*„\-dx tend done vers 



niAIMTKK \\\II. 



/.cro lorsqiie ii ordil iii(iormiineiU ; or die e#t ogale a / f'-dx — ^ ^ j'] . 

1 
el, en raisanl croitre n indefininicnt, on trouve bien I'equalion do ferme- 
ture(()). Du niemc raisonneme.nl on deduil encore la conclusion suivanle : 
elanl donne iin sysleme orlhogonal complet, une fonction f{x) n'est pas 
forcernent representee par la serie de Fourier correspondanle, mais la 
somme S„ des n premiers lermes de cette serie converge en nioyenne 
versy(.r), lorsque n croit indelinimenl. 

600. Equation int6grale de premiere espece. — Les ionclions fonda- 
menlales de M. E. Schnnidl inlervienncnl dans la resolulion de requalioii 
de premiere espece 

(55) / K(ar, .vj/t(A-)a's =/(a7), 

ouy"(.r)esl line fonclion donnoe, /i(^ a;) la fonclion inconnue. Soient (ip,-, J;/) 
deux couples quelconques de Ionclions fondamentales de M. Sclimidl, 
correspondant a la valeur singuliere X^. Les coefficients /,, /t* ayant la 
meme signification qu'au n" 398, on a /</ =y^X,. Pour que I'equalion (55) 
admetle une solution h{x) de carre integrable, il est done necessaire que 
la serie 1.1} ff soil convergente. 

-M. Picard (') a demontre que cetle condition est suj/isante, lorsque 
les fonctions Oi{x) fornient un systeme complet. En effet d'apres le 
theoreme de Fisclier-Riesz, i| existe alors une fonction h{x) dont les 
coefficients de Fourier relatifs au systeme des fonctions '^i{x) sont preci- 

sement les nombres /,/,. Les deux fonctions /"(.r) el / K{x, s)h{s) ds 

ont alors memes coefficients de Fourier relalivement au sysleme ortho- 
gonal des fonctions cp/(a^). Ge sysleme elanl ferme, elles sont done iden- 
tiques, ou du moins ne peuvent differer qu'en tous les points d'un ensemble 
de mesure nulle. Si la fonction f{x) est continue, ainsi que les fonc- 
tions ^i{x)^ la diflerence est nulle en tous les points de I'intervalle (a, b). 
Si le systeme des fonctions '^i{x) n'est pas complet, on peut ajouter a 
la fonction h{x) une fonction quelconque orlhogonale a tous les -j^,-; mais, 
d'apres la formule (45), cela ne change pas la valeur de I'inlegrale 



f 



K(x, s )h( s ) ds. 



Lorsque la suite des fonctions Oiix) n'est pas fermee, on peut encore 

(') E. PiCAUD, Camples rendus, i^ el 28 juin npic liendiconti di Palermo, 
I. 2!}, igio. 

Voir aussi differenls articles de M. Lauricella dans les Atli delta r. Accad. 
dei Lincei, igoS, 1909, 191 1. 



I.KS PONCTIONS I'ONnAMIONTALKS. 479 

(leleiininer iiiie foiiclion k{x) doiil les coefficients <le Fourier li* ont les 
\aleursy,A,, niais le raisonneinenl proiive seulement qu'on a 

( )()) / \\{.r. s)/n s) ds ---/{x) -(- \K(x), 

W{x) etanl une fonction orlliogonaie a loiiles les foiictions Oiix). 11 est a 
remarquer que quaiul on ajoute a /{t) une fonction queiconque orthogo- 
nale a tous les <pj(J7), les coefficients /'/ et par suite les coefficients /jf ne 
sont pas clianijes; i>n irouv>' done toujoni^ la Mirriii- vaieiir pour I'integrale 



,( 



K{t, s )h{s ) ds. 



(»n en conclul que, parnii toutes les equations de la forme (5G;, on R(a7) 
est une fonction queiconque orthogoiiale aux «P/(a:"), il y en a une, et une 
settle^ qui admet une solution en li(x). 

Remarques. — i" Les conclusions sappliquent aussi a un noyau syme- 
Irique; les deu\ systetnes orlliogonaux ('y,, 4'/) sont alors identiques, el 
sont complets si le noyau est ferrne. 

>" Supposons le sysleme des fonctions tp/ complet. Si la serie I.lf/'f est 
divergente, lequation (55) n'esl pas resoluble, niais il est possible de 

r" 

irouver une fonction hix) telle que / K(a", s)h(s) ds dillere en inoyenne 

n 
i\c jix) d'aussi peu quou le veut. Fosons. en elTet. hni^) = ^ ^'ifi'\'i(^)'' 

/ - 1 

f'' . 
la fonction /„( J") = / K( x. s \/i„( s ) ds est idenlique a la soniine des n 

premiers ternies de la serie de Fourier de f(x) relative au systeme 
des 'SjiiyX). On pent done choisir n assez grand pour que I'inlegrale 



/ 



\fK^}—J'n{x)Y dx 



soil moindre qu'un nombre positif i. 

'i° En resuinp, une equation integrale de premiere espece a limites fixes 
n'admet pas toujours de sidution, si le second luembre /"(a?) est queiconque. 
Ce fait explique pourquoi Ton ne |)eul resoudre le probleme de Dirichlet 
au moyen dun pntentiel de simple couche, car la densite serait deler- 
minee par \\\\(t equation de premiere espece. D'ailleurs, les proprieles du 
poleiitiel de simple couclie explitpienl aussi ce resnital. On sail, en effet, 



dM 
dn 
valeur linic sur le contour, landis que les derivees parlielies de la fonction 



( n" rJSH) que la derivee normale -;— iluu polenliel de simple couclie a une 

dn 



I-ICS FONCTIONS I'ONDAMKNTALES. 



480 CIIAIMTIU; WVII. 

haimonique qui donne la solulion clu probleme ile Diiiclilel |)ouvent devcnir 
infinios sue ce contour (Note de la page ii)8). 

()01. Approximation en moyenne. — l.a delinilion de la convergence 
en moyenne dans nn domaine selend a des suites de fonclions de plu- 
sieurs variables. Soil K(a~, y) un noyau non symetrique; rangeons les va- 
leurs singulieres X,, delinies au n" o98, par ordre de grandeur croissanle, 
et soil (o,-, <^i) le couple de fonctions fondamentales de Schmidt corres- 
pondant a la valeur X,. En tenant comple des relations d'orlhogonalite et 
des formules (4i ) qui definissent les fonclions o,{x), iI/{t), on verifie 
faciiernent quOn a 

,. b ,. b 



-/ / 



K(x, y) 



y 9/(.r)il/,-(7) 



dx dy 



., h h " 

= I I K-^(x,y)dxdy — ^^ 



haulre part, en faisanl j' = .r dans la relation {/\H) el integrant tcrme 
a terme, on trouve 






K{x, x)dx 



= r r'K 



(r, t )\\(.r. l)dx dt 



- r r- 

'-II ' II 



dx dy; 



I'integrale !„ tend done vers zero lorsquc n crolt indefiniment . 

Ge resultat donne un moyen d'apprucher en moyenne de K(x.y) d'aussi 
pres qu'on le veul, avec la somme d nn nonibre fini de termes dont chacun 
■est le produil d'une fonction de x par une fonction dejK- M. Schmidt a 
demontre que la solution precedenle est celle qui tlonne la nieilleure 
approximation pour une valeur donnee du nombre fi. En termes plus 
precis, les letlres X, et Y, designant des fonclions de ./• el de y respecti- 
vemenl, on a toujours 






^(•r.y) 



yi (fi(x)'li{y) 



dx dy 



K(.r, r ) 



i;x.v, 



dx dy. 



quelles que soient les fonctions X/ et Y,, si Ton a m %n (Math. Annalen, 
Bd. 63). 



COMPLEMENTS l-T EXERCICES. 48l 

COMPLEMENTS ET EXERCICES. 

1. Mitliocle de Knrser pour Ics noyaux syinetriqnes. — Soil K(x\y) 
un noyau syinetrique borne; la trace X^n tie ce noyau peul se rnettie sous 
Tune ou I'autte dcs deux formes 

^11,^ f f [K" (x, ()]Ulj-d(=: f f W'>^+i^(x,t)K^"-i^{x,t)dxdt, 
el I'inegalitc de Scliwarz conduit a la ninivelle inegalile 

d'on Ton deduit que la serie ilA,,)." ne peul elre convergenle pour loutc 
valeur de X, a moins que A; ne soil nul. II faudrait pour cela qu'on eiit 
K''-'(a:, /) = o, el par suite K( a-, t ) ^= o { n" ;)87j. 

2. Generalisation de l' inegalile de Bessel. —■ Une suite de n fonc- 
tions ^i{x) de la variable reelle x, pouvant prendre des valeurs com- 
plexes, forme un systeme orthogonal el normal si I'integrale 

/>i _ 

/ 9/(ar)o/.(\r) dx = ('f/'f/j 
«' </ 

est nulle pour i ^ k, el egale a un pour i=k; a el a designant d'une 
facon generale deux imaginaires conjuguees. On peul etendre a ces sys- 
temes rinegalite de Bessel. So\\.J'(x) une fonctiou quelconque reelle ou 
complexe de la variable reelle .r. mais donl le carre du module est inte- 
grable. Posoiis 

//= / J'ix)'^i(j^)dx, fi= j /{x)Oi(x)dx. 

On a evidemmenl 

,.h 

* It 

ce qui doiinc, en developpaiil le piodnil, 

t, " _ I' _ " l> 

I /(^)J\^)d^—^/' / f'^)'^i^^^)(lj^ — ^J'i I J\x)Oi(x)dx 

-^Z^^fU'i' / 'ii(x)^k{x)dx^o. 

I K 

G., III. 3i 



482 CIlAPlTlli: \\\1I. — LES FONCTIONS FONDAMENTAI.KS. 

Kn tenant conipte ties relalions d'orthnL;onalili'", il rcsle 

,0 



(') 



11./V1'. r 



I /"i .r ^ - dx. 



Application. — Supposons que Ics n fonctions ci], oj, ..., tp,, du sys- 
teine orlhotronal vdrilicnl n relations ile la fornie 



(2) 






\i{x^y) etani un noyau tel que |K(j", r)|- soil integrable, ct les coeffi- 
cients a^a etant constants. On aura aussi les relations 



(3) 



„ii " 



3 = 1 



A|)|tliquons I'inegalite (i) a la fonction K(.r, t). en y considerant x 
comme un paramelre et t conime la variable independaule, el rempla- 
cant Oi{t) par Oi{t). Nous poserons pour cela 

h " 

;i = i 

__ /, " _ _ 

Aa= / K(x. t )'~J'x' f > df = Z '^a-'-?y(a7). 

D'apres I'inegalite de Bessel, on a 

2 ^a'^a^ / iK(ar, t )C- dt 



et, par suite, 



" h h h 

^ / ^'j.^s.dx'g I I \K{ X, t)[^dT dt. 



Or, si Ion remplace A-^ et A^ par leurs expressions, le premier membre 
de cetle inegalite se reduit. d'apres les conditions d'orlbogonalite, a 



II reste done 



2 2;i«>;.l'- 

n n h h 



dt. 



a = i fl = i 



comi'I,emi;nt.s kt kxkrcices. 



183 



',i. Tlicorcme de Schur{Math. Annalen, \\d. 60, p. 5o8). — Soil Kir, y) 
iin noyaii l)orne ou, plus generalemeiil, tin noyau tel que |K(:r, j')]- soil 
inlcgrable. Consideions un systonie S do n fonclions priiici|jalos apparle- 
uant ;i ce noyau ( n" 380), c'esl-a-dire un systeme de n fonclions lineaire- 
nienl distinctes «,, o^, ..., 9/; verifiant dcs relations de la forme (2) de 
rexercice precedent. Designons par to,, toji • • • > w„ les n racines de I'equation 



D (' oj ) = 



Nous pouvons tonjours prendre unt; fniiclioii <I>i(.7'; du systeme S veri- 
iiant Ics r.lalions 

Ki 4>,; = oj,<l>i(j- 1, ((I»ifl>i) = 1, 

et supposcr que les n fonclions 'I>i. Co, .... »„ sont lineaircmenl distinctes. 
Clioisissons ensuile les n — i coeriicients c/(i>i) de telle facon qu'on 

ait ('!>,,»/ — c/'l»;) = o, et posons r.iix) = oi — c,«I>i. II est clair que 
les II — I fonctions -•>, ..-, ~n sont distinctes et orthogonales a ^i{x), et 
par suite <l>i {x) est orthogoiiale a toute combinaison lineaire de ces « — i 
fonclions. Nous pouvons ensuite trouver une combinaison lineaire •Ji.> 
de 7:2, TCj, . . ., T.,i verifiant les deux relations 

et ainsi de suite. En conliiiuaiil de la sorte, il est clair qu'on arrivera a 
former un systeme orthogonal et normal de n fonctions principales <l>i, 
'I'2. . . ., 'I'/M equivalent au systeme donne S, el verifiant 11 relations de la 
fornu; 

K(*i ) =■ (oi'l>i, 

K(<t>i) = l^'ol 'I'l -i- OJo'l'j, 

K ( *3 ) = /^3 , <1>1 -f- 63 2 ft>2 + ">3 *.3 , 



K{<\>n)= «^«l'l'l-H ^«-2*2 



W„'I', 



L'appiication de riuegalilc (4) *'e I'exercice precedent a ce systeme 
oriliogonal conduit ii i'inegalile 

2|oj,|^^ f f |K(.r, f)\'-dxdt, 

'-a "^ It 

d'ou Ton deduit aiscmeut le tlieorenie de Scliur {voir n" o84). 

4.. Moraux synielrisables (n° .'iOlJ;. — Soil Vi{x, y) un novau svme- 

.6 
Irisable, tel que Ic noyau G(.r, r)= I S(:r, t)\\.{t, y)dt soil syme- 



48', CIIAPITHK \X\II. — LKS FONCTIOXS FOMUMENT.VLES. 

tri(Hie. 8(3-, y) etanl lui-intMne syinelrique et positif. En designant 
par K^" (.r, y ) le /t'""' noyau ilere ile K(^, y), nous poserons 

K«(^,^)= /" S(x, 0K""(^. Ji'^, K,(x,y)=--G{x,y). 
■- It 

Nous aliens d'abord monlrer que K,j(j", y) est lui-meme un noyau 
symetrique. On jjeul eciire, en elTet, 

KJx,y)= I f f..- fS{x,tt)K((i,t.)K(t2, t-,)... K{t,„ yjdt.dt. .. . dtnr 

les limiles dc loutes les integralions etanl a el b. ou encore 

Knix,y)= f f ■•■ I G{x, t,)K(t2, t:,)...K{ta,y)dU_dli... dtn 
= f f... l'G{t.i,x)K{t^,h)...K{tn,y)dt.idt,...dln.- 
= j f... fs(t,,ti)K{ti,x)K(to,t3)...K{t,„y)dt,...dt„ 
=//■■ A^(^i' ^)S(<i, h)K{t.2, t,)...K{tn,y)dty...dtn. 

Kn recommencant la nienie suile de transformations sur le pioduit 
S(^), t-i)K(ti. tz), et ainsi de suite, on voit qu'on a, dune nianiere gene- 
rale, 

i^n{^,y)= ff.--fK(tu X)K(t.2. /,)••• 

X K(</„ tp-i)S{t,„ </,+i)K (//,+,, ?„+2). . . K(t,„y)dfidto . . . dtny 
ce qu'on peut encore ecrire 

Kn(x,y)=l I S( u, v)K'/'Hu, x)K''}' (v, y) dudv { p ^ q = n). 

En echangeant/> et q. on voit immedialenient qu'on a Kn(x. y ) = K,i( y, x ). 
La suite des noyaux K„(a:, y) est illimitee. d mains que G{x,y) ne 
soit nul. Nous avons en paiticulier 

^2,>{X:y) = f I ^(li, v)K'P>{u, x)'Ki'\v,y)dudi' 

= / /S(«, v)K'i>+^^{u, x)Ki'-^\v,y)dudv, 
et, par suite, 

Kipix. x)= I / S(u, i>)K'P>(i(, a:)K'/''(r, x)dudv. 



COMPLEMENTS ET EXERCICES. 485 

Si le novaii \\>f,(x, x) etail nul identiquement, il en serait <Je nieme de 
I'integrale 

/ I S(u, i-)Ki>'(u, x)'l(v) dtt di- = I 'livjcli- I S{u, i> )K'i>\u, x)du, 

' «- '^ a '- n 

quelle que soit la fonclion 'lii'J^ dapres Tinogalite de Schwarz genera- 
lisee ( • ) 

r / fs(u, v)'s{u)'hii') da di'V l\ f fs(u,v)'i(u)'^(v}dudi'\ 

x\ f f^{i<, v)^l(u)'l(v)di( diA. 
et, par suite, le noyau 

Kp(v,x)= I S(u,v')K'f'^u,x)du 

serait nul aussi identiquement. l)"autre part, on a evidemment, dapres la 
definition nieme de K„( x, y ), 

K,t-i-\(x,y)= I Kn(x, u)K(ii, y) dit, 

*-■' II 

de sorle que si K„(ar,y) est identiquement nul, il en est de mcme de K;,+i, 
K„^-2- • • •• Pai' suite, si \{.^p{x, y) ou K.2p~\(x, y) est identiquement nul, 
il en est de nieme de Kpix^ y). S'il y avait un noyau identiquement nul 
dans la suite des noyaux K,j(:r, jk), on en deduirait done, en remontant 
de proclie en proche, qu'on a K|f^, j') = o. Le raisonnement prouve 
meme que K^p(x^ x) ne peut etre identiquement nul. 
La serie 

V{x,y- \) = K{x, y) -\-\K'^^{x, y)^ . . .^\"-^K"'Hx, y) ^. . . 

ne peut etre convergente, quel que soit /.. En eflet, il en serait de nu-nie 
de la serie 

I S(x, t)T(t,y; \)dl = Ki(x, y)A-hKi(x,y)-+- ...-^ K"-^Kn(x,y)-i-... 
•- ti 

et, par suite, de la serie 

Ki(.r. x) -h\Kz(x, X) -i-. . .-i- A"-' Kn( X, x )-^ . . .. 



(') On roblienl en ccrivynl que rinlegraie double 

ffs{u. *•)[:'■■?(") + :i'M")][*'-?('') + ?'M^')]^"rf'' 
est une forme quadratique definie positive en a, 'i. 



486 CHAPITRE XWII. — UKS FONCTIONS FONDAMEKTALEP. 

Or, (I'apre? riiK-jjalili- ile Schwaiz p;oncraIisce, on a 

I I S(u, r)K /'+•(», a:) Iv</'-'(t', r) f/f/ f/f ' 

= / / S(f/. r)K /'+i'(m, ^)Ki/'+'M f, X) (III dv 

X' f fS{u, v)K'/>-^^(ii, t)K^i'-^ (v, x)duclvl. 



c'esl-a-dii e 



[ K-ipir, x)\-S^ K2/,+2(^5 ^) X M^p-'iix, X ) 



et le raisoiinemenl s'aclieve comme pour un noyau symetrique (n" o87). 
Tout noyau symetrisable admet done au nioins une valeur singulii're. 



5. Mininnirn dc l' intcs^iale I I [K(a;, y) — 's{ x)'\i( y )\- dx dy 

• (( • /( 
(n° 601). — Supposons que celle inlegrale soil raininiuin pour un syslenie 
de fonctions ^{x), iiiy)- I-n y remplacant '-fix) par 0(37) -i- aO((x), 
'^(jy) P^r 'l(y)-h t^4'i(^)> ^" ohlienl une fonction I(a, 3) des deux para- 
metres a, 3, qui doit rlre minimum pour a = 3 = o, quelles que soient Ics 
deux fonctions '^i(x), <lii(y). 

La condition — = o, pour a = li ^ o, donne 
da ' ' ' 

/ '^i(x)dx / [K(x, y)'l(y) — o( x)'y^(y')]dy ~ o, 
•- II • It 

ce qui exige qu'on ait, puisque Oi{x) est arbitraire, 

I W(x,y)'h(y)dy = o(x) I <l^( y) dy ^ C':i{x); 

' II ^ a 

, J- . t*I , , . , 

Ja condition -7- := o donne une autre equatnin de meme lorme 

/ K(x.y)o(x)dx = C'!j(y), 
^ 11 

G et C etant des constantes. Ces constantes C et C elant nccessaireiiient 
positives, on pent ramener le systeme obtenu a la forme (41) du n" 598, 

en remplacant les fonctions <p et 4^ par /«'f et j respeoiivement, et choisis- 

sant convenablement la constante h. 



CIIAIMTIU: XXXIII. 

APl'l.lCATIONS DES KUIATIONS INTEGRALES. 



Les applications des eqiiatiotis inU'grales sonl deja nombreuses 
et impoilaules. \oiis allons eii indiqucr fpielques-unes, relatives 
ail calciil inU''<;ial el a la physique i»iatl)(''iiialique. 

I. — APPLICATIONS AUX KQUATIONS DIFFERENTIELLES. 

G02. Sur quelques proprietes des equations lineaires. — iNoiis 
('labliroiis ci aboid (pielqiies proprietes tres simples des integrales 
dune equation lineaire, concernant les zeros de ces integrales. 
Soit 

(i) y^/j(x)y-^g(x) 

line equation lineaire, dont les coefficients p et cj sont continus 
datis un intervalle («, 0), ou a<ib. On sait que toutes les inte- 
grates sont continues dans le meme intervalle, et I'integrale pre- 
nant la valeur ro pour une valeur Xo de x, comprise entre a et 6, 
a pour exjMCssion (II, n" 366) 



(2) 



/ I 'I'] r'- -f /"'-'■ i 



il resulte de celle loruiule que si Ton aj-„>o, q^o^yseva j)()sitif 
pour x'^Xt,. Par consequent, 5/ la fonction q{x) n est jamais 
negative dans r intervalle («, ^), une integrale ne pent passer 
d'une valeur /josidve a une valeur negative lorsque x eroit 
de a a b. Les conclusions seraient renversees si Ton avait «ySo. 
Considerons, en second lieu, une equation de Riccali 

(3) -r- = I'u'^-r Qa-H K 

ax 



i88 rU.VPITRK \V\IM. — APPLICATIONS lUiS KQUATIONS INTEGRALES. 

(ioiil les coefficients sont contirius dans Tintervalle («, b). Toule 
intoi;rale u(x), continue dans eel intervalle, salisfait aussi a une 
t'cjiialion litjeaire de la forme ( i) dont les coefficients auralenl 
j)Our valeurs ^) = I'// -|- ( ). tj r=\\. l*,ir siiile. si 1\ nest jamais 
nci;atif dans linlervalle ( </. In. une inlcyrale cotitinue dans cet 
intervalle ne pent passer dune valeur positive a une valeur nega- 
tive lorsqne x croit de a a h. 

Plus geneialement, soit j'(.r) une inte^jrale, continue clans I'intervalle 
(a, 6), dune equation de la fomie 



dr 



^y\\x,y)^\\{x). 



les fonctions V{x,y) cl Rl'./i etant continues, et R(.r) n'etant jamais 
negatif entre a et b. Cette integrale ne peut passer il ime valeur po-itive 
a line valeur negative lorsque .r croit de a a b. 

IVenons maintenant une equalion lineaire du second ordre 

dont les coefficients sont 6onlinus entre a et /j. On a deja etabli 
(11, note de la page 4'^5)que deux racines consecutives d'une intc- 
grale quelconque V\{x) coniprennent une racine et une seule de 
toute autre integrale j^o(j?). Une inlegrale j/, (x) est complete- 
ment delerminee, a un facteur constant pres, si 1 on connait une 
racine Xq de cette integrale, car on peul disposer du facteur C de 
facon que la derivee Oy\ ( x) prenne une valeur donnee quelconque 
pourj7 = To. II s ensuil cpie les racines d une integrale sont deler- 
minees si Ion connait Tune deiles. et il resulle du theoreme de 
Sturm que nous venons de ra|)pelpr que toutes ces racines varient 
dans le raeme sens, si Ton fait varier Tune d'elles. 

Si Ion a Q(j?)^o dans V intervalle («, b), une integrale 
ne pent avoir plus d' une racine dans cet intervalle. Supposons, 
en elfel. que x^ et x^ soient deux racines consecutives d'une 
integrale j»'(.r), comprises entre a et b. La derivee logarith- 

niique ;/ = — de cette integrale serail continue de x^^-\- za x^ — s', 

et elle devrait passer de -^ cc a — cc lorsque x croit de x,, + e 
a x^ — z. Or, ceci est impossible, pnisque u satisfait a une equa- 
tion de Riccati de la forme i'-V) dans laquelle le terme lout connu 



I. — APPLICATIONS AU\ EQUATIONS OIFFKRrXTlKI.LES. 4o9 

est prcciseineiit — ^}[^) (n" iO!2). Si — > o pour x = a, on voit 

de plus (|ue iinlegrale ne peut avoir dc racine eiitre a et b. 

Lorsque Q(^) a un signe quelcoiKpie, on peul avoir des ren- 
seif^neinents sur le nombre des racinos d'une inlegrale, comprises 
enli'c a et b, au nioveii d nu autre iheoreme de comparaison, dii 
aussi a Sturm. l\)ur enoncer ce tlieoreine, nous supposerons que 
I'equalion lineairea ete mise sous la forme canoniquc suivanle 

, . d \ dy ) » 

k el i"" etanl des fonclions continues, dont la pi-emiere / peut etre 
supposee />o.s7V/rt^. I'diii- rainciier Tetpialion (4) a celle forme, il 

suflif. de multiplier lous les termes par le facleur positif eJ 
Cela pose, considerons une seconde equation de meme forme 

,c^ d \ dz) 

et soieiil .ro, -^1 deux racines consecutives d'une integrale y{x) 
de (5) eiitre a el b: si Von a constaninient k t'S k, g\^g^ enlreXf^ 
et .2',. loitte integrale :{x) de V equation (G) a au jfioins une 
racine comprise enlre Xq et x,. 

11 suflil ('vidcmment de prouver qu'il ne peut y avoir d'inte- 
grale ^(x) de i'equalion (6) restanl posilive de x^ a x,, y compris 
ces iimites. Admetlons pour un moment I'exislence d'une telle 
integrale. el posons 

/. dy /., dz 

y dx z dx 

celle fonclion u serail conlinue de x^-i-z a :r, — t' , et passerait 
de -f- ^ it — y^' car m, reste (inie pour x = x^ et J" = .r,. Or on a 



du diii 


doj 1 




I , 


I „ 


dx dx 


dx 


o- _ 

ft 


-;^-'--ftt 


-^^^' 



ce (ju on peul ecrire encore 

d" \ \ I I / , , I \ I I / „ 

Ccsl une e(jualii)ii lineaire en u. doiil les coefficients sonl con- 



40O CUVPITRE WMII. — AI'PI.ICVTIONS DES EQUATIONS INTEGRATES. 

linus dans riiiter\allo (^jt'o -f- £, x, — z'), el ou le tcrine loiiL coniiii 
e>l posit// dans ret inlervallc. Elle ne pent cIoik;, d'apres la pro- 
priete etablie an debut de ce parai;raplie, admcltie dintegrah^ 
passant de -f- x a — x lorsque X croit de x„ + £ a ./■, — t' . Toute 
inlegrale de loqualion (6) a done an moins une racine cnlrc .r',k 
et.r, ('). 



ipplicafions. — i" (^.onsiderons I equation 



d_ 

dx 



qui ne difTc-re de l"<'qualioii de Bcssel (11, n"4-li) que par le clian- 
gement de x en — x. Si Ion fait varier j? dune valeur positive / 
a une valeur cpielconque supeiieure a /, le coefficient .r":~' est 



(') On pent elendre la proposition aux inLegrales zix) tie I't'-qualinn Oi) i|iii 
admellent la racine j:,,. Soil, en ell'et, z{x^ iine inlegrale telle (|ue z{x„) — o; 
nous allons montrer que cetle inlegrale admet au moins une aulre racine entre .r„ 
el x^. Choisissons, en effet, un nombre c, cornpris enlre x^, el jr„ el assez voisin 
de J7(| pour que les deux rapporls 



r(:r) = 



y (x) _ I 



;,(^) 



■,{x) 



k,z\x) 



soient conlinus el posilifs de x^ a c. En posanl v = t — ',. on Iruuve, d'apres les 
equations ( 5 ) el ( 6 ) elles-memcs, 



dx 



dx 



d\, 
dx 



dv 
dx 



f'\ 



,)(-- + !:;)+ -(^-g',)(; + :,)p; 



le lerme independant de v dans le second menibre est negalif ou nul enlre x„ 
el c, el Ton a v{x^,) = o. II sensuil que v{c) est negalif el par suite 

(<i{c) — W, (c) = II (c) 

est positif. Cela elant, si linlegrale z {x) ne s'annulail pas enlre :r„ el x^, ni 
pour la valeur X,, la fonction u( x) passerait d'une valeur positive a — x lorsque ar 
croit de c a x^, ce qu'on a demontre elre impossible. Si ion avail ci la fois 

Z{X,) = Z(Xi) = 0, 

on prouverait, de menie, que lo(c') — io,(c') est negalif pour une valeur c' com- 
prise enlre Xg et x^ el Ires voisine de x, el la dilference o) (x) — <^i(x) passerait 
dune valeur posiuve a une valeur negative lorsque j7Croilde c a c' {voir M. BociiER^ 
transactions of the American Mathematical Society, 1902, p. 19G). 



I. — APPLICATIONS Al\ EQIATIONS DIKFEKENTIELLES. (9' 

suporlcur u Ix'^"- dans cet iiilervalle. Par suite, deux racines 
quelconques superieures a / d'liiie iiilegrale de I'ecjuation auxi- 

liaire 

<-/ / ''/V\ , „ ,^.„ ,„ ,,, 

-r- ( .rV -p- -r- ItY -\ = o ou x- \ -h -,' x\ ~ l \ = o 

(l.r \ ax I 

coniprenuent au inoias une I'aciiie d iine iiilegrale de IcMjiialion 
proposre. Or, si Ton prend 4^>(v— i)-', requalioii auxiliaire 
admel une integrale de la forme x'^ sin[6logj7J cpii adniel pour 

zeros lous les nombres c" , parnii lesquels il y en»a une infinite 
de snperieiirs a /. Toiile integrale de lequation consideree adniet 
done une infinite de racines positives. 

3" Siipposons g positif enlre a et b^ et soienl / et L une 
liinite inferieure el une liniite superieure de g^ I etant positil; 
soient de nienie ni et .M deux nombres positifs jouant le meme 
role pour /.•. La comparaison de I'equalion (5) avec les deux equa- 
tions aiixiliaires- 

donne des renseigneinents sur le nombre et ia disposition des 
racines dune integrale t'(\x') comprises enlre a et b. 

I) line part, entre deux zeros conseculifs d'une integrale Z(.r ), 
il V a au moins une racine de )'(x); d'autre part, entre deux 
racines consecutives de ,r(^), il y a au moins une racine de \ (^). 
Or, les equations auxiliaires (-) et (8) sont des equations a coef- 
ficients constants, et les zeros de \ [x) et de Z(x) sont respecti- 

vemenl a + lv-l/j-, j + R'-i/— , y. et ,j etant des nombres 

quelconques, K el R' des en tiers arbllraires. II s'ensuit que la 

difi'erence Xi — Xq tie deux racines consecutives de y{x) ne pent 

, . », . , /ni . , . . /M j^ ,, 

etre inieneure a '^l/-]-' 'n siiprrieure a ~{/y' -^ tl autres 

termes, tout intervalle de longueur ~i/ -j compris dans lintei'- 
valle (r/, b) contient au moins une racine de )'{x), et un inter- 
valle de longueur Ttl/ — ne pent en conlcnir |)liis d'unc. Si 1 equa- 



f\r\i nivpiTRi: xxxiii. — appi.ic.vtions ni:s equations integrales. 

lion ^'(.r) = a n racines .Vq, ^i, ..., ^«_i, comprises enlre a 
c\ h, ces n racines deterniinent, avec ael b, (n+ i) inlervalles donl 

riinipliliKlc csL intoncure a "^ 1 / -7 * On a done 

^ /M , h — a/T 

D anlre part, les [/i — 1) inlervalles coiiipris enlre denx racines 
consecn lives sunt siiperienrs a ~W -r' ^" '^ done 



{n — \)-i/--<b — a 



Vt 



i< 



— rt /I. 



Si ^' esl negalif enlre a et b, nous avons vu qu'iine inleyrale de 
I'equalion (5) a an plus une racine dans eel intervalle. Si ff change 
de signe entre a et 6, on a seulement une liniile inferieure pour la 
dillerence de deux racines. 

603. Nouveaux problemes sur les equations lineaires. — On a 
vu plus haul ( n" ool) comment la resolution du probleme de 
Cauchv pour une equation diHerentielle lineaire conduisail a une 
equation inlegrale de Volterra. L'etude de cerlains problemes aux 
limites, dans lesquels rintegrale doit salisfaire a des conditions ou 
ligurent a la fois les deux limites d'un intervalle, conduit de meme 
a des equations integrales de Fredholm. Nous nous bornerons au 
cas d'nne equation du second ordre. Les fonctions fondamentales 
pour ces equations de Fredholm comj)rennenl, comme cas parli- 
culiers, un grand nombre de famdles de fonctions orthogonales 
qui s elaienl deja presentees dans diveises questions d'Analyse ou 
de Physique malhemalique. La recherche de ces fonctions fonda- 
mentales se ramene en general, comme on le verra un pen plus 
loin, au probleme suivant. Etant donnee une equation lineaire du 
second ordre 



(9) 



d [ dy I 



ou ). est un paranieire, /.•, /•, » des fonctions de :r doiil la premiere 
est positive dans lintervalle (rt, b), irouver les valeurs de A pour 
lesquelles il exisle une inlegrale j^(^), dilTerenlede zero, continue 



I. — AI'l'LIC.VTIONS VrX KyUATIONS DIK FKRKNTIKI.LKS. 4<)3 

enlre a el b^ el saiisfaisant ;"i des conditions anx liniites de la forme 
suivanle 

("» '^(s^)„-"-^«" = "' ■^■(sX- "■■'•'*) = - 

A, 15, A|, I>, etant des constanles donnees. L'exislenre dune 
infinile de valeurs de A, pour lesqnellcs il exisle une inle<;iale 
satisfaisanl a ces conditions, est une consequence immediate de la 
theorie des eqiialions inlegrales, dans les cas que nous Iraiterons. 
Les j)ro|)rietes d'orlli()i;onalil('' se demonlrenf Ires stmplemeni en 
partant de 1 equation dillerenlielle elle-meme. Soieiit, en ellel, ).| 
el )>2 deux valeurs du |)aianielie A, a chacune desquelles corres- 
pond une integrale de 1 equation (p), satisfaisanl aux cotidilions 
aux limiles (lo); ces deux inlegrales >', (jc) ^ly.^i^x) veridenl aussi 
la relation suivanle, qui se deduil des deux equations difTeren- 
lielles en eliminant le coefficient o-^ 

d \ , / dyi dy»\ \ ^, ^ , 



d ou 1 on tu-e 



Mais les conditions aux limites (lo) que verifient par hvpolhese 
les deux fonctionsjKi (^) ^^y2{^) prouvenl que r^ -j^ — y, -j-^ est 
iiul jjour X = a el pour x = b. On a done, en su|>j)()sai)t A, ^ Ao, 



(n) 



I r{x)yi(x)y2(x\) dx = o. 



On a aussi etudie des cas ou la fonction k{x') est nulle |)our x =^ d 
(ju |)Our x=b. Si /:(«) = o, la premiere coudition aux limites 
doit etre remplacee par la condition que Tintegrale resie iinie 
pour X =^ a; il en est de meme de la seconde condition aux limites 
si Ion a aussi k[b)^ o. 

GU4. Determination d'une integrale par ses valeurs j(rt) etjt\b). 
— Nous allons eludier en detail le plus simple des problemes dont 



49 i ClUIMTlii; \\\m. - M'IM.ICVTrONS OES kql.vtions integrales. 

il \ioiil deire qiieslion, la recherche diiiie iiitegrale prenanl des 
vah'nrs (h)nnees aux deux exlrenillc'S d un intervalle. On peiil e\ i- 
deinment supposer que ces valeurs sonl nulles, car il .suflil dun 
changemcul hien lacih' iliiiCdmuir pour elre raniene a ce cas ; 
c'est ce que nous ferons desorniais. Consulerons 1 ('(juiilion 



(12) 



(I'-V - . . y . 



A(.r') el fix) etant conliuues dans 1 Inlervalle (r/, b). Pour appli- 
quer hi niethode des approximations suecessives a la resolution de 
ce nouveau |»roblenie, on esl conduit, comnie on I'a deja observe 
a plusieiirs reprises, a chercher un developpement ordonne suivant 
les puissances entit'res de A, satisfaisanl lonnellenient a Tequa- 
tion (12), el dont chaque coetlicient esl nul pour x =^ a et 
pour J7 = b, 

(i3) y = ro( oc) ^lyiix) -- . . .^'tJ'y n{x) -^ . . . . 

Le premier termej'o(^) s'obtient en resolvant le probleme pour 
lequation simple ohtenue en faisant ), = o. Or, on sait que I'inle- 
grale generale de lequation k'„(x) ^ /"(.r) est 

yQ{x)= I {X — s )f(s) ds ^ Cix ^ C2; 

en determinant C, et Co de f;icon que y^^a) ^yo(b) = o, on 
Irouve que I'lntegrale cherchce a |)Our expression 

yo(x)= I (x — s)f(s)ds—- / (b — s)f{s)ds, 

ce (pi on pent encore ecrire 

(14 ) y^{x) = j K(x, s)f(s) ds 



en posant 

(I 5) K.(-^, s ) = 

K(x, s ) = 



( X — fj)(s — a ) 
( X — a )( s — b ) 



pour s-^x, 



Cette fonclion K(a7,.s). qui va jouer un njle essenliel dans la suite, 



I. — AI'tM.ICATIONS AV\ KQUATIOXS Dl KFKUKNTIia.LES. \()') 

esl evidemiiienl conliimc et sjmetriqiip en x et s. (^onsidt'-njc 

coiiime fonclioii de x. cesl iine inte2;rale de rcciualion =o, 

doul la d('ri\ec premiere est discoulinue pour x = s; celle derivee 
j)rcniiere aiiyinenle brusqiiemenl de riiiiile lors(|ue x passe de 5 — £ 
ks -r t, mais la derivee seconde est continue. La coiuIjc figiiralixe 
se compose des deux cotes d'lin liiai)i;le avaiit pour soinmcls les 
Irois points 

(x^. a,y = 0), (x = b,y = 0), Lr = .9, j = 



^] 



i ous les autres lermes de la serie (i3) se calculent aisement 
par voie de recurrence; dune facon generale, yn{^) est une inte- 
grale de Tecpiation 



dx-i 



A{x)y,^^i(T) 



s'annulant j)oiir x^a^ x=^b. On a done, d'apres le calcul qui 
vient d'etre fail, 

yn{x)= j K{x, s)k{s)yn-\is)ds; 

ce sont precisement les calculs qu'il faudrait efTectuer pour 
resoudre par approximations successives I'equation de Fredliolm 

(16; y{x) — \ / \\{x,s)k{s)y{s)ds-^ / Y^ix, s)f{s) ds\ 

ce qui sexplique aisement d'apres la faeon nieme dont on a intro- 
duit la fonction K(.z-, s). En edet, si Tintegrale 7'(.r) de I'equa- 
tion (12) est nuUc pour x =^ a et pour x = ^, le calcul fait pour 
I'l'quation jk' =/^(-27) piouve que r(.r) doit salisfaire a Tequation 
integrale ( 16). I^a reciproqne est d'ailleurs immediate. En resume, 
la icchefchc dune integrale de V eqiialion (12) sannnlant 
pour x = a et pour x-=b revient d la resolution de V equation de 
Fredholni (16). On voit par la les diflereoces essentielles entre le 
probleme de Gauchj el ce nouveau probleme aux limiles. Tandis 
que la nK'lhode dcs approximiiiions successives, appllqiiee au 
probleme de Cauchy, conduit loujotirs a une serie convergente, la 
serie ( i3) ne converge que si | a| esl assez petit. De plus, il existe, 
nous le verrons lout a 1 lieure, une inlinile de valeurs de k pour 



49'> CllAPlTUE XXXIU. — .VPPI,1C\TI0NS DKS KQUATIONS INTKGRALES. 

lesquclles le nouveau probleme n'est possible que si la lone- 
lion /*(^') veriiie une condition subsidiaire. 

Siipposons d'abord que la \aleur donnee du paramelre X ne soil 
pas une valeiir singuliere poui- le nojau K.(^, s) \.(s) \ d'apres la 
llit'orie generale, I'equalion (i<i) adniel une solution el une seule 
quon peul represenler par 

r'' 

H(x, 5; a) etant une fonclion nieroniorphe de A, qui n'esl pas iden- 
liqne a la resolvante, mais qui s'en deduirait aisement, D'ailleurs, 
en substituant I'expression (17) dejK(^) dans la relation (16) el 
en ecrivanl qu'on obtient une idenlite, on arrive a une equation 
fonclionnelle pernieltant de definir la fonclion H(x, s] a) 



(18) H(jr, s; A) = K{a", 5)-H A 



^ n 



t)\{t )\\(t, s\ X) dt. 



On voit que H(^, s\ A) est la somme de deux lermes dont le 

,7 It 

second Hi est continu, ainsi que sa derivee —r^i dans Tinler- 

T dx 

valle ( <7, 6). D'apres les proprietes de K(^, 5), on a 



d^W rfMl, .,,,„. 



rfH 



la derivee -^ presente done la nienie discontinuite que la derivee 

de K(x, s) pour x = 5, el H est nul, (piel que soil 5, pour x = a, 
et pour X =^ b. Ces proprietes suffisent a determiner la fonc- 
lion H(:c, s; a). Soienl, en effel, j', (^, ).) eV y2{x, ).) deux inte- 
grates de Tequation 



(•9) 



-^ =\k{x)y, 
dx^ -^ 



continues ainsi que 7', (^), j^!, (x) dans I'intervalle (a, 6), el satis- 
faisant aux conditions de Cauchj,jK, (rt)^o, y\ (<'/)= • , y2{b) = o^ 
y[,(^b) = \ . Toute inlegrale de I'equatiou (19), qui est nulle 
pourx = rt,et continue ainsi que sa derivee dans I'intervalle (a, .«), 
est de la forme C,r)(:r, X) dans eel intervalle; de meme, si elle 
est continue ainsi que sa derivee dans llntervalle (5, b) et nulle 
pour x = b, elle est de la forme Coyii^^^ >'0 <J^ii^ ^^^ intervalle. 



I. — APl'LICVTIOXS ALX EQUATIONS DIFl'EHKNTIELLES. {97 

Pour que la fonclion soil conliiitie {)utir x = s^ el que sa derivec 
presente la meine (iisconlinuih'" que la deiivee cle i^(,x, s), il faul 
qu'on ait 

equations qui douiieiit, en i^eneral, des valeurs (luies pour C, el Co. 
Le cas ou le delcrminaiit yoy', — JKi^r', serait nul sera examine 
toul a riieure. 

Si Ton sail inlegier Tequalion homogene (19), on peut«donc former, 
sauf dans ce cas exceplionnel, la fonclion H(x, s; X) qui joue le menie r61e 
dans ce probleme que la fonclion znx, a) pour la resolulion du probieme 
de Gauchy (If, n" iOl). II esl facile de verifier que la fonclion y (a?), repre- 
senlee par la formule (17), donne la solulion du probleme. En effel, celle 
foimule peul s'ecrire 

(17)' y{^)= I ^{x, s)f{s)ds+ Hi(x, s; l)f{s)ds, 

la fonclion Hi(:r, s\ A) etant continue ainsi que ses derivees enlre a el h. 
On en deduil, en diil'erenlianl deux fois, el lenanl comple de la propriete 
caraclerislique de K(a7, 5), 

y(x)=f(x)-^ f '^fis)ds=f{x)---l f k{x)Y{(x,s;l)f{s)ds 

o\iy{x)^f{x)-\-lK{x)y. 

6O0. 6tude des valeurs singulieres. — Si ). esl une valeur sin- 
guliere pour le noyau K.(a:", 5)A(5) Tequalion integrale homogene 

(j)(a:) = >. / \\(x^ s)k{s)':.(s)ds 

admet une solution dill'erente de zero, el par suite I'equation (19) 
a une integrale ^{oc) s'annulant aux deux limiles a et 6, ce qui 
prouve qu'a une valeur singuliere ne correspond qu'une fonclion 
fondamenlaie dislincte. Ces valeurs singulieres soiit en nombre 
injini. Nous prouverons d'abord que K(:r, s) est un noyau defini. 
D'une part, ce noyau esiferme; si Ton a, en efTet, 

<i^(x) = I K(x, s )'^(s) ds = o, 

quel que soil x, on en deduit '}' (x) = '•p(^) = o. De plus, toutes 
G.. III. 3i 



4y8 OUAI'ITIIE XWIII. — APPMCVTIOXS DKS kquatioxs intkcrales. 

les valeurs singiiliiTes ile K(.r. s) sonl negatives, car on obtienl 
CCS valeurs slno;ulicres en cliercliani les valeurs de). pour iesquelles 
lequatlon j>'^^ ),l'(j") adtnel uue inlei^raic sannulant en a el b. 

Ci's valeurs sont evKJenHncut de la forme — ( , "' " ) > n claut uu 



nouibre enlier, el les fonclions fondainenlales sont 

. \nTA T — a ) I 
( l> — a \ 

II sull de la que le noyau K(.r, 5)A(.s) apparlienl a la classe 
eludiee au n°o9o; la resohante adniet done une infinite de poles, 
tous reels el simples, et a eliacun deux correspond une seule 
fonction fondamentale. FJans le cas |)arliculier ou la fonction A(j:^ ) 
a le meme signe entre a el b, Ic noyau K{x, s)A(s) est un noyau 
de Schmidt, et les proprietes precedenles se deniontrenl encore 
plus simplement (n° ^93). Si, par exeniple, A(a7) est negatif, 
loules les valeurs singulieres sont positives. L'application de la 
methode de Schwarz permet de determiner de proclie en proclie 
les poles de la resolvanle et les fonctions foudameiilales ('). 

On peul former direclemeul lequalion D(a) = o qui donne les 
valeurs singulieres en parlanl de I'equalion difTerentielle elle- 
meme. Soit, en effet, ^'^{■T, ). ) lintegrale de I'equalion (19) qui 
satisfait aux conditions iniliales t, (a, ).) =0, j''^ («, X) = i . Cette 
integrate est une fonction entiere du parametre X, qu'on pent 
developper suivant les puissances du parametre X en caiculanl les 
coefficients par la metliode des approximations successives (II, 
n" 390). En ecrivant que cette integrale est nulle aussi poui' x ■= b., 
on ohtient une equation entiere en K. y\ [b, A ) = o, dont les racines 
sont precisement les valeurs singulieres demandees. On pent re- 
marquer que cette equation s'obtiendrail aussi en egalant a zero 

le determinant j>'2 (5, ^Oj^'i (•^) ^0 — X^i^^ ^Oj'-i(^' ^0 *^^^ equa- 
tions (20) ; d'apres la forme de I'equation (19) qui ne renferme pas 
de terme en^^', ce determinant est independant de s (II, n° -400) 
et identique a — yt {b, /«). 



(') E. PiCARO, Traite d' Analyse, t. Ill, Cliap. VI. Four le cas oii \{x) a un 
signe quelconque, voir aussi la These tie .M. Samelevici [Annates de I'Ecote 
A'ormale, 1909). 



I. — VPI'LICVTIONS AU\ EQUATIONS DIFFERENTIELLKS. 499 

606. Refroidissement d'line barre heterogene. — La melhode 
qiie nous venons de suivre dans le cas sini|»le dii niimero pre- 
cedent setend sans dilTiculte a dcs ecjuations dii second ordre de 
forme plus generale avec des condilions aux liniiles un peu moiiis 
simples. Etant donnce une equation linealre du second ordre 

(•■'■«) y"-^p{x)y'-^ \q{^)^^^''{x)\y ==f[x) 

ou Ic coefficient dc j^ est une fonctlon lineaire d'un parametre A, 
supposons qu'on veuille developper suivanl les puissances de ), 
une in tegrale satisfaisant a des condilions initiates deJa forme (lo). 
Le premier lerme du developpement s'obtiendra en lesolvant le 
prohleme pour lecpiation 

jK" + /j(ar)7'-f- <](x)y^f{x)\ 
I'application de la methode de la variation des conslantes permet 

r'' ^ 

de meltre cette integrale sous la forme / K.(a7, s)f{s)ds^ 

lv(x, 5) etant une fonction qui depend a la fois des conditions aux 
limites imposees a I'integrale et des coefficients p{x) et cj{oc). 
Cette fonction K(j7, .?) etant delermince, la resolution du probleme 
pro|>ose pour I'eq nation generale de la forme (21) est ramenee a 
la resolution de lecjualion inlegrale 

y{x) — K j K{x, s)r{s)y{s)ds= j K{x, s)/(s) ds, 

dont le noyau est — K(.27, s)r(s). Nous allons a]>pliquer cette 
methode an probleme du refroidissement d'une barre heterogene. 
Analjtiquement, le probleme est le suivant : Trouver une inte- 
grale de Vecjualion 

' dx\ dx I dt 

se reduisant pour t = o d une fonction don nee \] ^ (x) (o <^ x '^i'K.) , 
et satisfaisantj en outre, aux conditions aux limites 



(•^3) 



/j U = 

ox 


pour 


X = 0, 


f +HU=„ 
Ox 


pour 


x = \ 



5o(> ciiMMTni: xwiii. — apim.u vtions oks kquations intiUiralks. 

Ii t'l II sont ties conslanlPs positives, /»(.r), l{x)^ S\^) <^'cs ionr- 
lions tie .r qui, dapirs Iciir sii^iiilicalion plivsiquo. soiit csseiiticl- 
leinenl positives. 

On commence par clicrclier des solulions simples de la focmc 

U = ve -^', 

A etant line oonslanle el v une ronclioii de x salisfaisant au\ con- 
dilioiis aux liinitcs (2 >). 1mi remplacant U par ve"'-'- dans leqiia- 
tion (2>. ), on voll (pie r doit etrc une integrale de I'equalion 
liueaire 



(24) 



dx 



/ 



(lx\ 



^{g\-l)v 



o, 



el Ton a lout d'abord a recherclier les valeurs de ), jiour lesqiielles 
Tequation (2f) admet une inlegrale non niilU; salisfaisant aux 
conditions aiix limites (aS). Ces valeurs de \ sont les racines dime 
equation transcendanle facile a former. Soil, eu efifet, V(jc, a) Tin- 
tegrale de (aj) salisfaisant aux conditions initiales 



\(x,l) = i, 



dV 
dx 



= h 



poui 



celte integrale est une lonclion entirre du paramelre A et, en ecri 



van t qii on a aussi 



[nation 



qii on a aussi \- HV = o pour ^ =: X, on a une eqi 

enliere en A, D(a)z=o, dont les racines sont precisement les 
valeurs du paramelre cherchees. 

En s'appuyanl sur les iheoremes (rosciilation de Slurm, on pent 
demontrer que celte equation a une infinite de racines reelles et 
distinctes ('). Nous allons montrer que ces racines sont les valeurs 
singuiieres d'un noyau de Schmidt. Pour cela, nous allons tout 
d'abord resoudre le problezne suivant : Trouver une integrale 
de Veqiiation lineaire 



C25) 



d \ J dv ) 
ax ( ax \ 



■f{T) 



salisfaisant aux conditions aux limites [o,"^). Soient f , (.r), v.;,{x) 
deux inti'grales dislincles de I'equalion sans second membre; la 



(') Jor.DAX, Coins d' Analyse, t. III. Les fonctions iiinsi cleleniiinOes sont les 
fonclions de Sturm-Liouville {Journal de Liouville, I. I). 



I. — APPLICATIONS AUX EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 5oi 

methode de Cauchy (II, n" iOIj) donne aisemcnt I'integrale i;enc- 
rale de roqualloii avec second inemhre 

(26) i-{x} = Cii'i(x)-^C.2i-,(^)-+- j ]vi{s)V2(x) — V2(s)vi{a;)'^f{s) ds; 
nous siipposons, pour siin[)lilier, qiron a 

/i(0) = I, (•,(o) = I, i''j(o) = 0, (■2(0)= o, v'.,(o) = i. 

En ecrivant que la fonction t'(x) satisfalt aux t\cux condilioiis (2.3), 
on troiive pour valeurs des constanles C, el C^ , 

C.= / ^— T^B fis)ds, 

f'' \v,(s)-Bi',(s) ^^ 
^'-=\i A-^AB •^^^•^^^' 

en posant 

A = r',(;X) + Hp,(X), B = i\{\)^Hr.j,{X). 

L'integrale clierchec a done pour expression 

(27) v{x)= I K(x, s)/(s)ds, 
en posant 

K(x,s)= r-r: [ A('.,(s) — B Ci Ts)] pour x^s. 

K(,r, s)= ; r-TT Af.,(a") — V>vAx)\ pour 5 _: a:. 

A -H /i B L - \ . I , 'J t 

Le calcul suppose toutefois que A-h/iB n'est pas nui; s'ii en 
etait ainsi, linlegrale r = t'l (.r) + Ap2(^) de Inequation honiogene 

satisferait aux conditions aux liniites (aS). Or, le rapport — est 

|)ositii pour x = o, et le coefficient — Z de t' est negalK par hjpo- 
tliose; ce rapport ne peut done passer d'une valeur positive h a une 
valeur negative — 11 lorsque x croit de o a X (n" 002). 

Toute intcgrale de 1 equation (24)1 satisfaisant aux conditions 
aux liniites (23), est done solution de Toqualion inlegrale homogene 

(28) y(x)-^'/. I K{x, s)g(s)y(s)ds = o, 

• 

oblenuc en remplacant /(x) par — ^'^g'{x)y{^) dans les equa- 



5o2 cn.XPITRE WXIIl. — APPI-irVTIONS DES KQUATIONS INTEGRALES. 

lions (3.>t) et (2-), el r('ciproqnement. Le novaii K(x, s) est encore 
I'erme, car s'il exislail une fonction continue '-^i^) telle que 

.X 

K{x, s)'.i(s) ds 



£ 



fiU mil quel que soil x, lequation ( 25) ou Ton aurail remplacey(;r) 
par '-^{j^) atlniettrait lintegrale particnliere r = o, et, par suite, 'j>{x) 
serait nul. Comnie g{x) est posilif, le noyau K(^, s)ff{s) est un 
noyau de Schmidt, et il existe une infinite de valeurs singulieres, 
toutes reelles, qui sont des poles simples de la resolvante. A chacune 
de ces valeurs singulieres correspond une seule fonction fonda- 
mentale, car deux inlegrales de I'equalion (24). salisfaisant a la 
premiere des conditions aux limites (2.3), ne peuvenl differer que 
par un facteiir constant. 

Pour la meme raison que tout a 1 heure, aucune de ces valeurs 
singulieres ne pent elre negative. Soient A|, Ao. . . ., A/, ... ces 
valeurs singulieres, rangees par ordre de grandeur croissante, 
'J, (x), 02(.2;), ... les fonctions fondamentales correspondantes. 
Si la fonction Uo(^) pent etre representee par une serie unifor- 
mement convergente de la forme 

(29) Uo(vr) = rt,'j,(^)-h a-^o^Jx) -4-. . . — a„-i„(a7) -r- . . . , 
les coefficients a,, Go, . . . etant constants, la fonction 

(30) \J(x, ^) = a,e-'i'9,(vP) -+- a2e^'--'''f2(^) -!-• • • 

satisfait a toutes les conditions du probleme. Nous laisserons de 
cote I'examen des conditions suffisantes pour quune fonction Uo(:r) 
soil developpable en une serie uniformement convergente de la 
forme (29). 

607. Examen d'un cas singulier. — II pent se faire qu'en appli- 
quanl la metliode des approximations successives, on soit arretc' 
des le debut par cette circonstance que la premiere equation a 
resoudre n'admet pas d'inlegrale salisfaisant aux conditions aux 
limites donnees. Soit, par exemple, a irouver une integrale de 
lequation lineaire 

(3i) y'=\\(x)y~f(x) 

telle quey(a) = y(b) = o. Pour appliquer la methode habituelle, 



I. — APPLICATIONS AL\ EQUATIONS DI FFEBENTIELLES 5o3 

il faut d'aborcl clierclier line inlegralc de lequaliony = /(^) sa- 
tisfaisant a ces conditions; or, une telle integrale n'exisle que si la 
fonctiony(.2) salisfiiit a la lelalion 

(32) f /(x)dx = o 

et, dans ce cas, il existe une infinite d'integrales rcpondant a la 
question, qui sont comprises dans la fornuile 

r'' 

(33) y{x)= j K(t. s)f(s)ds + C, 

• II 

C etant une conslante arbitraire, et le noyau K(^, s) etant egal 
ax — 5 pour s'£x, et a zero pour s^x. 

Lorsque la fonctiony*(x) ne verifie pas la condition (oa), on ne 
pent done appliquer la methode habituelle d'approximations a 
Tequalion (3i). Pour tourner la difficulle, un nouvel artifice est 
necessaire. Toute integrale de 1 equation (3i), telle que 

y(«) = y'6) = o, 

satisfait aussi a la condition 



(34) 



A / \{x)y(x)dx ->r- I J'{x)dx 



qui est I'analogue de la condition (32). De plus, cette integrale 
est aussi une solution de Tequation integrale 

(35) yix) = \ f K{x, s)\(s)y(s)ds-^ f K[x, s)f(s) ds -^ C, 

qui se deduit de(33) en remplacant /(^) par/(j?) + AA(5;)j-(ic). 
ISous avons done un sjsleme de deux equations (34) et (35) pour 
determiner la fonction inconnue y{x) et la constante C. II est 
possible d'eliminer la constante C, car si Ton remplace, dans la 
condition {?>^), y{x) par son expression tiree de la formule (35), 
on obtient une relation 

).- I I K(x, s)X(x)\(s)j-{s) dx ds 

-t- X / / K(x^s)\ix)f(s)dxds-^-'/A^ j \{x)dx ^ I f(x)dx — o, 



)(>', 



CilXPlTRI-: XWIIl. 



APPMC.VTIONS DES KQUATIONS INTEGRALKS. 



r'' 

(i ou I on liro l;i valour do C. |)oiir\ii (|ii(' / Ki^x^dx ne soit pas 

• a 

mil. iJoraons-noiis a ce cas: en reinplacanl C |)ar lexpressioa 
ainsi ohtenue dans la relation (.^a), on ol)li{Mil ponr di'Lcrniincr 
y{x^ line eqnalion de Fredliolm 

/ ^ r" 

I j'(j") = A I \\i{x, s^k{s)y{s) ds 

I • a 

(36) ' , / f{T)dx 

J -+- I Ki(x, s )f( s) ds ^, ' 



ou Ton a pose 



K, (a:, s) = K{x. s) 



I K(.r, s_)A(a;) dx 
f X(x)dx 



= K(a", s)— *(*). 



Le nouveau noyau R, (.r, .s) se dediiil de K(.r, 5) en retiancliant 
line Ibnction de s clioisie de facon qu on ait 



,r 



K I f a:, s)\.{x) dx = o . 



Toute solulion de 1 equation intei^rale (36) satisfait bien aux con- 
ditions voulues; d'une part, c'est une integrate de I'equation (3i), 
car elle satisfait aussi a ['equation integrate (35 ). D'autre part, il 
suffit de refaire le calcul inverse du precedent pour voir que cette 
fonction satisfait aussi a la condition (34)- C'est done ici cette 
equation integrale (36) qui donnera la solution du probleme. On 
ft'expliqtie aisement, d'apres ce resultat, pourquoi la metliode des 
approximations successives nest plus applicable en general; en 

ellct. SI / J[x)dx n'est pas nul, 1 integrale clierchee j)^(.2;, a), 

consideree comma fonction du paramelre A, admet, outre les 
poles de la resolvanle, le pole a = 0, provenant du terme tout 
connu dans I'equation integrale. 



Ilemarque. — Si / est une valeur singulieie du noyau \s.i{x, s)\.{s), 
lequation homogene j'" = A A(ar)^ admet une integrale non identiquement 



I. — APPLICATIONS AUX EQUATIONS DIFFKIIENTIELLICS. 305 

niille. doiit la derivee est nulle au\ deuv limites a et b. Ces valeurs sin- 
i^ulieres sont aiissi les valeurs singulieres d'une infinite d'autres noyaux de 
ineme espece. Dune facon gi'iiorale, consideroiis uiie equation integrale 
ho mo gone 

(37) o(x) = l I Ki(x, s)X(.<!)'^(s)cls, 

pour laquelle on a / Ki(x, s) A.{x)d.r =^ o. On en deduit ininiediatement 
quon a / A (a;) »(.r ) ofr = o pour toute fonction fondamcntale '-^ix) de 

^ a 

* 

ce noyau, et par suite o(x) satisfait aussi ei la nouvelie equation 

(38) ^{x) = l f [Ki(x,s)-h\]\(s)'^is)ds, 

quelle que soit la fonction X de la variable .r. Toute fonction fondamcn- 
tale pour le noyau Ki(a:, s)X{s) est aussi une fonction fondamcntale pour 
le noyau lKi(a7, 5)-i-XJ A(s), correspondanl a la ineme vaieur singuliere. 
Inversement, soit o(x) une solution de I'equation (38); elle verifie aussi 
la relation 

x» i ^ f' pb 

I A(x)o{x) dx = 1 I \(s)Z'(s) ds X j XAi x) dx. 
On a done / \{x')'y(x) dr = o, a moins que le produit X / XA.(x)dx 

■^a ^11 

ne soit egal a I'unite. Dans le premier cas, o(.r) est aussi une solution de 
I'equation (Sj); la seconde hypothese donne pour A une vaieur deter- 
minee, a laquelle ne peuvent correspondre qu'un nombre y?/i/ de solutions 
distinctes de I'equation (38). 

008. Solutions periodiques. — Un artilice du meme genre permet 
de rameuer a la resolution d'une equation de Fredliolm la recherche 
des solutions periodiques d'une equation lineaire 

(39) y'\x)=^\K{x)y-\-f(x), 

oil A(^) et f{x) sont des fonctions periodiques de periodc to. 
Une inlegrale de cctte equation sera periodiquc si I'on a 

y(iM) = y{o), y'{vy)=zy\o). 

Considerons d'ahord rcc|uatioii obleiiuc en supposanl ), = o ; pour 



')o6 CIIAPITRE \X\III. — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTEGRALE8. 

que celle e(|uation ndnielle une solution ])(''riodl(jue, il faut evl- 
demmenl qu on ail / f{x)(lx=^o^ condilion qui exprime (|ue 

• 

^'((o) =y'(o) et, si cette condilion est satisfaite, il exisle nnc 
infinite d'inlegrales repondant a la question 

r'' .r r'" 
J- = / (.r — s\f(s)ds / (to — s)f(s)ds-hC, 

C etanl une constante arbilraire. On pent encore ecrire celle inte- 
nd) 
y= I K(x, s)f(s) ds ^ C, 



grale 



K(j7, s) etanl egal a — (x — (o) pour s<Cx, et a — (s — co) 
pour:r<;5. 

Supposons maintenant que I'equation (39) admette une inle- 
grale periodique; celle inlcgrale verifie les deux relations 

A / A(x)y(x) dx -+- I f{x)dx = o, 

y{x)= / V.{x, s){lS.(s)y{s)-^f(s)\ds-^C, 
•A 

et I'elimination de C conduit, comnie au numero precedent, en 

r'" 

supposanl que / A(jc) r/j:- n'est pas nul, a une equation integrale 

«' 

dont le noyau est de la Conne K,(.r, .s)A(5), ou K)(^, 5) .ne dif- 
fere de K(j7, s) que par unefonction *^{s) de s clioisle de telle facon 

^ 03 

(jue / K) [x, s)\{x) dx soil nul. Les remarques qui ont ete faites 

a propos de requalion (■>()) s'appliqnent aussi a celte equation. 
En supposanty(j^) = o, on obtient une equation integrale homo- 
gene dont les solutions sont les integrales pt'-riodiques Je I'equa- 
tion j'=)vA(^)y, les valeurs correspoiidantes de ). etanl les 
valeurs singulieres du noyau. Ges valeurs singulieres sont aussi 
les valeurs singulieres d'un noyau de la forme 

[K(;r, s) — <^{x) — *(5j]A;>), 

0(5) etanl defini comme on vient de le dire (n° 607. Remarque). 



II. — APPLICATIONS AUX EQUATIONS Al\ DRRIVKES PVRTIEM.ES. 107 

II. — APPLICATIONS AUX KOUATIO.NS ALX DKRIVEES PARTIELLES. 

()09. Problemes relatifs aux fonctions harmoniques. — Une des 
premieres el des plus belles applicalions de la ilit-orie de Fredliolm 
coneerne le |)roblcme de Dirichlet, Nous developperons les rai- 
sonnements pour le problrme dans I'espace, en consideranl une 
surface fermee reguilere X, admelLant un plan tangent unique en 
cliaque point, dont la position varie dune inaniere continue avec 
le point de contact. Conformement a une notation deja expliquee, 
les symboles /(M), cp(iVI), /(M, P), ... represent^t des Couc- 
tions des coordonnees du point M ou des coordonnees des deux 
points M et P, variables sur la surface H, et nous metlrons un seid 

signe / pour represenlcr une integrate multiple, comme il n'y a 

aucune ambigui'te a craindre. Pour trouver une fonction harmo- 
nique dans le domaine D interieur a S et se reduisant sur celte 
surface a une fonction continue donnee ^( M), la methode de 
Neumann consisle (n" 533) a representer cette fonction harnio- 
nique par un potentiel de double couche di"i a Taction d'une 
double couche etalee sur la surface X. Si Ion prend pour inconnue 
la densite o(M) de cette couche, cette densite doit satisfaire a 
I'equation integrale 

(4o) 27rp(M)+ f p(P)^./^p=:^-rM), 

r etant la distance des deux points M et P, 'j, Tangle de la normale 
interieure en 1^ avec la direction PM ; M et P sont deux points de 
la surface H, dont I'un M est suppose fixe dans lintegrale, tandis 
que le point P decrit la surface S. La resolution du probleme de 
Dirichlel exterieur par la methode de Neumann conduirait a une 
equation de meme forme qui se deduirait de la premiere en chan- 
geaut o(M) en — ?(-^I)- Ces deux etpiatious integrates sont deux 
cas jiarticuliers de Tequation de Fredholm. 

(4i)?(M; = X f K(M.P)p{P)d^p-+-/{M}, /"(.M) = -1 .^(M), 

dont le novau K.(M, P) = -^: pour )> ==: i , on a le problrme 

de Dirichlet interieur, pour A = — i le probleme exterieur. Pour 



5o8 CH VPITRE XXXin. — APPLICATIONS RES EQUATIONS INTEGRALES. 

uue valeiir (|uelcoiit|iie de A, requation (40 donnerait la solution 
ihi problrine suivant : Tronvcr la densite p d'une double couche 
etalec sur I telle que le pntentiel de double couche correspoti- 
poiuhmt W ve/ifie, en cling ue point iNI de E, la /•elation 

(.42) w,-(M)- W,.(iVIj--X[W,-(M) + W,(iM)] = 4^/(M). 

Wj(M) et Wp(M) soiU les llmiles vers lesquelles lend la valeur 
(III potentiel W(M'), lorsque le point M' tend vers le point M en 
restanta I'interieur on a I'exterieur de S (n°o27). Le nojan Iv(M, P) 

devienl infini conime ~> lorsque les deux points M el P coincident, 

niais on a reniarque quil suffisait de deux iterations pour en 
deduire un noyau borne (M" 563). On peut done appliquer a 
I'equalion (4i) la theorie de Fredholm. 

L'equalion integrale associee s'obtient en echangeant le role des 
deux points M et P dans le noyau; nous I'ecrirons 

• 43) p(M) = A r K(P, M)p(P)rf3'p^/(M), 



K( P, M) elant egal a — -^^5 ou 'b designe i'angie de la nonnale 

interieure en M avec la direction MP. Cette seconde equation se 
presenle dansun probleme inqaortant relalifau potentiel de simple 
couche. Soil V le potentiel du a Taction d'une couche simple de 
densite p etalee sur S; en tout point deS, les derivees normales (') 
de ce potentiel veriflent les relations (n" 538) 

, . ,^ f^ V <r/V , - , , 

(U) — -— =4^P(M), 





d\ 




dUg 


d\ 

dn. 


d\ 
dn 



,,.. d\ d\ r COS 'J; ,^. , 

dn,. dn, J,\- r- ' ^ ' 

Si la densite o(M) est une solution de I'equalion (4^)5 les deri- 
vees normales du potentiel correspondant V verifient done larela- 



,,, ^. . . ,, . dV d\ ,. , c/V,. d\\ . . . 

(') iVous ecrirons desormais -; — el -; — au lieu de -^ et — r-^ > mais on doit se 
an, dn^ an- an- 

rappeler que ces derivees sent toujours prises suivant la direction de la normale 

interieure. Nous designerons les densites par 0, o^, 0,, 



II. — Al'PI.ICATIONS AL\ KQUAIIONS AL\ DKIUVKES PAUTII'.LLES. 5o<) 

lion, auiilogiic a r(''([iiali<»n ( l^), 

et reciproquement. La resolution dc I'equation integrale (43) don- 

nerait done la solution du prohleme sulvant : Trouver la densile 

crime simple couche clalee stir -, telle que les derivees nor- 

niales du poteiUiel corrcspnndant en chaque point de X luiri- 

Jient la relation ('16). Lcs valeurs A= i, )> = — i du parainrlre 

, , ,. , d\ d\ . , ,. 

correspondent an cas on I on se donne -; — on - — , g esl-a-due au 
' dn^ drii 

problenie de iNVuniann exleiieur on an probleme de Aeumann 

interienr (n" o2i). On voit par la que les deux prohlemes de 

Dirichlet et de Neumann ponr une nienie surface se ramenent 

a deux equations integrales associees. le probleme interienr de 

Dirichlet eorrespondant au piobleme exterieur de Nenmann, et 

reciproquement. 

Rappelons d'abord quelques proprietes du potenliel de simple 

couche. Soient V, et Vo deux potenliels dus a Taction de deux 

conches simples de densites O) et Oo etendues surS; V, et A o sont 

deux fonctions harmoniques dans le domaine D interienr a H dont 

les derivees normales ont des valeurs linies snr S, et, par suite. 

verifient la relation generale (n" 528) 

chacun de ces potenliels verifie anssi la relation 

D'auire pari, Vi et \ o sont nuls a 1 infini comme— » et leurs 
derivees parlielles sont de I'ordre de 7— (n° 526), R etant la dis- 
tance du point (x,y, 2) a nn |)oint(lxeO. Les integrales / \, -j-^dd, 

etendues a la surface d'une sphere de centre O, dont le rayon ang- 
mente indefinlment, tendenl done vers zero. Si Ion applique les 
formules generales (i i) el ( i3) du n" 528 aux deux potenliels V, 



5lO CHAl'ITRE XXMII. — APPLICATIONS DES KQLATIONS INTEGRALKS. 

el \ ^ dans le doinaine liinilt- j)ar S el la surface dime sphere de 
ceiiire O doiil on fail croilre le ravon indefiniment, on voil que ces 
deux poleuliels verifieut aussi la relalion 

i-t. (ie plus, chacun de ces polenliels sallsfait a I'equallon 

D' etantla porlion indefinie de Tespace exierieur a S. 

Si J — esl nul en lout poinL de S, la formule (48)' piouve que V 

, T^, . d\ d\ d\ J . , , 

est conslaut dans U, puisque -—7 — > — doiveiit elre nuls en 
' ^ dx dj- dz 

cliaque point de D'. Comme A est nul a rinfnii, d est nul dans 

lout ce domaine et par suite sui' -. Etant nul sur S, il esl nul aussi 

a rinlerieur, puisqu'il est harmonique dans D. La densite corres- 

pondante sera nulle aussi, d'apres la relalion (44)- -^n contraire, 

si -7— est nul en tout point de S, la (ornmle (48) montre bien que V 

est constant dans D et par suite sur S; mais il n'est pas constant 
dans D' a moins d'etre idenliquement nul. En dehors des deux 

cas precedents, rinteffrale / Y -r- dd est neorative, et I'inte- 
grale / V -1 — d^ est positive. Cette derniere inlegrale ne pent 

etre nulle que si Vet, par suile, la densite sont idenliquement 
nuls. De ces proprietes du potentiel, on pent deduire aisement les 
pro|)rietes de la resolvante ( ' ) des equations (4 ') 6l (43)- 

1° Tons les poles de la resolvante sont reels. Supposons^, en 
eflfel, qu'il j ait iin pole complexe Ao^ 214- «,S; I'equation homo- 
gene, obtenue en renq)lacanl A par Aq 6t f{^) V^^ zero dans 
I'equation (4^), admettrait une solution p, (M) + f p2(M) et la 
fonclion harmonique complexe V( + iV2, ou V, et Vo sont les 
j)Oleniiels dus a Taction des deux couches simples de densite pi 



(') J. Plemelj, Monalsltefle ftir Math, unci Physik., t. XV el XVIII. 



II. — APPLICATIONS AIX EQUATIONS Al\ DERIVEES PARTIELLES. 5ll 

el 0., vi'M'iflerail la iclalion 

dn,. dn ,■ i -!- Xo \ dii , dii , / 

Va\ mnlliplianl les deux membres de celle cgalile par \ i — A' o 
el integrant sur la surface S, il reste, en tenant compte des for- 

mules (47)61(47)', 

Jjv, \ dn.. dnj ' — '-oJiV^V diii diiij 

I.a premiere integrale double ne peut elre nulle^on vient de le 
voir, que si V), Vo, et par suite o, et Oo, sont identiquement nuls. 

Le rapport — —r^ doit done etre reel, ce qui exige qu'on ail [i = o. 

2" 7o«5 ces poles sont simples. Supposons, en effet, que ). soil 
un pole mulliple. 11 existerait alors (n"^ 378-580) deux fonc- 
lions o,(M) et p2(M), differenles de zero, et satisfaisant aux 
relations 

p,(M) = X f K(P, M)?,('P)rf3'p, 

0irM) + p2(M) = A f KfP, M;o,rP;(/^i.; 

les polenliels correspondants V, el \ ^ verifieraient aussi les rela- 
tions 

d\^_(£Jj_ /d\\ dVA _ 

dn^ diii \dn,. dnij ' 

d\\ <£^ crWj_ d\j, . /d\o dXi 
diig diii dup diii \ dn,. drii 

iMultiplions la premiere de ces relations par Vo, la seconde 
par — V(, ajoulons et iiitegrons le long de S; il reste, d'apres les 
form u les (47) et (47)', 



/ \ 1 -j— d:f ^ \ 1 -^ d^. 

Jcv) drie J^v, dn, 



Or, une telle relation exige que les deux integrates soientnulles, 
piiisfpreiles sont de signes conlraires, et la |)reiniere ne peut elre 
nulle que si Ion a z, = o. 

3" // /?'}' a aiicun pole compris entre — 1 et -\- \ . Soil, en 



jr» CIIU'ITIIE \X\1II. — APPLICATIONS DES EQIATIONS INTEGRALES. 

cflVt. s(-M) uiK" f'oncllon fondamentale correspondanl au p(Me A, 
\' le polenlicl dediiil de la couclie de densilt' p. De la relation (4^) 
oil Ion tail /*(M) = o, on deduit en nuilliplianl par V el integrant 

Lne telle relation est impossible si A est coin pris entre — i et + i, 

car le facteur ^^ est alors positif, et les denx inlegrales sont de 

signes conlraires. II faiulrait done que les deux integrales soient 
nulles, ce qui entraine p(M) = o. 

.'{" A= I n'est pas une valeiir singuliere. En efl'et, si a=i 
ctail une valeur singuliere, on aurail, dapres la formule prece- 

dentc, un polenliel de simple couche V pour leqnel / \ -y— ch 

serait nul et, par suite, p serait nul aussi. 

5" A= — I est un pole de la resolvanle. En ellet, iequalion 
liomogene obtenue en faisant \^^ — i, y(M ) = o dans Tequa- 
tion (4i)> sdmet la solution c(M)= i, d'apres les proprietes de 
I'inlegrale de Gauss (n" 5!27). L'eqnalion liomogene associee 



(49) 



p(M)= f p(P)^,/^, 



admet une solution non nulle o, pour laquelle le potentiel de simple 
couclie correspondant \ satisfait a la relation -^ = o, en tout 

point de Z. Ce polenliel est done constant dans D, el la resolution 
de I'equatlon (49) fail connailre la densited'une couche electrique 
etalee sur I! et sans action sur un point inleiieiir. A ce pole A = — 1 
lie correspond qiC tine fonction fondamentale distincte pour 
cliacune des equations (40 ^^ (43), car il est evident qu'une 
masse donnee d'eleclricite placee sur un conducteur isole ne peut 
s'y distribuer que d'une seule facon. 11 est d'ailletirs aise de le 
demontrer analytiquemtmt. Soient, en effel, 0,, Oo A^v\^ solutions 
de requation(49); il leiir correspond deux polenliels V, , Vo, donl 
chacun est constant dans D. On peut done Irouver deux constantes 
non nulles a,, ao, lelles r|ue a,\, + a2^ o soil umI dans U; or, ce 
polenliel est dTi a Taction d'une couche de densite a, p, -j-aopo.On 
a done aussi a, 0, -f- a2p2= o, et les deux solutions p, , p^ ne sont 
pas distinctes. 



II. — APPLICATIONS AIX EQLATIONS AU\ DERIVEES PARTIELLES. 5l3 

Aux valeurs sinji^iiliores dont la valeur absolue depasse I'unile, 
peuvent correspondre plusieurs fonctions fondamenlales distinctes. 
C'est ce qui a lieu, par exemple, pour une sphere. Le noyau K(M, P) 

est alors egal a — tzt.'' ^" prenant pour unite le rayon de la sphere. 

Ce noyau est symetrique et nous avons determine les valeurs sin- 
gulieres et les fonctions fondamenlales an n" o32. Les valeurs 
singulieres sont les nombres impairs negatifs — (2/72 -f- i ), et a la 
valeur — (2m + i) correspondent les im-\- i fonctions de Laplace 
distinctes Y;„(8, 6) («). 

Le probleme de Dirichlet interieur et le probleme de Neumann 
exterieur qui correspondent a la valeur non singuliere A = i 
admettent toujours une solution unique qui est donnee par la me- 
thode de Fredholm. Au contraire, les deux equations (4i) et (43), 
ou Ton fait A = — 1 , n'admeltent de solutions que si y^(M) satisfait 
a une condition subsidiaire qu'on obtient en ecrivant que cette 
fonclion est orthogonale a la fonction fondamentale de Tequation 
homogene associee correspondant a la valeur — i de ).. Prenons, 
par exemple, le probleme de Neumann interieur; pour qu'il existe 

un potentiel de simple couche satisfaisant a la relation - — =y(M) 

en tons les points de S, la fonction /(M) doit etre orthogonale a 
la fonction fondamentale correspondante p = i de I'equation (40' 
c"est-a-dire verifier la relation 

(5o) / f(n)d^yi = o. 

Cette condition sexplique aisement, car elle est une conse- 
quence de la relation generale (12) du n" o28 fjui s'applique a 
toute fonction harmonique dans D, dont les derivees restent finies 
sur S. Si la condition (5o) est verifiee, le probleme de Neumann 
admet une infinite de solutions, qui ne different que par une con- 
stante arbitraire; on les obtient encore par la resolution d'une 
equation de Fredliolm homogene. 

De meme, pour que I'equation (4') ou ). = — 1 adinette une 



(') Dans le cas general, les solutions des equations (40 et (43) s'expriment 
en series de fonctions fondamenlales, coinnne pour un noyau symetrique ( Poin- 
CARK, AcLa niatliemulica^ t. X\, 1897), 

G.. III. 33 



Sl4 CH.VPITKK XXXIII. — APPLICATIONS DKS EQUATIONS INTEGRALES. 

solnlion, il faut que la foiiclion don nee /"(M) soil orlliogonale a la 
lonclioii o,(^M) qui reprosenle la densite d'une simple eouche 
elalee sur S el sans action surun point inlerieur. Gependant, nous 
Savons a priori que le probleme de Dirichlel exierieur admel une 
solution, puisqu'on peut le ramener au probleme interieur par la 
transl'ormalion de Lord Kelvin. On s'explique retle contradiction 
apparente, si Ton observe quiine fonclion liarmonique nulle a 
rinlini ne pent pas toujours elre representee par un potenliel de 

double eouche, puisque ce potentiel est nul a rinfini comme^- 

Lorsque la condition de possibilite est realisee, la densite p(M) 
n'est determinec qua nne constante pres, puisqu'on peut aug- 
menter o( M) dune constante arbilraire sans changer la valeur du 
potenliel de double eouche en un point exierieur. 

(ilO. Remarques diverses. — Methode de Neumann. — M. Kellogg a fait 
observer que la meiliu le de Aeumann pour resoudre le probleme de Diri- 
chiet dans le cas d'une surface convexe se rattachail aisemenl a la theorie 
generale de Fredliolni. Dans celte metbode, on ecrit lequation integrale a 
resoudre ( n" u33 ) 

p(M) = >.' C [p(M)-p(P)]^ J:rp-^U(M) 

el Ton developpe p(M) suivant les puissances de X', puis ion fait X' = i 
dans la serie obtenue. Pour juslifier ce procede, il suffit de montrerque la 
solution cberchee, ronsiden'e coinme fonclion de a', est holomorpbe a I'in- 
lerieur d'un domaine renfermant le cercle | X'| ^ i. Or, on peut ecrire I'equa- 
tion precedente 

P(M;==^ C K(M. F)p(P)rf3'p^--p(M)-+--^ U(M) 
■2 ^(v) i 4" 

ou 

p(M)= -^ r K(M, P)p(P)rf3'r ■ ^^'^'^ 



'(X) 



277(2 — X' ) 



Lorsque ).' decril le cercle V de rayon un, de centre X' = o, le para- 



metre A 



2 — /. 



— decrit un cercle F ayant pour diametre la portion de I'axe 



reel limilee aux deux points d'abscisses X :=i, X = — -■ D'apres les pro- 

prietes de la resolvante, la solution p(I\l ) consideree comme fonclion de X, 
esl holomorpbe dans un domaine renfermant ce cercle F. Consideree comme 
fonclion de X', elle est done aussi bolomorphe dans un domaine renfermant 
le cercle F' el, par suite, son developpement suivant les puissances de X' 



II. — APPMCVTIONS AUX EQUATIONS AUX DERIVEES PAUTIELLES. 5l5 

est convergent pour X' = i. La nielliode de Neumann levienl done au fond 
a effecluer sur le paramelre, qui figure dans I'equation (4i)i ""c trans- 
formation homographique, et